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三角函数的图像和性质知识点及例题讲解


三角函数的图像和性质
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法) : 正弦函数 y=sinx,x∈[0,2π ]的图象中,五个关键点是:(0,0) ( 余弦函数 y=cosx x?[0,2?]的图像中,五个关键点是:(0,1) (

? ,1) 2

(?,0) (

3? ,-1) (2?,0) 2

r />
? 3? ,0) (?,-1) ( ,0) 2 2

(2?,1)

2、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 性 函 质 数 y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图 象

定 义 域 值 域 当 最 值

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

? ?1,1?
x ? 2 k? ?

? ?1,1?
时 , 当 x ? 2k? 时,

R

?
2

ymax ? 1;当 x ? 2k? ?
时, ymin ? ?1 .

?
2

ymax ? 1;当 x ? 2k? ? ?
既无最大值也无最小值 时, ymin ? ?1 .

周 期 性 奇 偶 性

2?

2?

?

奇函数

偶函数

奇函数

在 ? 2 k? ? 单 调 性

? ?

?
2

, 2 k? ?

??
2? ?

在 ? 2 k ? ? ? , 2 k? ? 上 是 增 函 数; 在 ? k? ?

上是增函数; 在 ? 2 k? ?

? ?

?
2

, 2 k? ?

3? ? 2 ? ?

在 ? 2 k? , 2 k? ? ? ? 上 是 减 函 数.

? ?

?
2

, k? ?

??
? 2?

上是增函数.

上是减函数. 对 称 性 对称中心 ? k? , 0 ? 对称轴 x ? k? ? 对称中心 ? k? ? 对称轴 x ? k?
-1-

?
2

? ?

?

? ,0? 2 ?

对称中心 ? 无对称轴

? k? ? ,0? ? 2 ?

例作下列函数的简图 (1)y=|sinx|,x∈[0,2π],

(2)y=-cosx,x∈[0,2π]

例利用正弦函数和余弦函数的图象,求满足下列条件的 x 的集合:

(1) sin x ?

1 2

(2) cos x ?

1 2

3、周期函数定义:对于函数 y ? f ( x) ,如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时, 都有: f ( x ? T ) ? f ( x) ,那么函数 y ? f ( x) 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期。 注意: 周期 T 往往是多值的(如 y ? sin x 2?,4?,?,-2?,-4?,?都是周期)周期 T 中最小的正数叫做

y ? f ( x) 的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期) y ? sin x , y ? cos x 的最小正周期为 2? (一
般称为周期) 正弦函数、余弦函数: T ?
例求下列三角函数的周期:

2? ? 。正切函数: ? ?
2? y=cos2x 3? y=3sin(
x ? + ) 2 5

1? y=sin(x+

? ) 3

4? y=tan3x

例求下列函数的定义域和值域: (1) y ? 2 ? sin x (2) y ?

?3sin x

(3) y ? lg cos x

例 5 求函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) 的单调区间

-2-

例不求值,比较大小 (1)sin(-

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? ? )、sin(- ); 18 10 ? ? ? ? 解:(1)∵- <- <- < . 10 18 2 2 ? ? 且函数 y=sinx,x∈[- , ]是增函数 2 2 ? ? ∴sin(- )<sin(- ) 10 18 ? ? 即 sin(- )-sin(- )>0 18 10

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23? 17? )、cos(- ). 5 4 3? 23? 23? (2)cos(- )=cos =cos 5 5 5 17? 17? ? cos(- )=cos =cos 4 4 4 ? 3? ∵0< < <π 5 4
(2)cos(- 且函数 y=cosx,x∈[0,π ]是减函数

3? ? <cos 5 4 3? ? 即 cos -cos <0 5 4 23? 17? ∴cos(- )-cos(- )<0 5 4
∴cos

4、函数 y ? ? sin ?? x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0 ? 的图像: (1)函数 y ? ? sin ?? x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0 ? 的有关概念: ①振幅: ? ; (2) 振幅变换 ①y=Asinx, x?R(A>0 且 A?1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1) 到原来的 A 倍得到的
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②周期: ? ?

2?

?



③频率: f ?

1 ? ; ? ? 2?

④相位: ? x ? ? ; ⑤初相: ? .

②它的值域[-A, A]

最大值是 A, 最小值是-A
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③若 A<0 可先作 y=-Asinx 的图象 ,再以 x 轴为对称轴翻折

A 称为振幅,这一变换称为振幅变换
(3) 周期变换

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①函数 y=sinω x, x?R (ω >0 且ω ?1)的图象,可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω >1)或伸 长(0<ω <1)到原来的
1

?

