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【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题型 专题1 集合与常用逻辑用语 第2练


第2练

常用逻辑用语中的“常考题型”

题型一 充分必要条件问题 例 1 (1)若 f(x)和 g(x)都是定义在 R 上的函数, 则“f(x)与 g(x)都为增函数”是“f(x)+g(x)是增 函数”的________条件. π (2)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ= ”的________ 2 条件. 破题切入点 (1)增函数的性质以及互相推出的关键. (2)三角函数的图象和性质要熟练掌握. 答案 (1)充分不必要 (2)必要不充分

解析 (1)若 f(x)与 g(x)都为增函数, 根据单调性的定义易知 f(x)+g(x)为增函数; 反之 f(x)+g(x)为增函数时, 例如 f(x)=-x,g(x)=2x,f(x)+g(x)=x 为增函数, 但 f(x)为减函数,g(x)为增函数. 故“f(x)与 g(x)都为增函数”是“f(x)+g(x)是增函数”的充分不必要条件. π? π (2)φ= ?f(x)=Acos? ?ωx+2?=-Asin ωx 为奇函数, 2 π ∴“f(x)是奇函数”是“φ= ”的必要条件. 2 π π 又 f(x)=Acos(ωx+φ)是奇函数?f(0)=0?φ= +kπ(k∈Z)D/?φ= . 2 2 π ∴“f(x)是奇函数”不是“φ= ”的充分条件. 2 π 即“f(x)是奇函数”是“φ= ”的必要不充分条件. 2 题型二 逻辑联结词、命题真假的判定 例 2 下列叙述正确的个数是________. ①l 为直线,α、β 为两个不重合的平面,若 l⊥β,α⊥β,则 l∥α; ②若命题 p:?x∈R,x2-x+1≤0,则綈 p:?x∈R,x2-x+1>0; 1 ③在△ABC 中,“∠A=60° ”是“cos A= ”的充要条件; 2 ④若向量 a,b 满足 a· b<0,则 a 与 b 的夹角为钝角. 破题切入点 判定叙述是否正确,对命题首先要分清命题的条件与结论,再结合涉及知识进
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行判定;对含量词的命题的否定,要改变其中的量词和判断词. 答案 2 解析 对于①,直线 l 不一定在平面 α 外,错误;对于②,命题 p 是存在性命题,否定时要写 成全称命题并改变判断词,正确;③注意到△ABC 中条件,正确;④a· b<0 可能〈a,b〉=π, 错误.故叙述正确的个数为 2. 总结提高 (1)充要条件的判断及选择:首先要弄清楚所要考查的相关知识并将其联系起来;

其次充要条件与互相推出的关系,有时以集合形式给出时找集合间的包含关系.牵扯到比较 复杂的问题时,要将条件转化之后再判断. (2)命题真假的判定方法,注意真值表的使用. (3)四种命题的改写及真假判断. (4)含有一个量词的命题的否定的改写方法.

1.已知集合 A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A?B”的________条件. 答案 充分不必要 解析 若 a=3,则 A={1,3}?B, 故 a=3 是 A?B 的充分条件; 而若 A?B,则 a 不一定为 3, 当 a=2 时,也有 A?B. 故 a=3 不是 A?B 的必要条件. π 2.命题“若 α= ,则 tan α=1”的逆否命题是________. 4 π 答案 若 tan α≠1,则 α≠ 4 π 解析 由命题与其逆否命题之间的关系可知,原命题的逆否命题是:若 tan α≠1,则 α≠ . 4 3.(2014· 无锡模拟)下面是关于公差 d>0 的等差数列{an}的四个命题: p1:数列{an}是递增数列; p2:数列{nan}是递增数列; ?an? p3:数列? n ?是递增数列; ? ? p4:数列{an+3nd}是递增数列. 其中,真命题为________. 答案 p1,p4
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解析 如数列-2,-1,0,1,2,?, 则 1×a1=2×a2,排除 p2, an 如数列 1,2,3,?,则 =1, n 排除 p3. 2x 4.已知 p: <1,q:(x-a)(x-3)>0,若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,则实数 a 的取值 x-1 范围是________. 答案 [1,+∞) 解析 x+1 -1<0? <0?(x-1)(x+1)<0?p:-1<x<1.当 a≥3 时,q:x<3 或 x>a;当 a<3 x-1 x-1 2x

