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高考导数应用题


函数与导数应用题 1.(2007 年北京)19. (本小题共 13 分) 如图, 有一块半椭圆形钢板, 其长半轴长为 2r , 短半轴长为 的端点在椭圆上,记 CD (I)求面积 S 以

r ,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底 AB 是半椭圆的短轴,上底 CD

? 2 x ,梯形面积为 S


r />x 为自变量的函数式,并写出其定义域;

(II)求面积 S 的最大值。

解: (I)依题意,以

AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系 O ? xy (如图) ,则点 C 的横坐标为 x .

点 C 的纵坐标

y 满足方程

x2 y 2 ? ? 1( y ≥ 0) , r 2 4r 2

解得

y ? 2 r 2 ? x 2 (0 ? x ? r )
1 (2 x ? 2r )?2 r 2 ? x 2 2
其定义域为

S?

? 2( x ? r )? r 2 ? x 2 ,
(II)记

?x 0 ?

x? r . ?

f ( x) ? 4( x ? r )2 (r 2 ? x2 ),? x ? r , 0
1 r. 2



f ?( x) ? 8( x ? r )2 (r ? 2x) .令 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

因为当 0

?x?

r r ? x ? r 时, f ?( x) ? 0 ,所以 时, f ?( x) ? 0 ;当 2 2

?1 ? f ? r ? 是 f ( x) 的最大值. ?2 ?

因此,当

x?

1 r 时, S 也取得最大值,最大值为 2

?1 ? 3 3 2 f ? r? ? r . 2 ?2 ?

即梯形面积 S 的最大值为

3 3 2 r . 2

2.(2011苏)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚

线折起,使得 设AE=FB=xcm

ABCD 四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,

(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm

2

)最大,试问x应取何值?

(2)若广告商要求包装盒容积V(cm )最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。

3

D
【解题过程】:设包装盒的高为 h(cm) ,底面边长为 a(cm) , 则 a= x,h= (30-x) ,0<x<30.
2

C

(1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15) +1800,0<x<30. ∴当 x=15 时,S 取最大值. (2)V=a h=2 由 V′=0 得 x=20, 当 x∈(0,20)时,V′>0;当 x∈(20,30)时,V′<0; ∴当 x=20 时,包装盒容积 V(cm )最大,
3 2

A
2

x

E

F x

B

(-x +30x ) ,V′=6

3

x(20-x) ,0<x<30.

此时,

h 1 ? a 2


即此时包装盒的高与底面边长的比值是

3.(2010 湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘

米厚的隔热层建造成本为 6 万元。 该建筑物每年的能源消耗费用 C 单位: ( 万元) 与隔热层厚度 x 单位: 满足关系: x) ( cm) C = (

k (0 ? x ? 10), 3x ? 5

若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元。设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和。 (Ⅰ)求 k 的值及 f(x)的表达式。 (Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值。

【解题过程】: .设隔热层厚度为 ,由题设每年能源消耗 I xcm 费用C ( x) ? 再由C(0) 8,k ? 40, 故C( x) ? ?

k , 3x ? 5

40 , 而建造费C1 ( x) ? 6 x 3x ? 5 40 800 y ? 20C ( x) ? C1 ( x) ? 20 ? 6x ? ? 6 x, x ? [0,10] 3x ? 5 3x ? 5 2400 2400 II. f ?( x) ? 6 ? , 令f ?( x) ? 0, ?6 (3 x ? 5) 2 (3 x ? 5) 2 25 得x ? 5, x ? ? (舍) 3 当x ? (0,5), f ?( x) ? 0; x ? (5,10), f ?( x) ? 0.故x ? 5是函数的最小值点 (5) ? 70 f 当隔热层修建 cm厚时,总费用达到最小 70万元 5 值
4.(2009 年山东) (21) (本小题满分 12 分)

两县城 A 和 B 相距 20km,现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧

上选择一点 C 建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的的距

离有关,对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和,记 C 点到城 A 的距离为 x km,建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为

y,统计调查表明:垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比,比例系数为 4;对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的

平方成反比,比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 (1)将 y 表示成 x 的函数;

的中点时,对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065.

(11)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧 城 A 的距离;若不存在,说明理由。 解法一:(1)如图,由题意知 AC⊥BC, BC
2

上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小?若存在,求出该点到

? 400 ? x 2 , y ?

4 k ? (0 ? x ? 20) 2 x 400 ? x 2
x A
, 令

其中当

x ? 10 2 时,y=0.065,所以 k=9

C

4 9 (0 ? x ? 20) 所以 y 表示成 x 的函数为 y ? 2 ? x 400 ? x 2
( 2 )

B

y?

4 9 ? 2 x 400 ? x 2

,

y' ? ?

8 9 ? (?2 x) 18 x4 ? 8(400 ? x2 ) 2 ? ? x3 (400 ? x2 )2 x3 (400 ? x 2 )2

y' ? 0



18x4 ? 8(400 ? x2 )2 ,所以 x 2 ? 160 ,即 x ? 4 10 ,当 0 ? x ? 4 10 时, 18x4 ? 8(400 ? x2 )2 ,即 y ' ? 0 所以函数为单
调减函数,当 4

6 ? x ? 20 时, 18x4 ? 8(400 ? x2 )2 ,即 y ' ? 0 所以函数为单调增函数.所以当 x ? 4 10 时, 即当 C 点到城 A 的
4 9 ? (0 ? x ? 20) 有最小值. 2 x 400 ? x 2

距离为 4

10 时, 函数 y ?

5.(2011 年山东)21.(本小题满分 12 分)

某企业拟建造如图所示的容器 (不计厚度, 长度单位: , 米) 其中容器的中间为圆柱形, 左右两端均为半球形, 按照设计要求容器的体积为

80? 3

立方米,且 l≥2 r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球形部分每平方米建造费用为

c(c>3) .设该容器的建造费用为 y 千元.
(Ⅰ)写出

y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域;

(Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的 r .

【解析】 (Ⅰ)因为容器的体积为

80? 3


立方米,所以

4? r 3 80? ? ? r 2l ? 3 3
的 侧 面 积

,解得

l?

80 4r ? 3r 2 3

,









2? rl = 2? r (

80 4r 160? 8? r 2 ? )? ? 3r 2 3 3r 3

,两端两个半球的表面积之和为 4

? r 2 ,所以 y ?

160? ? 8? r 2 + 4? cr 2 ,定义域为 r

(0,

l 2

).

(Ⅱ)因为

y ? ?
'

160? ? 16? r r2

+

8? cr

=

8? [(c ? 2)r 3 ? 20] r2

,所以令

y' ? 0

得:

r?

3

20 c?2

; 令

y' ? 0

得: 0

?r?

3

20 20 ,所以 r ? 3 米时, 该容器的建造费用最小. c?2 c?2


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