倍(纵坐标不变)
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②若ω <0 则可用诱导公式将符号“提出”再作图 ω 决定了函数的周期,这一变换称为周期变换 (4) 相位变换
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一般地,函数 y=sin(x+ ? ),x∈R(其中 ? ≠0)的图象,可以看作把正弦曲线上所有点向左(当 ? >0 时)或向右(当 ? <0 时=平行移动| ? |个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向: “加左” “减右”)
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-3-

y=sin(x+ ? )与 y=sinx 的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样,这一变换称为相位变

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5、小结平移法过程(步骤)

作 y=sinx(长度为 2?的某闭区间) 沿 x 轴平 移|φ|个单位 得 y=sin(x+φ) 横 坐 标伸 长 或缩 短 横坐标 伸长或缩短 得 y=sinωx 沿 x 轴平 移|

? 1 得 y=sin(ωx+φ) ? ?
纵坐标伸 长或缩短

? |个单位 ?

得 y=sin(ωx+φ) 纵坐标伸 长或缩短

得 y=Asin(ωx+φ)的图象,先在一 个周期闭区间上再扩充到 R 上。

6、函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ,当 x ? x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x ? x2 时,取得最大值为 ymax , 则??

1 1 ? ? ymax ? ymin ? , ? ? ? ymax ? ymin ? , ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? . 2 2 2
? 的一段图象, 2
图e

例 如图 e,是 f(x)=Asin(ω x+φ ) ,A>0,|φ |< 则 f(x)的表达式为
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如图 b 是函数 y=Asin(ω x+φ )+2 的图象的一部分,它的振幅、周期、初相各是(

)

4? 3 4? B A=1,T= 3 2? C A=1,T= 3 4? D A=1,T= 3
A A=3,T=
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? 6 3? ,φ =- 4 3? ,φ =- 4 ? ,φ =- 6
,φ =-

例 画出函数 y=3sin(2x+

? ),x∈R 的简图 3

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-4-

解:(五点法)由 T=

x
2x+

? 3

3sin(2x+

? ) 3
? ?

2? ,得 T=π 2 ? ? – 12 6 ? 0 2
0 3

列表:

? 3
π 0

7? 12 3? 2
–3

5? 6
2π 0

例求函数 y ? tan? 3 x ? 解:由 3x ?

??

? 的定义域、值域,并指出它的周期性、奇偶性、单调性 3?
得x ?

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?
3

? k? ?

?
2

k? 5? , ? 3 18

k? 5? ? ? ? , k ? z? ?所求定义域为 ? x | x ? R, 且x ? 3 18 ? ?
值域为 R,周期 T ? 在区间 ?

?
3

,是非奇非偶函数

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? k? ? k? 5? ? ? , ? ??k ? z ? 上是增函数 ? 3 18 3 18 ?
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例 已知函数 y=sin2x+ 3 cos2x-2

(1)用“五点法”作出函数在一个周期内的图象 (2)求这个函数的周期和单调区间 (3)求函数图象的对称轴方程 (4)说明图象是由 y=sinx 的图象经过怎样的变换得到的
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解:y=sin2x+ 3 cos2x-2=2sin(2x+ (1)列表

? )-2 3

x

?

?
6

2x ?

?
3

0

y ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 3
其图象如图示 (2) T ? 由-

?

? 12 ? 2
0

? 3

?
-2

7 ? 12 3 ? 2
-4

5 ? 6
2? -2

-2

? ? ? +2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ ,知函数的单调增区间为 2 3 2 5 ? [- π +kπ , +kπ ],k∈Z 12 12 ? ? 3 由 +2kπ ≤2x+ ≤ π +2kπ ,知函数的单调减区间为 2 3 2
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2? =π 2

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-5-

? ? +kπ , π +kπ ],k∈Z 12 12 ? k ? ? (3)由 2x+ = +kπ 得 x= + π 12 2 3 2 ? k ∴函数图象的对称轴方程为 x= + π ,(k∈Z) 12 2 ? ? (4)把函数 y1=sinx 的图象上所有点向左平移 个单位,得到函数 y2=sin(x+ )的图象; 3 3 1 ? 再把 y2 图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),得到 y3=sin (2x+ )的图象; 2 3 ? 再把 y3 图象上各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),得到 y4=2sin (2x+ )的图象; 3 ? 最后把 y4 图象上所有点向下平移 2 个单位,得到函数 y=2sin (2x+ )-2 的图象 3

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