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【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题型:专题2 不等式与线性规划 第4练


第4练

再谈“三个二次”的转化策略

题型一 函数与方程的转化
?|lg x|,x>0, ? 例 1 设定义域为 R 的函数 f(x)=? 2 则关于 x 的函数 y=2f2(x)-3f(x)+1 的零 ? ?-x -2x,x≤0,

点的个数为________. 破题切入点 将函数的零点问题转化为对应方程根的问题. 答案 7 1 解析 由 y=2f2(x)-3f(x)+1=0 得 f(x)= 或 f(x)=1, 2

1 如图画出 f(x)的图象,由 f(x)= 知有 4 个根, 2 由 f(x)=1 知有 3 个根,故函数 y=2f2(x)-3f(x)+1 共有 7 个零点. 题型二 函数与不等式的转化 1 例 2 已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为{x|x<-1 或 x> },则 f(10x)>0 的解集为________. 2 1 破题切入点 由题意,可得 f(10x)>0 等价于-1<10x< ,由指数函数的单调性即可求解. 2 答案 {x|x<-lg 2} 1 解析 由题意可知 f(x)>0 的解集为{x|-1<x< }, 2 1 故 f(10x)>0 等价于-1<10x< , 2 由指数函数的值域为(0,+∞),知一定有 10x>-1,
lg 1 2 而 10 < 可化为 10x<10 , 2 1

x

-1-

即 10x<10-lg 2. 由指数函数的单调性可知 x<-lg 2. 题型三 方程与不等式的转化 例 3 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的取值范围; (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的取值范围. 破题切入点 将二次函数的特殊点按照题目要求固定到区间内,转化为不等式(组)进行求解. 解

(1)由条件, 抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内, 如右图所 示, f?0?=2m+1<0 ? ?f?-1?=2>0 得? f?1?=4m+2<0 ? ?f?2?=6m+5>0

? ?m∈R, ?? 1 m<- , 2 ? 5 ?m>-6.
5 1 即- <m<- , 6 2 5 1 故 m 的取值范围是(- ,- ). 6 2 (2)

1 m<- , 2

抛物线与 x 轴交点的横坐标均在区间(0,1)内,如右图所示,列不等式组

-2-

f?0?>0 ? ?f?1?>0 ?Δ≥0 ? ?0<-m<1

? ?m>-1, 2 ?? m≥1+ 2或m≤1- ? ?-1<m<0.
1 即- <m≤1- 2. 2

1 m>- , 2

2,

1 故 m 的取值范围是(- ,1- 2]. 2 总结提高 “三个二次”是一个整体,不可分割.有关“三个二次”问题的解决办法通常是

利用转化与化归思想来将其转化,其中用到的方法主要有数形结合、分类讨论的思想,其最 基本的理念可以说是严格按照一元二次不等式的解决步骤来处理.

1.若 A={x|x2+(p+2)x+1=0,x∈R},B={x|x>0},且 A∩B=?,则实数 p 的取值范围是 ________. 答案 (-4,+∞) 解析 当 A=?时,Δ=(p+2)2-4<0, ∴-4<p<0. 当 A≠?时,方程 x2+(p+2)x+1=0 有一个或两个非正根,

?Δ≥0, ? ∴? ∴p≥0. ?x1+x2=-?p+2?≤0, ?
综上所述,p>-4. 2.已知函数 f(x)=x2-2x+3 在闭区间[0,m]上的最大值为 3,最小值为 2,则 m 的取值范围 为________. 答案 [1,2] 解析 ∵f(x)=(x-1)2+2,其对称轴为 x=1,当 x=1 时,f(x)min=2,故 m≥1,又∵f(0)=3, f(2)=3,∴m≤2.综上可知 1≤m≤2. 3 3.方程 x2- x-m=0 在 x∈[-1,1]上有实根,则 m 的取值范围是________. 2
-3-

9 5 答案 [- , ] 16 2 3 3 9 x- ?2- ,x∈[-1,1]. 解析 m=x2- x=? 2 ? 4? 16 5 当 x=-1 时,m 取最大值为 , 2 3 9 9 5 当 x= 时,m 取最小值为- ,∴- ≤m≤ . 4 16 16 2 ?x+1,x≤0, ? 4. 已知函数 f(x)=? 2 若关于 x 的方程 f2(x)-af(x)=0 恰有 5 个不同的实数解, ?x -2x+1,x>0, ? 则 a 的取值范围是________. 答案 (0,1) 解析

