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2014届高三数学辅导精讲精练43


2014 届高三数学辅导精讲精练 43
1.图中阴影部分可用下列哪一个二元一次不等式组表示 ( )

?y≤-1, A.?x≤0, ?2x-y+2≥0 ?y≥-1, C.?x≤0, ?2x-y+2≥0
答案 解析 C

?y≤-1, B.?x≥0, ?2x-y+2≤0 ?y≥-1, D.?x≥0, ?2x-y+2≤0

r />
将点(0,0)代入 2x-y+2,得 2>0.

?3x-2y-2>0, 2.不等式?x+4y+4>0, ?2x+y-6<0
A.3 C.5 答案 解析 6=0. D

的整数解的个数为

(

)

B.4 D.6

如图所示,作直线 l1:3x-2y-2=0,l2:x+4y+4=0,l3:2x+y-

在直角坐标平面内画出满足不等式组的区域,此三角形区域内整数点(2,1), (2,0),(1,0),(1,-1),(2,-1)(3,-1)即为原不等式组的整数解.

?2x+y-2≥0, 3.(2012· 天津)设变量 x,y 满足约束条件?x-2y+4≥0, ?x-1≤0,
3x-2y 的最小值为 A.-5 C.-2 答案 解析 B B.-4 D.3

则目标函数 z=

(

)

不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分,作辅助线 l0:3x-

2y=0,平移 l0,结合图形可知,当直线 3x-2y=z 平移到过点(0,2)时,z=3x- 2y 的值最小,最小值为-4,选择 B.

?x+2y-5≤0, 4.(2011· 山东文)设变量 x,y 满足约束条件?x-y-2≤0, ?x≥0,
=2x+3y+1 的最大值为 A.11 C.9 答案 解析 B B.10 D.8.5

则目标函数 z

(

)

2 z-1 画出不等式组表示的平面区域如图,由目标函数得 y=-3x+ 3 ,

2 z-1 根据目标函数的几何意义,显然当直线 y=-3x+ 3 在 y 轴上的截距最大时 z 最大, 故在图中的点 A 处目标函数取得最大值, A(3,1), 点 所以 zmax=2×3+3×1 +1=10.

5 . (2011· 东 理 ) 已 知 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 上 的 区 域 D 由 不 等 式 组 广

?0≤x≤ ?y≤2, ?x≤ 2y
A.3

2, 给定.若 M(x,y)为 D 上的动点,点 A 的坐标为( 2,1),则 z

→ OA → =OM· 的最大值为 B.4 D.4 2

(

)

C.3 2 答案 解析 B

→ OA → 画出区域 D,如图中阴影部分所示,而 z=OM· = 2x+y,∴y=- 2x +z.令 l0∶y=- 2x,将 l0 平移到过点( 2,2)时,截距 z 有最大值,故 zmax= 2 × 2+2=4.

?y≥x, 6.已知 x,y 满足不等式组?x+y≤2 ?x≥a,
3 倍,则 a= A.0 2 C.3 答案 B 1 B.3

,且 z=2x+y 的最大值是最小值的

(

)

D.1

解析

依题意可知 a<1.作出可行域如图所示,z=2x+y 在 A 点和 B 点处分

?x=a, ?x+y=2, 别取得最小值和最大值. ? 由 得 A(a, 由? a), 得 B(1,1). max ∴z ?y=x, ?y=x, 1 =3,zmin=3a.∴a=3. 7.给出平面区域如图所示,若使目标函数 z=ax+y(a>0)取得最大值的最优 解有无穷多个,则 a 的值为 ( )

1 A.4 C.4 答案 解析 B 3 3 -a=kAC=-5?a=5.

3 B.5 5 D.3

?x-y+2≤0, 8.已知变量 x,y 满足约束条件?x≥1, ?x+y-7≤0,
9 A.[5,6] C.(-∞,3]∪[6,+∞) 答案 解析 A

y 则x的取值范围是(

)

9 B.(-∞,5]∪[6,+∞) D.[3,6]

y 作出可行域(如图中阴影部分所示).x可看作可行域内的点与原点连线

y 9 的斜率,由图易得 的取值范围为[ ,6]. x 5

?x-y+5≥0, 9.若不等式组?y≥a, ?0≤x≤3
值范围是 A.a<5 C.a<5 或 a≥8 答案 解析 D

表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取

( B.a≥8 D.5≤a<8

)

作出如图所示的可行域, 要使该平面区域表示三角形, 需满足 5≤a<8.

