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高二数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》测试题含答案(2套)


常用逻辑用语综合测试题
一、选择题:(本题共 10 小题,50 分) 2.a=1”是“函数 f ( x) ?| x ? a | 在区间[1, +∞)上为增函数”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) 17.(12 分)给定两个命题, )
2 2 P: 对任意实数 x 都有 ax ? ax ? 1 ? 0 恒成立;Q : 关于 x 的方程 x ? x ? a ? 0 有实数根;

如果 P 与 Q 中有且仅有一个为真命题,求实数 a 的取值范围.

4.设集合 M ? {x | 0 ? x ? 3} , N ? {x | 0 ? x ? 2} ,那么“ a ? M ”是“ a ? N ”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.“a 和 b 都不是偶数”的否定形式是 A.a 和 b 至少有一个是偶数 B.a 和 b 至多有一个是偶数 C.a 是偶数,b 不是偶数 D.a 和 b 都是偶数
2





6.设 a, b ? R ,已知命题 p : a ? b ;命题 q : ?

2 2 ? a?b ? a ?b ,则 p 是 q 成立的( ? ? 2 ? 2 ?



A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.若命题“p 或 q”为真,“非 p”为真,则 A.p 真 q 真 B.p 假 q 真 C .p 真 q 假 D.p 假 q 假 2 9.2x -5x-3<0 的一个必要不充分条件是

( (

) )

1 A.- <x<3 2

1 B.- <x<0 2

1 C.-3<x< 2

18.已知集合 M ? {x | x ? 3或x ? 5} , P ? {x | ( x ? a)(x ? 8) ? 0} . (1)求实数 a 的取值范围,使它成为 M ? P ? {x | 5 ? x ? 8} 的充要条件; (2)求实数 a 的一个值,使它成为 M ? P ? {x | 5 ? x ? 8} 的一个充分但不必要条件; (3)求实数 a 的取值范围,使它成为 M ? P ? {x | 5 ? x ? 8} 的一个必要但不充分条件.

D.-1<x<6

二填空题
11.下列命题中_________为真命题. ①“A∩B=A”成立的必要条件是“A B”; ②“若 x2+y2=0,则 x,y 全为 0”的否命题; ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题; ④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题. 12.若 p:“平行四边形一定是菱形”,则“非 p”为___ _____. 条件.

14.设 p、q 是两个命题,若 p 是 q 的充分不必要条件,那么非 p 是非 q 的 15. 若函数 f ( x) = | 2 - 1| - 2a 有两个零点,则 a 应满足的充要条件是 三、解答题
x

21. (06 年上海卷)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与抛物线 y 2 ? 2 x 相交于 A、B 两点. (1)求证:“如果直线 l 过点 T(3,0),那么 OA ? OB =3”是真命题; (2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.
?? ? ?? ?

该命题是假命题. 例如:取抛物线上的点 A(2,2),B( T(3,0)不在直线 AB 上. 对于(2)的证明如下:

??? ? ??? ? 1 ,1),此时 OA? OB =3,直线 AB 的方程为: y ? 2 ( x ?1) ,而 3 2

证明:设直线 l : x ? ty ? b 代入抛物线 y2=2x 消去 x ,得 y 2 ? 2ty ? 2b ? 0 .,设 A( x1 , y1 ) ,

B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y 2 ? 2t , y1 y2 ? ?2b ,

? OA ? OB = x1 x2 ? y1 y 2 ? (ty1 ? b)(ty 2 ? b) ? y1 y 2 ? t 2 y1 y2 ? bt( y1 ? y2 ) ? b 2 ? y1 y2
解:(1)证法一:设过点 T(3,0)的直线 l 交抛物线 y =2x 于点 A(x1,y1)、B(x2,y2). ①当直线 l 的钭率不存在时,直线 l 的方程为 x=3,此时,直线 l 与抛物线相交于点 A(3, 6 )、 B(3, - 6 ). ∴OA ? OB =3;
2

?? ?

?? ?

