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初高中数学衔接的教学策略


初高中数学衔接的教学策略

一、引言
-----初、高中数学教学上的衔接问题
初中生经过中考的奋力拼搏,刚跨入高 中,都有十足的信心、旺盛的求知欲,都有把 高中课程学好的愿望。但经过一段时间,他们 普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学。 相当部分学生进入高中数学学习的“困难期”, 数学成绩出现严重的滑坡现象,部分学生从中 考的尖子生滑坡

到考不及格,渐渐地他们认为 数学神秘莫测,从而产生畏惧感,动摇了学好 数学的信心,甚至失去了学习数学的兴趣。造 成这种现象的原因是多方面的,但最主要的根 源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。下

二、高一学生学习数学产生困难是 造成数学成绩下降的原因 (一)教材的原因
现行初中数学教材内容通俗具体,多为常量,题型少而简单, 每一新知识的引入往往与学生日常生活实际很贴近,比较形象, 并遵循从感性认识上升到理性认识的规律,学生一般都容易理解、 接受和掌握。那些在高中学习中经常应用到的知识,如:对数、 二次不等式、解斜三角形、分数指数幂等内容,都转移到高一阶 段补充学习。这样初中教材就体现了“浅、少、易”的特点。高 中数学一开始,概念抽象,定理严谨,逻辑性强,教材叙述比较 严谨、规范,抽象思维和空间想象明显提高,知识难度加大,且 习题类型多,解题技巧灵活多变,计算繁冗复杂,体现了“起点 高、难度大、容量多”的特点。

二、高一学生学习数学产生困难是 造成数学成绩下降的原因
(二)教法的原因 初中数学教学内容少,知识难度不大,教学要求较低, 且课时较充足。因而课堂容量小,教学进度较慢,对于某 些重点、难点,教师可以有充裕的时间反复讲解、多次演 练,能充分体现课堂教学中的师生互动。但高中数学知识 点增多,灵活性加大和课时少,新课标要求通过学生的自 主学习培养学生的创造性思维,因此,高中教学中往往会 通过设导、设问、设陷、设变,启发引导,开拓思路,然 后由学生自己思考、解答,比较注意知识的发现过程,倾 重对学生思想方法的渗透和思维品质的培养。这使得刚入 高中的学生不容易适应这种教学方法。听课时就存在思维 障碍,不容易跟上教师的思维,从而产生学习障碍,影响 数学的学习。

二、高一学生学习数学产生困难是 造成数学成绩下降的原因
(三)学生自身的原因 1、心理原因:高一学生一般是16岁左右,在生理 上,正处在青春时期,而在心理上,也发生了微妙的变化。 与初中生相比,多数高中生表现为上课不爱举手发言,课 内讨论气氛不够热烈,与教师的日常交往渐有隔阂感,即 使同学之间朝夕相处,也不大愿意公开自己的心事。心理 学上把这种青年初期最显著的心理特征称为闭锁性。高一 学生心理上产生的闭锁性,给教学带来很大的障碍,表现 在学生课堂上启而不发,呼而不应。 2、学法原因:初中三年的学习使得学生形成了习惯 于围着教师转,满足于你讲我听、你放我录,缺乏学习主 动性,缺乏积极思维,不会自我科学地安排时间,缺乏自 学、看书的能力,碰到问题寄希望于老师的讲解,依赖性 较强。而到了高中,许多学生往往沿用初中学法,致使学

三、高中,我们数学科将要教学的内容。
(高中数学课程框架)

● ● ●

初高中衔接教程 必修模块: 选修系列:

网上可查看所有人教版的教材:http://www.pep.com.cn/



必修课程 (包括5个模块)

? 数学1: 集合、函数概念与基本初等函数I (指数函数、对
数函数、幂函数)。

? 数学2: 立体几何初步、 平面解析几何初步 。 ? 数学3: 算法初步、统计、概率。 ? 数学4: 基本初等函数II(三角函数)、平面上的向量、 三角恒等变换。 ? 数学5: 解三角形、数列、不等式。

