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1.4.2正弦函数、余弦函数的性质习题课


正弦函数、余弦函数的性质 习题课

一、基础题型

3π π/2

1 π 2.函数 y=3sin(ωx+φ)(ω>0)的周期为3,则 ω 的值 为
6

.
函数

?3x 3π? f(x)=sin? 4 + 2 ?的奇偶性为 ? ?

/>(

)

? A.奇函数 B.偶函数 ? C.非奇非偶函数 D.以上都不对 ? [答案] B

? 3.函数y=sin(2x+φ)为偶函数,0≤φ<2π, 则φ的值为或 .

? 4.函数y=2cos3x的单调增区间为, .

5.如果函数

?π ? y=2sin(2x+φ)的图象关于点?3,0?中心对 ? ?

称,那么|φ|的最小值为

.

[分析] y=sint,y=cost 的值域都是[-1,1],(1)中令 t π =x+6可由 sint 的取值范围,求出 3-2sint 的取值范围.(2) 中由于 a 的符号未定,当 a>0 时,若 cosx 取最大(小)值,则 acosx 取最大(小)值,a<0 时恰好相反,故须分 a>0 与 a<0 讨 论.

[解析]

(1)令

? π? sin?x+6?=1, ? ?

π π 则 x+ =2kπ+ (k∈Z). 6 2 π ∴当 x=2kπ+3(k∈Z)时, y 最小值为 3-2=1. 令
? π? π π sin?x+6?=-1,∴x+ =2kπ- (k∈Z), 6 2 ? ?

2 ∴当 x=2kπ-3π(k∈Z)时, y 有最大值,为 3+2=5.

? (2)①若a>0, ? 当 cosx = 1 ,即 x = 2kπ(k∈Z) 时, y 取最大 值为a+b; ? 当 cosx=- 1,即 x=2kπ +π(k∈Z)时, y取 最小值为-a+b. ? ②若a<0, ? 当 cosx= 1,即x =2kπ(k∈Z)时, ymin= a+ b; ? 当cosx=-1,即x=2kπ+π(k∈Z)时,ymax =-a+b.

[例 2] 求下列函数的单调区间.
?π ? (1)y=2sin?4-x?; ? ?

(2)y=cos2x.
[分析] 将(1)先用诱导公式化为
? π? y=-2sin?x-4?, 然后依 ? ?

据 y=sint 与 y=cost 的单调区间和复合函数单调性的判断方 法求解.

[解析]

?π ? (1)y=2sin?4-x?化为 ? ?

? π? y=-2sin?x-4?. ? ?

∵y=sinu(u∈R)的单调增、单调减区间分别为
? π π? ?2kπ- ,2kπ+ ?(k∈Z), 2 2? ? ? π 3π? ?2kπ+ ,2kπ+ ?(k∈Z). 2 2? ?

∴函数

? π? y=-2sin?x-4?的单调增、单调减区间分别由下 ? ?

面的不等式确定 π π 3π 2kπ+2≤x-4≤2kπ+ 2 (k∈Z)① π π π 2kπ-2≤x-4≤2kπ+2(k∈Z)② 3π 7π 解①得,2kπ+ ≤x≤2kπ+ (k∈Z), 4 4 π 3π 解②得,2kπ-4≤x≤2kπ+ 4 (k∈Z).

故函数

?π ? y=2sin?4-x?的单调增区间、单调减区间分别为 ? ?

3π 7π? π 3π 2kπ+ ,2kπ+ ?(k∈Z)、2kπ- ,2kπ+ (k∈Z). 4 4? 4 4 (2)函数 y=cos2x 的单调增区间、单调减区间分别由下面

的不等式确定 2kπ-π≤2x≤2kπ(k∈Z)① 2kπ≤2x≤2kπ+π(k∈Z)② π 解①得,kπ- ≤x≤kπ(k∈Z), 2 π 解②得,kπ≤x≤kπ+2(k∈Z).

故函数 y = cos2x 的单调增区间、单调减区间分别为
? ? ? π π? ?kπ- ,kπ?(k∈Z)、?kπ,kπ+ ?(k∈Z). 2 2? ? ? ?

求函数

? π? y=sin?3x-3?的单调区间. ? ?

π π [解析] 解 y=sinu 在区间[2kπ-2, 2kπ+2] (k∈Z)上是 π 3π 增函数,在区间[2kπ+2,2kπ+ 2 ] (k∈Z)上是减函数. π π π 2kπ π 2kπ 5π 由 2kπ-2≤3x-3≤2kπ+2解得, 3 -18≤x≤ 3 +18, π π 3π 2kπ 5π 2kπ 11π 由 2kπ+2≤3x-3≤2kπ+ 2 解得, 3 +18≤x≤ 3 + 18 . π ∵u=3x-3为增函数,

?2kπ π 2kπ 5π? ∴原函数的单调增区间为? 3 -18, 3 +18?(k∈Z).单 ? ?

