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2013程稼夫.力学-第3.1节牛顿运动定律


两角和与差 cos ?? ? ? ? ? cos? ?cos? ? sin? ? ? sin cos ?? ? ? ? ? cos? ?cos? ? sin? ? ? sin sin ?? ? ? ? ? sin? ?cos? ? cos? ? ? sin tan ?? ? ? ? ? ? tan? ? tan? ? / ?1 ? tan? ?tan? ? tan ?? ? ?

? ? ? tan? ? tan? ? / ?1 ? tan? ?tan? ?

和差化积公式 sin? ? sin? ? 2sin ??? ? ? ? / 2 ? cos ??? ? ? ? / 2 ? ? ? ? ? sin? ? sin? ? 2cos ??? ? ? ? / 2 ? sin ??? ? ? ? / 2 ? ? ? ? ? cos? ? cos? ? 2cos ??? ? ? ? / 2 ? cos ??? ? ? ? / 2 ? ? ? ? ? cos? ? cos? ? ?2sin ??? ? ? ? / 2 ? sin ??? ? ? ? / 2 ? ? ? ? ?

积化和差公式 sin? ?cos? ? ?1/ 2 ? ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ? ? cos? ? ? ? ?1/ 2 ? ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? ? cos? ?cos? ? ?1/ 2 ? ?cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? ? ? sin? ? ? ? ? ?1/ 2 ? ?cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? sin ? ?

万能公式 sin ? a ? ? ? 2tan ? a / 2 ? ? / ?1 ? tan ? a / 2 ? ? ? ? ? ?
2

cos ? a ? ? ?1 ? tan ? a / 2 ? ? / ?1 ? tan ? a / 2 ?? ? ? ? ?
2 2

tan ? a ? ? ? 2tan ? a / 2 ? ? / ?1 ? tan ? a / 2 ? ? ? ? ? ?
2

倍角公式 sin ? 2? ? ? 2sin? ?cos? ? 2 / ? tan? ? cot? ? cos(2? ) ? (cos? ) ? ( sin? )
2 2 2 2 2

? 2(cos? ) ? 1 ? 1 ? 2( sin? ) tan(2? ) ? 2tan? / [1 ? (tan? ) ]
2

3.1牛顿运动定律及其应用

第三节 牛顿运动定律
若物体 不受外力作用,其运动状态不变 ( a = 0 ) 。

2-3
a

物体所获得的加速度

的大小与物体所受的 成反比,

合外力

Newton’s law of motion 加速度的方向与合外力的方向相同。 a
定律表达式

的大小成正比, 与物体的质量

a and its application

两物体间的相互作用力总是等值反向, 且在同一直线上。
1–2 2–1

应用:
运用牛顿运动定律时应注意理解并掌握一些基本方法 牛顿第二运动定律说明了力是产生加速度的原因 ( a = F / m ) ,注意 1. 这个力是合外力,内力不能产生加速度; 2. 力与加速度是瞬时关系,某时刻有力,该时刻 就一定有加速度。 3. 力与加速度是矢量关系,有对应的坐标投影式,
例如 直角坐标投影式
x

ax ,

y
τ

ay

,

z n

az an

自然坐标投影式

aτ ,

牛顿运动定律将质点运动规律进一步与力联系起来, 属动力学问题。质点动力学中也有两类基本问题
一般方法

动力学两类问题

第 一 类

第 二 类
例如
已知 及 或 求得 和



时的

常用的分析方法与步骤
定对象 随堂练习 看运动

随堂练习一
查受力

列方程

常用的分析方法与步骤
定对象 随堂练习 看运动

续练习一
查受力

列方程

匀角速椭圆运动

F 恒与 r 反向

随堂练习二

随堂练习三
F 关电门,

当车速达 25 m/s 时 运行多远,车速减至 10 m/s 则总阻力


设 列车质量为
单位质量受总阻力
关电门时


,x = 0, v 0= 25 m/s ; v = 10 m/s 时 x = ? 0 需要将速度是时间的函数转换成速度是坐标的函数去求解 dv dv dx dv v d ( 0. 5 v ) d (2. 5 + 0. 5 v )

dv dt

dv dt

dt



x
0

dx

dx dt dx dx d (2. 5 + 0. 5 v ) dx d (2. 5 + 0. 5 v ) 10

dx

25

积 分 得

x

102×ln(2.5+0.5v2)25

10

179 (m)

随堂练习四

随堂小议 (1)一定处于静
在惯性参考
止状态,因为其加

速度为零;
(2)不一定处于 静止状态,因为加 速度为零只说明其

系中,若物体
受到的合外力 为零,则物体
(请点击你要选择的项目)

