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2011年南山区高二下学期期末统一考试数学(理)试题含答案


1010.07.04 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟.

2011 年南山区高二下学期期末统一考试 数学(理)试题
第Ⅰ卷(选择题共 50 分)

注意事项: 1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损. 之后务必用黑色签字笔在答题卡指定位 置填写自己的学校、班级、姓名

及座位号,在右上角的信息栏填写自己的考号,并用 2B 铅笔填涂相应的信息点. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.不按要求填涂的,答案无效. 3.非选择题必须用黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上, 请注意每题答题空间,预先合理安排. 如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答 案.不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁,不折叠,不破损。考试结束后,将答题卡交回. 5.考试不可以使用计算器.

? 参考公式: b =

?x y
i i=1 n

n

i

? nxy ? nx
2

?x
i=1

? ? , a = y ? bx .

2 i

参考数据: P(K2≥K) k 0.50 0.455 0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上. .................. 1.复数 z1=i,z2=1-i 则复数 z= z1·2 在复平面内的对应点位于 z A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 10 2.( 1+i) 的展开式中,系数最大的项是 A、第 5 项 B、第 6 项 C、第 7 项 D、第 5 项或第 6 项 3.记者要为四名学生和他们的一名老师拍照,要求他们排成一排,老师必须站在正中间, 则不同的排法共有 A、120 种 B、72 种 C、56 种 D、24 种 2 4.若随机变量 X~N(1,σ ),且 P(0<X≤3)=0.7989,则 P(-1<X≤2)= A、0.7989 B、0.2011 C、0.2.21 D、以上答案均不对 5.在五张牌中有三张 K 和两张 A,如果不放回地一次抽取两张牌.记“第 2 次抽到扑克牌 K 的概率为 x”“在第一次抽到扑克牌 K 的条件下,第二次抽到扑克牌 K 的概率为 y” , ,则 实数 x,y 一次为 A、 ,

3 5

1 2

B、 ,

3 5

3 5

C、 ,

1 1 2 2

D、 ,

3 5

2 5

高二数学(文)第 1 页(共 4 页)

6.下列说法: A、k2 的值越大,说明两事件相关程度越大; B、用相关指数 R2 来刻画回归效果,R2 越大,说明模型拟合效果越好; C、2+i>1+I (i 为虚数单位); D、为了了解高二学生身体状况,某校将高二每个班学号的个位数为 1 的学生选作代表进 行体检,这种抽样方法称为系统抽样 7.若离散型随机变量 X 的分布如下: X P 0 b 1 0.4

则 X 的方差 DX= A、.0.6 B、0.4 C、0.24 D、1 8.若 A={(a,c)|1≤a≤2,0≤c≤1, a,c∈ R},则任取(a,c)∈ A,关于 x 的方程 ax2+2x+c=0 有实根的概率为 A、

1 2

B、

ln 2 2

C、ln2

D、1-ln2

第Ⅱ卷(非选择题共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,第 9 至 13 题为必做题.第 14、15 题为选做题,考生只能 选做其中的一题,两题全答的,只计算 14 题的得分.每小题 5 分,满分 30 分. 9.若数列{an}的第一项 a1=1,且 a n ?1 ?

an (n=1,2,3,…), 1? an

开始 输入a S=0,n=1 S=S+an n=n+1 n≤2011 否 输出S 结束 第11题图 是

则 a10=_______. 10.4 本不同的书分给 3 个人,每人至少一本,有______种不同的 分法. 11.程序框图如图所示,若输入 a 的值是虚数单位 i,则输出的结果 是___________. 12.平面α 的法向量(2,3,-1),平面β 的法向量(4,λ ,-2), 若α //β ,则实数λ 的值为______. 13.设不等的两个整数 a,b 满足 a3-b3=a2-b2,则 a+b 的取值 范围是 ________ 14. (坐标系与参数方程选做题) (坐标系和参数方程选做题)在极坐标系中,P,Q 是曲线ρ =2sinθ 上任意两点. 则线段 PQ 长度的最大值为_______. 15.(几何证明选讲选做题) 如图,圆 O 的弦 ED,CB 的延长线交于 点 A.若 BD⊥AE,AB=4,BC=2,AD=3,则 CE=_____.
E O B C
高二数学(文)第 2 页(共 4 页)

