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【步步高 通用(理)】2014届高三《考前三个月》专题复习篇【配套课件】专题二 第三讲


考点整合

第三讲

第三讲 函数的图象与性质

本 讲 栏 目 开

1.函数的三要素:定义域、值域、对应关系 两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个 函数,定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数. 2.函数的单调性 (1)单调性的定义的等价形式:设 x1, x2∈ [a, b], f

? x1?-f? x2? 那么(x1- x2)[f(x1)-f(x2)]>0? >0? f(x)在 [a, b]上 x1-x2 是增函数;

考点整合

第三讲

f? x1?-f? x2? (x1- x2)[f(x1)- f(x2)]<0? <0? f(x)在 [a,b]上是减 x1- x2 函数 . (2)若函数 f(x)和 g(x)都是减函数,则在公共定义域内, f(x) + g(x)是减函数;若函数 f(x)和 g(x)都是增函数,则在公共 定义域内, f(x)+ g(x)也是增函数;根据同增异减判断复合 函数 y=f[g(x)]的单调性 . 3.函数的奇偶性 (1)f(x)为奇函数? f(- x)=- f(x)?f(- x)+ f(x)= 0;f(x)为偶 函数 ? f(x)= f(- x)= f(|x|) ? f(x)- f(- x)= 0. 只有当定义域 关于原点对称时,这个函数才能具有奇偶性 . (2)f(x)是偶函数? f(x)的图象关于 y 轴对称;f(x)是奇函数 ? f (x)的图象关于原点对称 .

考点整合

第三讲

(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在 对称的单调区间内有相反的单调性 . (4)若 f(x+ a)为奇函数? f(x)的图象关于点 (a,0)中心对称;若 f(x+ a)为偶函数? f(x)的图象关于直线 x= a 对称 . (5)在 f(x), g(x)的公共定义域上:奇 ± 奇=奇,偶± 偶=偶, 奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 4.函数的周期性的结论 (1)若 y=f(x)在 x∈R 时,f(x+a)= f(x- a)恒成立,则函数 f(x)的周期为 2|a|. 1 (2)若 y= f(x)在 x∈ R 时, f(x+a)=- f(x)或 f(x+ a)=± 恒 f? x? 成立,则函数 y=f(x)的周期为 2|a|.

考点整合
5.函数的图象 对于函数的图象要会作图、识图、用图 .

第三讲

作函数图象有两种基本方法: 一是描点法, 二是图象变换法, 其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换 . 重要结论:(1)若函数 y=f(x)满足 f(a+x)= f(a-x),即 f(x) = f(2a- x),则 f(x)的图象关于直线 x=a 对称 . (2)若 f(x)满足 f(a+x)= f(b- x), 则函数 f(x)的图象关于直线 a+ b x= 对称 . 2 (3)若函数 y=f(x)满足 f(x)= 2b- f(2a-x),则该函数图象关 于点 (a, b)成中心对称 .

真题感悟

第三讲

1.(2013· 江西)函数 y= xln(1-x)的定义域为 A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]

( B )

解析

?1-x>0 ? 由? ? ?x≥0

得,函数定义域为[0,1).

真题感悟

第三讲

2.(2013· 山东)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)= 2 1 x + ,则 f(-1)等于 ( A ) x A.-2 B.0 C.1 D.2

解析 f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2.

真题感悟
x3 3.(2013· 四川)函数 y= x 的图象大致是 3 -1 (

第三讲
)

解析 由 3x-1≠0 得 x≠0,
x3 ∴函数 y= x 的定义域为{x|x≠0},可排除选项 A; 3 -1
?-1?3 3 当 x=-1 时,y= 1 =2>0,可排除选项 B; -1 3

真题感悟

第三讲

当 x=2 时,y=1,
64 当 x=4 时,y= , 80

但从选项 D 的函数图象可以看出函数在(0,+∞)上是单调递 增函数,两者矛盾,可排除选项 D.故选 C.

答案 C

真题感悟

第三讲

4.(2013· 北京)函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图 象与曲线 y=ex 关于 y 轴对称,则 f(x)等于 A.ex
+1

( D )

B.ex

-1

C.e-x+1

D.e- x-1

解析 与 y=ex 图象关于 y 轴对称的函数为 y=e-x.
依题意,f(x)图象向右平移一个单位,得 y=e-x 的图象. ∴f(x)的图象由 y=e-x 的图象向左平移一个单位得到. ∴f(x)=e-(x+1)=e-x-1.

