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第一章 集合概念


第一章 集合与函数概念 〖1.1〗集合 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法

N 表示自然数集, N ? 或 N ? 表示正整数集, Z 表示整数集, Q 表示有理数集, R 表
示实数集. (3)集合与元素间的关系 对象 a 与集合 M 的关系是 a ? M ,或者 a

? M ,两者必居其一. (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{ x | x 具有的性质},其中 x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集 .②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有 任何元素的集合叫做空集( ? ). 【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 (1)A ? A (2) ? ? A (3)若 A ? B 且 B ? C ,则 A ? C (4)若 A ? B 且 B ? A ,则 A ? B (1) ?? A (A 为非空子集)
?

示意图

A? B
子集 (或

B ? A)
A?B
?

A 中的任一元素都 属于 B

A(B)

B

A



A ? B, 且 B 中至
少有一元素不属于 A

真子集

(或 B ? A)
?

(2)若 A ? B 且 B ? C ,则 A ? C
? ? ?

B

A

集合 相等

A? B

A 中的任一元素都 属于 B, B 中的任 一元素都属于 A

(1)A ? B (2)B ? A

A(B)

n n (7)已知集合 A 有 n(n ? 1) 个元素,则它有 2 n 个子集,它有 2 ? 1 个真子集,它有 2 ? 1 个

n 非空子集,它有 2 ? 2 非空真子集.

【1.1.3】集合的基本运算 (8)交集、并集、补集 名称 记号 意义 性质 示意图

交集

A

B

{x | x ? A, 且
x ? B}

( 1) A ( 2) A ( 3) A

并集

A

B

{x | x ? A, 或
x ? B}

A ( 1) A ( 2) A ( 3) A A

A? A ??? B? A B?B A? A ?? A B?A B?B
1
A (? U A) ? ?

A

B

A

B

补集

?U A

{x | x ?U , 且x ? A}

痧 B) ? ( U A) ( U B) U (A 痧 B) ? ( U A) ( U B) U (A

2 A (?U A) ? U

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 (1)含绝对值的不等式的解法 不等式 解集

| x |? a(a ? 0) | x |? a(a ? 0)

{x | ?a ? x ? a} x | x ? ?a 或 x ? a}
把 ax ? b 看 成 一 个 整 体 , 化 成 | x |? a ,

| ax ? b |? c,| ax ? b |? c(c ? 0)
| x |? a(a ? 0) 型不等式来求解
(2)一元二次不等式的解法 判别式

? ? b2 ? 4ac
二次函数

??0

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
的图象 一元二次方程
O

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的根

x1,2 ?

?b ? b2 ? 4ac 2a

x1 ? x2 ? ?

(其中 x1 ? x2 )

b 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的解集

{x | x ? x1 或 x ? x2 }

{x | x ? ?

b } 2a

R

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的解集

{x | x1 ? x ? x2}
〖1.2〗函数及其表示

?

?

【1.2.1】函数的概念 (1)函数的概念 ①设 A 、B 是两个非空的数集, 如果按照某种对应法则 f , 对于集合 A 中任何一个数 x , 在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x ) 和它对应,那么这样的对应(包括集合 A , B 以及

A 到 B 的对应法则 f )叫做集合 A 到 B 的一个函数,记作 f : A ? B .
②函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法 ①设 a , b 是两个实数,且 a ? b ,满足 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做闭区间,记做 [ a, b] ; 满足 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做开区间,记做 ( a, b) ;满足 a ? x ? b ,或 a ? x ? b 的实 数 x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做 [ a, b) , ( a, b]


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