? ?2bt 2 ? bt ? 2t ? b 2 ? 2b ? b 2 ? 2b ,令 b 2 ? 2b ? 3 得 b ? 3 或 b ? ?1 .此时直线 l 过点 ( 3,0 )
或( ? 1,0 ),故原命题为假命题。 证明:(用反证法)若 (1 ? a)b , (1 ? b)c , (1 ? c)a 三式中都大于

1 .则有 4

②当直线 l 的钭率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) ,其中 k ? 0 ,

(1 ? a)b ? (1 ? b)c ? (1 ? c)a ?
而 (1 ? a )b ?

? y2 ? 2x 由? 得 ky 2 ? 2 y ? 6k ? 0 ? y1 y2 ??6 y ? k ( x ? 3) ?
1 2 又 ∵ x1 ? 1 y12 , x2 ? 1 y2 2 ,∴OA ? OB ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? ( y1 y 2 ) ? y1 y 2 ? 3 2 2 4
综上所述,命题“如果直线 l 过点 T(3,0),那么 OA ? OB =3”是真命题。 证法二:设直线 l : x ? ty ? 3 代入抛物线 y2=2x 消去 x ,得 y ? 2ty ? 6 ? 0 .
2

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 y1 ? y 2 ? 2t , y1 y 2 ? ?6 , 从而 OA ? OB = x1 x2 ? y1 y2 ? (ty1 ? 3)(ty2 ? 3) ? y1 y 2 ? t y1 y2 ? 3t ( y1 ? y2 ) ? 9 ? y1 y2
2
?? ? ?? ?

(1 ? a) ? b (1 ? b) ? c (1 ? c) ? a , (1 ? b)c ? , (1 ? c)a ? ,三式相加 2 2 2 3 得 (1 ? a )b ? (1 ? b)c ? (1 ? c)a ? ,此与(*)式矛盾,故假设错误,从而原命题成立。 2 解:(1)由 M ? P ? {x | 5 ? x ? 8} ,得 ? 3 ? a ? 5 ,因此 M ? P ? {x | 5 ? x ? 8} 的充要 条件是 {a | ?3 ? a ? 5} ; (2)求实数 a 的一个值,使它成为 M ? P ? {x | 5 ? x ? 8} 的一个充分但不必要条件,就是在集 合 {a | ?3 ? a ? 5} 中 取 一 个 值 , 如 取 a ? 0 , 此 时 必 有 M ? P ? {x | 5 ? x ? 8} ; 反 之 , M ? P ? {x | 5 ? x ? 8}未必有 a ? 0 ,故 a ? 0 是所求的一个充分而不必要条件; (3) 求实数 a 的取值范围, 使它成为 M ? P ? {x | 5 ? x ? 8} 的一个必要但不充分条件就是另求 一 个 集 合 , 故 {a | ?3 ? a ? 5} 是 它 的 一 个 真 子 集 。 如 果 {a | a ? 5} 时 , 未 必 有 M ? P ? {x | 5 ? x ? 8},但是 M ? P ? {x | 5 ? x ? 8}时,必有 a ? 5 ,故 {a | a ? 5} 是所求的
一个必要而不充分条件. 解:由 f(x)为二次函数知 a ? 0 ,令 f(x)=0 解得其两根为 x1 ? 由此可知 x1 ? 0, x2 ? 0

3 2

(*)

? ?6t 2 ? 3t ? 2t ? 9 ? 6 ? 3 ,? “如果直线 l 过点 T(3,0),那么 OA ? OB =3”是真命题。
(2)逆命题是: 设直线 l 交抛物线 y2=2x 于 A、 B 两点,如果 OA ? OB =3,那么该直线过点 T(3,0).

?? ?

?? ?

1 1 1 1 ? 2 ? 2 , x2 ? ? 2 ? 2 a a a a

(i)当 a ? 0 时, A ? {x | x ? x1} ? {x | x ? x2 }

6 A ? B ? ? 的充要条件是 x2 ? 3 ,即 1 ? 2 ? 12 ? 3 解得 a ? a a 7
(ii)当 a ? 0 时, A ? {x | x1 ? x ? x2 }

A ? B ? ? 的充要条件是 x2 ? 1 ,即 1 ? 2 ? 12 ? 1 解得 a ? ?2 a a
综上,使 A ? B ? ? 成立的 a 的取值范围为 (??, ?2) ? ( , ??)

