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六校2014届高三上学期第二次联考(文数)


六校 2014 届高三上学期第二次联考 文科数学
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,20 小题,满分 150 分。考试用时 120 分 钟。

第一部分 选择题(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设全集 U ? {?2, ?

1, 0,1, 2} ,集合 A ? {?1,1, 2} , B ? {?1,1} ,则 A ? (CU B) 为 A. {1, 2} B. {1} C. {2} D. {?1,1}

2.已知命题 p : ?x ? R,cos x ? 1 ,则 A. ?p : ?x ? R,cos ? 1 C. ?p : ?x ? R,cos ? 1 B. ?p : ?x ? R,cos ? 1 D. ?p : ?x ? R,cos ? 1

3. 下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是 A. y ? ? x ? 1
2

B. y ? lg | x |

C. y ?

1 x

D. y ? e

?x

4. 在各项都为正数的等比数列 {a n } 中,首项为 3,前 3 项和为 21,则 a3 等于 A.15 5. 已知函数 f ? x ? ? ? A. 1 B.12 C.9 D.6

? x ? x ? 4 ?, x ? 0, ? 则函数 f ? x ? 的零点个数为 ? x ? x ? 4 ?, x ? 0. ?
C. 3 D. 4

B. 2

6. 函数 y ? sin ? 2 x ?
? 3

? ? y

π? ? π ? ? 在区间 ? ? ,π ? 的简图是 3? ? 2 ?

y

?

1
? 6

1
?

? ? 2

O
A.

x

?

?1

? ?? O 3 2 ?1

? 6

? x

B.

y

y
?
? 3

1
? ? O ? ? 6 2

?

x

?1

?

? 2

?1 6

O ?1
D.

? 3

? x

C.

7. 如果等差数列 ?an ?中, a5 ? a6 ? a7 ? 15 ,那么 a3 ? a4 ? ... ? a9 等于
1

A.21

B.30

C.35

D.40

8. ?ABC 的三个内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 sin B ? 1,向量 p ? (a,b) ,

q ? ( 1, ) ,若 p // q ,则角 A 的大小为 2
A.

? 6

B.

? 3

C.

? 2

D.

2? 3
f ?(x)

9.已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (4) ? f (?2) ? 1, f ?(x) 为 f (x) 的导函数,且导函数 y ? f ?(x) 的图象如右图所示.则不 等式 f ( x) ? 1 的解集是( A. (?2,0) C. (0,4) ) -2

O4
第 9 题图

x

B. (?2,4) D. (??,?2) ? (4,??)

10. 设 D 是边长为 2 的正 ?P P2 P3 的边及其内部的点构成的集合,点 P0 是 ?P P2 P3 的中心, 1 1 若集合 S ? {P | P ? D,| PP |? | PP |, i ? 1, 2, 3} ,若点 M ? S ,则 P0 P ? P0 P2 ? P3 M 的最 1 0 i 大值为 A. B. C. 2 D. 3

?

???? ???? ????? ? ?

?

0

1

第二部分 非选择题(共 100 分) 二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.
?2 x 3 , x ? 0 ? ? 11. 已知函数 f ( x) ? ? ? ,则 f ( f ( 4 )) ? ________. ?? tan x,0 ? x ? 2 ?
12. 已知向量 m ? ? ? ? 1,1? , n ? ? ? ? 2, 2 ? ,若 ? m ? n ? ? ? m ? n ? ,则 ? = _________ . 13.某住宅小区计划植树不少于 60 棵,若第一天植 2 棵,以后每天植树的棵树是前一天的 2
* 倍,则需要的最少天数 n n ? N 等于_____________.

?

?

?

?

?

?

?

?

14.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) .若当 0 ? x ? 1 时. f ( x) ? x(1 ? x) , 则当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) =________________.

2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤.
15.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin ? x ? (1) 求 f ? ?

? ?

? , x ?R . 12 ?

? ?

? ?? ? 的值; ? 4?

(2) 若 cos ? ?

4 ? ?? , ? ? ? 0, ? ,求 5 ? 2?

?? ? f ? 2? ? ? . 3? ?

16. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? ( 3 sin 2 x ? 2, cos x) , n ? (1, 2 cos x) ,设函数 f ( x) ? m ? n , x ?R . (1)求 f (x) 的最小正周期与最大值; (2)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,若 f ( A) ? 4, b ? 1, ?ABC 的面积

??