?2kπ 5π 2kπ 11π? 调减区间为? 3 +18, 3 + 18 ? ? ?

(k∈Z).

例3 、 求下列函数的最值. (1) y ? (2 ? sin x)(3 ? sin x)
(1) ? y ? ? sin 2 x ? sin x ? 6 1] 令t ? sin x ? [?1, 2 则y ? ?t ? t ? 6 1 2 25 ? ?(t ? ) ? t ? [?1, 1] 2 4 1 1 25 ?当t ? 即sin x ? 时,ymax ? 2 2 4 当t ? ?1即sin x ? ?1时,ymin ? 4

ex4、求函数y ? 1 ? 2 sin 2 x ? 6 cos x的最值. 2 解: ? y ? 1 ? 2(1 ? cos x) ? 6 cos x ? 2 cos 2 x ? 6 cos x ? 1
3 2 11 则y ? 2t ? 6t ? 1 ? 2(t ? ) ? t ? [?1, 1] 2 2 ?当t ? 1即cos x ? 1,x ? 2k? (k ? Z )时,ymax ? 7
2

令t ? cos x ?[?1, 1]

当t ? ?1即cos x ? ?1,x ? 2k? ? ? (k ? Z )时,ymax ? ?5

y ?1 y ?1 (2) ? sin x ? 由 ? 1 ? sin x ? 1 ? ?1 2y ? 2 2y ? 2 ? y ?1 ? 2 y ? 2 ? y2 ? 2 y ?1 ? 4 y2 ? 8 y ? 4 ?? ?? ?2 y ? 2 ? 0 ?y ? 1 1 ? 2 ?3 y ? 10 y ? 3 ? 0 ? y ? 3或y ? ?? ?? 3 ?y ? 1 ? ?y ? 1 1 1 ? y ? 3或y ? ? 所求值域为(??, ] ? [3, ? ?). 3 3

2 sin x ? 1 (2) y ? 2 sin x ? 1

(1)若满足 cosx-sin2x=a 的实数 x 存在, 则实数 a 的取值 范围是________. (2)求下列函数的值域,并指出最值.
? ?π π ? π? ①y=2sin?x+3?,x∈?6,2?; ? ? ? ?

②y=2cos2x+5sinx-4.

[答案]
[分析]

5 (1)[-4,1] ?π π ? (2)①中由于 x∈?6,2?,而不是 x∈R,故讨论其
? ?

最值可借助于图象或利用单调性讨论.②中根据平方关系 sin2x+cos2x=1 可知此函数可视作以 sinx 为变量的二次函数, 故可用换元法结合 sinx 的有界性求解.

[解析] (1)∵y=-sin2x+cosx=cos2x+cosx-1 12 5 =(cosx+ ) - , 2 4 1 5 ∵-1≤cosx≤1,∴当 cosx=- 时,ymin=- , 2 4 5 当 cosx=1 时,ymax=1,∴-4≤y≤1, 故要使方程 cosx-sin x=a 有实数解, 5 应有- ≤a≤1. 4
2

②令 t=sinx,则-1≤t≤1,∵cos2x=1-sin2x, ∴y=2cos2x+5sinx-4=-2sin2x+5sinx-2
? ? 5?2 9 5?2 9 =-2?sinx-4? +8=-2?t-4? +8, ? ? ? ?

∵ 函数

? 5? 2 9 y =- 2 ?t-4? + 8 在 [ - 1,1] 上单调递增, ∴ - ? ?

π 9≤y≤1,且当 t=-1 时,sinx=-1,x=-2+2kπ,k∈Z, ymin=-9;

π 当 t=1 时,sinx=1,x= +2kπ,k∈Z,ymax=1, 2 ∴y=2cos2x+5sinx-4 的值域为[-9,1],ymin=-9,ymax =1.

[例 2]

判断下列函数的奇偶性:

1+sinx-cos2x (1)f(x)=xsin(π+x);(2)f(x)= . 1+sinx

? [分析] 根据函数奇偶性定义进行判断, 先检查定义域是否关于原点为对称区间, 如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x), 进而判断函数的奇偶性;如果不是,则该 函数必为非奇非偶函数.

[解析]

(1)函数的定义域为 R,关于原点对称.

∵f(x)=xsin(π+x)=-xsinx, ∴f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsinx=f(x). ∴f(x)是偶函数. (2)要使函数有意义,应满足 1+sinx≠0,
? ? ? 3π ∴函数的定义域为?x?x∈R,且x≠2kπ+ 2 ,k∈Z ? ? ? ? ? ?. ? ?

