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教案-《等比数列的前n项和公式》


高二数学组集体备课教案(第七周 10 月 17 日)

课题:2.5 等比数列的前 n 项和(两个课时)
教学目标: (1)知识目标:理解等比数列的前 n 项和公式的推导方法;掌握等比数列 的前 n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题; (2)能力目标:提高学生的建模意识,体会公式探求过程中从特殊到一 般的思维方法,渗透方程思想、分类讨论思想; (

3)情感目标:培养学生将数学学习放眼生活,用生活眼光看数学的思 维品质;

教学重点: (1)等比数列的前 n 项和公式;
(2)等比数列的前 n 项和公式的应用;

教学难点:等比数列的前 n 项和公式的推导; 教学方法:问题探索法及启发式讲授法 教 具:多媒体

教学过程: 一、复习提问 回顾等比数列定义,通项公式
an ?q a n ?1 (1)等比数列定义: ( n ? 2 , q ? 0)

(2)等比数列通项公式:

a n ? a1 q n ?1 (a1 , q ? 0)

(3)等差数列前 n 项和公式的推导方法:倒序相加法。 二、问题引入: 阅读:课本第55页“国王赏麦的故事”。 2 3 63 问题:如何计算S64 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 引出课题:等比数列的前 n 项和。 三、问题探讨: 问题:如何求等比数列 ?an ? 的前 n 项和公式

S n ? a1 ? a2 ? a3 ??? an
? a1 ? a1q ? a1q 2 ? ? ? a1q n?2 ? a1q n?1 回顾:等差数列的前 n 项和公式的推导方法。

倒序相加法。 等差数列 a1 , a 2 ? a3 ,? a n ? 它的前 n 项和是 S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? an 根据等差数列的定义 an?1 ? an ? d
Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? ?? ? ? a1 ? (n-1)d ? Sn ? an ? (an ? d ) ? (an ? 2d ) ? ?? ? ? an -(n-1)d ?

(1) (2)

(1)+(2)得: 2Sn ? n(a1 ? an )
n(a1 ? an ) 2 探究:等比数列的前 n 项和公式是否能用倒序相加法推导? S n ? a1 ? a2 ? a3 ??? an Sn ?
? a1 ? a1q ? a1q 2 ? ? ? a1q n?2 ? a1q n?1 a a a a Sn ? a n ? n ? n ? ? ? nn 2 ? nn 1 2 ? q q q q? 学生讨论分析,得出等比数列的前 n 项和公式不能用倒序相加法推导。

回顾:等差数列前 n 项和公式的推导方法本质。 构造相同项,化繁为简。 探究:等比数列前 n 项和公式是否能用这种思想推导? 根据等比数列的定义:
an?1 ? (n ? N ? ) q an

变形: an q ? an?1 具体: a1q ? a2
a2 q ? a3 a3q ? a4

??

学生分组讨论推导等比数列的前 n 项和公式,学生不难发现: 由于等比数列中的每一项乘以公比 q 都等于其后一项。 所以将这一特点应用在前 n 项和上。 由此构造相同项。数学具有和谐美,错位相减,从而化繁为简。
Sn ? a1 ? a1q ? a1q 2 ? ? ? a1q n ?2 ? a1q n?1 qSn ? a1q ? a1q 2 ? a1q3 ? ? ? a1q n?1 ? a1q n
2

(1) (2)

由此构造相同项。数学具有和谐美,错位相减,从而化繁为简。

? (1) ? (2)得: ? q) Sn ? a1 ? a1q n (1

当 q=1 时, S n ? na1
a1 (1 ? q n ) 当 q ? 1 时, S n ? 1? q

学生经过讨论还发现了其他的推导方法,让学生课后整合自己的思路,将各自 的推导过程展示在班级学习园地,同学们共享探究。 由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形式: 当 q ? 1 时, S n ?
a1 ? an q 1? q

四.知识整合: 1.等比数列的前 n 项和公式: 当 q=1 时, S n ? na1 当 q ? 1 时, S n ? 2.公式特征: ⑴等比数列求和时,应考虑 q ? 1 与 q ? 1 两种情况。 ⑵当 q ? 1 时,等比数列前 n 项和公式有两种形式,分别都涉及四个量,四个量中 “知三求一” 。 ⑶等比数列通项公式结合前 n 项和公式涉及五个量, a1 , 五个量中“知三求二”(方程思想) 。 3.等比数列前 n 项和公式推导方法:错位相减法。 五、例题精讲: 例 1.运用公式解决国王赏麦故事中的难题。 变式练习:⑴求等比数列1,2,4,8?的前多少项和是63. ⑵求等比数列1,2,4,8?第4项到第7项的和. 例2.画一个边长为2cm的正方形,再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方 形, 依次类推⑴若一共画了7个正方形,求第7个正方形的面积?
3

a1 (1 ? q n ) a ?a q ? 1 n 1? q 1? q

q,

n,

an ,

Sn ,

⑵若已知所画正方形的面积和为 一个正方形的面积。

31 ,求一共画了几个正方形,及所画的最后 4

解:由题意得:每个正方形的面积构成等比数列,且 a1 ? 4 (1)? n ? 7
? a7 ? a1 ? q 6 ? 1 16

q?

1 2

n ?1 ? ?1? ? an ? 4 ? ? ?2? ? ? an ? a1q n ?1 ? n?5 ? ? ? ? 1 ?n ? ? ? n (2) ? a1 ?1 ? q ? ? ? ? 1 4 ?1 ? ? ? ? ? an ? 4 ? 31 ? Sn ? ? ?2? ? ? ? ? 1? q ? ? ? 1 4 ? 1? ? ? 2 1 答:(1)第七个正方形的面积是 cm2 。 16

1 (2)一共测了5个正方形,所画的最后一个正方形的面积是 cm 2 。 4

巩固练习:⑴已知等比数列 ?an ? 中, a1 ? ?1 , q ? ?2 ,求 S 6 。 ⑵已知等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , q ? 3 , S n ? 40 ,求n, an 。 六、课堂小结: 1、等比数列的前 n 项和公式: 当 q=1 时, S n ? na1 当 q ? 1 时, S n ?
a1 (1 ? q n ) a ?a q ? 1 n 1? q 1? q

2、等比数列的前 n 项和推导方法:错位相减法。 3、数学思想:类比,分类讨论,方程的数学思想。 七、课后作业: 基础题:课本 P61 习题 2.5 A 组 1,2 提高题:求和( (1 ? a) ? (2 ? a 2 ) ? ? ? (2n?1 ? a n ) 探究与发现:查阅网络,思考等比数列前 n 项和公式还有无其它推导方法?
4

八、板书设计: 2.5.1 等比数列的前 n 项和

公式:

例1

例2

特征

变式练习:

巩固练习:

5


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