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广东省珠海市2013届高三9月摸底数学理试题(2013珠海一模)


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供“高中试卷网(http://sj.fjjy.org) ”

珠海市 2012 年 9 月高三摸底考试 理科数学试题
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.设全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? 2}, B ? {x | 0 ? x ? 5}, 则集合 (CU A) A. {x | 0 ? x ? 2} C. {x | 0 ? x ? 2} B. {x | 0 ? x ? 2} D. {x | 0 ? x ? 2}

B=

? x ? y ? 1 ? 0, ? 那么2x-y 的最大值为 2. 已知实数 x, y 满足 ? y ? 1 ? 0, ? x ? y ? 1 ? 0, ?
A.—3 B.—2 C.1 D.2

3.函数 f ( x) ? a x ? a? x ?1 , g ( x) ? a x ? a? x ,其中 a ? 0,a ? 1 ,则

A . f ( x)、g ( x) 均为偶函数

B . f ( x)、g ( x) 均为奇函数 D . f ( x) 为奇函数 , g ( x) 为偶函数

C . f ( x) 为偶函数 , g ( x) 为奇函数

4. 如图是某几何体的三视图,则此几何体的体积是 A.36 C.72 B.108 D.180

5.已知 ?, ? 为不重合的两个平面,直线 m ? ?, 那么 “ m ? ? ”是“ ? ? ? ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6.设 A、B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2 且 | PA |?| PB | 若直线 PA 的方程为

x ? y ? 1 ? 0 ,则直线 PB 的方程是
A. 2 x ? y ? 7 ? 0 B. x ? y ? 5 ? 0 C. 2 y ? x ? 4 ? 0 D. 2 x ? y ? 1 ? 0

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7.对100只小白鼠进行某种激素试验,其中雄性小白鼠、雌性小白鼠对激素的敏感情况 统计得到如下列联表 雄性 敏感 不敏感 总计
2

雌性 25 15 40

总计 75 25 100

50 10 60

n(ad ? bc)2 由K ? ? 5.56 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
附表:

P( K 2 ? k )

0.050

0.010

0.001

k
则下列说法正确的是:

3.841

6.635

10.828

A.在犯错误的概率不超过 0.1 0 0 的前提下认为“对激素敏感与性别有关” ; B..在犯错误的概率不超过 0.1 0 0 的前提下认为“对激素敏感与性别无关” ; C.有 95 0 0 以上的把握认为“对激素敏感与性别有关” ; D.有 95 0 0 以上的把握认为“对激素敏感与性别无关” ; 8.设 U 为全集,对集合 X 、Y ,定义运算“ ? ” ,满足 X ? Y ? (CU X ) 意集合 X 、Y 、Z , X ? (Y ? Z ) ? A . (X D. (CU X )

Y ,则对于任

Y ) (CU Z )

B . (X

Y ) (CU Z )

C . [(CU X )

(CU Y )] Z

(CU Y ) Z

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生 只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 9.在△ABC 中, a ? 5, b ? 6, c ? 7 ,则 cos C ? .

10. 已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 的离心率为 2 ,它的一个焦点与抛物线 y 2 ? 8x 的焦点相同, 2 a b

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那么双曲线的焦点坐标为______;渐近线方程为_______. 11.不等式 x ? x ? 2 ? 3 的解集是 12.右图给出的是计算 .

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 的值的一个程序框图, 2 4 6 20
.

其中判断框内应填入的条件是

? 1 x ?( ) ? 2 x ? 0 13. f ( x) ? ? 2 , 则 f ( x) ? x 的 零 点 个 数 是 ? x?0 ? 2x ? 2
________________. 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,圆 ? ? 2cos ? 的圆心到直线 ? cos ? ? 2 的距离是_____________. 15. (几何证明选讲选做题) 如图,在△ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BD 的 中 点 , AE 交 BC 于 F , 则

A E B F D C

BF ? FC

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分)已知函数 f ( x) ?

1 ? sin 2 x . cos x
4 ,求 f (? ) 的值. 3

(1)求 f ( x ) 的定义域;(2)设 ? 是第二象限的角,且 tan ? = ?