真题感悟

第三讲

5.(2013· 江苏)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数.当 x>0 时,f(x) =x2-4x,则不等式 f(x)>x 的解集用区间表示为 (-5,0)∪(5,+∞) ____________________.

解析 因此

由已知 f(0)=0, 当 x<0 时, f(x)=-f(-x)=-x2-4x,
?x2-4x,x≥0 ? f(x)=? 2 ? ?-x -4x,x<0
?x≥0 ? 等价于? 2 ? ?x -4x>x, ? ?x<0 或? 2 ? - x -4x>x ?

不等式 f(x)>x

解得:x>5 或-5<x<0.

题型与方法

第三讲

题型一 例1

函数及其表示

f? 2x? (1)若函数 y= f(x)的定义域是[0,2], 则函数 g(x)= 的 ln x ( B.[0,1) D.(0,1)
? ?2x+ a, x<1, f(x)=? ? ? - x- 2a, x≥ 1.

定义域是 A.[0,1] C.[0,1)∪(1,4]

)

(2)已知实数 a≠ 0,函数

若 f(1- a)

= f(1+ a),则 a 的值为________.

题型与方法

第三讲

审题破题 (1)f(2x)有意义要求 2x 在 f(x)的定义域内;(2)解题 的关键是考虑 f(1-a)和 f(1+a)需要代入解析式的哪一段,因 而需讨论 1-a 和 1+a 与 1 的大小关系, 即 a 与 0 的大小关系, 构造关于 a 的方程求解.

解析 (1)因为 f(x)的定义域为[0,2] ,所以对 g(x),0≤2x≤2, 且 x>0,x≠1,故 x∈(0,1).
(2)首先讨论 1-a,1+a 与 1 的关系,

当 a<0 时,1-a>1,1+a<1,
所以 f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a; f(1+a)=2(1+a)+a=3a+2.

题型与方法
因为 f(1-a)=f(1+a),所以-1-a=3a+2,
3 所以 a=- ; 4

第三讲

当 a>0 时,1-a<1,1+a>1,
所以 f(1-a)=2(1-a)+a=2-a; f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1.
因为 f(1-a)=f(1+a),
3 所以 2-a=-3a-1,所以 a=- (舍去). 2 3 综上,满足条件的 a=- . 4

答案 (1)D

3 (2)- 4

题型与方法

第三讲

反思归纳 (1)求函数定义域的方法:①根据具体函数 y= f(x) 求定义域时,只要构建使解析式有意义的不等式(组),求解即 可;② 根据抽象函数求定义域时:a.若已知函数 f(x)的定义域 为 [a,b],其复合函数 f(g(x))的定义域由不等式 a≤ g(x)≤b 求 出 .b.若已知函数 f(g(x))的定义域为[a, b],则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a, b]时的值域. (2)求复合函数的函数值,要先内后外;分段函数问题要准确 代入函数的解析式,如不能确定要进行讨论.

题型与方法
互动探究

第三讲

若将例 1(2)中“f(1-a)=f(1+a)”变为“f(1- 3 a≤-4或 a>0 a)≥f(1+a)”,则 a 的取值范围是_______________.

解析 当 a>0 时,由 f(1-a)≥f(1+a)得: 3 (2-2a)+a≥-1-a-2a,解得 a≥-2.

所以 a>0,
当 a<0 时,由 f(1-a)≥f(1+a)得: 3 -1+a-2a≥2+2a+a,解得 a≤-4, 3 综上可知,a 的取值范围为 a≤- 或 a>0. 4

题型与方法
变式训练 1 设函数 g(x)= x2- 2(x∈ R),
?g? x?+ x+ 4, ? f(x)=? ? ?g? x?- x,

第三讲

x<g? x?, x≥ g? x?,

则 f(x)的值域是

(

)

9 A.[- , 0]∪ (1,+∞ ) 4 9 C.[- ,+∞ ) 4

B.[0,+∞ ) 9 D.[- , 0]∪ (2,+∞ ) 4

解析 由 x<g(x)得 x<x2-2,∴x<-1 或 x>2;
由 x≥g(x)得 x≥x2-2,∴-1≤x≤2.
?x2+x+2,x<-1或x>2, ? ∴f(x)=? 2 ? ?x -x-2,-1≤x≤2.

