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三角函数检测及答案


三角函数章节测试题
一、选择题 1. 已知 sinθ= ,sin2θ<0,则 tanθ 等于 A.-
3 4 3 4 3 4 3 5





B. D.
π
2 4 5

3 4

C.- 或

2. 若 0 < x <

,则 2x 与 3sinx 的大小关系是 ( ) B. 2 x < 3 sin x D.与 x 的取值有关
π
2

A. 2x > 3sinx C. 2 x = 3 sin x

3. 已知 α、β 均为锐角,若 P:sinα<sin(α+β),q:α+β< A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 函数 y=sinx·|cotx|(0<x<π)的大致图象是 y 1 1 O -1
π
2

,则 P 是 q 的( )





y

π

x O -1

π
2

π

x

y 1 A O -1
π
2

y 1 π x -1 O B
π
2

π

x

C

D

5. 若 f(sinx)=3-cos2x,则 f(cosx)= A.3-cos2x B.3-sin2x C.3+cos2x D.3+sin2x 6. 设 a>0,对于函数 f ( x) =





sin x + a (0 < x < π ) ,下列结论正确的是 sin x





-1-

A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值 C.有最大值且有最小值 D.既无最大值又无最小值 7. 函数 f(x)= A.在[0,
π
2

1? cos 2 x cos x

( )
? 3π ? 3π

]、 ? , π ? 上递增,在 ?π , ? 、 ? , 2π ? 上递减 ? ? ? ? 2 ? ?2 ? ? ? 2 ?
2 ? ?2 ? ? 2 ?

π

3π π 3π π B. ?0, ? 、 ? π, ? 上递增,在 ? , π ? 、 ? , π ? 上递减 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ?

C.在 ? , ? 、 ? ? ? π?
?2 ? ?

π

3π ? ? π? ? 3π ? ,π ? 上递增,在 ?0, ? 、 ? π, ? 上递减 2 2 ? ? 2 ? ? 2? ?

D.在 ?π , ?

3π ? ? π? ? 3π ? ?π ? , 2π ? 上递增,在 ?0, ? 、 ? , π ? 上递减 ? 、? 2 ? ? 2? ? 2 ? ?2 ?

8. y=sin(x-

π
12

)·cos(x-
π

π
12

),正确的是





A.T=2π,对称中心为( B.T=π,对称中心为(

,0)
12

π

,0)
12

C.T=2π,对称中心为( D.T=π,对称中心为(

π

,0)
6

π

,0)
6

9. 把曲线 y cosx+2y-1=0 先沿 x 轴向右平移

π
2

,再沿 y 轴向下平移 1 个单位,得到的曲

线方程为 ( ) A.(1-y)sinx+2y-3=0 B.(y-1)sinx+2y-3=0 C.(y+1)sinx+2y+1=0 D.-(y+1)sinx+2y+1=0 10.已知,函数 y=2sin(ωx+θ)为偶函数(0<θ<π) 其图象与直线 y=2 的交点的横坐标为 x1, x2,若| x1-x2|的最小值为 π,则 ( ) A.ω=2,θ=
1 2 1 2

π
2

B.ω= ,θ= C.ω= ,θ= D.ω=2,θ=

π
2

π
4
2 6 0 2 -2

π
4

二、填空题 11.f (x)=A sin(ωx+ ? )(A>0, ω>0)的部分如图,则 f (1) +f (2)+…+f (11)=

.

-2-

12.已 sin(

π
4

3

-x)= 5 ,则 sin2x 的值为



13. f ( x) = sin x + 2 sin x , x ∈ [0,2π ] 的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同交点,则 k 的取值范围 是 14.已知 .
2 + cot 2 θ =1,则(1+sinθ)(2+cosθ)= 1 + sin θ



15.平移 f (x)=sin(ωx+ ? )(ω>0,- ⑴ 图象关于 x=
π π

π
2

<? <

π
2

),给出下列 4 个论断:

对称
12

⑵图象关于点(
3

,0)对称

⑶ 周期是 π
π

⑷ 在[-
6

,0]上是增函数

以其中两个论断作为条件,余下论断为结论,写出你认为正确的两个命题: (1) .(2) .

三、解答题 16.已知 tan( + α ) =
4

π

sin 2 α ? cos 2 α 1 , (1)求 tan α 的值; (2)求 的值. 2 1 + cos 2 α

17. 设函数 f ( x) = a ? (b + c) , 其中 a =(sinx,-cosx), =(sinx,-3cosx),c =(-cosx,sinx), b x∈R; (1) 求函数 f(x)的最大值和最小正周期; (2) 将函数 y=f(x)的图象按向量 d 平移,使平移后的图象关于坐标原点成中心对称,求| d |最 小的 d .

18.在△ABC 中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0,求角 A、B、C 的大小.

-3-

19.设 f (x)=cos2x+2 3 sinxcosx 的最大值为 M,最小正周期为 T. ⑴ 求 M、T. ⑵ 若有 10 个互不相等的函数 xi 满足 f (xi)=M,且 0<xi<10π,求 x1+x2+…+x10 的值.