?



3 ,求 a 的值. 2

17. (本小题满分 14 分)
* 设数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 , an ?1 ? 3an , n ? N .

(1)求 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 S n ; (2)已知 ?bn ? 是等差数列, Tn 为前 n 项和,且 b1 ? a1 , T3 ? a3 .求 ?bn ? 的通项公式, 并证明:

1 1 1 1 ? ??? ? . b1b2 b2b3 bnbn ?1 2

18.(本小题满分 14 分)

3

已知函数 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? mx ? nx , x ? R . 3 2

(1)当 m ? 1, n ? ?2 时,求 f ( x) 的单调区间; (2)当 n ? 0 ,且 m ? 0 时,求 f ( x) 在区间 ? ?1,1? 上的最大值.

19.(本小题满分 14 分) 已知数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 , 3S n ?1 是 6 与 2Sn 的等差中项( n ? N * ). (1)证明数列 {S n ? } 为等比数列; (2)求数列 ? a n ? 的通项公式; (3)是否存在正整数 k ,使不等式 k ? ?1? an 2 ? S n ( n ? N * )恒成立,若存在,求出 k
n

3 2

的最大值;若不存在,请说明理由.

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? b ln x ? c ( a, b, c 是常数)在 x ? e 处的切线方程为

(e ? 1) x ? ey ? e ? 0 ,且 f (1) ? 0 .
(1)求常数 a, b, c 的值; (2)若函数 g ( x) ? x ? mf ( x) ( m? R )在区间 (1,3) 内不是单调函数,求实数 m 的取
2

值范围; (3)证明:

ln 2 ln 3 ln 4 ln 2013 1 ? ? ??? ? . 2 3 4 2013 2013

4

参考答案
第Ⅰ卷选择题(满分 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1. (C) 6. (A) 2. (A) 3. (A) 4. (B) 5. (C) 7. (C) 8. (A) 9. (B) 10. (C)

第Ⅱ卷非选择题(满分 100 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11. ?2 12. ?3 13. 5 14. f ( x) ? ?

x( x ? 1) 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 12 分) 解:(1) f ? ?

? 1 ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? ;……………… ……4 分 6 2 ? 4? ? 4 12 ? ? 6?

(2) f ? 2? ?

? ?

??

? ? ? ?? 2 ? ? ? sin 2? ? cos 2? ? ? ? sin ? 2? ? ? ? ? sin ? 2? ? ? ? 3? 3 12 ? 4? 2 ? ?
……………… ……7 分因

为 cos ? ?

4 3 ? ?? , ? ? ? 0, ? ,所以 sin ? ? , 5 5 ? 2?

……………… ……9 分所以

sin 2? ? 2sin ? cos ? ?

24 7 2 2 , cos 2? ? cos ? ? sin ? ? ……………… 11 分所以 25 25

24 7 2 17 2 2 ?? ? .…………12 分 ? ? f ? 2? ? ? ? ? sin 2 ? cos 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 50 2 3? ? 25 25? 2 ?

16. (本小题满分 12 分)

?? ? 解:(1) f ( x) ? m ? n ? 3 sin 2 x ? 2 ? 2cos 2 x

……………… ……2 分 ……………… ……4 分

? 2sin(2 x ? ) ? 3 6
∴ f (x) 的最小正周期为 T ?
f (x) 的最大值为 5.

?

2? =? , 2
?
6

………………………5 分 ……………………6 分

(2)由 f ( A) ? 4 得, 2 sin(2 A ?

?
6

) ? 3 ? 4 ,即 sin(2 A ?

)?

1 , 2

5

∵ 0 ? A ? ? , ∴ 2A ? ∴ A?

?
6

?

5? , 6
………………………8 分

?
3



1 3 3 3 , 即 , c? bc sin A ? 4 2 2 2
∴ c?2 ………………………10 分

由余弦定理得, a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 1 ? 4 ? 2 ? 1 ? 2 ? ∴

1 ?3 2

a? 3

…………………………………12 分

17. (本小题满分 14 分) 解:(1)因为 an ?1 ? 3an ,又 a1 ? 1 ,所以

an ?1 ? 3, an
……………2 分

因此 ?an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列, 所以 an ? 3
n ?1

, Sn ?