题型与方法
12 7 ? ?? x+2? +4,x<-1或x>2, 即 f(x)=? ?? x-1?2-9,-1≤x≤2. 2 4 ?
当 x<-1 时,f(x)>2;当 x>2 时,f(x)>8.

第三讲

∴当 x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时,函数的值域为(2,+∞).
9 当-1≤x≤2 时,- ≤f(x)≤0. 4 9 ∴当 x∈[ -1,2] 时,函数的值域为[- ,0]. 4 9 综上可知,f(x)的值域为[- ,0]∪(2,+∞). 4

答案 D

题型与方法
题型二 函数的图象问题
?- 2x ? f(x)=? ? ? x

第三讲

例 2 已知

?-1≤x≤0?, ? 0<x≤1?,

则下列函数的图象 ( )

错误的是

审题破题

可以先画出函数 f(x)的草图,然后变换得到其它

函数的图象,也可以利用特殊点进行排除.

题型与方法
解析

第三讲

先在坐标平面内画出函数 y=f(x)的图象,再将函数 y

=f(x)的图象向右平移 1 个长度单位即可得到 y=f(x-1)的图 象,因此 A 正确;

作函数 y=f(x)的图象关于 y 轴的对称图形,即可得到 y= f(-x)的图象,因此 B 正确;
y=f(x)的值域是[0,2] ,因此 y=|f(x)|的图象与 y=f(x)的图象重 合,C 正确;

y=f(|x|)的定义域是[ -1,1] ,且是一个偶函数,当 0≤x≤1 时, y=f(|x|)= x,相应这部分图象不是一条线段,因此选项 D 不 正确.

答案 D

题型与方法

第三讲

反思归纳

(1)作图:应注意在定义域内依据函数的性质,选

取关键的一部分点连接而成. (2)识图:在观察、分析图象时,要注意到图象的分布及变化 趋势,具有的性质,找准解析式与图象的对应关系. (3)用图:在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时,要 注意用好其与图象的关系,结合图象研究.

题型与方法

第三讲

变式训练 2 已知函数 f(x)=2x-2,则函数 y=|f(x)|的图象可 能是 ( )

题型与方法

第三讲

解析

函数 f(x)=2x-2 是把函数 y=2x 的图象向下平移两个单

位得到的图象,
由 2x-2<0 得 x<1,即在(-∞,1)上,函数 f(x)=2x-2 的图象 位于 x 轴下方, 根据指数函数图象的特点, 不难看出把 x 轴下方的部分对称到 x 轴上方后得到函数 y=|f(x)|的图象.故选 B.

答案 B

题型与方法
题型三 函数的性质问题

第三讲

例 3 (1)(2012· 山东)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)= f(x), 当-3≤x<- 1 时, f(x)=-(x+2)2;当- 1≤ x<3 时,f(x)= x.则 f(1)+ f(2)+f(3)+?+ f(2 013)等于 ( A.335 B.337 C.1 678 D.2 012 (2)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)= x2, 若对任意的 x∈[- 2- 2,2+ 2],不等式 f(x+t)≤2f(x)恒 成立,则实数 t 的取值范围是 A.[ 2,+∞ ) B.(-∞,- 2] C.[4+ 3 2,+∞) D.(-∞,- 2]∪[4+3 2,+∞) ( ) )

题型与方法

第三讲

审题破题

(1)先判断函数的周期性,再求函数值;(2)利用函

数 f(x)的单调性先脱去 f,然后分离 t,再求最值得 t 的范围.

解析 (1)利用函数的周期性和函数值的求法求解. ∵f(x+6)=f(x),∴T=6.

∵当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2;

当-1≤x<3 时,f(x)=x,
∴f(1) =1,f(2) =2,f(3)=f(-3)=-1,f(4) =f(-2) =0,f(5) =f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,
∴f(1)+f(2)+?+f(6)=1,

题型与方法

第三讲

∴f(1)+ f(2) +?+f(6)= f(7)+ f(8)+ ?+f(12)=?= f(2 005) +f(2 006)+?+f(2 010)=1,

2 010 ∴f(1)+f(2)+?+f(2 010)=1× =335. 6
而 f(2 011)+f(2 012)+f(2 013)=f(1)+f(2)+f(3)=2, ∴f(1)+f(2)+?+f(2 013)=335+2=337.
(2)设 x<0,则-x>0. f(-x)=(-x)2,又∵f(x)是奇函数,
∴f(x)=-x2.

