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习题1,2,3,4,5解答.doc


习题一
1.判断下列集合对指定的运算是否构成 R 上的线性空间 (1) V1 ? { A ? (aij ) n?n |

?a
i ?1

n

ii

? 0} ,对矩阵加法和数乘运算;

(2) V2 ? { A | A ? R n?n , AT ? ? A

} ,对矩阵加法和数乘运算; (3) V3 ? R 3 ;对 R 3 中向量加法和如下定义的数乘向量: ?? ? R , k ? R, k? ? 0 ;
3

(4) V4 ? { f ( x) | f ( x) ? 0} ,通常的函数加法与数乘运算。 解: (1) 、 (2)为 R 上线性空间 (3)不是,由线性空间定义,对 ?? ? 0 有 1 ? = ? ,而题(3)中 1? ? 0 (4)不是,若 k<0,则 kf ( x) ? 0 ,数乘不满足封闭性。

2.求线性空间 V ? { A ? R 解:一组基
?? 1 ?? ?? 0 ?? 0 ?? . ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ?0 ?? ?? 1 ?? 0 ?? . ?? ?? ?? . ?? ? 0? ??

n?n

| AT ? A} 的维数和一组基。
? ?0 1 ?? ? ?1 0 ?? 0 ?? . ?? ?? ?? . ?? ? 1? ?? 1 ? ?0 ?? ?? 0 ? ?1 0 ?? . ?? ?? ?? . ?? ? 0? ?? ? ?0 ? ? ? ? 0 ? ? 0 ? ? . ??? ? ? ? ? . ? ? ? 0? ? ?1 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? . ? ? ? 0? ? ?

.

.

? ?0 ? ? ? ? 0 ? ? 0 ? ? . ??? ? ? ? ? . ? ? ? 0? ? ?

.

.

.

.

dimW=n(n+1)/2 3.如果 U1 和 U2 都是线性空间 V 的子空间,若 dimU1=dimU2,而且 U1 ? U 2 ,证明:U1=U2。 证明:因为 dimU1=dimU2,故设

??1 , ? 2 ,? , ? r ? 为空间 U1 的一组基, ??1 , ? 2 ,? , ? r ? 为空间 U2 的一组基
?? ? U 2 ,有

? ? ? ?1 ? 2 ?? ? r ? X ?


??1 ? 2 ? ? r ? ? ? ? 1?
于是

? 2 ? r ? C ,C 为过渡矩阵,且可逆

? ? ? ?1 ? 2 ?? ? r ? X ? ? ??1 ? 2 ??? r ? C ?1 X ? ? ??1 ? 2 ??? r ? Y? ? U1
由此,得

U 2 ? U1
又由题设 U1 ? U 2 ,证得 U1=U2。

?1 1 1? ? ? T 4.设 A ? ? 2 1 3 ? ,讨论向量 ? ? (2,3, 4) 是否在 R(A)中。 ? 3 1 5? ? ? ?1 1 1 | 2? ?1 1 1 | 2 ? ? ? ? ? 解:构造增广矩阵 ? A | ? ? ? ? 2 1 3 | 3 ? ? ? 0 ?1 1 | ?1 ? ? 3 1 5 | 4? ?0 0 0 | 0 ? ? ? ? ?
矩阵 A 与其增广矩阵秩相同,向量 ? 可由矩阵 A 的 3 个列向量线性表示, ? 在列空间 R(A) 中。
3 2 3 2 P4[x] 中 向 量 P 2 ? 2 x ? x ? 3x , 1 ? x ? x ? x ?1 , P

5. 讨 论 线 性 空 间

P3 ? 4 x3 ? x 2 ? 5 x ? 2 的线性相关性。

?1 0 ? 3 2 3 ?1 解: ? P 1 P 2 P 3 ? ? (1 x x x ) ?1 ?1 ? ?1 2


2? ? 5? 1? ? 4?

?1 0 ? ?1 3 ? 1 ?1 ? ?1 2

2? ?1 ? ? 5? ?0 ? 1? ?0 ? ? 4? ?0

0 2? ? 1 1? ,该矩阵秩为 2 0 0? ? 0 0?

所以向量组 P1,P2,P3 线性相关。 6.设 A ? R
m?n

,证明 dimR(A)+dimN(A)=n。
n

证明: R( A) ? L{ A1 , A2 ,?, An } , N ( A) ? { X | AX ? 0, X ? R } 假定 dimR(A)=r,且设 A1 , A2 ,?, Ar 为 R(A)的一组基 则存在 k1i , k2i ,?, kri

(i ? r ? 1,?, n) ,其中 k1i , k2i ,?, kri 不全为零 (i ? r ? 1,?, n)

使 k1i A1 ? k2i A2 ? ? ? kri Ar ? Ai ? 0 显然

? k1,r ?1 ? ? ? ? k2,r ?1 ? ? ? ? ? ? ? kr ,r ?1 ? ? 1 ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ?

? k1,r ? 2 ? ? k1,n ? ? ? ? ? ? k2,r ? 2 ? ? k2,n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? kr ,r ? 2 ? ? ? kr ,n ? ? N ( A) ? 0 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? 0 ? ? 1 ? ? ? ? ? ?
T

上述 n-r 个向量线性无关,而 ? k1 , k2 ,? , k s ?1 ,1, 0,? 0 ? ,s<r 不为 N(A)中的向量,否则与

A1 , A2 ,?, Ar 线性无关矛盾,故
dimN(A)=n-r 所以 dimR(A)+dimN(A)=n

? 1 ?1 3 0 ? ? ? 7.设 A ? ? ?2 1 ?2 1? ,求矩阵 A 的列空间 R(A)和零空间 N(A)。 ? ? 1 ?1 5 2 ? ? ?
解:通过矩阵的行初等变换将矩阵 A 化为行阶梯形

? 1 ?1 3 0 ? ? 1 ?1 3 0 ? ? ? ? ? A ? ? ? 2 1 ? 2 1 ? ? ? 0 ?1 4 1 ? ? ? 1 ?1 5 2 ? ? 0 0 0 0 ? ? ? ? ?
矩阵 A 的秩为 2,从 A 中选取 1、2 列(线性无关)作为 R(A)的基,于是

R( A )? L

?? 1 ?

2 ? ? 1 ? ?,
T

1 ? 1?

T

?1

由 AX ? 0 , X ? ( x1 , x2 , x3 , x4 )T ,rank(A)=2,有

3 x3 ? x1 ? x2 ? ? ? 4 x3 ?x4 ? ? x2 ? ?
分别取 x3 ? 1, x4 ? 0 和 x3 ? 0, x4 ? 1 ,求得齐次方程 AX ? 0 解空间的一组基

?1

4 1 0 ? , ?1 1 0 1?
T

T

所以 A 的零空间为

N ( A )? L

?? 1

4

1

?0?
T

, 1 1

?0?
T

1

8.在 R 2?2 中,已知两组基

?1 0? ?0 1? ?0 0? ?0 0? E1 ? ? ? , E2 ? ? ? , E3 ? ? ? , E4 ? ? ? ?0 0? ?0 0? ?1 0? ?0 1? ?1 0 ? ? 1 1? ?1 1 ? ? 0 1? G1 ? ? ? , G3 ? ? ? , G4 ? ? ? ? , G2 ? ? ?1 1 ? ? 0 1? ?1 0 ? ? 1 1?
求基{Ei}到基{Gi}的过渡矩阵,并求矩阵 ? 解: ? G1

?0 1 ? ? 在基{Gi}下的坐标 X。 ? 2 ?3 ?
E3 E4 ?? C1 C2 C3 C4 ? , Ci ? R 4

G2

G3

G4 ? ? ? E1

E2

由此,得过渡矩阵

?0 ? 1 C ?? ?1 ? ?1
再由

1 1 1? ? 0 1 1? 1 0 1? ? 1 1 0?