设 t=f(x), 则方程为 t2-at=0, 解得 t=0 或 t=a, 即 f(x)=0 或 f(x)=a. 如图,作出函数 f(x)的图象, 由函数图象,可知 f(x)=0 的解有两个, 故要使方程 f2(x)-af(x)=0 恰有 5 个不同的解, 则方程 f(x)=a 的解必有三个,此时 0<a<1. 所以 a 的取值范围是(0,1). 5.(2013· 重庆改编)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零 点分别位于下列哪个区间________.(填序号) ①(a,b)和(b,c)内 ②(-∞,a)和(a,b)内 ③(b,c)和(c,+∞)内 ④(-∞,a)和(c,+∞)内 答案 ① 解析 由于 a<b<c,所以 f(a)=0+(a-b)(a-c)+0>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-
-4-

b)>0.因此有 f(a)· f(b)<0,f(b)· f(c)<0, 又因 f(x)是关于 x 的二次函数,函数的图象是连续不断的曲线, 因此函数 f(x)的两零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内. 6.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 有两个极值点 x1,x2.若 f(x1)=x1<x2,则关于 x 的方程 3(f(x))2 +2af(x)+b=0 的不同实根的个数为________. 答案 3 解析 因为函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 有两个极值点 x1, x2, 可知关于导函数的方程 f′(x)=3x2 +2ax+b=0 有两个不等的实根 x1,x2.则方程 3(f(x))2+2af(x)+b=0 的根的个数就是方程 f(x) =x1 和 f(x)=x2 的不等实根的个数之和,再结合图象可看出函数 y=f(x)的图象与直线 y=x1 和 直线 y=x2 共有 3 个不同的交点,故所求方程有 3 个不同的实根. 7 .若关于 x 的不等式 (2x - 1)2<ax2 的解集中整数恰好有 3 个,则实数 a 的取值范围是 __________. 25 49? 答案 ? ? 9 ,16? 解析 因为不等式等价于(-a+4)x2-4x+1<0,其中(-a+4)x2-4x+1=0 中的 Δ=4a>0,且 1 1 1 1 1 有 4-a>0,故 0<a<4,不等式的解集为 <x< , < < ,则一定有{1,2,3}为所 4 2+ a 2- a 2+ a 2 25 49? 1 , 求的整数解集.所以 3< ≤4,解得 a 的范围为? 9 16?. ? 2- a 8. 已知函数 f(x)=x2-2ax+2, 当 x∈[-1, +∞)时, f(x)≥a 恒成立, 则 a 的取值范围________. 答案 [-3,1] 解析 因为 f(x)=(x-a)2+2-a2, 所以此二次函数图象的对称轴为 x=a. ①当 a∈(-∞,-1)时,f(x)在[-1,+∞)上单调递增, 所以 f(x)min=f(-1)=2a+3. 要使 f(x)≥a 恒成立,只需 f(x)min≥a, 即 2a+3≥a,解得 a≥-3,即-3≤a<-1. ②当 a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2. 要使 f(x)≥a 恒成立,只需 f(x)min≥a, 即 2-a2≥a,解得-2≤a≤1,即-1≤a≤1. 综上,实数 a 的取值范围为[-3,1]. 9.已知函数 f(x)=2ax2+2x-3.如果函数 y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,则实数 a 的取值范围
-5-

为______________. 1 ? 答案 ? ?2,+∞? 解析 若 a=0,则 f(x)=2x-3, 3 f(x)=0?x= ?[-1,1],不合题意,故 a≠0. 2 下面就 a≠0 分两种情况讨论: 1 5 ①当 f(-1)· f(1)≤0 时,f(x)在[-1,1]上有一个零点,即(2a-5)(2a-1)≤0,解得 ≤a≤ . 2 2

? ②当 f(-1)· f(1)>0 时,f(x)在[-1,1]上有零点的条件是?-1<- 1 <1, 2a ?f?-1?·f?1?>0,
1 ? 综上,实数 a 的取值范围为? ?2,+∞?.