选修课程 ? 系列1,由2个模块组成(文科), ? 系列2,由3个模块组成(理科), ? 系列3,由6个专题组成(高考不考), ? 系列4,由10个专题组成(部分内容高考)。



▲系列1:由2个模块组成(文科) 选修1-1:
常用逻辑用语、 圆锥曲线与方程、 导数及其应用。

选修1-2:
统计案例、 推理与证明、 数系的扩充与复数的引入、框图。

▲系列2:由3个模块组成(理科)
选修2-1:
常用逻辑用语、 圆锥曲线与方程、 空间中的向量与立体几何。

选修2-2:
导数及其应用、 推理与证明、 数系的扩充与复数的引入。

? 选修2-3:
计数原理、统计案例、概率。

▲系列3:由6个专题组成(高考不考) ? ? ? ? ? ? 选修3-1:数学史选讲。 选修3-2:信息安全与密码。 选修3-3:球面上的几何。 选修3-4:对称与群。 选修3-5:欧拉公式与闭曲面分类。 选修3-6:三等分角与数域扩充。

? ? ? ? ? ? ? ? ?

▲系列4:由10个专题组成(高考考3个专 题) 。 选修4-1:几何证明选讲。 选修4-2:矩阵与变换。 选修4-3:数列与差分。 选修4-4:坐标系与参数方程。 选修4-5:不等式选讲。 选修4-6:初等数论初步。 选修4-7:优选法与试验设计初步。 选修4-8:统筹法与图论初步。 选修4-9:风险与决策。

总结:学习内容
文科/理科必修: 必修1、必修2、必修3、必修4、必修5 文科必选: 选修1-1、选修1-2 理科必选: 选修2-1、选修2-2、选修2-3 理科选修: ——高考理科第21题(3选2共14分) 选修4-2、选修4-4、选修4-5

四、初中毕业后,我们需要衔接的是哪 些方面? 在高中数学教学中,我们会遇到许多
初中没有讲到的或讲的不深入的知识、定 理、技能技巧,而这些东西在高中课堂上 是不会给予重点讲解和练习的,所以我们 在衔接中要有意识的去补足。

四、初中毕业后,我们需要衔接的是哪些方面?

(一)知识方面的衔接

1.绝对值
绝对值的概念始出现于初一数学课本,它是数学重要概 念之一,贯穿于整个初等数学的始终,并随着知识的发展, 不断深化.2010年广东省的最后一题便是一道绝对值不等式 的问题。 【初中】借助数轴理解绝对值的意义,并会求有理数的 绝对值(绝对值符号内不含字母). 【高中】含绝对值不等式在选修系列4—5不等式选讲. 【衔接建议】含字母的绝对值,简单的含绝对值的方程 (不等式)的解法.

你看看:(2010高考)

高考

21.(本小题满分 14 分) 设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 )是平面直角坐标系 xOy 上的
两点,现定义由点 A 到点 B 的一种折线距离 P(A,B)为 ? ( A, B) ? x 2 ? x1 ? y 2 ? y1 对于平面 xOy 上给定的不同的两点 A( x1 , y1 )B( x 2 , y2 ) (1) 若点 C(x,y)是平面 xOy 上的点,试证明ρ(A,C)+ρ(C,B)≥ρ(A,B) (2) 平面 xOy 上是否存在点 C(x,y) ,同时满足 ① ρ(A,C)+ρ(C,B)=ρ(A,B) ;② ρ(A,C)= ρ(C,B) 若存在,请求出。 本题考了: (1)∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣; (2)∣a-b∣≤∣a-c∣+∣c-b∣.

【高中练习示例】

答案:[0,1] 【衔接教材应掌握练习】
【例 1】解关于 x 的不等式:|x-2|<1. 【例 2】解下列方程或不等式: 答案: (1,3)

(1) | x ? 1| ? | x ? 2 |? 5 . (2) | x ? 1| ? | x ? 2 |? 5 . 答案: (1)-2,3 (2) (-2,3)

?| x |? 2 【例 3】 (1)不等式组 ? 恰好有三个正整数解,求 a 的取值范围; x?a ?
(2)不等式组 ?