?0 1 ? ? 0 1? ?1 0 ? ? 1 1? ?1 1 ? ? ? ? x1 ? ? ? x2 ? ? ? x3 ? ? ? x4 ? ? ? 2 ?3 ? ? 1 1? ?1 1 ? ? 0 1? ?1 0 ?
解得

X ? ?0

?1

?2

?3
T

9.判别下列集合是否构成子空间。 (1) W1 ? {? ? ( x, y, z ) | x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1, x, y, z ? R} ; (2) W2 ? { A | A2 ? I , A ? R n?n } ; (3) R 中, W3 ? {? ? ( x1 , x2 , x3 ) |
3

? (x ?
0 1

t

2

? x2? ? x3 }d? ? 0} ;

(4) W4 ? { A ? (aij ) m?n |

?? a
i ?1 j ?1

m

n

ij

?0} 。

3 解: (1)不是 R 子空间,对加法及数乘运算不封闭。如取 k=2, ? ? (1 0

0)T ,

k? ? ( 2

0

T 0 ) x 2 ? y 2 ? z 2 ? 4 ? 1 , k? ? W1 。 ,而

(2)不是子空间,因为 W2 中没有零元。 (3) 、 (4)为子空间。

10. 设 ?1 ? (1, 2,1, 0)T , ? 2 ? (?1,1,1,1)T , ?1 ? (2, ?1, 0,1)T , ? 2 ? (1, ?1,3, 7)T ,

W1 ? span{?1 , ? 2 } , W2 ? span{?1 , ? 2 } ,求 W1 ? W2 和 W1 ? W2 。
解:设 ? ? W1 ? W2 ,则

? ? x1? 1 ? x ? 2 且 2 ? ? x3 ?1 ? x4 ? 2
于是,有

x1? 1 ? x 2 ? 2? x ? 0 3 ? 1 x ? 4 ? 2

? 1 ?1 ?2 ?1 ? ? x1 ? ? 0 ? ? ?? ? ? ? 2 1 1 1 ? ? x2 ? ? 0 ? ? 即 ? ? 1 1 0 ?3 ? ? x3 ? ? 0 ? ? ?? ? ? ? ? 0 1 ?1 ?7 ? ? x4 ? ? 0 ?


?1 ? 1 ? 2 ? 1 ? ? ? ? ? 2 1 1 1 ??? A?? ?1 1 0 ? ? 3 ? ? ? ? 7 ? ?0 1 ? 1 ? ?
取 x4 ? 1 ,得

1 ? 1 ? 2 ? ?1 ? 0 1? ? 1 ? 7 0 0 1 ? 3 ? 0 0 0 ? 0

x1 ? ? 1 , x2 ? 4 ,x3 ? ?3 x ,4 ? 1
所以

W1 ? W2 ? L ??1?1 ? 4? 2 ? ? L ??3?1 ? ? 2 ?
由于 rank(A)=3 则

W1 ? W 2 ? L ?? ,1? , 2 ?

?1

11.在矩阵空间 R

2? 2

中,子空间

?x V1 ? { A ? ? 1 ? x3

x2 ? ?1 0? ? | x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 0} , V2 ? L{B1 , B2 } ,其中 B1 ? ? ?, x4 ? ? 2 3?

? 0 ?2 ? B2 ? ? ? ,求 ?0 1 ?
(1)V1 的基和维数; (2) V1 ? V2 和 V1 ? V2 的维数。

解: (1) V1 中, A ? ?

? x1 ? x3

x2 ? ? x2 ? x3 ? x4 ??? x4 ? ? x3

x2 ? ?1 1? ? ?1 0 ? ?1 0? ? x3 ? ? x4 ? ? ? x2 ? ? ? ? x4 ? ?0 0? ? 1 0? ?0 1?

令 A1 ? ?

?1 1? ? ?1 0 ? ?1 0? ? , A2 ? ? ? , A3 ? ? ? ,可验证 A1,A2,A3 线性无关,它们构成空间 ?0 0? ? 1 0? ?0 1?

V1 的一组基,空间 V1 的维数 dimV1=3。 (2) V2 ? L{B1 , B2 } 中,B1 与 B2 线性无关,它们是 V2 的一组基,故 dimV2=2,而 V1+V2 = L{A1,A2,A3} + L{B1,B2} = L{ A1,A2,A3,B1,B2} 在 R 2?2 的标准基 E11,E12,E21,E22 下,A1,A2,A3,B1,B2 对应的坐标 X1,X2,X3,X4,X5 排成矩阵

? X1

X2

X3

X4

? 1 ?1 ? 1 0 X5 ? ? ? ?0 1 ? ?0 0

1 1

0 ? ? 1 ?1 1 1 0 ? ? ? ? 0 0 ?2 ? ? 0 1 ?1 ?1 ?2 ? ? 0 2 0 ? ?0 0 1 3 2 ? ? ? ? 1 3 1 ? ? 0 0 0 0 ?1 ?

于是 dim(V1+V2)=4,由维数定理

dim V( ) 1 ? V2 ?

d iV m 1 ?

dV i2m ?

d V1 i? mV (2 ?

? )

? 3

2 ?

4

1

12.设 W1 和 W2 为 Vn 的子空间, W1 ? {? ? ( x1 , x2 ,? , xn )T |

?x
i ?1

n

i

? 0} ,

W2 ? {? ? ( x1 , x2 ,?, xn )T | x1 ? x2 ? ? ? xn } ,证明 Vn ? W1 ? W2 。
证明:对 W1,由 x1 ? x2 ? ? ? xn ? 0 ,解得

X 1 ? k1? ? 1 1 0 0?

?0
T

? k2? ? 1 0 1 ? 0

?

T

0? ? ? nk ?

?1

? 1 0 0 ? 0? 1 0 0 ? ? 0
T

T

1

显然 W1 的维数 dimW1=n-1,而向量组

?1 ? ? ?1 1 0 0 ?
为 W1 的一组基。

?0
T

?,2 ?? ? 1 0 1 ? 0

?

T

? 0? ? ? n?, 1 ?

1

对 W2,由 x1 ? x2 ? ? ? xn ,解得

X 2 ? k ?1 1 1 1?

?1
T T

W2 的基为 ? ? ?1 1 1 1 ? 1? ,dimW2=1 于是

W1 ? W2 ? L ??1 , ? 2 ,?, ? n ?1 ? ? L ?? ? ? L ??1 , ? 2 ,?, ? n ?1 , ? ?
这里

?1 d e t?(1 ? ,2 ?, ? , n? 1 ?? , 0 ) 0
? ,? 所 以 ?1 , ? 2 , n?
1

?1 ? 0 ? 1 ? 0 ?

?1 0 0 1

1 1 1? 1 0

1

? ? ? ? ?
,? 为 W1+W2 的 基 , 则 dim (W1+W2)=n , 由 维 数 定 理 可 知

dim(W1 ? W2 ) ? 0 ,故有 Vn ? W1 ? W2

13. R 中,? ? (?1 , ? 2 ,? , ? n )T , ? ? ( ?1 , ? 2 ,? , ? n )T ,判别下面定义的实数 (? , ? ) 是否
n

为内积。 (1) (? , ? ) ?

?? ?
i ?1 i

n

i



(2) (? , ? ) ?

? i? ?
i ?1 i

n

i



(3) (? , ? ) ? ? A? ,其中 A 为正定矩阵。
T

n 解: (1)不是 R 上的内积。设 ?1 ? ? a1

? ? an ?? a2 ? an ? , ? 2 ? ? a1? a2
T T

T

? ? ? b1 b2 ? bn ?
于是
n n n

??1 ? ? 2 , ? ? ? ? (ai ? ai?)bi ? ? ai bi ? ai?bi ? ? ai bi ? ? ai?bi
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

n

? (?1 , ? ? ? ?? 2 , ? )

内积的线性性不满足。 (2)与(3)是 R 上的内积。可验证对称性、线性性及正定性都满足。
n

13. 设 {?1 , ? 2 ,? , ? 5 } 是 V5 的 标 准 正 交 基 , 又 ?1 ? ?1 ? ? 5 , ? 2 ? ?1 ? ? 3 ? ? 4 ,

? 3 ? 2?1 ? ? 2 ? ? 3 ,求 W ? L{?1 , ? 2 , ?3 } 的标准正交基。
解:W 的标准正交基

1 2

?1

0

0

0

?1
T

,

1

10

?

1 ? 0

2 ?2 ?

T

1 1 ?, 2

1 1 ? 1? 0
T

1

14.在欧氏空间 R4 中,求子空间 W ? L{(1,1, ?1,1) , (1, ?1, ?1,1) } 的正交补子空间 W 。
T T


解:设 X ? ? x1 令 由

x2

x3

x4 ? ? W ?
T

?1 ? (1 1 ? 1 1)T , ? 2 ? (1 ? 1 ? 1 1)T
X ? ?1 X ? ?2

,



0 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ? 0 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ?
解得

?1? ? ?1 ? ? ? ? ? 0? 0 ? X ? , ? ? ?1? ?0? ? ? ? ? ?0? ?1?
所以

W ? ? L ?1 0 1 0? , ? ?1 0 0 1?
T

?

T

?