10.(2012· 四川)某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、B 原材料 1 千克.每桶甲产品的利润是 300 元,每桶乙产品的利润是 400 元.公司在生产这 两种产品的计划中,要求每天消耗 A,B 原料都不超过 12 千克.通过合理安排 生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( A.1 800 元 C.2 800 元 答案 解析 C 设某公司生产甲产品 x 桶,生产乙产品 y 桶,获利为 z 元,则 x,y x+2y≤12, B.2 400 元 D.3 100 元 )

?2x+y≤12, 满足的线性约束条件为? x≥0且x∈Z, ?y≥0且y∈Z,
目标函数 z=300x+400y. 作出可行域,如图中四边形 OABC 的边界及其内部整点.

作直线 l0:3x+4y=0,平移直线 l0 经可行域内点 B 时,z 取最大值,由 ?2x+y=12, ? 得 B(4,4),满足题意,所以 ?x+2y=12, zmax=4×300+4×400=2 800. ?0<x<2, 11.在区域 M={(x,y)|? }内随机撒一粒黄豆,落在区域 N={(x, ?0<y<4

?x+y<4, y)|?y>x, ?x>0
答案 解析 1 2

}内的概率是________.

作出可行域,可知区域 M 的面积为 8,区域 N 的面积为 4.故黄豆落

4 1 在区域 N 的概率为8=2.

?y≥0, 12.(2013· 衡水调研卷)不等式组? x+y- 2-1≤0, ?x-ky+k≥0
x≥0, 称四边形围成的区域,则 k=________. 答案 解析 k=± 1

表示的是一个轴对

要使不等式组表示的是一个轴对称四边形区域,则直线 x-ky+k=0

与直线 x+y- 2-1=0 平行或垂直,∴k=± 1.

?x≥1, 13.在平面直角坐标系中,不等式组 ?y≤2, ?x-y≤0
的方程为________ .

表示的平面区域的外接圆

答案 解析

3 3 1 (x-2)2+(y-2)2=2 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.易知△ABC 为等腰

3 3 直角三角形.从而可得 A(2,2),B(1,1),因此△ABC 的外接圆的圆心为(2,2), ?2-1?2+?2-1?2 2 3 3 1 半径为 = .所以所求外接圆的方程为(x- )2+(y- )2= . 2 2 2 2 2

?x≥0, 14.已知 x,y 满足条件?y≤x, ?2x+y+k≤0,
值为 8,则 k=________. 答案 解析 -6

(k 为常数),若 z=x+3y 的最大

结合不等式组所表示的区域以及 z=x+3y 的最大值,不难得出 z=x

k k +3y 经过直线 y=x 和 2x+y+k=0 的交点(-3, 3)时, - z=x+3y 取得最大值 8, k k ∴-3+3(-3)=8.∴k=-6. 15.已知三种食物 P、Q、R 的维生素含量与成本如下表所示. 食物 P 维生素 A(单位/kg) 维生素 B(单位/kg) 成本(元/kg) 400 800 6 食物 Q 600 200 5 食物 R 400 400 4

现在将 x kg 的食物 P 和 y kg 的食物 Q 及 z kg 的食物 R 混合,制成 100 kg 的混合物. 如果这 100 kg 的混合物中至少含维生素 A44 000 单位与维生素 B48 000 单位,那么 x,y,z 为何值时,混合物的成本最小? 解析 已知条件可归结为下列不等式组:

?y≥0, ? ?x+y≤100, ?400x+600y+400?100-x-y?≥44 000, ?800x+200y+400?100-x-y?≥48 000.
x≥0,