?| x ? 2 | ?2 ? 0 ?1 ? x ? 0
2

的所有解都满足不等式 | x ? 1 |?| x ? a | (a<1) , 答案: (1)[5,6) (2) a ? ?3

求 a 的取值范围.

问题1: 解不等式|x-1|<|x+3|

答案:x> -1

四、初中毕业后,我们需要衔接的是哪些方面?

(一)知识方面的衔接
2.整式
整式的变形是重要的代数式的恒等变形,也是高中数 学中极其常见的运算. 【初中】要求了解整式的概念,会进行简单的整式加、 减运算,乘法运算( 其中的多项式相乘仅指一次式相 乘);会利用平方差、完全平方公式进行简单计算;会用 提公因式法、公式法(直接用公式不超过二次)进行因式 分解(指数是正整数). 【高中】不再学习整式.

【衔接建议】 1、乘法公式 (1)立方和公式: (a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 ) ? a 3 ? b 3 ; (2)立方差公式: (a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 ) ? a 3 ? b 3 ; (3)三数和平方公式:

(a ? b ? c) 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ac ;
(4)两数和立方公式: (a ? b) 3 ? a 3 ? b 3 ? 3a 2b ? 3ab2 ; (5)两数差立方公式: (a ? b) 3 ? a 3 ? b 3 ? 3a 2 b ? 3ab2 . 2、因式分解的新方法: (1)分组分解法;(2)十字相乘法;(3)求根法;(4)待定系数法.

思考:分解因式:x3 -3x+2

答案: ( x ? 1)(x ? 2)

【高中练习示例】
求证:函数 y=x3 是增函数。 本题实质是: 已知函数 y=x3 的图象经过点 ( x1 , y1 ) 与 ( x2 , y 2 ) ,且 x1 ? x 2 ,求证: y1 ? y2 . 解:∵函数 y=x3 的图象经过点 ( x1 , y1 ) 与 ( x2 , y 2 ) ,∴ y1 ? x1 , y2 = x 2 .
3 3

∴ y1 ? y 2 ? x1 ? x2 = ( x1 ? x2 )(x1 ? x1 x2 ? x2 ) ,
3 3 2 2

∵ x1 ? x 2 , ∴ x1 ? x2 ? 0 . 又 x1 ? x1 x 2 ? x2
2 2

x 3x 2 ? x1 ? x1 x2 ? ( 2 ) 2 ? 2 2 4
2

2

x 2 3x = ( x1 ? 2 ) ? 2 ? 0 ,(由于 x1 ? x 2 ,所以不能取等号) 2 4
∴ y1 ? y 2 ? 0 ,即 y1 ? y2 .

【衔接教材应掌握练习】
【例 1】分解因式: (1) 3x 2 ? 8 x ? 3 ;(2) x 2 ? 5xy ? 6 y 2 ; (3) 2 x 2 ? 7 xy ? 6 y 2 ? 2 x ? y ? 12 . 答案:(1) (3x ? 1)(x ? 3) (2) ( x ? 2 y )(x ? 3 y ) (3) (2 x ? 3 y ? 4)(x ? 2 y ? 3)

2 2 2 【例 2】比较 a ? b ? c 与 ab ? bc ? ca 的大小.

答案: ? ( 当且仅当 a ? b ? c 时等号成立)
3 2 3 2 【例 3】把多项式 x ? x ? 2 x ? 2 表示成 a( x ?1) ? b( x ?1) ? c( x ?1) ? d 的形式.

答案: x ? x ? 2x ? 2 ? ?x ?1? ? 2( x ?1) ? 3( x ?1) ? 4
3 2 3 2

问题 2:对于任意实数 x,下列不等式都成立吗?为什么?

x 2 ? 80x ? 2010? 0
答案:恒成立

四、初中毕业后,我们需要衔接的是哪些方面?