20.已知 f (x)=2sin(x+

θ
2

)cos(x+

θ
2

)+2 3 cos2(x+

θ
2

)- 3 。

⑴ 化简 f (x)的解析式。 ⑵ 若 0≤θ≤π,求 θ 使函数 f (x)为偶函数。 ⑶ 在⑵成立的条件下,求满足 f (x)=1,x∈[-π,π]的 x 的集合。

21.已知函数 f (x) =2cos2x+2 3 sinx cosx+1. (1) 若 x∈[0,π]时, f (x) =a 有两异根,求两根之和; (2) 函数 y= f (x) ,x∈[
π


6

7π ]的图象与直线 y=4 围成图形的面积是多少? 6

三角函数章节测试题参考答案 1. A 2. D 3 14. 4 3. B 4. B 5. C 6. B 7. A 8. B 9.C 10.A 11. 2+2 2 12.
7 25

13. 1<k<

15. (1) ②③ ? ①④ (2) ①③ ? ②④ tan(
1 3

16.解:(1) 解得 tan α =- (2) =

π
4

+ α )=

1 + tan α 1 = 1 ? tan α 2

sin 2α ? cos 2 α 2 sin α cos α ? cos 2 α = 1 + cos 2α 1 + 2 cos 2 α ? 1 2 sin α ? cos α 1 5 = tan α ? = ? 2 cos α 2 6

-4-

17. 解:(1)由题意得 f(x)= a ? (b + c ) =(sinx,-cosx)·(sinx-cosx,sinx-3cosx) =sin2x-2sinxcosx+3cos2x =2+cos2x-sin2x =2+ 2 sin(2x+
3π ) 4 2π =π 2

故 f(x)的最大值 2+ 2 ,最小正周期为 (2) 由 sin(2x+ 即 x=
3π 3π )=0 得 2x+ =k π 4 4

kπ 3π - ,k∈z 2 8 3π kπ - ,-2) 8 2
2

于是 d =(

kπ 3π | d |= ? ? ? + 4 ? ? ? 2 8 ?

(k∈z)
π

因为 k 为整数,要使| d |最小,则只有 k=1,此时 d =(- 18.∵ sinA(sinB+cosB)-sinC=0 ∴ sinA sinB+sinA cosB=sinA cosB+cosA sinB ∵ sinB > 0 sinA=cosA,即 tanA=1 又 0 < A<π ∴ A=
π
4

,-2)为所示.
8

,从而 C=

3π -B 4 3π -B)=0 4

由 sinB+cos2C=0,得 sinB+cos2( 即 sinB(1-2cosB)=0 ∴cosB= 1
2

B=

π
3

C=
π
6

5π 12

19. f (x ) =2sin(2x+ (1) M=2 T=π (2) ∵ f ( xi ) =2 2xi+
π

)

∴ sin(2xi+
π

π
6

)=1
π
6

=2kπ+
6 2

xi=2kπ+

(k∈z)

又 0 < xi<10π ∴ k=0, 1, 2,…9 ∴ x1+x2+…+x10=(1+2+…+9)π+10× =
140 π 3

π
6

20.解:(1) f (x)=sin(2x+θ)+ 3 cos(2x+θ)

-5-

π

=2sin(2x+θ+
3

)

(2) 要使 f (x)为偶函数,则必有 f (-x)=f (x) ∴ 2sin(-2x+θ+ π )=2sin(2x+θ+ π )
3 3

∴ 2sin2x cos(θ+ ∴ cos(θ+ (3) 当 θ=
π
3

π
3

)=0 对 x∈R 恒成立 θ= π
π
2

)=0 又 0≤θ≤π

6

π
6

时 f (x)=2sin(2x+

)=2cos2x=1

∴cos2x= 1 ∵x∈[-π,π]
2

∴x=- π 或 π
3 3

21. f (x ) =2sin(2x+

π
6

)+2

由五点法作出 y= f ( x ) 的图象(略) (1) 由图表知:0<a<4,且 a≠3 当 0<a<3 时,x1+x2= 当 3<a<4 时,x1+x2=
4π 3

π
3

(2) 由对称性知,面积为 (

1 7π π - )×4=2π. 2 6 6

五年高考荟萃 2009 年高考题 一、选择题 1.(2009 海南宁夏理,5).有四个关于三角函数的命题:

p1 : ? x ∈ R, sin 2
p3 : ? x ∈ [ 0, π ] ,
其中假命题的是 A. p1 , p4 答案 A

x 1 2 x + cos = 2 2 2

p2 : ? x、y ∈ R, sin(x-y)=sinx-siny p4 : sinx=cosy ? x+y=

1 ? cos 2 x =sinx 2

π
2

B. p2 , p4

C. p1 , p3

D. p2 , p4

2.. (2009 辽宁理, 已知函数 f ( x ) =Acos( ω x + ? )的图象如图, f ( ) =? , f (0) = 8) 则 ( )

π

2

2 3

A. ?

2 3

B.

2 3

C.-

1 2

D.

1 2

答案 C 3.(2009 辽宁文,8)已知 tan θ = 2 ,则

-6-

sin 2 θ + sin θ cos θ ? 2 cos 2 θ = (
A. ?

) C. ?

4 3

B.

5 4

3 4

D.

4 5

答案 D 4.(2009 全国 I 文,1) sin 585 °的值为 A. ? 答案

2 2
A

B.

2 2

C. ?

3 2

D.

3 2

5.(2009 全国 I 文,4)已知 tan a =4,cot β = A.

7 11
B

B. ?

7 11

1 ,则 tan(a+ β )= ( 3 7 7 C. D. ? 13 13 12 , 则 cos A = 5 12 D. ? 13



答案

6.(2009 全国 II 文,4) 已知 ?ABC 中, cot A = ? A.

12 13

B.