1 ? 3n 1 n ? ? 3 ? 1? . 1? 3 2

……………6 分

(2)设等差数列 ?bn ? 的公差为 d , 依题意 b1 ? a1 ? 1 , b1 ? b2 ? b3 ? 9 所以 b1 ? ? b1 ? d ? ? ? b1 ? 2d ? ? 9 ,即 3 ? 3d ? 9 ,故 d ? 2 . ……………8 分

由此得, bn ? 2n ? 1 . (资料苏元高考吧 www.gaokao8.net) …………10 分 所以,

1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ??? b1b2 b2b3 bnbn ?1 1? 3 3 ? 5 ? 2n ? 1?? 2n ? 1?
……………12 分

1? 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? 3? 2?3 5? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

1? 1 ? 1 ? ?1 ? ?? . 2 ? 2n ? 1 ? 2
因此所证不等式成立. ……………14 分

18.(本小题满分 14 分)

6

解:(1)当 m ? 1, n ? ?2 时, f ( x) ? 则 f ?( x) ? x ? x ? 2
2

1 3 1 2 x ? x ? 2 x , ……………………………1 分 3 2
……………………………2 分

令 f ?( x) ? x ? x ? 2 ? 0 ,解得 x ? ?2 , x ? 1 ,
2

当 x ? 1 或 x ? ?2 时,有 f ?( x) ? 0 ; 当 ?2 ? x ? 1 时,有 f ?( x) ? 0 ,………… 5 分 所以 f ( x) 的单调递增区间 ? ??, ?2 ? 和 (1, ??) , f ( x) 的单调递减区间 ? ?2,1? . ……………………………7 分 (2)当 n ? 0 ,且 m ? 0 时, f ( x) ?
2

1 3 1 2 x ? mx , x ? R . 3 2

则 f ?( x) ? x ? mx , 令 f ( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? ?m . …………………8 分
'

①当 ?m ? ?1 ,即 m ? 1 时, 此时当 ?1 ? x ? 0 时,有 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (?1,0) 上为减函数, 当 0 ? x ? 1 时,有 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (0,1) 上为增函数, ………9 分

1 1 1 1 m , f (1) ? ? m , 3 2 3 2 1 1 所以 f ( x) 的最大值为 f (1) ? ? m ; 3 2
又 f (?1) ? ? ? ②当 ?1 ? ?m ? 0 ,即 0 ? m ? 1 时,

…………………………10 分

此时当 ?1 ? x ? ?m 时, f ?( x) ? 0 ;当 ?m ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ;当 0 ? x ? 1 时,

f ?( x) ? 0 ;所以 f ( x) 在 (?1, ?m) 上为增函数,在 (?m, 0) 上为减函数,在 (0,1) 上为增函
数. ……………………12 分

1 1 1 1 1 1 1 f (?m) ? (?m)3 ? m(?m)2 ? m3 ? , f (1) ? ? m ? , 3 2 6 6 3 2 3 1 1 所以 f ( x) 的最大值为 f (1) ? ? m , …………………13 分 3 2 1 1 综上, f ( x) 在区间 ? ?1,1? 上的最大值为 ? m . …………………14 分 3 2
19.(本小题满分 14 分) 解:(1)因为 3S n ?1 是 6 与 2Sn 的等差中项, 所以 6 ? 2Sn ? 6Sn?1 ( n ? N * ) ,即 S n ?1 ?
7

1 * ( S n ? 1 , n ? N ) ……………2 分 3

由此得 S n ?1 ? 3 ? ( 1 S n ? 1) ? 3 ? 1 S n ? 1 ? 1 ( S n ? 3 ) ( n ? N * ) …………4 分 , 2 3 2 3 2 3 2 又 S1 ?
3 3 1 ? a1 ? ? ? , 2 2 2

所以

S n ?1 ?

3 2 ? 1 (n? N*) , 3 3 Sn ? 2

1 1 3 为首项, 为公比的等比数列. ……………6 分 3 2 2 3 1 1 3 1 1 (2)由(1)得 S n ? ? ? ? ( ) n ?1 ,即 S n ? ? ( ) n ?1 ( n ? N * ) ,……………7 分 2 2 3 2 2 3 3 1 1 3 1 1 1 所以,当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? [ ? ( ) n ?1 ] ? [ ? ( ) n ?2 ] ? n ?1 ,…9 分 2 2 3 2 2 3 3
所以数列 {S n ? } 是以 ? 又 n ? 1 时, a1 ? 1 也适合上式, 所以 an ?

