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湖北省部分重点中学2012-2013学年度高一数学下学期期末考试试题 文 新人教A版


湖北省部分重点中学 2012—2013 学年度下学期高一期末考试 文科数学试卷
考试时间:本卷考试时间 14:00—16:00 本卷满分 150 分 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.若 a, b, c ? R, 且a ? b ,则下列不等式成立的是 A. ( )

1 1 ? a b

B. a 2 ? b 2

C.

a b ? 2 c ?1 c ?1
2

D. a(c2 ? 1) ? b(c2 ? 1) )

2. 若 m 、n 是两条不同的直线, ? 、? 是两个不同的平面, 则下列命题中不正确 的是 ( ... A.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ∥ ? C.若 m ∥ ? , ? ? ? ? n ,则 m ∥ n B.若 m ∥ n , m ? ? ,则 n ? ? D.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? .

3.已知 ?an ? 是等差数列, a4 ? 15, a9 ? 55 ,则过点 P ?3, a3 ? , Q(13, a8 ) 的直线的斜率为( ) A.4 B.

1 4
?

C.-4
?

D. ?
?

1 4
)

4.若直线 l 的倾斜角 ? 满足 0 ? ? ? 150 ,且 ? ? 90 ,则它的斜率 k 满足( A. ?

3 ?k ?0 3

B. k ? ?

3 3 3 3


C. k ? 0或k ? ? 3

D. k ? 0或k ? ?

5.过点(5,2) ,且在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 2 倍的直线方程是( A. 2 x ? y ? 12 ? 0 C. x ? 2 y ? 1 ? 0 B. 2 x ? y ? 12 ? 0 或 2 x ? 5 y ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0 或 2 x ? 5 y ? 0

x ? 1, ? ? y ? x, 6.已知点 P( x, y) 的坐标满足条件 ? 则点 P 到直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 的距离的最 ? x ? 2 y ? 3 ? 0, ?
小值为( )

-1-

14 A. 5

B.

12 5

C. 2

D. 1

7.右图是一个几何体的三视图,其中正视图是边长为 2 的等边三角形,侧视图是直角边长分 别为 1 与 3 的直角三角形,俯视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的体积等于( )

A.

3? 6

B.

3? 3

C.

4 3? 3

D.

? 2

8. 如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 的棱长为 1,线段

B1D1 上有两个动点 E、F ,且 EF ?
结论中正确的个数是( ①. AC ? BE ②. EF / / 平面ABCD )

2 , 则下列四个 2
正视图 侧视图

③.三棱锥 A ? BEF 的体积为定值 ④.异面直线 AE, BF 所成的角为定值 A.1 B.2 C.3 D.4

俯视图

9. 已知等差数列{ an }的前 n 项和为

Sn , a2 ? 4, S10 ? 110 ,则
A.7

Sn ? 64 的最小值为( an
C.



B.8
2

15 2

D.

17 2

>m( x ? 1) 对满足 m ? 2 的所有实数 m 都成立,则实数 x 的取值范围是 10.若不等式 2 x ? 1
( ) A. (

7 ?1 3 ?1 , ) 2 2

B.(

? 3 ?1 7 ?1 , ) 2 2

( C.

? 3 ?1 3 ?1 , ) 2 2

D. (

7 ?1 7 ?1 , ) 2 2

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,请把答案填在答题卡的相应位置. 11.已知圆柱 M 的底面半径与球 O 的半径相同,且圆柱 M 与球 O 的表面积相等,则它们的体积 之比

V圆柱:V球 =

. .

12.两平行直线 l1 : 3x ? 4 y ? 6 ? 0 , l 2 : (a ? 1) x ? 2ay ? 1 ? 0 间的距离为

13. 《莱因德纸草书》 (Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一,书中有这样的一
-2 -

道题目:把 100 个面包分给 5 个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的 较小的两份之和,则最小的 1 份为 . .

1 是 7

14.若 a ? 0 ,则关于 x 的不等式 ax2 ? 2(a ? 1) x ? 4 ? 0 的解是 15.已知正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 1 ,则

1 1 ? 的最小值为 x y

.

16.设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2 和 a ,且长为 a 的棱与长为 2 的棱异面,则 a 的取值范围是 .