5 13

C. ?

解析:已知 ?ABC 中, cot A = ?

12 π ,∴ A ∈ ( , π ) . 5 2

5 13

cos A = ?

1 1 + tan A
2

=?

1 5 1 + (? ) 2 12

=?

12 13

故选 D.

7. (2009 全国 II 文, 若将函数 y = tan(ωx + 9) 与函数 y = tan(ωx + A.

π
4

)(ω > 0) 的图像向右平移


π
个单位长度后,

π
6

6

) 的图像重合,则 ω 的最小值为( 1 4
C.

1 6
D

B.

1 3

D.

1 2

答案

8.(2009 北京文) α = “

π
6

”是“ cos 2α =

1 ”的 2

A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 本题主要考查.k 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属 于基础知识、基本运算的考查. 当α =

π
6

时, cos 2α = cos

π
3

=

2α = 2kπ +

π
3

? α = kπ +

π
6

1 1 ,反之,当 cos 2α = 时, 2 2

(k ∈ Z ) ,

-7-

或 2α = 2kπ ?

π
3

? α = kπ ?

π
6

( k ∈ Z ) ,故应选 A.
1 ”的 2
( )

9.(2009 北京理) α = “

π
6

+ 2kπ (k ∈ Z ) ”是“ cos 2α =

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基 本运算的考查. 当α =

π

π? π 1 ? + 2kπ (k ∈ Z ) 时, cos 2α = cos ? 4kπ + ? = cos = 6 3? 3 2 ?
1 π π 时,有 2α = 2kπ + ? α = kπ + ( k ∈ Z ) , 2 3 6 ? α = kπ ?

反之,当 cos 2α = 或 2α = 2kπ ?

π
3

π

6

( k ∈ Z ) ,故应选 A.
12 ,则 cos A = 5 12 D. ? 13

10.(2009 全国卷Ⅱ文)已知△ABC 中, cot A = ? A.

12 13

B.

5 13

C. ?

5 13

答案:D 解析:本题考查同角三角函数关系应用能力,先由 cotA= ?

12 知 A 为钝角,cosA<0 排除 A 和 5 cos A 12 12 B,再由 cot A = = ? , 和 sin 2 A + cos 2 A = 1求得 cos A = ? 选 D sin A 5 13

11.(2009 四川卷文)已知函数 f ( x ) = sin( x ? A. 函数 f (x ) 的最小正周期为 2 π B. 函数 f (x ) 在区间[0,

π

2

)( x ∈ R ) ,下面结论错误的是 ..

π
]上是增函数

2

C.函数 f (x ) 的图象关于直线 x =0 对称 D. 函数 f (x ) 是奇函数 答案 D 解析∵ f ( x ) = sin( x ?

π
2

) = ? cos x ,∴A、B、C 均正确,故错误的是 D 12 , 则 cos A = ( ) 5 5 12 C. ? D. ? 13 13

【易错提醒】利用诱导公式时,出现符号错误。 易错提醒】 12.(2009 全国卷Ⅱ理)已知 ?ABC 中, cot A = ? A.

12 13

B.

5 13

-8-

解析:已知 ?ABC 中, cot A = ?

12 π ,∴ A ∈ ( , π ) . 5 2

cos A = ?

1 1 + tan A
2

=?

1 5 1 + (? ) 2 12

=?

12 13

故选 D.

答案 D 13.(2009 湖北卷文) “sin α = A.充分而不必要条件 C.充要条件 答案 A 解析 由 cos 2a =
1 1 ”是“ cos 2α = ” 的 ( 2 2



B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 1 1 1 2 2 可得 sin a = ± , sin a = 是 sin a = 成立的充分不必要条件, 故 故 2 2 2 4

选 A. 14.(2009 重庆卷文)下列关系式中正确的是( A. sin11 < cos10 < sin168
0 0 0 0


0 0

B. sin168 < sin11 < cos10
0 0

C. sin11 < sin168 < cos10
0 0

0

D. sin168 < cos10 < sin11

0

答案 C 解析 因为 sin160° = sin(180° ? 12° ) = sin12° , cos10° = cos(90° ? 80° ) = sin 80° , 由于正弦 函数 y = sin x 在区间 [0° ,90° ] 上为递增函数,因此 sin11 < sin12 < sin 80 ,即
° ° °

sin11° < sin160° < cos10°
15.(2009 海南宁夏理,5).有四个关于三角函数的命题:

p1 : ? x ∈ R, sin 2 p3 : ? x ∈ [ 0, π ] ,
其中假命题的是 A. p1 , p4 答案 A

x 1 2 x + cos = 2 2 2

p2 : ? x、y ∈ R, sin(x-y)=sinx-siny p4 : sinx=cosy ? x+y=

1 ? cos 2 x =sinx 2

π
2

B. p2 , p4

C. p1 , p3

D. p2 , p4

16..(2009 辽宁理,8)已知函数 f ( x) =Acos( ω x + ? )的图象如图所示, f ( ) = ?

π

2

2 ,则 3

f (0) =(



-9-

A. ? 答案

2 3
C

B.

2 3

C.-

1 2

D.

1 2
2

17.(2009 辽宁文,8)已知 tan θ = 2 ,则 sin θ + sin θ cos θ ? 2 cos θ = (
2



A. ?

4 3

B.

5 4

C. ?

3 4

D.

4 5

答案 D 18. (2009 全国 I 文,1) sin 585 °的值为 A. ? 答案

2 2
A

B.