速度不变。

选项1链接答案 (1)一定处于静
在惯性参考
止状态,因为其加

速度为零;
(2)不一定处于 静止状态,因为加 速度为零只说明其

系中,若物体
受到的合外力 为零,则物体
(请点击你要选择的项目)

速度不变。

选项2链接答案 (1)一定处于静
在惯性参考
止状态,因为其加

速度为零;
(2)不一定处于 静止状态,因为加 速度为零只说明其

系中,若物体
受到的合外力 为零,则物体
(请点击你要选择的项目)

速度不变。

作业
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2- 12

2- 18

2- 22 2- 25 2- 28

§三 质心 质心运动定理 §1 质心 §2 质心参考系 §3 质心运动定理

高速闪光灯拍摄的扳手在光滑桌面上作运动的情况

§1

质心

? ? ? 若令系统总动量 p ? ? mi vi ? mvc 其中 m ? ? mi ? m1 ? m2 ? ??为质点系的总质量
? ? drc 如何确定这个 vc ? 点的位置? dt ? dri ? ? mi vi ? mi ? ? dt ? ? mi dri vc ? ? m m mdt

运动员跳水

投掷手榴弹

水平上抛三角板

质点系的整体运动可以等效为一个假想质点C 的运动。

? ? dri vi ? dt
? rc ?

? ? mi ri m

? rc ?

? ? m i ri
n i ?1 n

点C的位矢是质点系各质 点位矢的质量加权平均。 质心(质量中心):质点系 质量分布的平均位置。 对两质点系统,质心位 置总满足关系式:m1d1 = m2d2 C m1 m2 × d2 d1 o

?m
i ?1
n i i

i

直角坐标系中,各分量的表达式
xc ?

?m x
i ?1 n

n

i i

?m
i ?1

, yc ?

?m y
i ?1 n i

n

i

i

?m
i ?1

, zc ?

?m z
i ?1 n

i

?m
i ?1

i

·

·

例:任意三角形的每个顶点有一质量m,求质心。 y mx1 ? mx2 ? 0 (x1, y1)

xc ?

3m

x1 ? x2 ? 3

o

x2

x

my1 ? 0 ? 0 y1 yc ? ? 3m 3

对质量连续分布的物体, ? 将其分为n个小质元 rc ?
直角坐标系中的分量表达式

? r ?m
i ?1 i

n

i

m

1 ? ? ? rdm m

1 1 1 xc ? ? xdm, yc ? ? ydm, zc ? ? zdm m m m m m m dm 线分布: ? dl 面分布: ? dS 体分布:dm ? dV dm S V l
?坐标系的选择不同,质心的坐标也不同; ?密度均匀,形状对称的物体,其质心在物体的几何中心处; ?质心不一定在物体上,例如:圆环的质心在圆环的轴心上。

例:求半径为R的半球形球壳的质心 解:根据对称性,细环的质心位于y轴。 如图将球壳细分成无数多细环,细环 半径记为r,设球壳质量面密度为?, 则其中任一细环的质量为

r ? R sin ?

r

y ? R cos ?

? R

o
2

d m ? ? ( 2? r ? d l ) ? ? ( 2? r ? R d ? ) ? ? ? 2? R sin? d ?
半球壳的总质量为

m ? ? d m ? ? ? 2? R
半球壳质心的位置

2

?

?

2 0

sin ? d ? ? ? ? 2? R
?
2 0 3

2

xc ? 0,

yc

? ydm ? ? ?
m

? 2? R sin? cos ? d? ? 2? R
2

1 ? R 2

例:计算如图所示的面密度σ为恒量的直角三角形的质心的位置。 解:取如图所示的坐标系 取微元ds=dxdy,质量为dm=σds=σdxdy ∴ 质心的x 坐标为

xc

? xdm ? ?? x? dxdy ? ?? xdxdy ? ? dm ?? ? dxdy ?? dxdy
b

从图中看出三角形斜边的方程为

a 2 ? x(a ? x)dx 2 ? ? ydxdy 0 b a xc ? 0 0 ? 同理 yc ? ab ab 3 1 2 a 3 2 2 2 2( ab ? b ) (ab ? ab ) b ?b a? 2 3b 3 ? ? ? ∴ 质心的坐标为 ? , ? ab ab 3 ? 3 3?

a y?a? x b

1 ab 2

? (? xdy)dx a ? ? x(a ? x)dx b
a a? x b b


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