1 (n ? N * ) . n ?1 3
2? n ?1?

……………10 分
? 1 ? ?1? ?3 ? ? ? 2 ? ?3? ?
n ?1

(3) 原问题等价于 k ? ?1? n ? 1 ? ? ? ?3?

? * ? ( n ? N )恒成立. ? ?

当 n 为奇数时,对任意正整数 k 不等式恒成立; 当 n 为偶数时,等价于 2k ? 1 ? ? ? ?3?
2? n ?1?

……………11 分

?1? ?? ? ? 3?

n ?1

? 3 ? 0 恒成立,

?1? 令? ? ?3?

n ?1

1 ? t , 0 ? t ? ,则等价于 2kt 2 ? t ? 3 ? 0 恒成立, 3
2

因为 k 为正整数,故只须 2k ? 1 ? ? 1 ? 3 ? 0 ,解得 0 ? k ? 12 , k ? N * , ? ? ?3? 3 所以存在符合要求的正整数 k ,且其最大值为 11. ……………14 分

20.(本小题满分 14 分)
' 解:(1)由题设知, f (x) 的定义域为 (0,?? ) , f ( x) ? a ?

b , ……………1 分 x

因为 f (x) 在 x ? e 处的切线方程为 (e ? 1) x ? ey ? e ? 0 ,

e ?1 ,且 f (e) ? 2 ? e , e b e ?1 即a ? ? ? ,且 ae ? b ? c ? 2 ? e e e
所以 f ' (e) ? ? 又 f (1) ? a ? c ? 0

…………3 分

8

解得 a ? ?1 , b ? 1 , c ? 1 . (2)由(1)知 f ( x) ? ? x ? ln x ? 1( x ? 0) , 因此, g ( x) ? x ? mf ( x) ? x ? mx ? m ln x ? m( x ? 0) ,
2 2

…………4 分

所以 g ' ( x) ? 2 x ? m ?
2

m 1 ? (2 x 2 ? mx ? m)( x ? 0) . x x

…………5 分

令 d ( x) ? 2 x ? mx ? m( x ? 0) . (ⅰ)当函数 g (x) 在 (1,3) 内有一个极值时, g ( x) ? 0 在 (1,3) 内有且仅有一个根,即
'

d ( x) ? 2 x 2 ? mx ? m ? 0 在 (1,3) 内有且仅有一个根,又因为 d (1) ? 2 ? 0 ,当 d (3) ? 0 ,
即 m ? 9 时, d ( x) ? 2 x ? mx ? m ? 0 在 (1,3) 内有且仅有一个根 x ?
2

3 ,当 d (3) ? 0 时, 2
, 所 以 有





d (3) ? 0

, 即

2 ? 32 ? 3m ? m ? 0







m?9

m?9.
'

………7 分

(ⅱ)当函数 g (x) 在 (1,3) 内有两个极值时, g ( x) ? 0 在 (1,3) 内有两个根,即二次函 数 d ( x) ? 2 x ? mx ? m ? 0 在 (1,3) 内有两个不等根,所以
2

?? ? m 2 ? 4 ? 2 ? m ? 0, ? ?d (1) ? 2 ? m ? m ? 0, ?d (3) ? 2 ? 32 ? 3m ? m ? 0, ? m ?1 ? ? 3, 4 ?
解得 8 ? m ? 9 . 综上,实数 m 的取值范围是 (8,?? ) . (3)因为 f ' ( x) ? …………8 分 …………9 分

1? x ' ,所以当 x ? 1 时,有 f ( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上为 x

减函数,因此当 x ? (1,??) 时, f ( x) ? f (1) , 即 ? x ? ln x ? 1 ? 0 , 即当 x ? (1,??) 时, ln x ? x ? 1 , 所以 0 ?

ln x x ? 1 ? 对一切 x ? (1, ??) 都成立, x x ln 2 1 所以 0 ? ? , 2 2 ln 3 2 0? ? , 3 3
9

…………11 分

0?

ln 4 3 ? , 4 4



ln 2013 2012 , ? 2013 2013 ln 2 ln 3 ln 4 ln 2012 1 2 3 2012 所以 , ? ? ??? ? ? ? ??? 2 3 4 2012 2 3 4 2013 ln 2 ln 3 ln 4 ln 2013 1 所以 . …………14 分 ? ? ??? ? 2 3 4 2013 2013 0?

10


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