2 2

C. ?

3 2

D.

3 2

19..(2009 全国 I 文,4)已知 tan a =4,cot β = A.

7 11
B

B. ?

7 11

C.

7 13

1 ,则 tan(a+ β )= 3 7 D. ? 13





答案

20.(2009 全国 II 文,4) 已知 ?ABC 中, cot A = ? A.

12 13

B.

5 13

C. ?

解析:已知 ?ABC 中, cot A = ?

12 π ,∴ A ∈ ( , π ) . 5 2

5 13

12 , 则 cos A = 5 12 D. ? 13

cos A = ?

1 1 + tan 2 A

=?

1 5 1 + (? ) 2 12

=?

12 13

故选 D.

21.(2009 全国 II 文,9)若将函数 y = tan(ωx + 后,与函数 y = tan(ωx + A.

π
4

)(ω > 0) 的图像向右平移


π
个单位长度

π

6

1 6
D

6 1 B. 4

) 的图像重合,则 ω 的最小值为(
C.

1 3

D.

1 2

答案

22.(2009 北京文) α = “

π
6

”是“ cos 2α =

1 ”的 2

A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 本题主要考查三角函数的基本概念、 简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、 基本

- 10 -

运算的考查. 当α =

π
6

时, cos 2α = cos

π
3

=

2α = 2kπ +

π
3

? α = kπ +

π
6

1 1 ,反之,当 cos 2α = 时, 2 2

(k ∈ Z ) ,
π
6

或 2α = 2kπ ?

π
3

? α = kπ ?

( k ∈ Z ) ,故应选 A.
1 ”的 2

23.(2009 北京理) α = “

π
6

+ 2kπ (k ∈ Z ) ”是“ cos 2α =

( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基 本运算的考查. 当α =

π

π? π 1 ? + 2kπ (k ∈ Z ) 时, cos 2α = cos ? 4kπ + ? = cos = 6 3? 3 2 ?
1 π π 时,有 2α = 2kπ + ? α = kπ + ( k ∈ Z ) , 2 3 6 ? α = kπ ?

反之,当 cos 2α = 或 2α = 2kπ ?

π
3

π

6

( k ∈ Z ) ,故应选 A.
12 ,则 cos A = 5 12 D. ? 13

24.(2009 全国卷Ⅱ文)已知△ABC 中, cot A = ? A.

12 13

B.

5 13

C. ?

5 13

答案:D 解析:本题考查同角三角函数关系应用能力,先由 cotA= ?

12 知 A 为钝角,cosA<0 排除 A 和 5 cos A 12 12 B,再由 cot A = = ? , 和 sin 2 A + cos 2 A = 1求得 cos A = ? 选 D sin A 5 13

25.(2009 四川卷文)已知函数 f ( x ) = sin( x ? A. 函数 f (x ) 的最小正周期为 2 π B. 函数 f (x ) 在区间[0,

π

2

)( x ∈ R ) ,下面结论错误的是 ..

π
]上是增函数

2

C.函数 f (x ) 的图象关于直线 x =0 对称 D. 函数 f (x ) 是奇函数 答案 D 解析∵ f ( x ) = sin( x ?

π
2

) = ? cos x ,∴A、B、C 均正确,故错误的是 D

- 11 -

【易错提醒】利用诱导公式时,出现符号错误。 易错提醒】 26.(2009 全国卷Ⅱ理)已知 ?ABC 中, cot A = ? A.

12 13

B.

5 13

解析:已知 ?ABC 中, cot A = ?

12 π ,∴ A ∈ ( , π ) . 5 2

12 , 则 cos A = ( ) 5 5 12 C. ? D. ? 13 13

cos A = ?

1 1 + tan 2 A

=?

1 5 1 + (? ) 2 12

=?

12 13

故选 D.

答案 D 27.(2009 湖北卷文) “sin α = A.充分而不必要条件 C.充要条件 答案 A 解析 由 cos 2a =
1 1 ”是“ cos 2α = ” 的 ( 2 2



B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 1 1 1 可得 sin 2 a = ± , sin a = 是 sin 2 a = 成立的充分不必要条件, 故 故 2 2 2 4

选 A. 28.(2009 重庆卷文)下列关系式中正确的是( A. sin11 < cos10 < sin168
0 0 0 0


0 0

B. sin168 < sin11 < cos10
0 0

C. sin11 < sin168 < cos10
0 0

0

D. sin168 < cos10 < sin11

0

答案 C 解析 因为 sin160° = sin(180° ? 12° ) = sin12° , cos10° = cos(90° ? 80° ) = sin 80° , 由于正弦 函数 y = sin x 在区间 [0° ,90° ] 上为递增函数,因此 sin11 < sin12 < sin 80 ,即
° ° °

sin11° < sin160° < cos10°
二、填空题 30.(2009 北京文)若 sin θ = ? 答案

4 , tan θ > 0 ,则 cos θ = 5

.

?

3 5
属于基础知识、基本运算的考查.
2 2

解析 本题主要考查简单的三角函数的运算.

3 3 ? 4? 由已知, θ 在第三象限,∴ cos θ = ? 1 ? sin θ = ? 1 ? ? ? ? = ? ,∴应填 ? . 5 5 ? 5?
31.(2009 湖北卷理)已知函数 f ( x ) = f '( ) cos x + sin x, 则 f ( ) 的值为

π

π

.