6 7

高二数学选修 2-1 第一章常用逻辑用语测试题
班别: 姓名: 得分:

一、 选择题(每道题只有一个答案,每道题 5 分,共 60 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1、一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这 4 个命题中( ) A、真命题与假命题的个数相同 B 真命题的个数一定是奇数 C 真命题的个数一定是偶数 D 真命题的个数可能是奇数,也可能是偶数 2、下列命题中正确的是( ) 2 2 ①“若 x +y ≠0,则 x,y 不全为零”的否命题 ②“正多边形都相似”的逆命题 ③“若 m>0,则 x2+x-m=0 有实根”的逆否命题
1

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要 5、设甲是乙的充分不必要条件,乙是丙的充要条件,丁是丙的必要非充分条件,则 甲是丁的( ) A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要 2 6、“若 x≠a 且 x≠b,则 x -(a+b)x+ab≠0”的否命题() A、 若 x=a 且 x=b,则 x2-(a+b)x+ab=0 B、 B、若 x=a 或 x=b,则 x2-(a+b)x+ab≠0 C、 若 x=a 且 x=b,则 x2-(a+b)x+ab≠0 D、 D、若 x=a 或 x=b,则 x2-(a+b)x+ab=0 1 7、“ m ? ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线 (m+2)x+(m-2)y-3=0 相互垂直”的 2 ( ) A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要 8、命题 p:存在实数 m,使方程 x2+mx+1=0 有实数根,则“非 p”形式的命题是 ( ) A、 存在实数 m,使得方程 x2+mx+1=0 无实根 B、不存在实数 m,使得方程 x2+mx+1=0 有实根 C、对任意的实数 m,使得方程 x2+mx+1=0 有实根 D、至多有一个实数 m,使得方程 x2+mx+1=0 有实根 9.若 " a ? b ? c ? d "和 " a ? b ? e ? f "都是真命题 ,其逆命题都是假命题,则 " c ? d "是 " e ? f "的( ) A.必要非充分条件 B.充分非必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 10.在下列结论中,正确的是( ) ① " p ? q" 为真是 " p ? q" 为真的充分不必要条件 ② " p ? q" 为假是 " p ? q" 为真的充分不必要条件

④“若 x- 3 2 是有理数,则 x 是无理数”的逆否命题 A、①②③④ B、①③④ C、②③④
1 5

D、①④

3、“用反证法证明命题“如果 x<y,那么 x A、 x = y
1 1 5

< y ”时,假设的内容应该是()
1 5

1 5

③ " p ? q" 为真是 " ?p" 为假的必要不充分条件
1 5

1 5

B、 x

1 5

<y

1 5

C、 x = y 且 x < y

1 5

1 5

1 5

D、 x = y 或

1 5

④ " ?p" 为真是 " p ? q" 为假的必要不充分条件 A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④

1

x5 > y5

二、填空题(每道题 4 分,共 16 分)
) 11、判断下列命题的真假性: ①、若 m>0,则方程 x2-x+m=0 有实根

4、“a≠1 或 b≠2”是“a+b≠3”的(

②、若 x>1,y>1,则 x+y>2 的逆命题 ③、对任意的 x∈{x|-2<x<4},|x-2|<3 的否定形式 ④、△>0 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 有一正根和一负根的充要条件 12、“末位数字是 0 或 5 的整数能被 5 整除”的 否定形式是 否命题是 13、写出命题“若方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两根均大于 0,则 ac ? 0 ”的一个等价命题是
____ __ 条件.

19、(12)已知命题 P : “若 ac ? 0, 则二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 没有实根”. (1)写出命题 P 的否命题; (2)判断命题 P 的否命题的真假, 并证明你的 结论.