D

A

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明或演算步骤. 16、(本小题满分 12 分) 男 女 第 26 届世界大学生夏季运动会将于 2011 年 8 月 12 日到 23 日 9 15 7 7 8 9 9 在深圳举行,为工作需要,组委会拟定组建一个“五人接待小组” , 9 8 16 1 2 4 5 8 9 先在各中学进行海选,招募了 12 名男生和 18 名女生志愿者, 8 6 5 0 17 2 3 4 5 6 将这 30 名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位:cm).若身高 7 4 2 1 18 0 1 在 175cm 以上(含 175cm)定义为“高个子” ,身高在 175cm 以下 1 19 (不含 175cm)定义为“非高个子”. (1)从这 30 名志愿者选出 5 人,且 5 人中有“女高个子” ,则有多少种不同的选法? (2)若用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共提取 5 人,再从这 5 人中选 2 人, 那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?

17、(本小题满分 12 分) 设 y=(a+b)10. (1)若 a =
3

x ,b = ?

1 2 x
3

,求 y=(a+b)10 的展开式中含 x2 项的系数;

(2)若 a=1,b=I (i 为虚单位),求 (

y 2011 ) 的值. 32

18、(本小题满分 14 分) 袋中有一个白球,二个红球和二个黑球,五个球的大小,形状,质地完全相同. (1)若每次从中任取一球,每次取出的球 3 不再放回去,直到取出白球为止,求取球次数 X 的分布列和均值. (2)若从袋中五个球任取一个球,取出的球是红球,就说这次试验成功,求在 30 次试验中 成功次数 Y 的均值和方差.

高二数学(文)第 3 页(共 4 页)

19、(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 O-ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, ∠ ABC=600,OA=AB=2,OA⊥ 底面 ABCD,M 为 OA 的中点,N 为 BC 的中点.作 AP⊥ CD 于点 P,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 x,y,z 轴,建立如图空间直角坐标系. (1)证明:直线 MN//平面 OCD; (2) 求异面直线 AB 与 MD 所成角的余弦值; (3)求点 B 到平面 OCD 的距离.
z O

M

A B x P N C

D y

20、(本小题满分 14 分) 下表提供了某厂节能将耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能 耗(吨标准煤)的几组对照数据. x y 3 2.5 4 m 5 4 6 4.5

已知 y 关于 x 的线性回归方程为 y=0.7x+0.35,根据上表提供的数据, (1)求表中实数 m 的值; (2)求样本点的中心坐标; (3)若该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤,试预测技改后生产 100 吨甲产 品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?

21、(本小题满分 14 分) 设数列{an}满足 a1=0, a n+1 =

1 ,n∈N*. b ? an

(1)若 b=2,求数列{an}的通项公式; (2)令 c n =

an ? p (其中常数 p>0,且 p≠1),若{cn}是等比数列,求实数 b 的取值范围. pa n ? 1

(命题人:南山外国语学校 陈龙仁
高二数学(文)第 4 页(共 4 页)

审题人:教研室 罗诚)

2011 年南山区高二下学期期末统一考试 数学试题参考答案及评品分标准 2011.07.04
一、选择题:(8×5=40) 1 2 题号 A B 答案 二、填空题:(6×5=30) 9、 3 D 4 A 5 A 6 C 7 C 8 C

1 ; 10

10、36;

11、-1; 12、6; 13、 (1, ) ; 14、2; 15、 2 7 .

4 3

三、解答题: 16、解:(1)由茎叶图知,30 名志愿者中有 4 个“女高个子”,则从 30 名志愿者选出 5 人, 且 5 人中有“女高个子”的方法一: C5 ? C5 , 50 26 =142506-65780=76726,
2 2 方法二: C1 C4 ? C4C3 ? C3 C26 4 26 26 4

……4 分 ……6 分 ……4 分 ……6 分 ……7 分 ……8 分

=59800+15600+1300+26=76726. (2) 根据茎叶图,有 “高个子”12 个,“非高个子”18 个, 用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是 所以选中,“高个子”有 12 ?

5 1 ? . 30 6

1 1 ? 2 人, “非高个子”有 18 ? ? 3 人, ……9 分 6 6 ?? 用事件 A 表示 “至少有一名“高个子”被选中”,则它的对立事件 A 表示“没有有一名
“高个子”被选中”, 则

?? C2 3 7 P(A) = 1 ? P(A) = 1 ? 3 ? 1 ? ? . 2 C5 10 10
因此,“至少有一名“高个子”被选中”的概率是 17、(1)解:(1) ( 3 x ?