4

4

- 12 -

答案 1 解析 因为 f '( x ) = ? f '( ) ? sin x + cos x 所以 f '( ) = ? f '( ) ? sin

π

π

π

π
4

? f '( ) = 2 ? 1 故 f ( ) = f '( ) cos + sin ? f ( ) = 1 4 4 4 4 4 4
三、解答题 32(2009 江苏,15)设向量 a = (4 cos α ,sin α ), b = (sin β , 4 cos β ), c = (cos β , ?4 sin β ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(α + β ) 的值; (2)求 | b + c | 的最大值;

π

π

4

π

π

π

4

π

4

+ cos

π
4

r

r

r

r

r

r

r r

(3)若 tan α tan β = 16 ,求证: a ∥ b . 分析 本小题主要考查向量的基本概念,同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正 弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力

r

r

33.(2009广 东 卷 理 ) (本小题满分12 12分) 12 已知向量 a = (sin θ ,?2) 与 b = (1, cos θ ) 互相垂直,其中 θ ∈ (0, (1)求 sin θ 和 cos θ 的值; (2)若 sin(θ ? ? ) =

π
2

).

10 π , 0 < ? < ,求 cos ? 的值. 10 2

解: (1)∵ a 与 b 互相垂直,则 a ? b = sin θ ? 2 cos θ = 0 ,即 sin θ = 2 cos θ ,代入

sin 2 θ + cos 2 θ = 1 得 sin θ = ± 2 5 5 , cos θ = . 5 5

2 5 5 π , cos θ = ± ,又 θ ∈ (0, ) , 5 5 2

∴ sin θ =

(2)∵ 0 < ? <

π
2

,0 <θ <

π
2

,∴ ?

π
2

< θ ?? <

π
,则

2

cos(θ ? ? ) = 1 ? sin 2 (θ ? ? ) =

3 10 , 10 2 . 2

∴ cos ? = cos[θ ? (θ ? ? )] = cos θ cos(θ ? ? ) + sin θ sin(θ ? ? ) =

- 13 -

34.(2009 安徽卷理)在 ? ABC 中, sin(C ? A) = 1 , (I)求 sinA 的值; (II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积.

sinB=

1 . 3

本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识,考查运算求解能力 (Ⅰ)由 C ? A = ,且 C + A = π ? B ,∴ A =

π

π
4

2

?

B π B 2 B B ,∴ sin A = sin( ? ) = (cos ? sin ) , 2 4 2 2 2 2
C

1 1 3 ∴ sin A = (1 ? sin B) = ,又 sin A> 0 ,∴ sin A = 2 3 3
2

(Ⅱ)如图,由正弦定理得

AC BC = sin B sin A

A

B

AC sin A ∴ BC = = sin B

6? 1 3

3 3 = 3 2 ,又 sin C = sin( A + B) = sin A cos B + cos A sin B

=

3 2 2 6 1 6 × + × = 3 3 3 3 3 1 1 6 AC ? BC ? sin C = × 6 × 3 2 × =3 2 2 2 3
5 , AC = 3, sin C = 2 sin A

∴ S ?ABC =

35.(2009 天津卷文)在 ?ABC 中, BC = (Ⅰ)求 AB 的值。 (Ⅱ)求 sin( 2 A ?

π
4

) 的值。 AB BC BC = , 于是 AB = sin C = 2 BC = 2 5 sin C sin A sin A AB 2 + AC 2 ? BC 2 2 AB ? AC

(1) 在 ?ABC 中, 解: 根据正弦定理,

(2)解:在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 cos A =

于是 sin A = 1 ? cos A =
2

5 , 5 4 3 , cos 2 A = cos 2 A ? sin 2 A = 5 5

从而 sin 2 A = 2 sin A cos A =

sin(2 A ?

π
4

) = sin 2 A cos

π
4

? cos 2 A sin

π
4

=

2 10

【考点定位】本题主要考查正弦定理,余弦定理同角的三角函数的关系式,二倍角的正弦和

- 14 -

余弦,两角差的正弦等基础知识,考查基本运算能力 36.(2009 四川卷文)在 ?ABC 中, A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , 且 sin A =

5 10 ,sin B = 5 10

(I)求 A + B 的值; (II)若 a ? b =

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。
5 10 ,sin B = 5 10

解(I)∵ A、B 为锐角, sin A =

∴ cos A = 1 ? sin A =
2

2 5 3 10 , cos B = 1 ? sin 2 B = 5 10 2 5 3 10 5 10 2 × ? × = . 5 10 5 10 2

cos( A + B ) = cos A cos B ? sin A sin B =
∵ 0 < A+ B <π ∴ A+ B =

π

…………………………………………6 分

4 3π 2 ,∴ sin C = 4 2

(II)由(I)知 C =



a b c = = 得 sin A sin B sin C

5a = 10b = 2c ,即 a = 2b, c = 5b
又∵

a ? b = 2 ?1 2b ? b = 2 ? 1
a = 2, c = 5




b =1



…………………………………………12 分

37.(2009 湖南卷文)已知向量 a = (sin θ , cos θ ? 2sin θ ), b = (1, 2). (Ⅰ)若 a / / b ,求 tan θ 的值; (Ⅱ)若 | a |=| b |, 0 < θ < π , 求 θ 的值。 解: (Ⅰ) 因为 a / / b ,所以 2 sin θ = cos θ ? 2 sin θ , 于是 4sin θ = cos θ ,故 tan θ = (Ⅱ)由 | a |=| b | 知, sin

r

r

r

r

r

r

r

r

1 . 4

r

r

2

θ + (cos θ ? 2sin θ )2 = 5,
- 15 -

所以 1 ? 2sin 2θ + 4sin θ = 5.
2

从而 ?2sin 2θ + 2(1 ? cos 2θ ) = 4 ,即 sin 2θ + cos 2θ = ?1 , 于是 sin(2θ + 所以 2θ +

π
4

)=?