(一)知识方面的衔接
3.分式
【初中】了解分式的概念,会利用分式的基本性质进 行约分和通分,会进行简单的分式加、减、 乘、除运算; 会解可化为一元一次方程的分式方程(方程中的分式不超 过两个);能确定分式函数的自变量取值范围,并会求出 函数值. 【高中】不再学习。高二选修中,有少量分式不等式的学习。 【衔接建议】接触更复杂的分式运算(如分式拆分, 分式乘方);解可化为一元二次方程的分式方程.

【高中练习示例】

2x ?1 【例 1】判断:函数 f ( x) ? x 是奇函数还是偶函数。 2 ?1 2x ?1 2?x ?1 本题的实质是:比较 x 与 ?x 是相等,还是互为相反数。 2 ?1 2 ?1
答案:奇函数

【高中练习示例】

x2 y2 【例 2】(理科)椭圆 ? 2 ? 1 ?a > b > 0? 与直线 x ? y ? 1 交于 P 、 Q 两点, 2 a b

1 1 且 OP ? OQ ,其中 O 为坐标原点. (1)求 2 ? 2 的值; (2)若椭圆的离 a b
心率 e 满足 3 ≤ e ≤ 2 ,求椭圆长轴的取值范围. 3 2 本题第(2)问的实质是:已知

1 1 ? 2 =2, a2 b

c2 ? a2 ? b2

c2 b2 1 b2 1 1 b2 2 解? 2 ? 1 ? 2 ? ? 1 ? 2 ? ? ? 2 ? , a a 3 a 2 2 a 3
a2 又b ? 2 2a ? 1
2

3 c 2 ? ? 3 a 2
求 a 的取值范围。

?

1 1 2 5 3 5 6 ? 2 ? ? ? a2 ? ? ?a? 2 2a ? 1 3 4 2 2 2

【衔接教材应掌握练习】
【例 1】已知函数 y ?

2x ? 3 . x ?1 b 1 (1)将它化为 y ? a ? (a,b 为常数)的形式;答案: y ? 2 ? x ?1 x ?1
(2)画出函数的图象,并说明当 x≥-2 时,y 的取值范围.答案: y ? 1 或 y ? 2

x 2 ? 3x ? 5 p 3 练习:将 y ? 化为 y ? mx ? n ? 的形式.答案: y ? x ? 2 ? cx ? d x ?1 x ?1
1 4x 2 ? 2 ? ? 1 .答案: x ? 1 (注意验根) x?2 x ?4 x?2 1 1 1 【例 3】 (1)已知 a ? b ? 0 ,求证: ? . (2)已知 x ? 0 ,求证: x ? ? 2 . x a b
【例 2】解方程

x 2 ? 3x ? 2 3x ? 1 ? ?1 ; ? 0. 【例 4】解下列不等式: 3? x x 2 ? 2x ? 3
答案: (1) (?2,3) (2) (?1,1) ? (2,3)

问题 3:下列是一个同学觉得比较简单的题,请大家试试,你能全对吗:

1 ①当 x ? 1 时, 的范围是 x 1 ③当 x ? ?1 时, 的范围是 x

1 ;②当 x ? 1 时, 的范围是 x 1 ;④当 x ? ?1 时, 的范围是 x

; .

四、初中毕业后,我们需要衔接的是哪些方面?

(一)知识方面的衔接
4.二次根式 高中阶段,我们在学习函数、解析几何、数列等内容时, 涉及到大量的与二次根式有关的计算. 【初中】了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算 法则,会用它们进行有关实数的简单四则运算(不要求分母 有理化). 【高中】会学习有理指数幂及运算。 【衔接建议】根据需要,我们应掌握最简二次根式、同 类根式的概念与运用,分子(母)有理化,简单的无理方程 (不等式).

【高中练习示例】

已知动点 P(x,y)满足: ( x ? 2) ? y ? ( x ? 2) ? y ? 6
2 2 2 2

求点 P 的轨迹方程。 本题的实质:化简该方程。

x2 y2 ? ? 1 ,化简后马上就可以知道,点 P 的轨迹是椭圆。 结果是: 9 5

【衔接教材应掌握练习】
n ? 2 ? n2 ? 4 n ? 2 ? n2 ? 4 3? 2 ? (n ? 2) . 【例 1】化简: (1) ; (2) ; (3) 2 2 2 3? 2 n?2? n ?4 n?2? n ?4
1

(4) 11 ? 2 18 . (5)

x2 ?