?x+y≤100, 即?y≥20, ?2x-y≥40.
在平面直角坐标系中,画出不等式组所表示的平面区域,这个区域是直线 x +y=100,y=20,2x-y=40 围成的一个三角形区域 EFG(包括边界),即可行域, 如图所示的阴影部分. 设混合物的成本为 k 元,那么 k=6x+5y+4(100-x-y)=2x+y+400. 作直线 l0:2x+y=0,把直线 l0 向右上方平移到 l1 位置时,直线经过可行域 上的点 E,且与原点的距离最小,此时 2x+y 的值最小,从而 k 的值最小. ?2x-y=40, ?x=30, 由? 得? 即点 E 的坐标是(30,20). ?y=20, ?y=20, 所以,k 最小值=2×30+20+400=480(元),此时 z=100-30-20=50. 答:取 x=30,y=20,z=50 时,混合物的成本最小,最小值是 480 元.

?2x-y≤0, 1.已知变量 x,y 满足?x-2y+3≥0, ?x≥0,
A.8 B.4

则 z=log2(x+y+5)的最大值为

(

)

C.3 答案 解析 C

D.2

在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线 x+

y=0,平移该直线,当平移到经过该平面区域内的点(1,2)时,相应直线在 y 轴上 的截距最大,此时 x+y+5 取得最大值,最大值是 x+y+5=8,此时 log2(x+y +5)取得最大值 3,选 C. x3 1 2. (2012· 合肥质检)已知函数 f(x)= 3 +2ax2+2bx+c 的两个极值分别为 f(x1), f(x2),若 x1,x2 分别在区间(0,1)与(1,2)内,则 b-2a 的取值范围是 A.(-4,-2) C.(2,7) 答案 解析 C B.(-∞,2)∪(7,+∞) D.(-5,-2) ( )

由题,求导可得 f′(x)=x2+ax+2b,由题意可知

?f′?0?=2b>0, ?f′?1?=1+a+2b<0, ?f′?2?=4+2a+2b>0,
围是(2,7).

所以 a, 满足的区域如图所示(不包括外界), b 因

为 b-2a 在 B(-1,0)处取值为 2,在 C(-3,1)处取值为 7,所以 b-2a 的取值范

3. 已知实系数一元二次方程 x2+(1+a)x+a+b+1=0 的两个实根为 x1, 2, x 并且 0<x1<2,x2>2,则 1 A.(-1,-3) 1 C.(-3,-2) 答案 解析 C 令 f(x)=x2+(1+a)x+a+b+1, b 的取值范围是 a-1 1 B.(-3,-3] 1 D.(-3,-2] ( )

∵0<x1<2<x2,

?f?0?>0, ?a+b+1>0, ∴? 即? ?f?2?<0, ?3a+b+7<0. 可行域如图,A(-3,2); 又 b 的几何意义是(a,b)与 B(1,0)两点连线的斜率, a-1 2 1 =-2,3a+b+7=0 的斜率为-3, -3-1

kAB= ∴

b 1 ∈(-3,-2). a-1

4.已知 f(x)是定义域为 R 的奇函数,f(-4)=-1,f(x)的导函数 f′(x)的图像 如图所示.若两正数 a,b 满足 f(a+2b)<1,则 a+2 的取值范围是 b+2 ( )

1 A.(3,2) C.(-1,0) 答案 解析 B

1 B.(2,3) D.(-∞,-1)

∵f(x)是定义域为 R 的奇函数,f(-4)=-1,

∴f(-4)=-f(4),∴f(4)=1. ∴f(a+2b)<f(4).又由 f′(x)≥0,得 f(x)为增函数. ∴a+2b<4. 而 a,b 为正数,∴a+2b<4 所表示的区域为如图所示的直角三角形 AOB(不

包括边界),其中 A(0,4),B(2,0).

a+2 可看成是直线 PM 的斜率,其中 P(-2,- b+2

2),M 在直角三角形 AOB 的内部(不包括边界), ∴kPB<kPM<kPA. 而 kPA= 4-?-2? 0-?-2? 1 =3,kPB= = , 0-?-2? 2-?-2? 2

1 ∴2<kPM<3,选 B.