2 π π 9π .又由 0 < θ < π 知, < 2θ + < , 2 4 4 4

5π π 7π ,或 2θ + = . 4 4 4 4 π 3π 因此 θ = ,或 θ = . 2 4 =
38.(2009 天津卷理)在⊿ABC 中,BC= 5 ,AC=3,sinC=2sinA (I) 求 AB 的值: (II) 求 sin ? 2 A ?

π

? ?

π?

? 的值 4?

本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两 角差的正弦等基础知识,考查基本运算能力。满分 12 分 (Ⅰ)解:在△ABC 中,根据正弦定理,
sin C BC = 2 BC = 2 5 sin A
AB 2 + AC 2 ? BD 2 2 5 = 2 AB ? AC 5

AB BC = sin C sin A

于是 AB=

(Ⅱ)解:在△ABC 中,根据余弦定理,得 cosA= 于是 sinA= 1 ? cos 2 A = 从而 sin2A=2sinAcosA=
5 5

4 3 2 2 ,cos2A=cos A-sin A= 5 5

π
所以 sin(2A4

π
)=sin2Acos
4

π
-cos2Asin
4

=

2 10

39.(2009广 东 卷 理 ) (本小题满分12 12分) 12 已知向量 a = (sin θ ,?2) 与 b = (1, cos θ ) 互相垂直,其中 θ ∈ (0, (1)求 sin θ 和 cos θ 的值; (2)若 sin(θ ? ? ) =

π
2

).

10 π , 0 < ? < ,求 cos ? 的值. 10 2

解: (1)∵ a 与 b 互相垂直,则 a ? b = sin θ ? 2 cos θ = 0 ,即 sin θ = 2 cos θ ,代入

sin 2 θ + cos 2 θ = 1 得 sin θ = ±

2 5 5 π , cos θ = ± ,又 θ ∈ (0, ) , 5 5 2

- 16 -

∴ sin θ =

2 5 5 , cos θ = . 5 5

(2)∵ 0 < ? <

π
2

,0 <θ <

π
2

,∴ ?

π
2

< θ ?? <

π
,则

2

cos(θ ? ? ) = 1 ? sin 2 (θ ? ? ) =

3 10 , 10
2 . 2

∴ cos ? = cos[θ ? (θ ? ? )] = cos θ cos(θ ? ? ) + sin θ sin(θ ? ? ) = 40.(2009 安徽卷理)在 ? ABC 中, sin(C ? A) = 1 , (I)求 sinA 的值; (II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积.

sinB=

1 . 3

本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识,考查运算求解能力。 (Ⅰ)由 C ? A = ,且 C + A = π ? B ,∴ A =

π

π
4

2

?

B π B 2 B B ,∴ sin A = sin( ? ) = (cos ? sin ) , 2 4 2 2 2 2
C

1 1 3 ∴ sin A = (1 ? sin B) = ,又 sin A> 0 ,∴ sin A = 2 3 3
2

(Ⅱ)如图,由正弦定理得

AC BC = sin B sin A

A

B

AC sin A ∴ BC = = sin B

6? 1 3

3 3 = 3 2 ,又 sin C = sin( A + B) = sin A cos B + cos A sin B

=

3 2 2 6 1 6 × + × = 3 3 3 3 3 1 1 6 AC ? BC ? sin C = × 6 × 3 2 × =3 2 2 2 3

∴ S ?ABC =

41.(2009 天津卷文)在 ?ABC 中, BC = (Ⅰ)求 AB 的值。 (Ⅱ)求 sin( 2 A ?

5 , AC = 3, sin C = 2 sin A

π
4

) 的值。 AB BC BC = , 于是 AB = sin C = 2 BC = 2 5 sin C sin A sin A

(1) 在 ?ABC 中, 解: 根据正弦定理,

- 17 -

(2)解:在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 cos A =

AB 2 + AC 2 ? BC 2 2 AB ? AC

于是 sin A = 1 ? cos A =
2

5 , 5
4 3 , cos 2 A = cos 2 A ? sin 2 A = 5 5

从而 sin 2 A = 2 sin A cos A =

sin(2 A ?

π
4

) = sin 2 A cos

π
4

? cos 2 A sin

π
4

=

2 10

【考点定位】本题主要考查正弦定理,余弦定理同角的三角函数的关系式,二倍角的正弦和 余弦,两角差的正弦等基础知识,考查基本运算能力。 42.(2009 四川卷文)在 ?ABC 中, A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , 且 sin A =

