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高一数学函数经典题目及答案


1 函数解析式的特殊求法
例1 例2 例3 已知 f(x)是一次函数, 且 f[f(x)]=4x?1, 求 f(x)的解析式 若 f ( x ?1 ) ? x ? 2 x ,求 f(x)
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x

,求 f ( x ? 1)

例 4 已知:函数 y ? x 2 ? x与y ? g ( x) 的图象关于点 (?2,3) 对称,求 g ( x) 的解析式 例5 已知 f(x)满足 2 f ( x) ? f ( 1 ) ? 3x ,求 f ( x)
x

2 函数值域的特殊求法

例 1. 求函数 y ? x 例 2. 求函数
y?

2

? 2x ? 5, x ?[?1,2] 的值域。

1 ? x ? x2 1 ? x2

的值域。

例 3 求函数 y=(x+1)/(x+2)的值域 例 4. 求函数
y? ex ?1 e x ? 1 的值域。

例 1 下列各组中的两个函数是否为相同的函数? ① y1 ?
( x ? 3)( x ? 5) x?3

y2 ? x ? 5

② y1 ? x ? 1 x ? 1

y2 ? ( x ? 1)(x ? 1)

③ f1 ( x) ? ( 2x ? 5) 2 f 2 ( x) ? 2x ? 5 2 若函数 f ( x) 的图象经过 (0,?1) ,那么 f ( x ? 4) 的反函数图象经过点 (A) (4,?1)
例3 已知函数 f ( x) 对任意的 a、b ? R 满足: f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ? 6,

(B) (?1,?4)

(C) (?4,?1)

(D) (1,?4)

当a ? 0时, f (a) ? 6 ; f (?2) ? 12 。
(1)求: f (2) 的值; (2)求证: f ( x) 是 R 上的减函数; (3)若 f (k ? 2) ? f (2k ) ? 3 ,求实数 k 的取值范围。 例 4 已知 A ? {( x, y) | x ? n, y ? an ? b, n ? Z},

B ? {( x, y) | x ? m, y ? 3m2 ? 15, m ? Z} , C ? {( x, y) | x2 ? y 2 ≤ 14} ,问是否存在实数
a , b ,使得(1) A B ? ? ,(2) (a, b) ? C 同时成立.
证明题 1 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 对于 x 1、 x 2 ? R,且 x 1< x 2 时
2

1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求证:方程 f ( x) = [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 有不等实根,且必有一根属于区间 2 ( x 1, x 2).

答案

1 解:设 f(x)=kx+b 则 k(kx+b)+b=4x?1
? ? k2 ? 4 ?k ? ?2 ? k ?2 1 或 ? 则? ?? b ? ? ? b ?1 ?(k ? 1)b ? ?1 ? 3 ?

∴ f ( x) ? 2 x ? 或 f ( x) ? ?2 x ? 1 2 换元法:已知复合函数 f [ g ( x)] 的表达式时,还可以用换元法求 f ( x) 的解析式。
与配凑法一样,要注意所换元的定义域的变化。解法一(换元法) :令

1 3

t= x ? 1 则

x=t 2 ?1, t≥1 代入原式有
f (t ) ? (t ? 1) 2 ? 2(t ? 1) ? t 2 ? 1

∴ f ( x) ? x 2 ? 1

(x≥1)

解法二(定义法) : x ? 2 x ? ( x ? 1) 2 ? 1 ∴ f ( x ? 1) ? ( x ? 1) 2 ? 1 ∴ f ( x) ? x 2 ? 1 (x≥1)
x ? 1 ≥1

4 代入法:求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法。 解:设 M ( x, y) 为 y ? g ( x) 上任一点,且 M ?( x?, y ?) 为 M ( x, y) 关于点
(?2,3) 的对称点

? x? ? x ? 2 ? ?2 ? y? ? y ? x? ? ? x ? 4 ? ?3 ? 则? 2 ,解得: ? y ? ? 6 ? y ,

? 点 M ?( x?, y ?) 在 y ? g ( x) 上
? y ? ? x? 2 ? x?

? x? ? ? x ? 4 ? 把 ? y ? ? 6 ? y 代入得:
2 整理得 y ? ? x ? 7 x ? 6

2 ? g ( x) ? ? x ? 7 x ? 6

例 5 构造方程组法:若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构
造方程组,通过解方程组求得函数解析式。

∵已知 2 f ( x) ?

1 f ( ) ? 3x x

①,
f ( x) ? 3 x
x

将①中 x 换成 得 2 f ( 1 ) ?
x ①×2-②得 3 f ( x) ? 6 x ? 3 x

1 x

②,

∴ f ( x) ? 2 x ? 1 .