?3x-y-6≤0, 5. x, 满足约束条件?x-y+2≥0, 设 y ?x≥0,y≥0,
2 3 的最大值为 12,则a+b的最小值为 25 A. 6 11 C. 3 答案 解析 A 8 B.3 D.4

若目标函数 z=ax+by(a>0, b>0)

(

)

作可行域如图可知,目标函数在(4,6)处取得最大值 12, 2 3 ∴2a+3b=6,从而有a+b 12 3 =6(a+b)(2a+3b) 1 6b 6a =6( a +4+9+ b ) 13 1 6b 6a = 6 +6( a + b ) 13 b a 13 = 6 +(a+b)≥ 6 +2 b a 25 a·= 6 ,故选 A. b

?x≥0, 6.若不等式组?x+3y≥4, ?3x+y≤4
答案 解析 7 3

4 所表示的平面区域被直线 y=kx+3分为面积

相等的两部分,则 k 的值是________.

4 4 由图可知,线性规划区域为△ABC 边界及内部,y=kx+3恰过 A(0,3),y 4 1 5 5 1 4 =kx+3将区域平均分成面积相等两部分, 故过 BC 的中点 D(2, ), =k×2+3, 2 2 7 k=3.

?3x-y-6≤0 7.已知 M,N 为平等区域?x-y+2≥0 ?x≥0
→ a 则MN· 的最小值是________. 答案 解析 -52

内的两个动点,向量 a=(1,4),

→ 设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN=(x2-x1,y2-y1)

→ a=x MN· 2-x1+4(y2-y1) =4y2+x2-(4y1+x1) 即求 z=x+4y 最小值与最大值. → a=-24-28=-52. ∴MN·

?x≥0 8.若 a≥0,b≥0 且当?y≥0 ?x+y≤1

时恒有 ax+by≤1,则以 a,b 为坐标的

点 P(a,b)所形成的平等区域等积为________.

答案 解析

1 由 ax+by≤1 恒成立,知当 x=0 时,by≤1 恒成立

∴0≤b≤1,同理 0≤a≤1. ∴P(a,b)确定的区域是一个边长为 1 正方形. ∴面积为 1. 9.某商场计划出售 A、B 两种商品,商场根据实际情况和市场需求,得到 有关数据如下表:(商品单位:件) 资金(百元) 单位进价 单位工资支出 单位利润 A 商品 30 5 6 B 商品 20 10 8 日资金供应量 3 000 1 100

问如何确定两种货物的月供应量, 可以使得总利润达到最大?最大利润为多 少? 解析 方法一 设供应 A 商品 x 件,B 商品 y 件,由题意有

?30x+20y≤3 000, ? 要求目标函数 z=6x+8y 的最大值. ?5x+10y≤1 100, ?3x+2y≤300, ?3x+2y=A, 约束条件可化为? 令? ?x+2y≤220, ?x+2y=B, 设 6x+8y=λA+μB=λ(3x+2y)+μ(x+2y), ?3λ+μ=6, ∴? ?2λ+2μ=8, ?λ=1, ∴? ?μ=3.

∴6x+8y=A+3B≤960. ?3x+2y=300, 当? ?x+2y=220, ?x=40, 即? 时 6x+8y 的最大值为 960. ?y=90 ∴每月供应 A 商品 40 件,B 商品 90 件时,商场可获最大利润为 96 000 元. 方法二 ?3x+2y≤300, 约束条件为? ?x+2y≤220,

可行域为如图阴影部分(四边形 OACB 内部)

3 z 目标函数 z=6x+8y 表示一组斜率为-4的平行直线, 其在 y 轴上的截距为8, 当直线 z=6x+8y 经过点 C(即 3x+2y=300, x+2y=220 的交点)时直线在 y 轴上 的截距为最大,此时 x=40,y=90,z=960.


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