5 10 ,sin B = 5 10

(I)求 A + B 的值; (II)若 a ? b =

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。
5 10 ,sin B = 5 10

解(I)∵ A、B 为锐角, sin A =

∴ cos A = 1 ? sin A =
2

2 5 3 10 , cos B = 1 ? sin 2 B = 5 10 2 5 3 10 5 10 2 × ? × = . 5 10 5 10 2

cos( A + B ) = cos A cos B ? sin A sin B =
∵ 0 < A+ B <π ∴ A+ B =

π

…………………………………………6 分

4 3π 2 ,∴ sin C = 4 2

(II)由(I)知 C =



a b c = = 得 sin A sin B sin C

5a = 10b = 2c ,即 a = 2b, c = 5b
又∵

a ? b = 2 ?1 2b ? b = 2 ? 1
a = 2, c = 5




b =1



…………………………………………12 分
- 18 -

43.(2009 湖南卷文)已知向量 a = (sin θ , cos θ ? 2sin θ ), b = (1, 2). (Ⅰ)若 a / / b ,求 tan θ 的值; (Ⅱ)若 | a |=| b |, 0 < θ < π , 求 θ 的值。 解: (Ⅰ) 因为 a / / b ,所以 2 sin θ = cos θ ? 2 sin θ , 于是 4sin θ = cos θ ,故 tan θ =

r

r

r

r

r

r

r

r

1 . 4

(Ⅱ)由 | a |=| b | 知, sin 2 θ + (cos θ ? 2sin θ ) 2 = 5, 所以 1 ? 2sin 2θ + 4sin
2

r

r

θ = 5.

从而 ?2sin 2θ + 2(1 ? cos 2θ ) = 4 ,即 sin 2θ + cos 2θ = ?1 , 于是 sin(2θ + 所以 2θ +

π
4

)=?

2 π π 9π .又由 0 < θ < π 知, < 2θ + < , 2 4 4 4

5π π 7π ,或 2θ + = . 4 4 4 4 π 3π 因此 θ = ,或 θ = . 2 4 =
44.(2009 天津卷理)在⊿ABC 中,BC= 5 ,AC=3,sinC=2sinA (I) 求 AB 的值: (II) 求 sin ? 2 A ?

π

? ?

π?

? 的值 4?

本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两 角差的正弦等基础知识,考查基本运算能力。满分 12 分。 (Ⅰ)解:在△ABC 中,根据正弦定理,
sin C BC = 2 BC = 2 5 sin A
AB 2 + AC 2 ? BD 2 2 5 = 2 AB ? AC 5

AB BC = sin C sin A

于是 AB=

(Ⅱ)解:在△ABC 中,根据余弦定理,得 cosA= 于是 sinA= 1 ? cos 2 A = 从而 sin2A=2sinAcosA=
5 5

4 3 2 2 ,cos2A=cos A-sin A= 5 5

π
所以 sin(2A4

π
)=sin2Acos
4

π
-cos2Asin
4

=

2 10

- 19 -

2005— 2005—2008 年高考题 一、选择题 1.(2008 山东)已知 a,b,c 为 △ ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量

m = ( 3, 1),n = (cos A, A) .若 m ⊥ n ,且 a cos B + b cos A = c sin C ,则角 A,B 的 ? sin
大小分别为( A. , 答案 C 解析 本小题主要考查解三角形问题.Q 3 cos A ? sin A = 0 , )

π π 6 3

B.

2π π , 3 6

C. ,

π π 3 6

D. ,

π π 3 3

∴A=

π
3

; ? sin A cos B + sin B cos A = sin 2 C ,

sin A cos B + sin B cos A = sin( A + B ) = sin C = sin 2 C ,
C=

π
2

.∴B =

π .选 C. 本题在求角 B 时,也可用验证法. 6

2.(2008 海南、宁夏)

3 ? sin 70o =( 2 ? cos 2 10o
C. 2



A.

1 2

B.

2 2

D.

3 2

答案 C

解析

3 ? sin 70o 3 ? cos 20o 3 ? (2 cos 2 20o ? 1) = = = 2 ,选 C 2 ? cos 2 10o 2 ? cos 2 10o 2 ? cos 2 10o

) 3.(2007 北京)已知 cos θ ? tan θ < 0 ,那么角 θ 是( A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 答案 C

4.(2007 重庆)下列各式中,值为

3 的是( 2
2 o 2



A. 2 sin15 cos15 C. 2sin 15 ? 1
2 o

o

o

B. cos 15 ? sin 15
2 o 2

o

D. sin 15 + cos 15

o

答案 B 5.(2007 江西)若 tan α = 3 , tan β = A. ?3 答案 D B. ?

1 3

4 ,则 tan(α ? β ) 等于( 3 1 C. 3 D. 3



- 20 -

6.(2007 全国 I) α 是第四象限角, tan α = ? A.

1 5

B. ?

1 5

C.

5 13

5 ,则 sin α = ( 12 5 D. ? 13



答案 D 7.(2006福建)已知 A.

1 7

π 3 则 π 等于 ( α ∈ ( , π ), sin α = , tan(α + ) 2 5 4 1 B. 7 C. ? D. ?7 7



答案 A 8.(2006年湖北)若△ ABC 的内角 A 满足 sin 2 A =

2 ,则 sin A + cos A =( ) 3
D. ?

A.

15 3

B. ?

15 3

C.

