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高中数学教案精选--正态分布1


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1?两点分布: 2?超几何分布:
X
0

X P …

0 1-p

1 p …
n

0
C M C N ?M CN
n n 1

1
C M C N ?M CN
n n ?1
<

br />k
C M C N ?M CN
n k n?k

n
C M C N ?M CN
n 0

P





3?二项分布:
X P 0
Cnp q
0 0 n

1
Cnp q
1 1 n-1

… …
k

k
Cn p q
k n ?k

… …
n

n
Cn p q
n 0

4.由函数 y

? f ( x ) 及直线 x ? a , x ? b , y ? 0y
b

围成的曲边梯形的面积S=_________; ? a f ( x )d x
O a b x

高尔顿板模型

高尔顿钉板 这是英国生物统计学家高 尔顿设计的用来研究随机现象的模型, 称为高尔顿钉板(或高尔顿板)。

导入

高尔顿板模型与试验

高尔顿板.exe

频率 组距

以球槽的编号为横坐 标,以小球落入各个 球槽内的频率值为纵 坐标,可以画出“频 率分布直方图”。

随着重复次数的增加, 直方图的形状会越来 越像一条“钟形”曲线。

11

正态分布密度曲线(简称 正态曲线)
Y

“钟形”曲线 函数解析式为:
X
? ( x?m ) 2s
2 2

0

?m ,s ( x) ?

1 2?s

e

x ? (??,??)

式中的实数m、s是参数 表示总体的平均数与标准差

思考:你能否求出小球落

在(a, b]上的概率吗?
0 a b

若用X表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时的 坐标,则X是一个随机变量.X落在区间(a,b]的概率(阴 影部分的面积)为:

P (a ? X ? b) ?

?

b

a

? m ,s ( x ) dx

1.正态分布定义
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
P (a ? X ? b) ?

y

则称X 的分布为正态分布. 正态分布由参数m、s 唯一确定, m、s分别表示总体的平均数与标准差. 正态分布记作N( m,s2).其图象称为正态曲线. 如果随机变量X服从正态分布,则记作: X~N(m,s2) 。(EX= m DX= s )

?

b a

? m ,s ( x ) d x

0

a

b

x

在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从 正态分布:

在生产中,在正常生产条件下各种产品的质量指标;
在测量中,测量结果; 在生物学中,同一群体的某一特征;……; 在气象中,某地每年七月份的平均气温、平均湿度
以及降雨量等,水文中的水位;

总之,正态分布广泛存在于自然界、生 产及科学技术的许多领域中。

正态分布在概率和统计中占有重要地位。

2.正态曲线的性质
? m ?s ( x ) ?
y
μ= -1 σ=0.5

1 2? s

?

(x?m ) 2s
2

2

e
y

, x ? (?? , ?? )
y

μ=0

μ=1

σ=1

σ=2

-3 -2 -1 0

1 2

x

-3 -2 -1 0

1 2

3

x

-3 -2 -1 0

1

2 3

4x

具有两头低、中间高、左右对称的基本特征

2.正态曲线的性质
? m ?s ( x ) ?
y μ= -1 σ=0.5

1 2? s

?

(x?m ) 2s
2

2

e
y

, x ? (?? , ?? )
y μ=1

μ=0 σ=1

σ=2 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x

-3 -2 -1 0

x=m

1 2

x

-3 -2 -1 0

x=m

1 2 3 x

(1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交. (2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称. 1 (3)曲线在x=μ处达到峰值(最高点) σ 2π (4)曲线与x轴之间的面积为1。

x=m

(5)方差相等、均数不等的正态分布图示
μ=0 μ= -1 μ= 1

σ=0.5

若s 固定, 随m值 的变化而 沿x轴平 移, 故 m 称为位置 参数;

m3

m1

m2

(6)均数相等、方差不等的正态分布图示
s=0.5

μ=0

s=1

若 m 固定, s 大 时, 曲线“矮而 胖”; s 小时, 曲线 “瘦而高”, 故 s 称 为形状参数。 s=2

m
σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散; σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.

正态曲线下的面积规律(重要) 概率
?X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。
? 对称区域面积相等。

S(-?,-X)

S(X,?)=S(-?,-X)

X=m

正态曲线下的面积规律(重要) 概率
? 对称区域面积相等。

S(-x1, -x2)

S(x1,x2)=S(-x2,-x1)

-x1 -x2

X=m

x2 x1

3.特殊区间的概率:
若X~N ( m , s ),则对于任何实数a>0,概率
2

P(m ? a ? x ≤ m ? a) ?

?m

m ?a
?a

? m ,s ( x )dx

x=μ

m-a

m+a

特别地有(熟记)
P ( m ? s ? X ? m ? s ) ? 0 .6 8 2 6 , P ( m ? 2 s ? X ? m ? 2 s ) ? 0 .9 5 4 4 , P ( m ? 3s ? X ? m ? 3s ) ? 0 .9 9 7 4 .

P ( m ? s ? X ? m ? s ) ? 0 .6 8 2 6, P ( m ? 2 s ? X ? m ? 2 s ) ? 0 .9 5 4 4, P ( m ? 3s ? X ? m ? 3s ) ? 0 .9 9 7 4 .

我们从上图看到,正态总体在 ? m ? 2s , m ? 2s ? 以外取值的概率只有4.6%,在? m ? 3s , m ? 3s ?以外 取值的概率只有0.3 %。
当 a ? 3s 时正态总体的 X 取值几乎总取值于区 由于这些概率值很小(一般不超过5 % ), 间 ( m ? 3s , m ? 3s ) 之内,其他区间取值几乎不可能.在 通常称这些情况发生为小概率事件。 实际运用中就只考虑这个区间,称为 3 s 原则.

4.应用举例
例1:若X~N(5,1),求P(6<X<7).
0.683

例2:在某次数学考试中,考生的成绩 ? 服从一个

? 正态分布,即

~N(90,100).

(1)试求考试成绩 ? 位于区间(70,110)上的概率是 多少? 0.954 (2)若这次考试共有2000名考生,试估计考试成绩 在(80,100)间的考生大约有多少人?

0.3415*2000=683

练一练:
1、若X~N(μ,σ2),问X位于区域(μ ,μ +σ ) 内的概率是多少? 解:由正态曲线的对称性可得,
P (m ? x ? m ? s ) ? 1 2 P ( m ? s ? x ? m ? s ) ? 0 .3 4 1 3

练一练:
2、已知X~N (0,1),则X在区间 ( ? ? , ? 2 ) 内取值的概率 A、0.9544 B、0.0456 C、0.9772 D、0.023 , D

3、设离散型随机变量X~N(0,1),则 P ( X ? 0 ) = 0.5
P ( ? 2 ? X ? 2) =

0.954

.

4、若已知正态总体落在区间 (0 .3, ? ? ) 的概率为0.5,则 0.3 相应的正态曲线在x= 时达到最高点。 5、已知正态总体的数据落在(-3,-1)里的概率和落 在(3,5)里的概率相等,那么这个正态总体的数学 1 期望是 。

归纳小结
1.正态曲线及其特点; 2.正态分布及概率计算; 3.3s原则。


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