17. (本小题满分 12 分)A、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 x1 和 x2 。根据市场分析, x1 和

x2 的分布列分别为: x1
P 5% 0.8 10% 0.2

x2
P

2% 0.2

8% 0.5

12% 0.3

(1)在 A、B 两个项目上各投资 100 万元, y1 和 y2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润,求方 差 Dy1 、 Dy2 ; (2)将 x(0 ? x ?100) 万元投资 A 项目,100 ? x 万元投资 B 项目, f ( x ) 表示投资 A 项目所得利润 的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和. 求 f ( x ) 的最小值, 并指出 x 为何值时,f ( x ) 取到最小值. (注: D(ax ? b) ? a Dx )
2

18.(本小题满分 14 分) 如图 1,在直角梯形 ABCD 中, ?ADC ? 90? , CD / / AB , AB ? 2 AD, AD ? CD , M 为线段 AB 的中点.将 ?ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC ? 平面 ABC ,得到几何体 D ? ABC ,如图 2 所示. (1) 求证: BC ? 平面 ACD ;(2) 求二面角 A ? CD ? M 的余弦值. D C D

A

M 图1

.

C B
第 18 题图
x

A

19.(本小题满分 14 分)对于函数 f ( x ) ? a ?

2 (a ? R, b ? 0且b ? 1) b ?1

M 图2

B

(1)判断函数的单调性并证明; (2)是否存在实数 a 使函数 f (x)为奇函数?并说明理由. 20.(本小题满分 14 分)

x2 y2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点为 F2 (3,0) ,离心率为 e . a b
·4 ·

(1)若 e ?

3 ,求椭圆的方程; 2

(2)设直线 y ? kx 与椭圆相交于 A , B 两点, M , N 分别为线段 AF2 , BF2 的中点. 若坐标原点

O 在以 MN 为直径的圆上,且
21.(本小题满分 14 分)

2 3 ,求 k 的取值范围. ?e? 2 2

已 知 正 项 数 列 ?an ? 中, a1 ? 6, 点An (an ? 1, an?1 ) 在 抛 物 线 y 2 ? x 上 ; 数 列 ?bn ? 中 , 点 ,以 k ? 2 为斜率的直线上. Bn (n, bn ) 在过点(0,1) (1)求数列 ?an ?, ?bn ?的通项公式; (2)若 f (n) ? ?

?a n , (n为奇数) ,问是否存在k ? N , 使f (k ? 27) ? 4 f (k ) 成立,若存在,求出 k b , ( n 为偶数 ) ? n
a n ?1 an ? ? 0 恒成立,求正数 a 1 1 1 n ? 2 ? a n (1 ? )(1 ? ) ?(1 ? ) b1 b2 bn

值;若不存在,请说明理由; (3)对任意正整数 n,不等式

的取值范围.

珠海市 2012 年 9 月高三摸底考试 理科数学试题参考答案
一、选择题:1-4 BC C B 二、填空题:9. 1/5 5-8ABCD 11. ( ?? ,? ) ? ( ,?? ) 14. 1 15.

10. (?2, 0) , 3x ? y ? 0

5 2

1 2

12. i ? 10 (答案不唯一,即 i>a,10<a ? 11,例如 i>10.1,i=11 等) 13. 2 三、解答题: 16.解:(1)由 cos x ? 0 得 x ? k? ?

1 2

?
2

(k∈Z), ?3 分

故 f ( x ) 的定义域为{x| x ? k? ? (2)由 tan ? = ?

?
2

,k∈Z}?5 分

sin ? 4 4 ? ? ,而 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ,得 cos ? 3 3
·5 ·

且α 是第二象限的角, 解得 sin ? =

故 f (? ) =

1 ? sin 2? 1 ? 2sin ? cos ? = cos ? cos ?

4 3 , cos? = ? ,?9 分 5 5 4 3 1 ? 2 ? ? (? ) 5 5 = ? 49 .?12 分 = 3 15 ? 5

17. 解: (Ⅰ)由题设可知 Y1 和 Y2 的分布列分别为

Y1
P

5 0.8

10 0.2

Y2
P

2 0.2

8 0.5

12 0.3

EY1 ? 5 ? 0.8 ? 10 ? 0.2 ? 6 ………………………………………….1 分

DY1 ? (5 ? 6)2 ? 0.8 ? (10 ? 6)2 ? 0.2 ? 4 …………………………...3 分
EY2 ? 2 ? 0.2 ? 8 ? 0.5 ? 12 ? 0.3 ? 8 ………………………………..4 分