……11 分

7 . 10

…… 12 分

1 2 x
3

k )10 展开式中的 Tk+1 = C10 ( 3 x )10?k (?

1 2 x
3

)k

……2 分

1 k 10? 2k ? C (? ) x 3 . 2
k 10

……3 分

设(3 x ? 得 k=2.

1 2 x
3

)10 展开式中的 Tk+1 含 x2,则

10 ? 2k ?2, 3

……5 分 ……6 分

∴展开式中的含 x2 项的系数为 C10 ( ? ) ?
2 2

1 2

45 . 4

……7 分

高二数学(文)第 5 页(共 4 页)

(2)y=(a+b)10=(1+i)10=[(1+i)2]5=(2i) 5=32i.

. ……10 分 . ……12 分

(

y 2011 32i 2011 2011 4?504 ?3 3 ) ?( ) ?i ?i ? i ? ?i . 32 32
1 , 5

18、解:(1) X 的所有可能取值为:1,2,3,4,5,且 P(X ? 1) ?

……1 分

P(X ? 2) ?

A1 ?1 1 4 ? , 2 A5 5

……2 分

P(X ? 3) ?

A 2 ?1 1 4 ? , A3 5 5

……3 分

A3 ?1 1 P(X ? 4) ? 4 4 ? , A5 5
因此 X 的分布列是: X P 1

……4 分

A 4 ?1 1 P(X ? 5) ? 4 5 ? . A5 5
3 4

……5 分

2

5

1 5

1 5

1 5

1 5

1 5
……6 分 ……8 分 ……9 分 ……10 分 ……12 分 ……14 分

1 1 1 1 1 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 3 . 5 5 5 5 5 2 (2)一次试验成功的概率是 P ? , 5 2 k 2 30?k 2 k ∵ P(Y ? k) ? C10 ( ) (1 ? ) ,∴Y~B(30, ) , 5 5 5 2 ∴ 的均值 E(Y)=np=30 ? ? 12 , Y 5 2 3 36 . Y 的方差 D(Y)=np(1-p)=30 ? ? ? 5 5 5
X 的均值 E(X) ? 1?

19、(1)解:A(0,0,0),B(2,0,0), P(0, 3, , D(?1 3, ,0(0,0,2), 0) , 0) M(0,0,1), N( ,

3 2

3 , , 0) 2

……2 分

???? ? 3 ??? ? ??? ? 3 MN = ( , ,? 1) , OP = (0, 3, 2) , OD = (?1 3, 2) , ? , ? 2 2
设平面的法向量为 n = (x,, ,则 n ? OP ? 0 , n ? OD ? 0 , y z) 即?

……3 分

?

? ??? ?

? ????

? 3y ? 2z ? 0 ? ?? x ? 3y ? 2z ? 0 ?

,取 y ? 3 ,解得 n = (0, 3, ) .

?

3 2

……4 分

???? ? ? 3 3 3 3 3 3 MN ? n = ( , ,? 1) ? 0, 3, ) = ? 0 ? ? 3 ? (?1) ? ? 0 , 2 2 2 2 2 2
高二数学(文)第 6 页(共 4 页)

∴ MN//平面 OCD. (2)设 AB 与 MD 所成的角为θ , ∵ AB = (2,, , MD = (?1 3, 1) , , ? 0 0)

……6 分

??? ?

???? ?

……7 分 ……9 分

??? ????? ? ? | AB ? MD | 2 5 ∴ cos ? ? ??? , ? ???? = ? ? 5 | AB | ? | MD | 2 ? 5
∴AB 与 MD 所成角的余弦值为

5 . 5

……10 分

(3)设点 B 到平面 OCD 的距离为 d,则 d 为在向量 OB 在向量 n = (0, 3, ) 上的投影

??? ?

?

3 2

??? ?? ? ? ??? ? | OB ? n | 3 2 21 . 的绝对值,由 OB ? (2,, 2) ,得 d ? 0 ? ?? = ? ? |n| 21 2 7

……12 分

所以点 B 到平面 OCD 的距离为 2 21 .
7

……14 分 ……1 分 …… 2 分 ……3 分 ……5 分 ……7 分 ……8 分 ……10 分 ……13 分 ……14 分

20、解: (1) x ?