17.给出若干数字按下图所示排成倒三角形,其中第一行各数依次是 1,2,3,?,2013,从 第二行起每一个数都等于它“肩上”两个数之和,最后一行只有一个数 M,则这个数 M 是 .

三.解答题:本大题共 5 小题,共 65 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? ?3x ? a(6 ? a) x ? 6
2

(Ⅰ)解关于 a 的不等式 f (1) ? 0 (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ? b 的解集为 ? ?1,3? , 求实数 a , b 的值.

19.(本小题满分 12 分) 求分别满足下列条件的直线方程: (Ⅰ)经过直线 2 x ? y ? 2 ? 0 和 3x ? y ? 1 ? 0 的交点且与直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 平行; (Ⅱ)与直线 l : 3x ? 4 y ? 12 ? 0 垂直且与坐标轴围成的三角形面积为 6 .

-3-

20.(本小题满分 13 分) 武汉市开展两型社会建设,青山区招商引资共 30 亿元建设滨江生态工业园区若干项目。 现有某投资商打算投资甲、乙两个项目, 根据预测, 甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100% 和 50%,可能的最大亏损率分别为 30%和 10%。该投资商计划投资金额不超过 10 亿元,为确保 可能的资金亏损不超过 1.8 亿元,问 该投资商对甲、乙两个项目各投资多少亿元,才能使可 能的盈利最大?

21. (本小题满分 14 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱与底面垂直, AB ? BC , AB ? BC ? BB1 ? 2 , M , N 分别 是 AB, A1C 的中点 (Ⅰ)求证: MN ∥平面 BCC1 B1 ; (Ⅱ)求证: MN ⊥平面 A1B1C ; (Ⅲ)求三棱锥 M ? A1B1C 的体积.

22. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 是公差不为 0 的等差数列, Sn 为前 n 项和, a5 和 a7 的等差中项为 11,且

-4-

a2 ? a5 ? a1 ? a14 .令 bn ?
(Ⅰ)求 an 及 Tn ;

1 , 数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn . an ? an?1

(Ⅱ)是否存在正整数 m, n(1 ? m ? n), 使得T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有的

m, n 的值;若不存在,请说明理由.
湖北省部分重点中学 2012——2013 学年度下学期高一期末考试 文科数学参考答案 一、选择题 题 1 2 3 4 5 号 答 D C A D B 案 二、填空题: 11.

6 C

7 A

3 4

12.1

13.

5 3

14. ( , 2)

2 a

15. 3 ? 2 2

16. (0, 2)

17. 1007×2

2012

三、解答题: 18.解: (Ⅰ)由已知 f (1) ? ?a2 ? 6a ? 3??a2 ? 6a ? 3 ? 0 ? a2 ? 6a ? 3 ? 0

?3 ? 2 3 ? a ? 3 ? 2 3

? 不等式 f (1) ? 0 的解集为: {a | 3 ? 2 3 ? a ? 3 ? 2 3}
(Ⅱ)

???6 分

f ( x) ? b ?3x2 ? a(6 ? a) x ? b ? 6 ? 0

? ?1,3 是方程 3x2 ? a(6 ? a) x ? b ? 6 ? 0 的两根

a(6 ? a) ? 2? ? ? 3 ? ?? ?a ? 3 ? 3 ?? b ? 6 ??3 ? ? ?b ? ? 3 ? 3 ?

???12 分

19.解: (Ⅰ)将 2 x ? y ? 2 ? 0 与 3x ? y ? 1 ? 0 联立方程组解得交点坐标为 (1, ?4) . 由所求直线与直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 平行,则所求直线斜率为: ? 从而所求直线方程为: 2 x ? 3 y ? 10 ? 0 (Ⅱ)设所求直线方程为 4 x ? 3 y ? m ? 0 ,令 y1 ? 0 得 x1 ? ?

2 , 3
???6 分

m m ,令 x2 ? 0 得 y2 ? , 4 3

-5-

1 m2 ? 6 ,解得 m ? ?12 则S ? ? 2 12
从而所求直线方程为: 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 ???12 分

20. 解:设该投资商对甲、乙两个项目分别投资 x 亿元、 y 亿元,可能的盈利为 z 亿元,则

z ? x?