15.判断下列变换哪些是线性变换
2 T (1)R2 中, T ( x1 , x2 )T ? ( x1 ? 1, x2 ) ;

(2)R3 中, T ( x1 , x2 , x3 )T ? ( x1 ? x2 , x1 ? x2 , 2 x3 ) T ; (3) R (4) R
n? n

中,A 为给定 n 阶方阵, ?X ? R
?

n?n

, T ( X ) ? AX ? A ;

2? 2

? 中, T ( A) ? A , A 为 A 的伴随矩阵。

解: (1)不是,该变换为非线性变换 设

?1 ? ? x1


x2 ? , ? 2 ? ? y1
T

y2 ?

T

T (?1 ? ? 2 ) ? T ( x1 ? y1 x2 ? y2 )T ? ? x1 ? y1 ? 1 ( x2 ? y2 )2 ? ? ? x1 ? 1 x22 ? ? ? y1 ? 1 y22 ? ? T (?1 ) ? T (? 2 )
T T T

(2)是线性变换 (3)不是,因有 T ? 0 ? ? 0 (4)是线性变换

?a ?A ? ? 1 ? a3


a 2? ? b 1 b ?2 2?2 ?, B ? ? ?? R a4 ? b b ? 3 4?

? a ? b 1 a 2? b ?2 ? a ? 4b T ( A ? B) ? T ? 1 ??? a ? b a ? b ? a ? 4 4 ? ? 3 3 ? 3 b3 ? ka T (kA) ? T ? 1 ? ka3 ka2 ? ? ka4 ??? ka4 ? ? ?ka3

4

?a ? b 2 ? 2? a ??? a1 ? b1 ? ? ?a3

? ?2 b 4a ? ??? a1 ? ? ?b3

?b 4 ? 2 * * ? ? A ? B ? T ( A) ? T ( B ) b1 ?

?ka2 ? ? a4 ? ? k? ka1 ? ? ?a3

? a2 ? * ? ? kA ? kT ( A) a1 ?

16.设 R3 中,线性变换 T 为: T ? i ? ?i ,i=1,2,3,其中 ?1 ? (1, 0, ?1)T , ? 2 ? (2,1,1)T ,

? 3 ? (1,1,1)T , ?1 ? (0,1,1)T , ? 2 ? (?1,1, 0)T , ?3 ? (1, 2,1)T ,求
(1)T 在基 {?1 , ? 2 , ? 3 } 下的矩阵; (2)T 在标准正交基下的矩阵。 解: (1)由 T ??1 得

? 2 ? 3 ? ? ??1 ? 2 ? 3 ? A 及 T ??1 ? 2 ? 3 ? ? ? ?1
?2

?2

?3 ?

??1 ? 2 ?? 3 A ? ? ?1
于是

??3
? 1 2 1? ? 0 ?1 1 ? ? 0 1 1 ? ? ? ? ? ? ?3 ? ? ? ? 0 1 1? ? 1 1 2 ? ? ? ?1 ?3 ?2 ? ? ?1 1 1? ? 1 0 1 ? ? 2 4 4 ? ? ? ? ? ? ?
T T T

?1

A ? ??1 ? 2 ? 3 ?

?1

? ?1

?2

3 (2) R 中标准基正交基 e1 ? ?1 0 0 ? , e2 ? ? 0 1 0 ? , e3 ? ? 0 0 1?



T ? e1

e2

e3 ? ? ? e1

e2

e3 ? A

T ? i ? ?i


, i ? 1, 2,3

T ?1 ? T ? e1 T ? 2 ? T ? e1 T ? 3 ? T ? e1
因为

e2 e2 e2

e3 ??1 0 ?1? ? ? e1
T

e2 e2 e2

e3 ? A?1 ? ?1 e3 ? A? 2 ? ? 2 e3 ? A? 3 ? ?3

e3 ?? 2 1 1? ? ? e1
T

e3 ??1 1 1? ? ? e1
T

? e1
故有

e2 e3 ? ? I 3

A ??1
于是

?2

?? 3 ? ? ?1

?2

??3
?0 ? 1 ?1 ? 3 ?? ? ?1 1 ?1 0 ? 1? ? 2? 1? ? ? 1 ? ? 0 ? ? 1 ? 2 1 1
?1

A ? ? ?1

?2

??? ?1 3

?2

1 ? ? ? 2 ? ? 1 ? ? ?? 1 ? ? 1 1 ? ? ?

5 ?

2 ? ? 5? ? 2 ? 4 ? ? 2

17.设线性变换 R ? R ,有
4 3

T ( x1 , x2 , x3 , x4 )T ? ( x1 ? x2 ? x3 ? x4 , x1 ? 2 x2 ? x4 , x1 ? x2 ? 3x3 ? x4 )T ,求 N(T )和 R( T )。
解:由 N ?T ? ? { X | T ( X ) ? 0, X ? ( x1 , x2 , x3 , x4 )T } ,得下述齐次方程组

? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 0 ? ? x1 ? 2 x2 ? x4 ? 0 ? x ? x ? 3x ? x ? 0 2 3 4 ? 1
解得 X ? k ? ?2 所以

3 1 4?

T

N ?T ? ? { X = k ? ?2 3 1 4 ? }
T
T 由 R ?T ? ? {Y | Y ? T ( X ), X ? ( x1 , x2 , x3 , x4 ) } ,得

? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ? 1? ? ?1 ? ?1? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Y ? ? x1 ? 2 x2 ? x4 ? ? x1 ? 1? ? x2 ? 2 ? ? x3 ? 0 ? ? x4 ? ?1? ? x ? x ? 3x ? x ? ? 1? ?1? ? 3? ? ?1 ? 2 3 4 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? 1? ? ?1? ?1? ? 1 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 故有 R(T ) ? ?? ? k1 1 ? k2 2 ? k3 0 ? k4 ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ?1? ? 3? ? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 1? ? ?1? ? 1 ?? ? ? ? ? ? ? ?? 或 R(T ) ? ?? ? k1 1 ? k2 2 ? k3 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ?1? ? 3 ?? ? ? ? ? ? ?? ?
18.在欧氏空间 Rn 中,设有两组基 ?1 , ? 2 ,?, ? n 与 ?1 , ? 2 ,?, ? n ,满足关系式

( ?1 , ? 2 ,?, ? n ) ? (?1 , ? 2 ,?, ? n ) P , P ? Rn?n
证明: (1)若 ?1 , ? 2 ,?, ? n 与 ?1 , ? 2 ,?, ? n 都是标准正交基,则 P 是正交阵;

(2)若 ?1 , ? 2 ,?, ? n 是标准正交组,P 是正交阵,则 ?1 , ? 2 ,?, ? n 是标准正交组。 证明: (1)将矩阵 P 按列分块,有

( ?1 , ? 2 ? , ,? ) n ?
其中

? (1 ? ,2? , n? , p )1p ? p,n ? ? 2,
, i ? 1, 2,?, n

,

?i ? ??1 ? 2 ? ? n ? pi
于是

?? , ? ? ? ?
i j

T i

? j ? piT ??1 ? ? n ? ??1 ? ? n ? p j ? piT p j ? ?
T

?1, i ? j ?0, i ? j

故矩阵 P 为正交矩阵。 (2)与(1)证明过程类似,可证明 ?1 , ? 2 ,?, ? n 是标准正交基。

习题二
1.设 A、B 为 n 阶方阵, ?1 , ?2 ,?, ?n 是 A 的特征值,证明 (1)tr(AB)=tr(BA); (2) tr ( Ak ) ?

??
i ?1

n

k i



(3)若 P AP ? B ,则 tr ( A) ? tr ( B) ? 证明: (1)设 A ? aij

?1

?? 。
i ?1 i

n

? ?

n? n

, B ? bij

? ?

n? n

,则

n ? n ? n ? n ? tr ? AB ? ? ? ? ? aij b ji ? ? ? ? ? b ji aij ? ? tr ( BA) i ?1 ? j ?1 ? ? j ?1 ? i ?1
2 2 (2)因为 AX i ? ?i X i , A X i ? A ? AX i ? ? ?i AX i ? ?i X i ,……, Ak X i ? ?ik X i
k 故 ?1k , ?2 ,?, ?nk 为 A 的特征值,于是

k

tr ( Ak ) ? ? ?ik
i ?1

n

(3)由结论(1) ,得

t r( B )? t ( r ?1P

?1 ? A) ? P ? ?P ? ? t r? P ? ? ?A ?

tr ?