14、设 p、q 是两个命题,若 p 是 q 的充分不必要条件,那么非 p 是非 q 的 15. 命题“存在 x ? R ,使得 x 2 ? 2 x ? 5 ? 0 ”的否定是

二、 解答题 17、(12)写出下列命题的否定:
(1)所有自然数的平方是正数 (2)任何实数 x 都是方程 5x-12=0 的根 (3)对于任意实数 x,存在实数 y,使 x+y>0 (4)有些质数是奇数

20、(12)已知 p: 1 ?

x ?1 ? 2 ,q: x 2 ? 2x ? 1 ? m2 ? 0?m ? 0? ,若 ? p 是 ? q 的必 3

要不充分条件,求实数 m 的取值范围。

18、(12)用反证法证明:
设 0<a, b, c<1,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不同时大于

1 . 4

二、填空题 11.①.假 ②.假 ③.真 ④.假 12.否定形式:末位数是 0 或 5 的整数,不能被 5 整除 否命题:末位数不是 0 或 5 的整数,不能被 5 整除 13.若 ac ? 0, 则方程ax2 ? bx ? c ? 0 的两根不全大于 0

21.已知 ab ? 0 ,求证 a ? b ? 1 的充要条件是 a 3 ? b 3 ? ab ? a 2 ? b 2 ? 0

14. 15.对任意 x ? R ,都有 x 2 ? 2 x ? 5 ? 0 . 三、解答题 17、

1 1 ? ? ?(1 ? a )b ? 4 ? (1 ? a )b ? 2 ? ? 1 1 ? ? 18、证明:证明:用反证法,假设 ?(1 ? b)c ? ? ? (1 ? b)c ? ,①+②+③得: 4 2 ? ? 1 1 ? ? ?(1 ? c)a ? 4 ? (1 ? c) a ? 2 ? ?
3 1? a ? b 1? b ? c 1? c ? a 3 ? (1 ? a)b ? (1 ? b)c ? (1 ? c)a ? ? ? ? , 2 2 2 2 2
左右矛盾,故假设不成立, ∴(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不同时大于

22.求实数 a 的取值范围,使得关于 x 的方程 x 2 ? 2?a ? 1?x ? 2a ? 6 ? 0. . (1) 有两个都大于 1 的实数根; (2) 至少有一个正实数根。

1 . 4

2 19.解:(1)命题 P 的否命题为:“若 ac ? 0, 则二次方程 ax ? bx ? c ? 0 有实根”.

(2)命题 P 的否命题是真命题. 证明如下:

? ac ? 0,? ?ac ? 0, ? ? ? b 2 ? 4ac ? 0, ? 二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有实根.
∴该命题是真命题. 20.解:由 p: 1 ?

x ?1 ? 2 ? ?2 ? x ? 10. 3

高二数学选修第一章常用逻辑用语测试题参考答案
一、选择题

由q可得? x ? 1? ? m 2 ?m? 0 ?
2

所以1 ? m ? x ? 1 ? m. 所以?p : x ? 10或x ? ?2, ? p : x ? 1 ? m或 x ? 1 ? m, 因为?p是?q的必要不充分条件 , 所以?p ? ?q. ?1 ? m ? 10 故只需满足? ?1 ? m ? ?2 所以m ? 9.
21.证明:必要性:

? a ? b ? 1,即b ? 1 ? a, ? a 3 ? b 3 ? ab ? a 2 ? b 2 ? a 3 ? ?1 ? a ? ? a?1 ? a ? ? a 2 ? ?1 ? a ? ? .... ? 0
3 2
3 3 2 2 充分性:? a ? b ? ab ? a ? b ? 0

?a ? b ??a 2 ? ab ? b 2 ? ? ?a 2 ? ab ? b 2 ? ? 0 ?a 2 ? ab ? b 2 ??a ? b ? 1? ? 0.
即 又ab ? 0, 即a ? 0, 且b ? 0,

b? 3b 2 ? a 2 ? ab ? b 2 ? ? a ? ? ? ? 0, 只有a ? b ? 1. 2? 4 ? 综上可知,当ab ? 0, a ? b ? 1的充要条件是 a 3 ? b 3 ? ab ? a 2 ? b 2 ? 0

2


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