1 ? 2(0 ? x ? 1) . 2 x
(3) n (4) 3 ? 2 (5)
1 ?x x

答案: (1)

2 2

(2) 5 ? 2 6

【例 3】解方程: (1)

x 2 ? 5x ? 1 ? 2x ? 1 ? 0 ;答案: x ? 3
答案: x ? 20

(2) 2x ? 4 ? x ? 5 ? 1 ;
2 2

(3) 2x ? 3x ? 5 2x ? 3x ? 9 ? 3 ? 0 .答案: x1 ? ? 【例 4】不等式 2 ? x ? x 的解集是( A. ? 2 ? x ? 1 答案:C B. x ? 2 ) . C. x ? 1

9 , x2 ? 3 2

D. 1 ? x ? 2

四、初中毕业后,我们需要衔接的是哪些方面?

(一)知识方面的衔接
5.二次方程(组)
【初中】会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字 系数的一元二次方程. 【高中】不再学习。 【衔接建议】 (1)理解一元二次方程的根的判别式,并能用判别式判定 根的情况; (2)掌握一元二次方程根与系数的关系,并能运用它求含 有两根之和、两根之积的代数式的值; (3)能解决二元二次方程组的相关问题.

【高中练习示例】

20.(本小题满分 14 分)
x2 已知双曲线 ,Q ? y 2 ? 1 的左、右顶点分别 为 A , A2 ,点 P( x1 , y2 ) 1 2
( x1 , ? y2 )是双曲线上不同的两个动点。求直线 A P 与 A2Q 交点的轨迹 E 1 的方程;若过点 H(0.h) (h>1)的两条直线 l1 和 l 2 与轨迹 E 都只有一个交点, 且 l1 ⊥ l 2 ,求 h 的值

部分解答过程:
x2 x2 l将 y ? kx ? h 代入 ? y 2 ? 1 得 ? (kx ? h)2 ? 1 , 1: 2 2 2 2 2 即 (1 ? 2k ) x ? 4khx ? 2h ? 2 ? 0 ,
由 ? ? 16k h ? 4(1 ? 2k )(2h ? 2) ? 0 ,
2 2 2 2

即 1 ? 2k ? h .
2 2

【高中练习示例】

? y ? kx ? m ? x ? x1 ? x ? x 2 ? 2 关于 x,y 的方程组 ? x 有两组解 ? 或? ( x1 ≠ x2 ) , 2 ? y ? y1 ? y ? y 2 ? ? y ?1 ?4
且 ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? y1 y2 =0,求 k 与 m 的关系.
解答如下:

x2 ? y 2 ? 1,整理得 将 y ? kx ? m 代入 4

(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx? 4m 2 ? 4 ? 0 ,该方程的解即为 x1 、 x2 ,
8km ? 4m 2 ? 4 ∴ 1 ? 4k ? 0 , ? ? 0 ,且 x1 ? x 2 ? , x1 ? x 2 ? . 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k
2

【高中练习示例】

? y ? kx ? m ? x ? x1 ? x ? x 2 ? 2 关于 x,y 的方程组 ? x 有两组解 ? 或? ( x1 ≠ x2 ) , 2 ? y ? y1 ? y ? y 2 ? ? y ?1 ?4
且 ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? y1 y 2 =0,求 k 与 m 的关系.
解答如下: ∴ y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m .
2 2

又∵ ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? y1 y 2 =0, ∴ x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 + k x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m =0,
2 2

即 (1 ? k ) x1 x2 ? (km ? 2)(x1 ? x2 ) ? m ? 4 =0.
2 2

【高中练习示例】

? y ? kx ? m ? x ? x1 ? x ? x 2 ? 2 关于 x,y 的方程组 ? x 有两组解 ? 或? ( x1 ≠ x2 ) , 2 ? y ? y1 ? y ? y 2 ? ? y ?1 ?4
且 ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? y1 y 2 =0,求 k 与 m 的关系.
解答如下:

? 4m 2 ? 4 8km 2 ? (km ? 2) ? ? m 2 ? 4 =0. ∴ (1 ? k ) 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
化简得: 3m ? 16km ? 20k ? 0 ,
2 2

∴m ? ?