?1

? A ? P( ) ?P

tr A

2.设 n 阶方阵 A ? (aij ) n?n , 且

?a
j ?1

n

ij

i=1,2,…,n, 证明 A 的每一个特征值 ? 的绝对值 ? ? 1 。 ? 1,

证明:设有 AX ? ? X , X ? ? x1 对 AX ? ? X 中第 k 个方程

x2 ? xn ? ,并设 xk ? max ? x1
T

x2

?

xn

?

? xk ? ? akj x j
j ?1

n

于是

? xk ?
即有

? akj x j ? ? akj x j
j ?1 j ?1

n

n

? ? ? akj
j ?1

n

xj xk

? ? akj ? 1
j ?1

n

3.设三阶方阵

? 1 ?1 1 ? ? ? A?? x 4 y? ? ? 3 ?3 5 ? ? ?
的二重特征值 ? ? 2 对应有两个线性无关特征向量, (1)求 x 与 y ; (2)求 P ,使 P AP ? ? 。 解: (1)因齐次方程 ? 2 I ? A ? X ? 0 的解空间维数为 2,则矩阵 ? 2 I ? A ? 的秩为 1 而
?1

1 ?1 ? ? 1 ? 1 ? ? ? 2 I ? A ? ? ? ? x ?2 ? y ? ? ? ?0 ? 3 ? 3 ?3 ? ? ? ?0
因 rank ? 2 I ? A ? ? 1 故有 x ? 2, y ? ?2 。

? ? x ? 2 ?x ? y ? 0 0 ? ? 1

?1

? 1 ?1 1 ? ? ? 4 ?2 ? (2) A ? ? 2 ? ? 3 ?3 5 ? ? ?
A 的特征多项式 ? I ? A ? ? ? ? 2 ?
2

?? ? 6?

特征值 ?1 ? ?2 ? 2 , ?3 ? 6 由 ? 2 I ? A ? X ? 0 ,求得特征向量 ?1 ? ?1 ?1 0 ? , ? 2 ? ?1 0 1?
T T

由 ? 6 I ? A ? X ? 0 ,求得特征向量 ? 3 ? ?1 ?2 于是

3?

T

?1 1 1 ? ? ? P ? ? ?1 0 ?2 ? ?0 1 3? ? ?
且有

? 2 0 0? ? ? P AP ? ? 0 2 0 ? ?0 0 6? ? ?
?1

4.设 a1 与 a2 是 An?n 的两个不同特征值,且有

r (a1 I ? A) ? r (a2 I ? A) ? n
证明矩阵 A 可对角化。 证明:设 rank (a1 I ? A) ? r , rank (a2 I ? A) ? n ? r 对于 (a1 I ? A) X ? 0 有 n - r 个线性无关特征向量 对于 (a2 I ? A) X ? 0 有 r 个线性无关特征向量 于是矩阵 A 有 n 个线性无关特征向量,所以矩阵 A 可对角化。 5.设 R 中, ? ? ( x1 , x2 , x3 )T ? R 3 ,线性变换 T
3

T ( x1 , x2 , x3 )T ? ( x1 ? 2 x2 ? 2 x3 , 2 x1 ? x2 ? 2 x3 , 2 x1 ? 2 x2 ? x3 )T
求一组基,使 T 在此基下的矩阵为对角阵,并求出此对角阵。 解:取 R 中的一组标准基 ?1 , ? 2 , ? 3 ,则有
3

T (? ) ? T ? ?1

?2

? x1 ? ? ?3 ? ? ? x2 ? ? ? ?1 ?x ? ? 3?

?2

? x1 ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 x3 ? ? 1 2 2 ? ? x1 ? ? ? ? ? ?? ? ?3 ? A? ? x2 ? ? ? 2 x1 ? x2 ? 2 x3 ? ? ? 2 1 2 ? ? x2 ? ? x ? ? 2x ? 2x ? x ? ? 2 2 1 ? ? x ? 2 3? ? 3? ? 1 ? ?? 3 ?

得线性变换 T 在基 ?1 , ? 2 , ? 3 下的矩阵

?1 2 2? ? ? A ? ? 2 1 2? ?2 2 1? ? ?
A 的特征多项式 ? I ? A ? ? ? ? 1? 特征值 ?1 ? ?2 ? ?1 , ?3 ? 5 由 ? ? I ? A ? X ? 0 ,解得特征向量 ?1 ? ? ? 1 1 0 ? , ? 2 ? ? ?1 0 1?
T T 2

? ? ? 5?

由 ? 5 I ? A ? X ? 0 ,解得特征向量 ? 3 ? ?1 1 1? 于是

T

P ? ? ?1

?2

? ?1 ? 1 ? ?? 0 3 ? ? 1 ?0 1 ?

1 ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 1 ?1 ? ? , P AP ? ? ? ? 1 5? ? ? ?

矩阵 P 为从基 ?1 , ? 2 , ? 3 到所求基 ?1 , ? 2 , ?3 的过渡矩阵,于是

??1 ? 2 ?3 ? ? ? ?1 ? 2

? ? 1 ?1 1 ? ? ?3 ? P ? ? ? 1 0 1? ? 0 1 1? ? ?

? ?1 ? ? ? ?1 ? 。 线性变换 T 在基 ?1 , ? 2 , ?3 下的矩阵为 ? ? 5? ? ?
6.求可逆矩阵 P 及 J,使 P AP ? J ,其中
?1

? 2 ?1 ? 1 ? ? ? A?? 2 ?1 ? 2 ? ? ?1 1 ? 2 ? ?
3 解:A 的特征多项式 ? I ? A ? ?(? ? 1)

特征值为 ?1 ? ?2 ? ?3 ? 1

? ?1 1 1 ? ? x1 ? ? 0 ? ? ?? ? ? ? 2 ? ? x2 ? ? ? 0 ? 再由 ? I ? A ? X ? ? ?2 2 ? 1 ?1 ?1 ? ? x ? ? 0 ? ? ?? 3 ? ? ?
解得特征子空间 V? ?1 的一组基 ?1 ? ?1 1 0 ? , ? 2 ? ? 0 1 ?1?
T T

特征向量 ? ? k1?1 ? k2? 2 ? ? k1

k1 ? k2

?k2 ?

T

? k2 ? ? ? 由 ? I ? A ? ? ? ? ? ? k1 ? k2 ? ? k ? 3 ? ? k1 ? ? ?1 1 1 ? k2 ? ? ?1 1 1 ? ? ? ? ? 2 ? k1 ? k2 ? ? ? 0 0 0 ? k2 ? k1 ? 得增广矩阵 ? ?2 2 ? 1 ?1 ?1 ? ? k ? ? 0 0 0 ? k ? k ? 2 ? 1 2 ? ? ?
若方程组 ? I ? A ? ? ? ? 有解(相容, rank ( I ? A) ? rank ? I ? A | ? ? ) ,则有 k1=k2。 取 k1 = k2 = 1,得 ? ? ?1 2 由 ? I ? A ? ? ? ?1 2

?1?

T

?1?

T

解得广义特征向量 ? ? ?1 0

0?

T

取 P ? ? ?1

?

?1 1 1? ? ???? ?1 2 0? ? 0 ?1 0 ? ? ?

则有

?1 ? ? ? P AP ? ? 1 1? ? J ? 1? ? ?
?1

7.设 W ? L{e , xe , x e , e } 为函数向量 e , xe , x e , e 生成的 4 维空间, T 为导数变换,
x x 2 x 2x

x

x

2 x

2x

(1)求 T 在基 e , xe , x e , e 下的矩阵; (2)找一组基,使 T 在此基下为 Jordan 标准形。 解: (1) T ?

x

x

2 x

2x

d ,于是 dx
xe x x 2e x ?1 ? 0 e2x ? ? ?0 ? ?0 1 0 0? ? 1 2 0? 0 1 0? ? 0 0 2?

T ?ex

xe x

x 2 e x e 2 x ? ? ? e x e x ? xe x 2 xe x ? x 2 e x 2e 2 x ? ? ? e x

T 在基 e , xe , x e , e 下的矩阵

x

x

2 x

2x

?1 ? 0 A?? ?0 ? ?0

1 0 0? ? 1 2 0? 0 1 0? ? 0 0 2?

?1 ? 0 ?1 (2) P AP ? ? ?0 ? ?0

?1 1 0 0? ? ? ?0 1 1 0? ,P ?? 0 1 0? ?0 ? ? 0 0 2? ?0 ?
xe x x x ex

0 1 0 0

0? ? 0 0? ? 1 0? 2 ? 0 1? ? 0
xe x 1 2 x xe 2 ? e2 x ? ?