∴函数的定义域不关于原点对称. ∴函数既不是奇函数也不是偶函数.

[点评]

当所要判断奇偶性的函数表达式比较复杂时, 可

以先化简再判断,但化简必须保持“等价”,即化简过程中 sin2x+sinx 定义域是否发生变化要心中有数. (2)中 f(x) = = 1+sinx sinx, 仅看最后表达式 sinx 很容易误判为奇函数, 但它实际是 非奇非偶函数,因为在化简“约分”时,约去 1+sinx 后定义 域发生了变化,∴原函数应为 f(x)=sinx(1+sinx≠0),而不是 f(x)=sinx.事实上,此函数的定义域关于原点不对称.

[例 5]

a+1 设 θ 是不等边三角形的最小内角, 且 sinθ= , a-1

求实数 a 的取值范围.

[ 错解] 0° <θ<90° .

∵θ 是三角形的最小角, ∴θ 一定是锐角,即

a+1 ∴0<sinθ<1,得 0< <1.解得:a<-1. a-1

? [辨析] 解答忽视了以下内容:三角形中 的最小角θ的范围不是0°<θ<90°,而是 0°<θ≤60°,又∵三角形是不等边三角形, 故0°<θ<60°.

[正解]

∵是不等边三角形中的最小角,

∴0° <θ<60° . 由 cosθ 在(0° ,60° )内单调递减知: 1 1 a+1 <cosθ<1,即 < <1.解得 a<-3. 2 2 a-1 故所求实数 a 的范围为(-∞,-3).

[例 5]

3 已知函数 y=a-bcosx 的最大值是2, 最小值是-

1 ,求函数 y=-4bsinax 的最大值、最小值及周期. 2

[错解]

∵cosx 的最大值为 1,最小值为-1,

1 ∴当 cosx=1 时,y=a-bcosx 取最小值 a-b=-2,当 3 cosx=-1 时,y=a-bcosx 取最大值 a+b=2, 1 ? ?a-b=-2 由? ?a+b=3 2 ? 1 ? ?a= ,解得? 2 , ? ?b=1

1 ∴函数 y=-4bsinax 化为 y=-4sin2x,该函数最大值为 4,最小值为-4,周期为 4π.

? [辨析] ∵b的符号未定,故-bcosx的最 值不仅与cosx有关,还与b的正负有关,因 此应按b>0与b<0讨论.

[正解]

∵-1≤cosx≤1,由题意知 b≠0.

当 b>0 时,-b≤bcosx≤b,∴a-b≤a-bcosx≤a+b. 3 ? ?a+b=2 ∴? ?a-b=-1 2 ? 1 ? ?a= ,解得? 2 , ? ?b=1

1 ∴y=-4bsinax=-4sin2x;

3 ? ?a-b=2 同理,当 b<0 时,可得:? ?a+b=-1 2 ? 1 综上可知,y=± 4sin x. 2

1 ? ?a= ,解得? 2 . ? ?b=-1

1 ∴函数 y=± 4sin2x 的最大值为 4,最小值为-4,周期为 4π.

练习:求下列函数的值域 2 cos x ? 1 ?1? y ? cos x ? 3

? 2 ? y ? ?3sin

2

x ? 4 cos x ? 4, x ? [

? 2?
3 , 3

]

归纳:解题中应注意三角函数的有界性 对函数值的影响

变形1:

已知y ? 2a ? b sin x的最大值为3,最小值为1, bx 求函数y ? ?4a sin 的周期和最大和最小值。 2
分类讨论法

变形2: 已知关于x的方程2sin2x-cosx+2m=0有解,
求m的取值范围. 法1:分离参数法

一、选择题 1.函数 y=sin6x 的最小正周期为 ( A.2π π C.2 B.π π D.3 )

? [答案] D

2.函数 A.π C.4π

? x π? y=cos?-2+4?的最小正周期为( ? ?

)

B.2π π D.2

? [答案] C

3.函数 y=sin2x 的单调减区间是(
?π ? 3 A.?2+2kπ,2π+2kπ?(k∈Z) ? ? ? π 3 ? B.?kπ+4,kπ+4π?(k∈Z) ? ?

)

C.[π+2kπ,3π+2kπ](k∈Z)
? π π? D.?kπ-4,kπ+4?(k∈Z) ? ?

? [答案] B
[解析]

π 3π 由 2kπ+2≤2x≤2kπ+ 2 ,k∈Z 得

π 3 kπ+ ≤x≤kπ+ π 4 4 π 3π ∴y=sin2x 的单调减区间是[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z). 4 4

? 4 . sin1° 、 sin1 、 sinπ° 的 大 小 顺 序 是 ( ) ? A . sin1°<sin1<sinπ° B.sin1°<sinπ°<sin1 ? C . sinπ°<sin1°<sin1 D.sin1<sin1°<sinπ° ? [答案] B ? [解析] 1弧度=57.3°, ? ∵ y = sinx 在 (0°, 90°) 上是增函数,且 1°<π°<1, ? ∴sin1°<sinπ°<sin1.