5 3

5 3

答案 A 9.(2005 全国 III)已知 α 为第三象限角,则 A.第一或第二象限 C.第一或第三象限 答案 D

α
所在的象限是

2

B.第二或第三象限 D.第二或第四象限

10.(2005 全国 I)在 ?ABC 中,已知 tan ① tan A ? cot B = 1 ③ sin 2 A + cos 2 B = 1 其中正确的是( A.①③ 答案 B 二、填空题 ) B.②④

A+ B = sin C ,给出以下四个论断: 2
② 0 < sin A + sin B ≤

2

④ cos 2 A + cos 2 B = sin 2 C

C.①④

D.②③

11.(2008 山东)已知 a,b,c 为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量 m=( 3 ,?1 ) n , =(cosA,sinA).若 m⊥n,且 acosB +bcosA=csinC,则角 B=

π
答案

6
解析 本题考查解三角形

3 cos A ? sin A = 0 , A =

π
3

, sin A cos B + sin B cos A = sin C sin C ,

sin A cos B + sin B cos A = sin( A + B) = sin C = sin 2 C , C =

π
2

.∴B =

π


6

(2007 湖南)在 △ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若 a = 1 , b= 7 ,

c = 3 ,C =

π ,则 B = 3



- 21 -

答案

5π 6

12.(2007 北京)2002 年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代 数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小 正方形拼成的一个大正方形(如图) .如果小正方形的面积为 1,大正方形 的面积为 25,直角三角形中较小的锐角为 θ ,那么 cos 2θ 的值等于

答案

7 25

13. (2006 年上海春卷) 在△ ABC 中, 已知 BC = 8,

AC = 5 , 三角形面积为 12, cos 2C = 则

答案

7 25

三、解答题

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 , 14.(2008 北京)已知函数 f ( x) = cos x
(1)求 f ( x ) 的定义域; (2)设 α 是第四象限的角,且 tan α = ?

π

4 ,求 f (α ) 的值. 3

π

解: (1)依题意,有 cosx≠0,解得 x≠kπ+ 即 f ( x) 的定义域为{x|x∈R,且 x≠kπ+



π
2

2
,k∈Z}

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 =-2sinx+2cosx∴ f (α ) =-2sinα+2cosα (2) f ( x) = cos x 4 4 3 由 α 是第四象限的角,且 tan α = ? 可得 sinα=- ,cosα= 3 5 5 14 ∴ f (α ) =-2sinα+2cosα= 5
15.(2008 江苏)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始边做两个锐角 α , β ,它们的 终边分别与单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分别为

π

2 2 5 , 10 5
(1) 求 tan(α + β ) 的值; 解 (2) 求 α + 2 β 的值

本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公

- 22 -

式。由条件得 cos α =

2 2 5 , Qα 为锐角, , cos β = 10 5 7 2 5 。同理可得 sin β = , 10 5
1 。 2

故 sin α > 0且 sin α =

因此 tan α = 7, tan β =

=-1 , 1 1 ? (?3) × 2 π π 3π 3π ,从而 α + 2 β = 。 Q 0 < α < , 0 < β < , ∴ 0 < α + 2β < 2 2 2 4
16. ( 2007 安 徽 ) 已 知 0 < α <

1 7+ tan α + tan β 2 =-3 = (1) tan(α + β ) = 1 ? tan α tan β 1 ? 7 × 1 2 1 ?3 + 2 (2) tan(α + 2 β ) = tan[(α + β ) + β ] =

π π? ? ,β 为 f ( x) = cos ? 2 x + ? 的 最 小 正 周 期 , 4 8? ?

? 1 ? ? 2 cos 2 α + sin 2(α + β ) ? a = ? tan ? α + β ?, 1?, b = (cos α, ,且 a b = m .求 ? 2) · 的值. 4 ? cos α ? sin α ? ? ?
解:因为 β 为 f ( x ) = cos ? 2 x +

? ?

π? ? 的最小正周期,故 β = π . 8?

因 a b = m ,又 a b = cos α tan ? α + · · ·

? ?

1 ? β ??2. 4 ?

故 cos α tan ? α + · 由于 0 < α <

? ?

1 ? β ? = m+2. 4 ?

π ,所以 4

2 cos 2 α + sin 2(α + β ) 2 cos 2 α + sin(2α + 2 π) = cos α ? sin α cos α ? sin α 2 cos 2 α + sin 2α 2 cos α (cos α + sin α ) = = cos α ? sin α cos α ? sin α
= 2 cos α

1 + tan α π? ? = 2 cos α tan ? α + ? = 2(2 + m) · 1 ? tan α 4? ?

ur r m = ?1, 3 , n = ( cos A,sin A)
- 23 -

(

)

17.(2006年四川卷)已知B , C A, 且m?n =1 (Ⅰ)求角 A ;

三角形 ?ABC 三内角,向量,

ur r

1 + sin 2 B = ?3 2 2 (Ⅱ)若 cos B ? sin B ,求 tan B
解: (Ⅰ)∵ m ? n = 1 ∴

ur r

( ?1, 3 ) ? ( cos A,sin A) = 1
π? 1 ? sin ? A ? ? = 6? 2 ?

即 3 sin A ? cos A = 1

? 3 1? 2 ? sin A ? ? cos A ? ? = 1 ? ? 2 2? ? ,

0 < A <π,?


π
6

< A?

π
6

<

5π 6

A?


π
6

=

π
6


A=

π
3

1 + 2 sin B cos B = ?3 2 2 2 2 (Ⅱ)由题知 cos B ? sin B ,整理得 sin B ? sin B cos B ? 2 cos B = 0
∴ cos B ≠ 0 ∴ tan B ? tan B ? 2 = 0
2

∴ tan B = 2 或 tan B = ?1 而 tan B = ?1 使 cos B ? sin B = 0 ,舍去
2 2

∴ tan B = 2

tan A + tan B = ? 2 + 3 8 + 5 3 = tan C = tan ?π ? ( A + B ) ? = ? tan ( A + B ) = ? 1 ? tan A tan B ? ? 1? 2 3 11 ∴

- 24 -


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