1? f? ?-2a?f?1?≤0, 5 解得 a> . 2

π 10. 已知定义在 R 上的单调递增奇函数 f(x), 若当 0≤θ≤ 时, f(cos2θ+2msin θ)+f(-2m-2)<0 2 恒成立,则实数 m 的取值范围是________. 1 答案 (- ,+∞) 2 解析 方法一 f(cos2θ+2msin θ)+f(-2m-2)<0?f(cos2θ+2msin θ)<f(2m+2)?cos2θ+2msin θ<2m+2?2m(1-sin θ)>-1-sin2θ. π 当 θ= 时,2m· 0>-2,此时 m∈R; 2 1+sin2θ π 当 0≤θ< 时,m>- ,令 t=1-sin θ, 2 2?1-sin θ? 1 1+?1-t? 1 2 则 t∈(0,1],此时 m>- × =- (t+ -2). 2 t 2 t 1 2 设 φ(t)=- (t+ -2), 2 t 1 而 φ(t)在 t∈(0,1]上的值域是(-∞,- ], 2 1 故 m>- . 2
2

方法二 同方法一,求得 2m(1-sin θ)>-1-sin2θ, 设 sin θ=t,则 t2-2mt+2m+1>0 对于 t∈[0,1]恒成立. 设 g(t)=t2-2mt+2m+1,其图象的对称轴方程为 t=m. ①当 m<0 时,g(t)在[0,1]上单调递增, 1 从而 g(0)=2m+1>0,即 m>- , 2 1 又 m<0,所以- <m<0. 2
-6-

②当 0≤m≤1 时,g(t)在[0,m]上单调递减,在[m,1]上单调递增, 从而 g(m)=m2-2m2+2m+1>0,即 m2-2m-1<0, 所以 1- 2<m<1+ 2. 又 m∈[0,1],所以 0≤m≤1. ③当 m>1 时,g(t)在[0,1]上单调递减, 从而 g(1)=1-2m+2m+1=2>0 恒成立,所以 m>1. 1 综合①②③,可知 m>- . 2 11.已知函数 f(x)=2asin2x-2 π? 3asin xcos x+a+b(a≠0)的定义域是? ?0,2?,值域是[-5,1],

求常数 a,b 的值. 1 解 f(x)=2a· (1-cos 2x)- 3asin 2x+a+b 2 1 3 =-2a? cos 2x+ sin 2x?+2a+b 2 ?2 ? π ? =-2asin? ?2x+6?+2a+b, π π π 7 又∵0≤x≤ ,∴ ≤2x+ ≤ π, 2 6 6 6 π 1 ? ∴- ≤sin? ?2x+6?≤1. 2 因此,由 f(x)的值域为[-5,1] a>0, ? ? 1 可得?-2a×?-2?+2a+b=1, ? ?-2a×1+2a+b=-5, a<0, ? ? 或?-2a×1+2a+b=1, 1 ? ?-2a×?-2?+2a+b=-5,

? ? ?a=2, ?a=-2, 解得? 或? ? ? ?b=-5 ?b=1.
12.已知函数 f(x)=ax2+ax 和 g(x)=x-a,其中 a∈R,且 a≠0.若函数 f(x)与 g(x)的图象相交 于不同的两点 A、B,O 为坐标原点,试求△OAB 的面积 S 的最大值. 解 依题意,f(x)=g(x),即 ax2+ax=x-a, 整理得 ax2+(a-1)x+a=0,① ∵a≠0,函数 f(x)与 g(x)的图象相交于不同的两点 A、B,
-7-

∴Δ>0,即 Δ=(a-1)2-4a2=-3a2-2a+1 =(3a-1)(-a-1)>0, 1 ∴-1<a< 且 a≠0. 3 设 A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1<x2, a-1 由①得 x1x2=1>0,x1+x2=- . a 设点 O 到直线 g(x)=x-a 的距离为 d, |-a| 则 d= , 2 |-a| 1 ∴S= 1+12|x1-x2|· 2 2 1 = -3a2-2a+1 2 1 1 4 a+ ?2+ . = -3? 3 ? ? 3 2 1 ∵-1<a< 且 a≠0, 3 1 3 ∴当 a=- 时,S 取得最大值 . 3 3

-8-


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