1 y . 2

? x ? y ? 10 ?3 ? x ? 1 y ? 1.8 ? 依题意得: ?10 10 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0

? x ? y ? 10 ?3 x ? y ? 18 ? 即? ????????????(6 分) ?x ? 0 ? ?y ? 0

画出可行域如图阴影部分,????????????(8 分) y 18

10

10 o 6 x

作出直线 lo : x ?

1 y?0 2

作 lo 的一组平行线 l : y ? ?2 x ? 2 z 当直线过直线 x ? y ? 10 ? 0 与直线 3 x ? y ? 18 ? 0 的交点 A 时直线在 y 轴上的截距 2z 最大,此时 z 最大 解方程组 ?

? x ? y ? 10 ? 0 ?3 x ? y ? 18 ? 0

得?

?x ? 4 ?y ? 6

? A ? 4, 6 ?

-6-

1 ? zmax ? 4 ? ? 6 ? 7 ? 亿元 ? 2
答:投资商对甲项目投资 4 亿元、对乙项目投资 6 亿元,才能使可能的盈利最大。 ?????????(13 分) 21.(Ⅰ)证明:连结 BC1 , AC1 ,显然 AC1 过点 N ∵ M , N 分别是 AB, A1C 的中点, ∴ MN ∥ BC1 ∴ MN ∥平面 BCC1 B1 ???5 分

又 MN ? 平面 BCC1 B1 , BC1 ? 平面 BCC1 B1

(Ⅱ)证明:∵三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱与底面垂直, BC ? BB1 ∴四边形 BCC1 B1 是正方形 由(Ⅰ)知 MN ∥ BC1 ∴ BC1 ? B1C ,

∴ MN ⊥ B1C

连结 A1 M , CM ,由 AM ? MB, BC ? BB1 ? AA 1 知 ?AMA 1 ? ?BMC ∴ A1 M ? CM ,又易知 N 是 A1C 的中点, ∴ MN ? A1C , ∴ MN ⊥平面 A1B1C ???10 分

(Ⅲ)因为 AB ∥ A1 B1 ,所以三棱锥 M ? A1 B1C 与三棱锥 B ? A1 B1C 的体积相等, 故 VM ? A1B1C ? VB ? A1B1C ? VA1 ?CB1B ? (其它解法参照给分) 22.解: (Ⅰ)因为 {an } 为等差数列,设公差为 d ,则由题意得

1 1 4 ? ?2?2?2 ? 3 2 3

???14 分

? a5 ? a7 ? 22 ? 2a1 ? 10d ? 22 ? ? a2 ? a5 ? a1 ? a14 ? (a1 ? d )(a1 ? 4d ) ? a1 (a1 ? 13d )
整理得 ?

?a1 ? 5d ? 11 ?d ? 2 ?? ?a1 ? 1 ?d ? 2a1
???3 分

所以 an ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1 由 bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an ? an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 (1 ? ? ? ? 2 3 3 5 ? 1 1 n ? )? 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
???6 分

所以 Tn ?

-7-

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, Tn ?

n 1 m n , Tn ? ,所以 T1 ? , Tm ? 2n ? 1 3 2m ? 1 2n ? 1 假设存在正整数 m, n ?1 ? m ? n ? ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列,则

1 n ? m ? , ? ? ? ? 3 2n ? 1 ? 2m ? 1 ?
可得

2

3 ?2m 2 ? 4m ? 1 ? ? 0, n m2
6 6 , ? m ? 1? 2 2

所以 ?2m2 ? 4m ? 1 ? 0

从而有 1 ?
?

由 m ? N 且m ? 1 ,得 m ? 2 此时 n ? 12 .

??? 12 分

? 当且仅当 m ? 2 , n ? 12 时, T1 , Tm , Tn 成等比数列.
[另解:因为

???14 分

m2 1 n 1 1 ? ,即 2m2 ? 4m ? 1 ? 0 , ? ? ,故 2 4m ? 4m ? 1 6 6n ? 3 6 ? 3 6 n

?1?

6 6 , (以下同上) .] ? m ? 1? 2 2

-8-


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