??1 ?2 ?3 ?4 ? ? ? e x

? e2 x ? P ? ? e x ?

?1 ? 0 线性变换 T 在基 ?1 , ? 2 , ?3 , ? 4 下的矩阵为 ? ?0 ? ?0

1 0 0? ? 1 1 0? 0 1 0? ? 0 0 2?

8.在多项式空间 Pn [ x ] 中,T 为是 Pn [ x ] 的一个导数变换,证明 T 在任一基下的矩阵不可对角 化。 证明: T ?

d ,于是 dx
d ?1 x x2 ? xn?1 ? ? ? 0 1 2x ? (n ? 1) xn?2 ? ? ?1 x x 2 dx ?0 1 ? ? ? 0 0 2 ? ? ? ? x n?1 ? ? 0 ? ? ? 0 ? n ? 1 ? ? ?0 ? 0 ? ? ?

T ?1 x x 2 ? x n?1 ? ?

?0 1 ? ? ? ?0 0 2 ? ? A ? ?0 ? ? ? ? n ? 1? ?0 ?0 ? 0 ? ? ?
矩阵 A 的特征值为 ?1 ? ?2 ? ? ? ?n ? 0 而 rank ( A) ? n ? 1 ,故 A 仅有一个特征向量,所以 A 不可对角化。

? 2 ?1 ?1 ? ? ? 100 9.设 A ? ? 2 ?1 ?2 ? ,求 A 。 ? ?1 1 2 ? ? ?
解:由题(6) ,有

?1 ? ?1 1 1? ?0 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?1 P AP ? ? 1 1 ? , P ? ? 1 2 0 ? , P ? ? 0 0 ?1? ? ? 0 ?1 0 ? ? 1 ?1 ?1? 1? ? ? ? ? ? ?
?1

于是

?1100 ?1 ? ? ? ? A ? P? 1 1 ? P ?1 , A100 ? P ? ? ? 1? ? ? ?
取 g ? ? ? ? ? 100

? 1 1? ? ? ? 1?

100

? ? ?1 ?P ? ?

? 1 1? ? ? ? 1?
于是

100

? 1 1? ? g (1) ? g? ??? ? 1? ?

g ?(1) ? ? 1 100 ? ??? ? g (1) ? ? 1 ?

A

100

? 101 ?100 ?100 ? ? ? ? ? 200 ?199 ?200 ? ? ?100 100 101 ? ? ?

10.设 A 为 n 阶方阵,证明: (1)若 A ? A ? I ? 0 ,则 A 可对角化;
2

(2)若 A ? I ,k 为大于 1 的整整数,则 A 可对角化。
k
2 证明: (1)因为 A ? A ? I ? 0 ,则 A 的化零多项式 ? (? ) ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 ?? ? ? 1?

2

无重根,A 的最小化零多项式可整除任意 A 的化零多项式,故 A 的最小多项式无重根,于是 A 可对角化。
k (2)因为 A ? I ,得 A 的化零多项式 ? (? ) ? ? ? 1
k



? (? ) ? ? k ? 1 ? (? ? 1)(? k ?1 ? ? k ?2 ? ? ? ? ? 1)
而 ? (? ) ? 0 无重根,于是 A 的最小多项式无重根,所以矩阵 A 可对角化。

习题三
? 2 ?1 2 ? ? ? 1.设 A ? ? 4 ?4 6 ? ? 6 ?7 8 ? ? ?
(1)求 A 的 LDV 分解; (2)设 b ? (1 0 解: (1)

2)T ,用 LDV 分解求解方程组 AX=b。

? 2 ?1 2 ? 1 0 0 ? ? 2 ?1 2 ? 1 0 0 ? ? 2 ?1 2 ? 1 0 0 ? ? ? ? ? ? ?A| I? ? ? ? 4 ?4 6 ? 0 1 0 ? ? ? 0 ?2 2 ? ?2 1 0 ? ? ? 0 ?2 2 ? ?2 1 0 ? ? 6 ?7 8 ? 0 0 1 ? ? 0 ?4 2 ? ?3 0 1 ? ? 0 0 ?2 ? 1 ?2 1 ? ? ? ? ? ? ? 0 0? ? 1 ? 2 ?1 2 ? ? ? ? ? 令, P ? ? ?2 1 0 ? ,则 PA ? ? 0 ?2 2 ? ? 1 ?2 1 ? ? 0 0 ?2 ? ? ? ? ?
这里矩阵 P 为行初等变换矩阵 P 1P 2 A ? PA 1P 2I ? P , P

? 2 ?1 2 ? ? ? 令 U ? PA ? ? 0 ?2 2 ? , ? 0 0 ?2 ? ? ?
于是

0 ?1 ? ?1 L ? P ? ? ?2 1 ? 1 ?2 ?

0 ? ? 1 ? ? 0 ? ?? 2 ? ? 3 1 ? ?

?1

0 ?0 ? 1 ?0 2 ? ?1

1 ? ? 1 ? 1? ? ? 1 0 0 ?? 2 ?1 2 ? ? 1 0 0 ?? 2 ? 2 ? ? ?? ? ? ?? ?? A ? LU ? ? 2 1 0 ?? 0 ?2 2 ? ? ? 2 1 0 ?? ?2 0 1 ? 1 ? ? ? LDV ? ? 3 2 1 ?? 0 0 ?2 ? ? 3 2 1 ?? ? ? ?2 ? ? ?? ? ? ?? ??0 0 1 ? ? ?
(2)由 AX ? b 得 LDVX ? b 令 D V X? Z ,则有

L Z? b 令 VX ? Y ,则有 D Y? Z 由 LZ ? b
? 1 0 0 ? ? z1 ? ? 1 ? ? ?? ? ? ? 即 ? 2 1 0 ? ? z2 ? ? ? 0 ? ? 3 2 1?? z ? ? 2? ? ?? 3 ? ? ?

解得

? z1
由 DY ? Z

z2

z3 ? ? ?1 ?2 3?
T

T

0 ? ? y1 ? ? 1 ? ?2 0 ? ?? ? ? ? 即 ? 0 ?2 0 ? ? y 2 ? ? ? ?2 ? ? 0 0 ?2 ? ? y ? ? 3 ? ? ?? 3 ? ? ?
解得
T

? y1
再由 VX ? Y

y2

y3 ?

T

3? ?1 ?? 1 ? ? 2? ?2

1 ? ?1 ? 2 ? 1 即?0 ?0 0 ? ?
解得

? ? 1 ? 1? ? x1 ? ? 2 ? ?? ? ? ? ?1? ? x2 ? ? ? 1 ? 1 ?? x ? ? 3? ?? 3 ? ? ? ? ? ? 2?
T

? x1

x2

T ?7 x3 ? ? ? ?4

?

1 2

3? ? ? 2?

2.求下列矩阵的满秩分解

(1)
解: (1)

? 0 0 1? ? ? ? 2 1 1 ? , i ? ?1 ? 2i i 0 ? ? ?

(2)

?1 2 3 0 ? ? ? ? 0 2 1 ?1? ?1 0 2 1 ? ? ?

? 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 2 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 1? ? ?2 1 1 ? ? ?2 1 1? ? ?0 0 1? ? ?0 ? 2i i 0 ? ? 0 0 ?i ? ? 0 0 0 ? ? 0 0 0 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
矩阵第 1 列和第 3 列线性无关,于是满秩分解为

1 ? 0? 2 ? 0 1? 0 0? ? ?

? 0 0 1? ? 0 1?? ? ? ? ??1 ? 2 1 1? ? ? 2 1?? ? 2i i 0 ? ? 2i 0 ? ? 0 ? ? ? ?

1 2 0

? 0? ? 1?

(2)

?1 0 ?1 2 3 0 ? ?1 2 3 0 ? ?1 2 3 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 2 1 ?1? ? ? 0 2 1 ?1? ? ? 0 2 1 ?1? ? ? 0 1 ? 1 0 2 1 ? ? 0 ?2 ?1 1 ? ? 0 0 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ?0 0 ?
于是满秩分解为

2 1 2 0

1 ? ? 1? ? 2? 0 ? ?

?1 2 3 0 ? ?1 2??1 0 ? ? ? ?? ? 0 2 1 ?1 ? ? ? 0 2 ? ? 0 1 ?1 0 2 1 ? ?1 0?? ? ? ? ?

2 1 2

1 ? ? 1? ? 2?

3.设 A ? C

m?n

, A 的分块为 A ? ?

?X ?Z

Y? r ?r ? ,其中 X ? C , rank ( A) ? rank ( X ) ? r , W?