DY2 ? (2 ? 8)2 ? 0.2 ? (8 ? 8)2 ? 0.5 ? (12 ? 8)2 ? 0.3 ? 12 ………..6 分
x 100 ? x Y1 ) ? D( Y2 ) ………………………….7 分 100 100 x 2 100 ? x 2 ?( ) DY1 ? ( ) DY2 ……………………………………….8 分 100 100 4 ? [ x 2 ? 3(100 ? x) 2 ] 2 100 4 ? (4 x 2 ? 600 x ? 3 ?1002 ) ……………………………………..10 分 2 100 600 ? 75 时, f ( x) ? 3 为最小值。…………………………12 分 当x? 2? 4
(Ⅱ) f ( x) ? D( 18. (本题满分 12 分)
2 2 2 解: (Ⅰ) 在图 1 中,设 AD ? CD ? a , 可得 AC ? BC ? 2a ,从而 AC ? BC ? AB ,故 AC ? BC 取 AC 中点 O 连结 DO ,则 DO ? AC ,又面 ADC ? 面 ABC , 面 ADC 面 ABC ? AC , DO ? 面 ACD ,从而 OD ? 平面 ABC , ……4 分 ∴ OD ? BC 又 AC ? BC , AC OD ? O , ∴ BC ? 平面 ACD ……6 分

2 2 2 另解:在图 1 中, 设 AD ? CD ? a ,可得 AC ? BC ? 2a ,从而 AC ? BC ? AB ,故 AC ? BC ∵面 ADC ? 面 ABC ,面 ADC 面 ABC ? AC , BC ? 面 ABC ,从而 BC ? 平面 ACD (Ⅱ)法一.连接 MO ,过 O 作 OE ? CD 于 E ,连接 ME ∵ M 、 O 分别是 AB 、 AC 中点 ∴ MO ? 平面 ACD ……………………………………….7 分 ∴ DC ? MO ……………………… ……….8 分 ∴ DC ? 平面 MOE ……………………………………….9 分

·6 ·

∴ DC ? ME ∴ ?OEM 是二面角 A ? CD ? M 的平面角……………………………………….11 分

1 1 1 3 OE ? a ? a 2 得 OE ? a , ME ? a 2 4 2 2 OE 3 ∴ Rt ?MOE 中 cos ?OEM ? ……………………………………….13 分 ? ME 3 3 ∴二面角 A ? CD ? M 的余弦值为 .……14分 3 2 2 2 (Ⅱ)建立空间直角坐标系 O ? xyz 如图所示,则 M (0, a, 0) , C (? a, 0, 0) , D(0, 0, a) 2 2 2 2 2 2 2 8分 CM ? ( a, a, 0) , CD ? ( a, 0, a) 2 2 2 2 设 n1 ? ( x, y, z) 为面 CDM 的法向量, z
由 S ?DOC ?

? 2 ax ? ? n1 ? CM ? 0 ? ? ? 2 则? 即? n ? CD ? 0 ? ? 2 ax ? ? 1 ? ? 2 令 x ? ?1 ,可得 n1 ? (?1,1,1)

2 ay ? 0 ? y ? ?x 2 ,解得 ? 2 ?z ? ?x az ? 0 2
A x

D

C O M B y

又 n2 ? (0,1,0) 为面 ACD 的一个发向量 ∴ cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 1 3 ? ? 3 | n1 || n2 | 3
3 . 3

∴二面角 A ? CD ? M 的余弦值为 ……14分

19.解:(1)函数 f (x)的定义域是 R 证明:设 x1 < x2 ;

??2 分

2(b x1 ? b x2 ) 2 2 f (x1) – f (x2) = a? x ?( a? x )= b 1 ?1 b 2 ? 1 (b x1 ? 1)(b x2 ? 1)
当 b ? 1时

? x1<x2 ? b x1 ? b x2

得b 1 ?b
x

x2

<0

得 f (x1) – f (x2) < 0 所以 f (x1) < f (x2) 故此时函数 f (x)在 R 上是单调增函数;

??6 分
x2

时 ? x1<x2 ? b 1 ? b 当0 ? b ?1
x

x2

得b 1 ?b
x

?0

得 f (x1) – f (x2) ? 0 所以 f (x1) ? f (x2)
·7 ·

故此时函数 f (x)在 R 上是单调减函数 注:用求导法也可证明。 (2) f (x)的定义域是 R, 由 f (0) ? 0 ,求得 a ? 1 .