值域求法

例 1 解:将函数配方得:y ? (x ? 1) ? 4 ∵x ? [?1,2] 由二次函数的性质可知:当 x=1 时,y min ? 4 ,当x ? ?1时, y max ? 8 故函数的值域是:[4,8] 2. 判别式法例 2. 解:原函数化为关于 x 的一元二次方程
2

(y ? 1)x 2 ? (y ? 1)x ? 0

(1)当y ? 1 时,x ? R
? ? (?1) 2 ? 4( y ? 1)( y ? 1) ? 0

1 3 ?y? 2 解得: 2
?1 3? ?1 3? 1? ? , ? ? , ? (2)当 y=1 时,x ? 0 ,而 ? 2 2 ? 故函数的值域为? 2 2 ?
当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例 3 求函数 y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。 解:显然函数 y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为 y≠1 的实数,故函 数 y 的值域为{y∣ y≠1,y∈ R} 。 点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆 向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。 练习:求函数 y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。 (答案:函数的值域为{y∣ y<-1 或 y>1}

5. 函数有界性法 直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主 来确定函数的值域。 例 4. 求函数 ∵e x ? 0
y? y ?1 ex ?1 ex ? x y ?1 e ? 1 的值域。解:由原函数式可得:

y ?1 ?0 y ? 1 ∴

解得:? 1 ? y ? 1 故所求函数的值域为(?1,1)
例1 (定义域不同) (定义域不同) (定义域、值域都不同)

例 3 解:

(1) f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ? 6, 令 a ? b ? 0 ,得 f (0) ? 6

令 a ? 2, b ? ?2 ,得 f (2) ? 0 (2)证明:设 x1 , x2 是 R 上的任意两个实数,且 x1 ? x2 ,即 x2 ? x1 ? 0 , 从而有 f ( x2 ? x1 ) ? 6 , 则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f [( x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? 6 ? f ( x1 )

? f ( x2 ? x1 ) ? 6 ? 0 ∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) 即 f ( x) 是 R 上的减函数
(3) f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ? 6, 令 a ? 1, b ? 1 ,得 f (1) ? 3 ∵ f (k ? 2) ? f (2k ) ? 3 ∴ f (k ? 2) ? 3 ? f (2k ) ,又 f (1) ? 3 , f (2) ? 0

即有 f (k ? 2) ? f (1) ? f (2k ) ? f (2) ∴ f (k ? 2) ? f (1) ? 6 ? f (2k ) ? f (2) ? 6 ∴ f [(k ? 2) ? 1] ? f [(2k ) ? 2] 又∵ f ( x) 是 R 上的减函数 ∴ (k ? 2) ? 1 ? (2k ) ? 2 即 k ? ?3

(A)∴实数 k 的取值范围是 k ? ?3
例 4 分析:假设存在 a , b 使得(1)成立,得到 a 与 b 的关系后与 x ? y ≤ 14 联立,然后
2 2

讨论联立的不等式组. 解 : 假 设 存 在 实 数 a, b , 使 得 A

B ? ? , (a, b) ? C 同 时 成 立 , 则 集 合

2 A ? {( x, y) | x ? n, y ? an ? b, n ? Z} 与集合 B ? {( x , y ) | x ? m, y? 3m Z} 分别 ? 15,m?

对应集合 A 1 与 B1 对应 1 ? {( x, y) | y ? ax ? b, x ?Z}与 B 1 ? {( x, y) | y ? 3x ? 15, x ? Z}, A
2

的直线 y ? ax ? b 与抛物线 y ? 3x2 ? 15 至少有一个公共点,所以方程组 ? 解,即方程 3x ? 15 ? ax ? b 必有解.
2

? y ? ax ? b
2 ? y ? 3x ? 15



因此 ? ? a2 ?12(15 ? b) ≥ 0 ? ?a ≤ 12b ? 180 ,①
2

又∵ a ? b ≤ 14
2 2
2



由①②相加, b 得≤ 12b ? 36 ,即 (b ? 6) 2 ≤ 0 .∴ b ? 6 . 将 b ? 6 代入①得 a ≥ 108 ,
2

再将 b ? 6 代入②得 a ≤ 108 ,因此 a ? ?6 3 ,
2

2 将 a ? ?6 3 , b ? 6 代入方程 3x ? 15 ? ax ? b 得 3x ? 6 3x ? 9 ? 0 ,
2

解得 x ? ? 3 ?Z. 所以不存在实数 a , b ,使得(1),(2)同时成立. 证明题 1 1 解:设 F( x )= f ( x ) - [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ,

1 2

1 f ( x) = [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ① 2 与方程 F( x )=0 ② 等价 1 1 ∵F( x 1)= f ( x1 ) - [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] = [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 2 2 1 1 F( x 2)= f ( x2 ) - [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] = [? f ( x1 ) ? f ( x2 )] 2 2 1 2 ∴ F( x 1) ·F( x 2)=- [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ,又 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 4 ∴F( x 1) ·F( x 2)<0 故方程②必有一根在区间( x 1, x 2)内.由于抛物线 y=F( x )在 x 轴上、下方均有分布, 所以此抛物线与 x 轴相交于两个不同的交点, 即方程②有两个不等的实根, 从而方程①有两 个不等的实根,且必有一根属于区间( x 1, x 2). 1 点评:本题由于方程是 f ( x ) = [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ,其中因为有 f ( x ) 表达式,所以解题中 2
则方程 有的学生不理解函数图像与方程的根的联系,误认为证明 f ( x ) 的图像与 x 轴相交于两个不 同的点,从而证题中着眼于证 f ( x1 ) f ( x2 ) <0,使本题没法解决. 本题中将问题转化为 F

(x) = f ( x ) - [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 的图像与 x 轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在.

1 2


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