W ? ZX ?1Y ,证明 A 有如下形式的满秩分解
?X? ? I ? A ? ? ? ( I r X ?1Y ) , A ? ? r ?1 ? ( X Y ) ?Z? ? ZX ?
证明:因为 rank ( A) ? rank ( X ) ? r , 矩阵 A 的前 r 个列 ?

?X? ? 是 A 的极大无关列,A 的后 ?Z?

n - r 个列 ?

?Y ? ?X? ? 可由 ? ? 线性表示,即 ?W ? ?Z?

?Y ? ?X? ? Y ? ? XH ? ? ? ? ? ? H ,? ? ? ? ? ?W ? ? Z ? ? W ? ? ZH ?
故有

?X A?? ?Z

Y ? ?X ??? W? ?Z

Y ? ?X ??? ZH ? ? Z

? ?X? ? ? ? ? ? Ir ZX Y ? ? Z ? Y
?1

| X ?1Y ? | Y?

?X? A ? ? ? ? Ir ?Z?

? I ? | X ?1Y ? ? ? r ?1 ? X ? I r ? ZX ?

? I ? | X ?1Y ? ? ? r ?1 ? ? X ? ZX ?

? 1 ?3 3 ? ? ? 4.阵 A ? ? 3 ?5 3 ? 的谱分解。 ? 6 ?6 4 ? ? ?
解:矩阵 A 的特征多项式 f (? ) ? (? ? 2) (? ? 4)
2

对应特征值 ?1 ? ?2 ? ?2 的特征向量,由下述方程求得

? 3 ?3 3 ? ? x x ? ? 0 ? ?? ? ? ? ? A ? 2 I ? X ? 0 ,即 ? ? 3 ?3 3 ? ? x2 ? ? ? 0 ? ? 6 ?6 6 ? ? x ? ? 0 ? ? ?? 3 ? ? ?
解得特征向量 ?1 ? ?1 1 0 ?
T

, ? 2 ? ? ?1 0 1?

T

对应特征值 ?3 ? 4 的特征向量,由下述方程求得

? ? 3 ?3 3 ? ? x x ? ? 0 ? ?? ? ? ? ? A ? 4 I ? X ? 0 ,即 ? ? 3 ?9 3 ? ? x2 ? ? ? 0 ? ? 6 ?6 0 ? ? x ? ? 0 ? ? ?? 3 ? ? ?
解得特征向量 ? 3 ? ?1 1 2 ?
T

于是

?1 ? 1 ? P ? ?1 0 ?0 1 ?

1 ? ? 1 ? ? 2 ?

, P

?1

? 1 ?? 2 ? ? ? ?1 ? 1 ? ? 2

3 2 1 ? 1 2

1? ? ? 2 ? 0 ? 1 ? ? 2 ?

故有矩阵 A 的谱分解

? ?2 ? ? ?2 ? ?0 ? ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? ?1 A ? P? ?2 ?2 0 ?P ? P? ?P ? P? ?P ? ? ? ? ? 4? 0? 4? ? ? ? ?
5.明反对称矩阵 A ? R 和纯虚数。 证明:设 A ? ? A , ? 为矩阵 A 的特征值,即有
T
n?n

( AT ? ? A) 和反 Hermite 矩阵 B ? C n?n ( B H ? ? B) 的特征值为 0

AX ? ? X
X T AT ? ? X T ? X T AX ? ? X T X ?? X T X ? ? X T X


?? ? ? ,所以 ? ? 0
设B
H

? ?B , ? 为矩阵 B 的特征值,即有

BX ? ? X
X H BH ? ? X H ? X H BX ? ? X H X ?? X H X ? ? X H X


?? ? ? ,令 ? ? a ? ib
则有 ?a ? ib ? a ? ib ,得 a ? 0 所以 ? 为纯虚数。 6.A 与 B 为正规矩阵,证明 A 与 B 酉相似的充分必要条件是 A 与 B 的特征值相同。 证明: (1)充分性 设 A 与 B 为正规矩阵,且特征值相同,则对 A 与 B 分别存在酉矩阵 U1 和 U2,使

U1H AU1 ? diag (?1 , ?2 ,?, ?n ) U 2H BU 2 ? diag (?1 , ?2 ,?, ?n )
故有 即

U 2H BU 2 ? U1H AU1
B ? U 2 U1H AU1U 2H ? ?U1U 2H ? A ?U1U 2H ? ? U H AU
H

所以 A 与 B 相似 (2)必要性 设 A 与 B 相似,则有

B ? U H AU
于是

? I ? B ? ? I ? U H AU ? ?U H U ? U H AU ? U H ? I ? A U ? ? I ? A
故 A 与 B 的特征值相同。 7.设 A ? C
m?n

(1)证明 A A 与 AA 的非零特征值相同; (2)设 A A 的非零特征值 ?1 , ?2 ,? , ?r 对应的正交特征向量为 ?1 , ? 2 ,?, ? r ,则 AA 的
H H

H

H

特征值 ?1 , ?2 ,? , ?r 对应的特征向量为 A?1 , A? 2 ,?, A? r 且它们也是正交向量组。 证明: (1)

?I 取? n ?0

? In AH ? ? ,有 ? Im ? ?0
?1

? In AH ? ? ?? Im ? ?0

?1

? AH ? ? Im ?

?I 因为 ? n ?0
于是

A H ? ? AH A 0 ? ? I n ? ? ?? Im ? ? A 0?? 0
? AH A 0 ? ?0 ? ? ? ? 0? ?A ? A

0 ? AH ? ? 0 ??? ? I m ? ? A AAH ?

0 ? ? AAH ?
0 ? ? AA H ?

故有

? I m?n ? ?


? AH A 0 ? ?0 ? ? ? I m?n ? ? 0? ?A ? A

? m ? I n ? AH A ? ? n ? I m ? AAH
若 ? ? 0 ,则有

? I n ? AH A ? 0 ?

? I m ? AAH ? 0

所以 AH A 与 AAH 的非零特征值相同。 (2)设 A A? i ? ?i? i
H

, i ? 1, 2,?, r

于是

( AAH ) A? i ? ?i ( A? i )
所以 A? i

(i ? 1, 2,?, r ) 为 AAH 的特征向量。

H ( A? i ) )H (A? j ? ) ?H A? j? ?H i A i ( ?j ? ? j)

?jH ?i ? ?j 0

, i? ( j

)

故特征向量组为 A?1 , A? 2 ,?, A? r 正交向量组。 8.求下列矩阵的奇异值分解

(1)

?1 0 ? ? ? ? 0 1? ?1 1? ? ?

(2)

?0 ? ?0 ?1 ? ?0 ? ?

0 0? ? 0 0? 0 0? ? 0 1? ? ?

解: (1)

?1 0 ? ? 1 0 1? ? ? ?2 1? ? ? ? 0 1? ? ? ? ? 0 1 1? ? ? ?1 2? 1 1 ? ?

? I2 ? ?

?2 1? ? ? ? ? ? 1?? ? ? 3? ?1 2?

特征值 ?1 ? 3, ?2 ? 1 ,奇异值为 ? 1 ? 由

3, ? 2 ? 1

? ? 2 1 ? ? ? x1 ? ? 0 ? ? 3I ? ? ??? ? ? ? ? ? 1 2 ? ? ? x2 ? ? 0 ? ? ? ? 2 1 ? ? ? x1 ? ? 0 ? ?1I ? ? ??? ? ? ? ? ? 1 2 ? ? ? x2 ? ? 0 ? ?
由此得正交矩阵

解得特征向量 ?1 ? ?1 1?

T

解得特征向量 ? 2 ? ?1 ?1?

T

? ? V ?? ? ? ?
于是

1 2 1 2

1 ? ? 2 ? 1 ? ? ? 2?

? ?1 0?? 1 ? ? u1 ? ? 0 1 ? ? ?1 ? ?? ?1 1?? ?
设 ? ? ? x1

? ? 1 ? ? ? 2? ? ? 1 ? ? ? ? 2? ? ? ?

1 ? ? 6? 1 ? ? 6? 2 ? ? 6?

? 1 ? ? ? 1 ? ? 2 ? ? ?1 0?? ? 1 ? ?? 2 ? ? 1 ? u2 ? 0 1? ? ?? ? ?2 ? 2? ?1 1?? ? 1 ? ? ? ? ?? 2? ? 0 ? ? ? ? ? ?

x2

x3 ?