? 5.下列函数中,奇函数的个数为
? ? ? ? ? ? ? ( ) ①y=x2sinx; ②y=sinx,x∈[0,2π]; ③y=sinx,x∈[-π,π]; ④y=xcosx. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 [答案] C [ 解析 ] ∵ y = sinx , x∈[0,2π] 的定义域不 关于原点对称,∴②不是奇函数, ①、③、④符合奇函数的概念.

? 6.y=2sinx2的值域是
? ( ? ? ? ? ? A.[-2,2] B.[0,2] C.[-2,0] D.R [答案] A [解析] ∵x2≥0,∴sinx2∈[-1,1], ∴y=2sinx2∈[-2,2]. )

二、填空题 7 .函数 ________.
?π ? y = 2cos ?3-ωx? 的最小正周期是 ? ?

4π ,则 ω =

[答案] [解析]

1 ± 2 2π 1 1 ∵T= =4π,∴|ω|= ,∴ω=± . 2 2 |-ω|

? 8.函数y=asinx-b的最大值为1,最小值 为-7,则a=________,b=________. ? [答案] ±4 3
[解析] 1)当 a>0
? ?a-b=1 时,? ? ?-a-b=-7 ? ?a=-4 ?? ? ?b=3 ? ?a=4 ?? ? ?b=3



2)a<0

? ?-a-b=1 时,? ? ?a-b=-7

.

2、 (1)求函数 y ? sin(

?

6 ? (2)求函数 y ? cos( ? 2 x)的单调递减区间。 3

? 2 x)的单调递减区间 ;

3、求下列函数的值域

2 cos x ? 1 (1) y ? sin x ? 3 cos x; (2) y ? 2 cos x ? 1
2

? ?? ? ?? ?1?y ? cos? x ? ?, x ? ?0, ? 6? ? ? 2?

? ? 2? ? ?3?y ? 3sin x ? 4 sin x ? 1, x ? ? , ? ?3 3 ?
2

? 正弦函数、余弦函数的图象都有无穷多条对称 轴,其相邻两条对称轴间距离为半个周期,其 对称轴一定经过图象的最高点或最低点. ? 解答三角函数的单调性问题一定要注意复合函 数的单调性法则,更要注意函数的定义域. 求函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的单 调区间时,ω<0时,先利用诱导公式把x的系数 化为正数,然后把ωx+φ看作一个整体t,考虑 函数y=Asint(或y=-Asint)的单调区间利用复 合函数单调性判定方法,构造不等式解之.

课堂小结:
5、对称性:

y=sinx的图象对称轴为: x ? k? ? ? , k ? Z ; 2 对称中心为: ( k ? ,0 ), k ? Z .
y=cosx的图象对称轴为: 对称中心为:

x ? k?, k ? Z ;
? ( k? ? ,0 ), k ? Z . 2

任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期; 对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期 .

函数
y
1

y=sinx
y
1

y=cosx
??
?

图形 定义域 值域

?? 2

0
-1

?

2

?

3? 2

2?

5? 2

x

0
-1

2

?

3? 2

2?

5? 2

x

x ? ? ? 2k? 时, ymax ? 1 2 最值 x ? ? ? ? 2k? 时,ymin ? ?1 2 x?[- ? ? 2k? , ? ? 2k? ] 增函数 2 2 单调性 x?[ ? ? 2k? , 3? ? 2k? ] 减函数 2 2
奇偶性 奇函数

y ?[?1,1]

x?R

x?R
y ?[?1,1]
x ? 2k? 时, ymax ? 1 x ? ? ? 2k? 时,ymin ? ?1
x?[?? ? 2k? , 2k? ] x?[2k? , ? ? 2k? ]
偶函数 增函数 减函数

周期
对称性

2 对称中心: (k? ,0) k ? Z

2? 对称轴: x ? ? ? k? , k ? Z

2? 对称轴: x ? k? , k ? Z 对称中心:( ? ? k? , 0) k ? Z 2

正弦、余弦函数的性质: 1、周期性 T = 2? 2、定义域 R
4、奇偶性与单调性:

课堂小结:

3、值域 [ - 1, 1 ]

函数

奇偶性 [?

单调性(单调区间)
? ? +2k?, +2k?],k?Z 单调递增 2 2 ? 3? [ +2k?, +2k?],k?Z 单调递减 2 2

正弦函数 奇函数

余弦函数

偶函数

[ ?? +2k?, 2k?],k?Z [2k?, 2k? + ?], k?Z

单调递增 单调递减


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