??10 分

?11 分

2 b? x ? 1 1 ? b x 2 bx ?1 ? ? ? 当 a ? 1 时, f (? x) ? 1 ? ? x , f ( x) ? 1 ? x , b ? 1 b? x ? 1 1 ? b x b ?1 bx ?1
满足条件 f (? x) ? ? f ( x) ,故 a ? 1 时函数 f (x)为奇函数 20. (本小题满分 13 分) ?14 分

?c ? 3 ? 解: (1)由题意得 ? c 3 ,得 a ? 2 3 . ? ? 2 ?a
结合 a ? b ? c ,解得 a ? 12 , b ? 3 .
2 2 2 2

??????2 分

2

??????4 分

所以,椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1. 12 3

??????5 分

? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 2 2 2 2 2 (2)由 ? a 2 b 2 得 (b ? a k ) x ? a b ? 0 . ? y ? kx, ?
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .

? a 2b 2 所以 x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 2 , b ? a2k 2
依题意, OM ? ON , 易知,四边形 OMF2 N 为平行四边形, 所以 AF2 ? BF2 , 因为 F2 A ? ( x1 ? 3, y1 ) , F2 B ? ( x2 ? 3, y2 ) , 所 以 F2 A ? F ?( 2 B
1

???7 分

??????8 分

? ? ?? 9 分 [ 即 x ? 3 ) ( 2x ? 3) ? 1y 2y? 2 (1 ? k ) x . 9? 0 1 x2 ? ??????10 分

?a 2 (a 2 ? 9)(1 ? k 2 ) ? 9 ? 0, a 2 k 2 ? (a 2 ? 9)
·8 ·

将其整理为 k ?
2

a 4 ? 18a 2 ? 812 81 ? ?1 ? 4 . 4 2 ?a ? 18a a ? 18a 2
??????12 分

因为

2 3 2 ,所以 2 3 ? a ? 3 2 , 12 ? a ? 18 . ?e? 2 2
1 2 2 ,即 k ? (??, ? ] ( , ??] . 8 4 4

所以 k ?
2

??????14 分

21.解: (Ⅰ)将点 An (an ? 1, an?1 )代入y 2 ? x中得an?1 ? an ? 1

? an?1 ? an ? d ? 1,? an ? a1 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 5 ????????2 分
∵直线 l : y ? 2 x ? 1

?bn ? 2n ? 1 ????????????????4 分
(Ⅱ) f (n) ? ?

?n ? 5, (n为奇数) ?2n ? 1, (n为偶数)

当 k 为偶数时,k+27 为奇数,

? f (k ? 27) ? 4 f (k ), ? k ? 27 ? 5 ? 4(2k ? 1),
? k ? 4 ????6 分
当 k 为奇数时,k+27 为偶数,

? 2(k ? 27 ) ? 1 ? 4(k ? 5),? k ?

35 (舍去) 2

综上,存在唯一的 k=4 符合条件??????????????8 分 (Ⅲ)由

a n?1 an ? ? 0, 1 1 1 n ? 2 ? a n (1 ? )(1 ? ) ?(1 ? ) b1 b2 bn
1 2n ? 3 (1 ? 1 1 1 )(1 ? ) ?(1 ? ) ??????????9 分 b1 b2 bn (1 ? 1 ) bn 1 1 )(1 ? ) bn bn?1

即a ?

记 g (n) ?

1 1 1 (1 ? )(1 ? ) b1 b2 2n ? 3

? g (n ? 1) ?

1 1 1 (1 ? )(1 ? ) b1 b2 2n ? 5

(1 ?

·9 ·

? ? ?

g (n ? 1) 2n ? 3 1 ? (1 ? ) g ( n) bn ?1 2n ? 5 2n ? 3 2n ? 4 2n ? 4 ? ? 2n ? 5 2n ? 3 2n ? 5 ? 2n ? 3 4n 2 ? 16n ? 16 4n 2 ? 16n ? 15 ?1

? g (n ? 1) ? g (n),即g(n) 递增????????13 分

? g (n)min ? g (1) ?

1 4 4 5 ? 5 3 15

?0 ? a ?

4 5 ??????????????14 分 15

·10·


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