10k 或 m ? ?2 k . 3

【衔接教材应掌握练习】
【例1】

关于 x的方程 m 方程有两个不相等的实数根? mx2 ? 2(3m ? 1) x ? 9m ? 1 ? 0 . 取何值时, 答案: m ?

1 且m ? 0 5

【例 2】设方程 2 x 2 ? 6 x ? 3 ? 0 的两个根是 ?、?, ? ? 且 (1)

? , 利用根与系数的关系求:

1

?

?

1

?

; (2) ? 2 ? ? 2 .

答案: (1) ? 2

(2)12

【例 3】当 m 取什么实数时,关于 x 的方程 4x2 +(m-2)x+(m-5)=0 分别有: (1)两个正实数根; (3)正根绝对值大于负根绝对值. 答案: (1)不存在(2) m ? 5 (3) m ? 2 (2)一正根和一负根;

? x 2 ? y 2 ? 20, ? 【例 4】解方程组 ? 2 ? x ? 5 xy ? 6 y 2 ? 0. ?

? x1 ? 4 ? x2 ? ?4 ? x ? 3 2 ? x ? ?3 2 ? ? ,? ,? 3 ,? 4 答案: ? ? y1 ? 2 ? y2 ? ?2 ? y3 ? 2 ? y4 ? ? 2 ? ?

问题 4:下列二次方程组可能有 4 组解,对吗?如果是,m 满足什么条 件时方程组有 4 组解.

?x2 ? y 2 ? 1 ? ? y ? 2x ? m

(m 是常数)

四、初中毕业后,我们需要衔接的是哪些方面?

(一)知识方面的衔接
6.二次函数的图象和性质(衔接中最重要的内容)
二次函数知识的生长点在初中,而发展点则在高中,是初高中数学衔 接的重要内容.二次函数作为一种简单而基本的函数类型,是历年来高考 的一项重点考查内容,经久不衰,以它为核心内容的重点试题,也年年有 所变化. 【初中】确定二次函数的表达式,会用描点法画出二次函数的图象, 并能从图象上认识二次函数的性质,会利用二次函数的图象求一元二次方 程的近似解. 【高中】结合二次函数的图像,判断一元二次方程根的存在性及根的 个数,从而了解函数的零点与方程根的联系。 【衔接建议】高中教材很少专门对二次函数进行研究,所以应该更深 入地研究二次函数的图象和性质,包括:简单的图象变换、求给定自变量 x的范围的二次函数的最值(包括动区间和动函数的求解,这是高中分类 讨论的重头戏)、构造二次函数来解决一些问题.

【高中练习示例】
(07 广东改) 已知 a 是 实 数 , 函 数 y ? 2ax2 ? 2 x ? 3 ? a , 如 果 方 程

2ax2 ? 2 x ? 3 ? a =0 有根 m ,且 ? 1 ? m ? 1 ,求 a 的取值范围.
解:若 a ? 0 ,

f ( x) ? 2 x ? 3 ,显然在 ?? 1,1? 上没有零点, 所以
解得

a ? 0.



? ? 4 ? 8a ? 3 ? a ? ? 8a2 ? 24a ? 4 ? 0 ,
a ? ?3 ? 2 7

a ?

?3 ? 2

7

①当

时,

y? f

? x ? 恰有一个零点在 ? ?1,1? 上; ? x? 在

②当 f

?? 1? ?

f ? ? ? ?a ? 1??a ? 5? ? 0 ,即 1 ? a ? 5 时, y ? f 1

? ?1,1? 上也恰有一个零点.
③当 y ? f

? x ? 在 ? ?1,1? 上有两个零点时,



a ?0 ? ? ? ? 8a 2 ? 24 a ? 4 ? 0 ? ? 1 ?1 ? ? ?1 ? 2a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 ?
解得 a ? 5 或 a ?

a ?0 ? ? ? ? 8a 2 ? 24 a ? 4 ? 0 ? ? 1 ?1 ? ? ?1 或? 2a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 ?