T

由 ? ? u1 和 ? ? u2 ,得

? x1 ? x2 ? 2 x3 ? 0 ? ? x1 ? x2 ? 0
解得 ? ? ?1 1 ?1?
T

? 1 标准化后,得 u3 ? ? ? 3
奇异值分解为

1 3

1 ? ? ? 3?

T

? ? 1 0 ? ? ? ? ? ? ?0 1? ? ? ?1 1? ? ? ? ? ? ?
(2)

1 6 1 6 2 6 ?

1 2 1 2 0

1 ? ? 3 ?? 3 0?? 1 ?? 2 1 ?? 0 1 ?? ?? 3 ?? ?? 1 0 0 ?? 1 ?? ? 2 ? ? 3?

1 ? ? 2 ? 1 ? ? ? 2?

?0 ? ?0 0 1 0??0 ? ?? ?0 0 0 0??1 ?0 0 0 1? 0 ? ?? ? ?

0 0? ? 0 0? ?1 0 0? ? ? 0 0? ? ?0 0 0? ? ? 0 1? ? ?0 0 1? ? ?

?1 0 0? 2 ? ? I3 ? ? ? 0 0 0 ? ? ? ? ? ? 1? ?0 0 1? ? ?
特征值 ?1 ? 1, ?2 ? 0 ,奇异值为 ? 1 ? 1, ? 2 ? 0 由

? ? 1 0 0 ? ? ? x1 ? ? 0 ? ? ? ??? ? ? ? ? 0 ? I ? ? 0 0 0 ? ? ? x2 ? ? ? 0 ? ?0 0 1??? x ? ?0? ? ? ??? 3 ? ? ? ? ? ? 1 0 0 ? ? ? x1 ? ? 0 ? ? ? ??? ? ? ? ?1 ? I ? ? 0 0 0 ? ? ? x2 ? ? ? 0 ? ?0 0 1??? x ? ?0? ? ? ??? 3 ? ? ? ?
由此得正交矩阵

解得特征向量 ?1 ? ? 0 1 0 ?

T

解得特征向量 ? 2 ? ?1 0

0 ? , ? 3 ? ? 0 0 1?
T

T

?1 0 0? ? ? V ? ?0 0 1? ?0 1 0? ? ?
于是

?0 ? 0 1 ? u1 ? ? 1 ?1 ? ?0 ? ?
设 ? ? ? x1

0 0? ?0 ?0? ? ? 0 0??1? ? ? ?0 0 1 ? ? 0 0 ? ? 0 ? ? ? ? , u2 ? ? 1 ?1 ? ? ? ?1? 0 1?? ?0? ? ? ?0 ?0? ? ? ? ?
x3 x4 ?
T

0 0? ?0? ? 0 0??0? ? ? 0 ? ? 0 0??0? ? ? ? ? ? ?0? 0 1?? ?1? ? ? ?1? ? ?

x2

由 ? ? u1 , ? ? u2 ,得

? x3 ? 0 ? ? x4 ? 0
解得 u3 ? ?1 0 奇异值分解为

0 0?

T

, u4 ? ? 0 1 0 0 ?

T

?0 ? ?0 ?1 ? ?0 ? ?

0 0? ? ?0 0 0? ? 0 0 0? ? ? ? ?1 0 1? ? ? ?0 ?

0 1 0 ?? 1 ?? 0 0 1 ?? 0 0 0 0 ?? 0 ?? 1 0 0 ?? 0

0 0? ??1 0 0? 1 0?? ? 0 0 1? ? ? 0 0 ? ??0 1 0? ? 0 0?

9.证明一个正规矩阵若是三角阵,则一定是对角阵。 证明:设矩阵 A ? F n?n 为上三角阵,则有

? a1 1 a 1 2 ? a n ? 1 ? ? a2 2 ? a n2 ? A?? ? ? ? ? ? ? ann ? ?
由因矩阵 A 为正规矩阵,则有 A A ? AA
H H



? a1 1 ?? a ? ?? ? a1 2 a 2 2 ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ann ?? n ? a1n a 2
H H

1 1

? a n ? 1 ?a ? ? a 22 ? a n ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ann ? ? a
1 2

a 1 1 a

? ? 1 2 a n ?? a 1 1 1 ?? ? ? a n ?? a a12 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ann ?? a n1 a n 2 ann ?

矩阵 A A, AA 第 i 行第 i 列元素为

( A A)ii ? aii ? ? a ji
H 2 j ?1 n

i ?1

2

( AA )ii ? aii ?
H

2

j ?i ?1

?

2

aij

得 aij ? 0

(i ? j )

所以 A 为对角阵。
n

10.设 A ? C

n?n

的奇异值是 ? 1 , ? 2 ,?, ? n ,证明 det( A) ?

??
i ?1

i



证明:矩阵 A 的奇异值分解为

? ?1 ? ? ? ?2 ? ?V H A ?U ? ? ? ? ? ?n ? ?
这里 U , V 为 n 阶酉矩阵

det(U ) ? 1 , det(V H ) ? 1
于是

d e tA ( ? )

d U et(

)diag d e? t( (n , 1 ? ?

V , H )? d et ?(i ?
i ?1

n

)

习题四
? ?1 ? i ? ? ?1 0 2 ? ? 2 ? ? 1. A ? ? 3 ? i 5 1 ? i 0 ? , x ? ? ? , i ? ?1 ?0? ? 2 i 2 ?4 ? ? ? ? ? ? ?i ?
计算: A 1 , A
?

, Ax 1 , Ax 2 , Ax

?



解: A 1 ? max 3 ? 10

A

?

? ?max ?

6 4? 2 1? 0 ? 2
T

5 ? 3 ? 10 5

?

4

?

? 9

1 ?0

?2

5

Ax ? ? 2 7 ? i

?2 ? 6i ?

Ax 1 ? 2 ? 50 ? 40 Ax Ax
2

? 94 ? 50

?

2.设 a1 , a2 ,? , an 均为正实数,向量 x = ? x1
1

x2 ? xn ? ? R n ,证明由
T

? n ?2 x ? ? ? ai xi2 ? 定义的非负实数是 Rn 空间的一个向量范数。 ? i ?1 ?
证明: (1)正定性: x ? 0 ,若 x ? 0 ,则有 x ? 0

? n ?2 ? n ?2 (2)齐次性: kx ?? ? k 2 ? ai xi 2 ? ? k ? ? ai xi 2 ? ? k x ? i ?1 ? ? i ?1 ?
(3)三角不等式:

1

1

x? y

2

? ? ai ( xi ? yi ) 2 ? ? ai ( xi2 ? 2 xi yi ? yi2 ) ? ? ai ( xi2 ? yi2 ) ? 2 ? ai xi yi
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 2 2 n

n

n

n

n

? x ? y ? 2 ? ai xx yi
i ?1

由 Cauchy 不等式,得

? ai xi yi
i ?1

n

2

?

? ( ai xi )( ai yi ) ? ? ( ai xi )2 ? ( ai yi )2 ? x
i ?1 i ?1 i ?1
2

n

2

n

n

2

y

2

所以

x? y
故有

2

?x

?y

2

? 2 x

y ??

x ? ?y
2

x? y ? x ? y

3.判别下列定义的实函数是否为 C (1)设 A ? aij ? C (2)设 A ? aij ? C

m? n

的矩阵范数。

? ? ? ?

m?n

,定义实函数值 A ? max aij ;
i, j

m?n

,定义实函数值 A ?

mn max aij 。
i, j

?1 ? 0 解: (1)取 A ? ? ?M ? ?0 ?2 ? 0 A? B ? ? ?? ? ?0

1 0 L 0 0 L M M L 0 0 L 0 0?

0? ?1 0 0 ? 0? ? ? ? 0? 1 0 0 ? 0? ,B ? ? ? ?? ? ? ? ?? M ? ? ? 0? ?0 0 0 ? 0?

0 ? ? 0 0? 0 ? ? ? ? ?? ? 0 0? 0 ?

A ? 1, B ? 1 , A ? B ? 2
不满足相容性条件

AB ? A B
(2)正定性,齐次性,三角不等式显然满足

AB ? ms max
i, j

? aik bkj ? ms max ? aik bkj ? mn max aij
k ?1 i, j k ?1 i, j

n

n

ns max bij ? A B
i, j

相容性条件满足。 4.设 A 是由向量 x 诱导的矩阵范数, A 可逆,证明

p

p

(1) A

?1 p

?

1 Ap

(2)

1 A
?1 p

? min
x?0

Ax x
p

p

证明: (1)由矩阵范数相容定义,有 I 由矩阵的诱导范数,有

p

? AA?1

p

? A A?1

p

I

p

? ? ? Ix ? ? ? x ? ? ? max ? ? max ? ? ? 1 ? x?0 x ? 0 ? ? ? x ? ? ? x ? ?