3? 4?5? 6 ? 4.5 , 4 2.5 ? m ? 4 ? 4.5 y? , 4

? ? ? ? ? 由线性回归方程 y = bx + a ,知 b = 0.7 , a ? 0.35 ,

? ? ∵a ? y ? bx ,∴ 0.35 ?
解得 m=3. (2) y ?

2.5 ? m ? 4 ? 4.5 ? 0.7 ? 4.5 , 4

2.5 ? m ? 4 ? 4.5 2.5 ? 3 ? 4 ? 4.5 ? ? 3.5 , 4 4

∴样本点的中心坐标为:(4.5,3.5). (3)将 x=100 代入 y=0.7x+0.35,得 y=0.7× 100+0.35=70.35, ∴预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低 90-70.35=19.65(吨). 21、解: (1)(方法一构造数列法) 当 b=2 时, a n+1 ?

a ?1 1 1 ,a n+1 ? 1 ? , ?1 ? n 2 ? an 2 ? an 2 ? an

……2 分 而{an}中的任意一项不为 1,(否则的话,由 an+1=1 可以得到 an=1,…,与 a1=0≠1 矛盾), ……3 分 所以

1

a n+1 ? 1 1 故{ } 是首项为-1,公差为-1 的等差数列. a n ?1

?

2 ? an 1 1 1 ? ? 1 ,即 ? ? ?1 (常数),(n∈N*). a n+1 ? 1 a n ? 1 a n ?1 a n ?1
……5 分

高二数学(文)第 7 页(共 4 页)

1 1 ? ?n ,则数列{an}的通项公式为 a n ? 1 ? ,(n∈N*). n a n ?1 1 2 3 (方法二举例-猜想-证明) 当 b=2 时,a1=0, a 2 ? , a 3 ? , a 4 ? , 2 3 4 n ?1 猜想: a n ? ,(n∈N*). n 1?1 ? 0 ? a1 ,猜想正确. 以下用数学归纳法证明:①当 n=1 时, 1 k ?1 ②假设当 n=k(k∈N*)时,猜想正确,即 a k ? . k 1 1 (k ? 1) ?1 那么,当 n=k+1 时, a k+1 ? , ? ? b ? a k 2 ? k ?1 k ?1 k
所以, 即当 n=k+1 时,猜想也正确.

……6 分 ……1 分

……3 分

……5 分 ……6 分

n ?1 由①,②,根据数学归纳法原理,猜想: a n ? ,(n∈N*)正确. n
(2) (方法一)依题意,有

1 b 1 ?p a n ? p( ? 2 ) a ? p b ? an pa ? pb +1 p p , cn+1 ? n+1 ? ? n ? p2 ? p pa n+1 ? 1 an ? b + p pa n ? (pb ? p 2 ) ?1 b ? an 1 b 1 令 ? 2 ? 1 ,则 b = p ? . p p p
此时, b = p ?

……9 分

……10 分

1 1 ? 2 p ? ? 2 ,(∵p>0,p≠1 ),∴实数 b 的取值范围:(2,+∞). p p
……14 分

(方法二)令 1-bp=p2,因为 a n+1 ? 所以 a n+1 ? p ?

1 ,(n∈N*). b ? an
① ……8 分

pa ? bp ? 1 pa n ? p2 a ?p 1 , ?p ? n ? ? p? n b ? an b ? an b ? an b ? an

a ? b ? p 1 pa n ? bp ? p2 1 pa n ? 1 p , ② ?1 ? n ? ? ? ? b ? an b ? an p b ? an p b ? an a ?p a ?p ? p2 ? n ① ÷②,得 n+1 , pa n+1 ? 1 pb ? 1 pa n+1 ? 1 ?

……10 分

即 cn+1=p2cn,(n∈N*).即 1-bp=-p2 时,能保证数列{cn}是以 p 为首项,p2 为公比的等比 数列. ……12 分 此时,由 1-bp=-p2,得 b = p ? ∴实数 b 的取值范围:(2,+∞).

1 1 ? 2 p ? ? 2 ,(∵p>0,p≠1 ), p p
……14 分

高二数学(文)第 8 页(共 4 页)


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