?3 ? 2

5

【衔接教材应掌握练习】

【例 1】对于二次函数 y ? x 2 ? 4 x ? 1 ,分别在下列的自变 量取值范围内,求出函数的最大值、最小值. (1) 3 ? x ? 4 ; (2) 0 ? x ? 1 ; (3) 0 ? x ? 5 . 答案: (1) ? 2 ? y ? 1 (2) ? 2 ? y ? 1 (3) ? 3 ? y ? 6
2 【例 2】已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 1( ? 1 ? x ? 2 )的最 大值为 4,求 a 的值.

1 答案: ? 1 或 ? 4

四、初中毕业后,我们需要衔接的是哪些方面?

(一)知识方面的衔接
7.平面几何
现行初中数学教材在内容上进行了较大幅度的调整,难度、深度和广度大 大降低了,那些在高中学习中经常应用到平面几何的知识,如:三角形的四心、 正多边形与圆、与三角形有关的比例线段、与圆有关的定理的要求,不是删掉 了,就是降低了要求。这样初中教材就体现了“浅、少、易”的特点,但却加 重了高一数学的份量。且目前初中教材叙述方法比较简单,语言通俗易懂,直 观性、趣味性强,结论容易记忆,应试效果也比较理想。

【衔接建议】
(1)、三角形的重心、垂心、内心,外心 (2)、正多边形与圆 (3)、与三角形有关的比例线段 (4)、与圆有关的定理

(1)、三角形的重心、垂心、内心,外 心
? ? ? ? 三角形的重心:三条中线的交点 三角形的垂心:三条高线所在直线的交点 三角形的内心:三条内角平分线的交点 三角形的外心:三边垂直平分线的交点

(2)、正多边形与圆
? 正多边形的边长与面积、周长、内角、中 心角的关系 ? 正多边形的内切圆半径与外接圆半径的关 系 ? 三角形的面积公式

(3)、与三角形有关的比例线段
? ? ? ? 平行线分线段成比例定理 三角形内角平分线性质定理 三角形外角平分线性质定理 直角三角形中的射影定理

(4)、与圆有关的定理
? ? ? ? ? 垂径定理 相交弦定理 切割线定理 直线与圆的位置关系 两圆的位置关系

四、初中毕业后,我们需要衔接的是哪些方面?

(二)数学思想方法的衔接
高中数学思想方法: ? 函数与方程思想 ? 数形结合思想 ? 分类与整合思想 ? 化归与转化思想 ? 特殊与一般思想 ? 有限与无限思想 ? 必然与或然思想
高中七个数学思想中前四个数学思想在整个高中的数学教学中一直贯穿始终。

四、初中毕业后,我们需要衔接的是哪些方面?

(二)数学思想方法的衔接
1.配凑法、配方法、待定系数法(化归与转化思想)
问题 5: (1)求函数 y ?

3x ? 2 的值域; 2x ?1

(2)试将 y ? ax2 ? bx ? c 配成 y ? a( x ? m) 2 ? n 的形式; (3)求函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 在 0 ? x ? 3 范围内的值域。

? 答案: (1) ? y y ? ?
(3)

3? ? 2?

b 2 4ac ? b 2 ) ? (2) y ? a( x ? 2a 4a

?y ? 4 ? y ? 0?

四、初中毕业后,我们需要衔接的是哪些方面?

(二)数学思想方法的衔接

2.换元法(分类与整合思想)
问题6:(1)求函数

y ? 2x ? 4 1? x 的最值.

8( x 2 ? 2 x) 3( x 2 ? 1) (2)解方程 ? 2 ? 11 . 2 x ?1 x ? 2x
答案:(1)4 (2) ? 3,? ,?

1 2

1 5

四、初中毕业后,我们需要衔接的是哪些方面?