时,q:x<a 或 x>3.綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,即 p 是 q 的充分不必要条件,即 p?q 且 q p,从而可推出 a 的取值范围是 a≥1. 5.命题“对任意 x∈R,都有 x2≥0”的否定为________. 答案 存在 x∈R,使得 x2<0 解析 全称命题的否定是一个存在性命题. 6.给出下列命题: ①?x∈R,不等式 x2+2x>4x-3 恒成立; ②若 log2x+logx2≥2,则 x>1; c c ③“若 a>b>0 且 c<0,则 > ”的逆否命题; a b ④若命题 p:?x∈R,x2+1≥1,命题 q:?x∈R,x2-x-1≤0,则命题 p∧綈 q 是真命题. 其中,真命题为________.(填序号) 答案 ①②③ 1 解析 ①中不等式可表示为(x-1)2+2>0, 恒成立; ②中不等式可变为 log2x+ ≥2, 得 x>1; log2x 1 1 ③中由 a>b>0,得 < ,而 c<0,所以原命题是真命题,则它的逆否命题也为真;④中綈 q: a b 1?2 5 2 ?x∈R,x2-x-1>0,由于 x2-x-1=? ?x-2? -4,则存在 x 值使 x -x-1≤0,故綈 q 为假命 题,则 p∧綈 q 为假命题. 7.下列关于命题的说法中正确的是________. ①对于命题 p:?x∈R,使得 x2+x+1<0,则綈 p:?x∈R,均有 x2+x+1≥0 ②“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件 ③命题“若 x2-3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x2-3x+2≠0”
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④若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题 答案 ①②③ 解析 对于①,命题綈 p:?x∈R,均有 x2+x+1≥0,因此①正确.对于②,由 x=1 可得 x2-3x+2=0; 反过来, 由 x2-3x+2=0 不能得知 x=1, 此时 x 的值也可能是 2, 因此“x=1” 是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件,②正确.对于③,原命题的逆否命题是:“若 x≠1, 则 x2-3x+2≠0”,因此③正确,④中,只要 p、q 其一为假就会满足 p∧q 为假,④错. 1 8.已知命题 p:“?x∈[1,2], x2-ln x-a≥0”是真命题,则实数 a 的取值范围是________. 2 1? 答案 ? ?-∞,2? 1 1 1 ?x-1??x+1? 解析 命题 p:a≤ x2-ln x 在[1,2]上恒成立,令 f(x)= x2-ln x,f′(x)=x- = , 2 2 x x 1 1 当 1<x<2 时,f′(x)>0,∴f(x)min=f(1)= ,∴a≤ . 2 2 9.“φ=π”是“曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点”的________条件. 答案 充分而不必要 解析 当 φ=π 时,y=sin(2x+π)=-sin 2x, 则曲线 y=-sin 2x 过坐标原点, 所以“φ=π”?“曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点”; 当 φ=2π 时,y=sin(2x+2π)=sin 2x, 则曲线 y=sin 2x 过坐标原点, 所以“φ=π” “曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点”,

所以“φ=π”是“曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点”的充分而不必要条件. 10.(2014· 徐州模拟)下列命题中错误的是________. ①命题“若 x2-5x+6=0,则 x=2”的逆否命题是“若 x≠2,则 x2-5x+6≠0” x+y?2 ②若 x,y∈R,则“x=y”是“xy≤? ? 2 ? 中等号成立”的充要条件 ③已知命题 p 和 q,若 p∨q 为假命题,则命题 p 与 q 中必一真一假 ④对命题 p:?x∈R,使得 x2-2ax-a2<0,则綈 p:?x∈R,x2-2ax-a2≥0 答案 ③ 解析 易知①②④都正确;③中,若 p∨q 为假命题,根据真值表,可知 p,q 必都为假,故 ③错. 11.给定两个命题,命题 p:对任意实数 x 都有 ax2>-ax-1 恒成立;命题 q:关于 x 的方程 x2-x+a=0 有实数根.若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,则实数 a 的取值范围为
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________. 1 答案 (-∞,0)∪( ,4) 4

? ?a>0, 解析 若 p 为真命题,则 a=0 或? ?a2-4a<0, ?
即 0≤a<4; 1 若 q 为真命题,则(-1)2-4a≥0,即 a≤ . 4 因为“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题, 所以 p,q 中有且仅有一个为真命题. 1 若 p 真 q 假,则 <a<4; 4 若 p 假 q 真,则 a<0. 1 综上,实数 a 的取值范围为(-∞,0)∪( ,4). 4 12.对于原命题“单调函数不是周期函数”,下列陈述正确的是________. ①逆命题为“周期函数不是单调函数” ②否命题为“单调函数是周期函数” ③逆否命题为“周期函数是单调函数” ④以上三者都不正确 答案 ④ 解析 根据四种命题的构成可得①②③中结论均不正确.

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