所以 A

?1 p

?

1 Ap
A?1 x x
p p y ? A?1 x

(2) A

?1 p

? max
x?0

? max
x?0

y Ay

p p

? max
y ?0

1 Ay y

?
p p

min
y ?0

1 Ay y

p p

所以

1 A
?1 p

? min
x?0

Ax x
p

5.证明 (1)酉矩阵 U 的谱范数等于 1; (2)设 A ? C
n?n

,U,V 为 n 阶酉矩阵,则

U A2 ?

A V2 ?
H

UAV ? 2
H

A 。 2

证明: (1)因 U U ? I ,于是 U U 的特征值为 1 所以酉矩阵的谱范数为

U

2

? ?max (U H U ) ? 1

(2) UA

2

? ?max ? AH U H UA? ? ?max ? AH A? ? A 2 ? ?m a x ?V H AH AV ? ? ?
2

AV

2

max

? A A? ?
H
2

A2

UAV

? U ( AV )

2

? AV

2

? A

?1 ?2 ? 6.设 A ? ? 0 ? ? ? ?0 ?

1 1 3 0

? 1? ? 1 ? ,求 lim Ak 。 k ?? ? ? 1? ? 5?

解:因为 ? I ? A ? ? ? ?

? ?

1 ?? 1 ?? 1? ?? ? ? ?? ? ? ? 2 ?? 3 ?? 5? 1? 1 ? ? ?1 5? 2

故 ? ( A) ? max ? 故有

?1 ?2

1 3

lim Ak ? 0
k ??

?1 ?2 ? 7.已知 A ? ? 0 ? ? ? ?0 ?
(1)求证
?

0 1 3 0

? 0? ? 1? ? ? 1? ? 3?
收敛;

? kA
k ?1

?

k ?1

(2)求

? kA
k ?1

k ?1

的收敛和。

解: (1)幂级数
?

? kx
k ?1

?

k ?1

的收敛半径等于 1,矩阵 A 的谱半径 ? ( A) ?

1 ? 1 ,故矩阵幂级数 2

? kA
k ?1

k ?1

收敛

(2)由

?x
k ?0

?

k

? (1 ? x) ?1



1 ? ? k ?? ? 1 ?? k ?1 kx ? ? ? ? x ? ? ? 1 ? x ? ? (1 ? x)2 ? k ?1 ? k ?0 ? ?
?

,

x ?1

所以

? kA
k ?1

?

k ?1

? ? I ? A?

?2

? ?4 ? ? ?0 ? ? ?0 ?

0 9 4 0

? 0 ? ? 27 ? 4 ? 9 ? ? 4 ?

? 1 2 ?6 ? ? ? A At 8. A ? ? 1 0 ?3 ? ,求 e , e ,sinA。 ? 1 1 ?4 ? ? ?
解:由 ? I ? A ? ? ? ? ? 1?
3

A 的特征值 ?1 ? ?2 ? ?3 ? ?1 由此得

? ?1 ? P?? 1 ?0 ?

2 1 1

1 ? ? 0 ? ? 0 ?
?1

,P

?1

? 0 1? ? ?? 0 0 ? 1 1? ?

?1 ? ?1 ?3 ?

A ? PJ A P

? ?1 ? ? ? ? P? ? 1 1 ? P ?1 ? ?1? ? ?

? e?1 ? A 对 f ( A) ? e , e A ? P ? ? ?
对 f ( A) ? e , e
At

e?1

? ? 3 2 ?6 ? ? ? ? e?1 ? P ?1 ? e?1 ? 1 2 ?3 ? ? 1 1 ?2 ? e?1 ? ? ? ? ? ?6t ? ? 2t ? 1 2t ? ?1 ? ?t ? te ? P ? e ? t 1 ? t ?3t ? ? t e?t ? t 1 ? 3t ? ? ? ?
?t

At

? e?t ? ? P? ? ?

e

?t



f ( A) ? sin A



2 cos1 ?6 cos1 ? ? sin( ?1) ? ? 2 cos1 ? sin1 ? ? ?1 ? ?t ? SinA ? P ? sin( ?1) cos( ?1) ? P ? e ? cos1 cos1 ? sin1 ?3cos1 ? ? ? sin( ?1) ? cos1 cos1 ? sin1 ? 3cos1 ? ? ? ? ?

9.已知 A2=A,求 sinA。 解:设 ? 为 A 的特征值, X ? 0 为特征向量 由 得

? X ? AX ? A2 X ? A( AX ) ? ? AX ? ? 2 X
?1 ? 1 , ?2 ? 0

因 A2=A,故有 A( A ? I ) ? 0 于是 g (? ) ? ? (? ? 1) 为矩阵 A 的化零多项式(最小多项式) ,且为一次银子乘积,所以 A 可对角化 即有

?I A ? P? r ?
这里 rank ( A) ? r

? ?1 ?P 0?

? ?I sin A ? P ? sin ? r ? ?

? ? ?1 ?? P 0??

? sin1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 sin1 ? P? ?P 0 ? ? ? ? ? ? ? ? 0? ? ?
? ?1 ? P ? (sin1) A 0?

?I ? P sin1? r ?
10.求解微分方程组

? ?1 ? Ir ? P ? sin1P ? 0? ?

? ? 3 ? 1 1? ? 0 ? ?& ? ? ? ? ?? ) ?0 ? X ( t )? ? 2 0 ? ? 1 X t( ? ? 1 ? 1 2? ? e2t ? ? ? ? ? ? T ? X( 0 ) ?? 1 1? 1 ?
解:

21 2t ?1 3t ? ? 2 ? (9t ? 2 )e ? 16e ? ? ? 1? 5 9 2t 3t ? X (t ) ? ? (9t ? )e ? 8e ? 6? 2 2 ? ? 2t 3t 1 ? 3e ? 8e ? ? ? ? ? ?

习题五
?1 2 0? ? ? 1.设 A ? ? 0 0 1 ? ,求 A? ?1 2 2? ? ? ?1 2 0? ?1 2 0? ? ? ? ? 解: A ? ? 0 0 1 ? ? ? 0 0 1 ? ? F ?1 2 2? ?0 0 0? ? ? ? ?
取矩阵 A 的第 1、3 列构成列满秩矩阵 B,取矩阵 F 第 1、2 行构成行满秩矩阵 C

?1 0? ? ??1 2 0? A ? BC ? ? 0 1 ? ? ? ?1 2??0 0 1? ? ? ? 5 ?2 1 ? 1 ? ? A ? C (CC ) ( B B ) B ? 10 ?4 2 ? 30 ? ? ?10 10 10 ? ? ?
? T T ?1 T ?1 T

2.证明非齐次线性方程组 AX ? b 有解的充分必要条件是 AA b ? b 。 证明:必要性
? 设 AX ? b 有解,由 A ? AA A 得, ( AA ) AX ? b ,即有
?

?

( AA? )b ? b
充分性
? 设 AA b ? b ,则有 A( A b) ? b ,令 x0 ? A b ,于是 Ax0 ? b ,故方程组 Ax ? b 有解
?

?

x0 ? A? b

3.设 A ? Rm?n ,且 A 的 n 个列是标准正交的,证明 A? ? AT 。 证明:因为矩阵 A 的 n 个列向量是标准正交的,则矩阵 A 为列满秩的矩阵,且有 AT A ? I 于是

A? ? ( AT A) AT ? AT
4. A 是幂等且为 Hermite 矩阵,证明 A? ? A 。 证明:因为 A2 ? A ,且 AH ? A ,矩阵 A 是正规阵,可酉相似对角阵,即

?I U H A U? ? r ?0
于是

0? ? ,U 为酉矩阵,并设 rank ( A) ? r 0?
? Ir 0? H ?U ? U ? 0? ?0 0? H ?U ? A 0?

? I ?1 A? ? U ? r ? 0

? 0 2 0 ? ? x1 ? ?1? ? ?? ? ? ? 5.求线性方程组 ? 1 0 2 ? ? x2 ? ? ? 1? 的最佳的最小二乘解。 ? 0 1 0 ? ? x ? ?1? ? ?? 3 ? ? ? ?0 1 0? 1? ? 解: A ? ? 2 0 1 ? 5? ? ?0 2 0?
?

?1? ? ? ?1? ? 5 ? 3 ? ? ? 最佳最小二乘解为 A 1 ? ? ? ? ? ?5? ?1? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ?5?


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