(二)数学思想方法的衔接
3.函数、不等式(函数与方程思想)
问题 7: 1、解下列不等式: (1) x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ; (2) ( x ? 3)(x ? 1)(x ? 2)(x ? 3) ? 0 答案: (1) ?? ?,?1? ? ?3,??? 2、函数 y ? 取值范围是 答案: 0 ? a ? 1 (2) ?? ?,?3? ? ?1,2? ? ?3,???

ax2 ? 6ax ? a ? 8 的自变量 x 可取全体实数,则 a 的


四、初中毕业后,我们需要衔接的是哪些方面?

(二)数学思想方法的衔接
4.方程(数形结合思想)
问题 8: 已知方程 | x 2 ? 2x ? 3 |? a 有三解,求a的值; 答案: a ? 4

四、初中毕业后,我们需要衔接的是哪些方面?

(三)学习态度与学习方法的的衔接
优点:
(1)综合素质高,个性张扬; (2)自信心十足,思维活跃; (2)知识面丰富,接受新知识较快 等等。

缺点:
(1)运算能力、含字母的代数式的化简能力不强; (2)合情推理能力、演绎推理能力不强(书写格式不规范); (3)知识逻辑性与思维严密性欠佳; (4)专注力不够,容易受外界影响.

四、初中毕业后,我们需要衔接的是哪些方面?

(三)学习态度与学习方法的的衔接
建议:
利用信息技术工具帮助学习: 《几何画板》、excel等 养成良好习惯: 例如上课专心听讲(尤其是重视课本学习)、 认真作好笔记、 及时预习复习、 独立完成作业、 书写规范工整等等。

信息技术下的数学学习
【例 1】画出函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 ( m ? x ? n ,m、n 是参数)的图象,并求函数 的最值. 答案:略,注意分类讨论
2

【例 2】求函数 y ? x ? x ? 2 ? 1 的最小值;答案:

11 4

五、目前初高中数学衔接教学的误区

误区之一:衔接教材讲授大量的高一新知识,衔 接课变成了新课。
我想这样做的目的可能是想让学生占有时间上的优势, 但是我们可能在暑假将高一的课程全部教给学生吗?实际上, 如果学生在被动状态下提前学习,开学后,他们会发觉老师 正常进度很快就赶上来了。而且由于讲座上的这些知识都能 在课堂上再现,有的学生甚至到了真正的课堂上讲该知识点 时,觉得那是补习学过的,于是麻痹大意,结果反而不利于 后续的学习。这样衔接课就做成了“夹生饭”。我们要提倡 学生自主学习,指导学生养成独立预习的习惯。

五、目前初高中数学衔接教学的 误区
误区之一:衔接教材讲授大量的高一新知识, 衔接课变成了新课。 如果我是学生,我要提醒自己,对于数学, 暑假并不是要急于学习高一的新课本,而是将 初中一些应该提高与拓展的部分--《初高中 数学衔接内容》进行巩固。

五、目前初高中数学衔接教学的误区
误区之二:衔接教材讲授大量的初中竞赛内容, 衔接课变成了竞赛培训课。
许多家长与老师认为,在初中把竞赛搞好,高中学习 就不会有问题了。大家的出发点是好的,但仔细分析《初 中数学竞赛大纲》的朋友很清楚,初中竞赛有很多内容不 仅是初中不需要学习,就连高中也不会接触,这样的内容 只适合有竞赛兴趣的同学去学习。我们为什么一定要撒大 网捞小鱼呢?对于大多数同学而言,过多的参与数学竞赛 不仅不能真正提高能力,反而加重他们的负担,耽误了他 在其它方面的发展。

五、目前初高中数学衔接教学的误区
误区之三:衔接教材仅仅只是巩固初中知识,衔接 课变成了复习课。
利用课余对少数基础比较弱的同学巩固初中知识也是必 要的,我们不妨把这称为“补习”。衔接讲座的功能则是有 针对性的,它所面临的对象应该是相关基础知识已经掌握的 学生。如果我们在衔接讲座上只复习不提高,这样衔接讲座 就做成了“炒现饭”。

由于本人能力有限,讲得不好, 有担误你们时间的请多多包含。


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