∴f(x)在 R 上为增函数,且 2f(x)=f( 2x).

题型与方法

第三讲

故 f(x+t)≤2f(x)=f( 2x)?x+t≤ 2x 在[-2- 2,2+ 2]上 恒成立,

由于 x+t≤ 2x?( 2-1)x≥t,
要使原不等式恒成立,只需( 2-1)(-2- 2)≥t ?t≤- 2即可.
答案 (1)B
(2)B

题型与方法

第三讲

反思归纳 (1)周期函数 f(x)的最小正周期 T 必须满足下列两 个条件: ①当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x); ② T 是所在正周期中最小的一个. (2)函数的单调性往往和不等式相结合,应用时要看清函数的 单调区间, 必要时可以利用奇偶性作适当变换; 去掉函数符号 “ f”然后求解.

题型与方法

第三讲

变式训练 3 (1)若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1) =1,f(2)=2,则 f(3)-f(4)等于 A.-1 B.1 C.-2 D.2 ( A )

解析 由于函数 f(x)的周期为 5,

所以 f(3)-f(4)=f(-2)-f(-1), 又 f(x)为 R 上的奇函数, ∴f(-2)-f(-1)=-f(2)+f(1)=-2+1=-1.

题型与方法

第三讲

(2)已知函数 f(x)=x3+x,对任意的 m∈[-2,2],f(mx-2)+ 2 (-2,3) f(x)<0 恒成立,则 x 的取值范围为________.

解析 易知原函数在 R 上单调递增,且为奇函数,
故 f(mx-2)+f(x)<0?f(mx-2)<-f(x)=f(-x), 此时应有 mx-2<-x?mx+x-2<0,

对所有 m∈[ -2,2] 恒成立,
令 g(m)=xm+x-2,
? ?g?-2?<0 此时只需? ? ?g?2?<0

即可,

2 解之得-2<x<3.

阅卷评析

第三讲

典例

?-x2+2x,x>0, ? (12 分)已知函数 f(x)=?0,x=0, ?x2+mx,x<0 ?

是奇函数.

(1)求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在区间[-1, a-2]上单调递增, 求实数 a 的取 值范围.

阅卷评析
规范解答 解 (1)∵函数 f(x)是奇函数,

第三讲

∴f(-x)=-f(x). 当 x>0 时,-x<0,有(-x)2-mx=-(-x2+2x), 即 x2-mx=x2-2x. ∴m=2.

[2 分]

[6 分]

?-x2+2x,x>0, ? (2)由(1)知 f(x)=?0,x=0, ?x2+2x,x<0, ?
当 x>0 时,f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,

阅卷评析

第三讲

∴当 x∈[1,+∞)时,f(x)单调递减;当 x∈(0,1]时,f(x)单调 递增.
当 x<0 时,f(x)=x2+2x=(x+1)2-1,
∴当 x∈(-∞,-1]时,f(x)单调递减; 当 x∈[-1,0)时,f(x)单调递增. 综上知:函数 f(x)在[ -1,1] 上单调递增. 又函数 f(x)在区间[ -1,a-2] 上单调递增.
?a-2>-1, ? ∴? ? ?a-2≤1,

[8 分]

[10 分]

解之得 1<a≤3.

故实数 a 的取值范围是(1,3].

[12 分]

阅卷评析

第三讲

评分细则 (1)利用特殊值计算 m 应验证,否则扣 1 分;(2)判 断函数单调性,要注意区间的端点,写成开区间的扣 1 分,并 且以下不得分;(3)最后 a 的范围写成不等式不扣分 . 阅卷老师提醒 (1)解决本题要抓住分段函数奇偶性的定义, 可 设 x>0 或 x<0,从而- x<0 或- x>0,这样可代入解析式求 m. (2)本题可通过 f(x)的图象直观地看出函数 f(x)的单调区间 .有关 分段函数的单调性问题,不但要注意每一段上的单调性,还应 注意“接点”处函数值的大小 .

小题冲关

第三讲

1.(2012· 天津)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增 函数的为 A.y=cos 2x,x∈R - ex-e x C.y= ,x∈R 2 ( B.y=log2|x|,x∈R 且 x≠0 D.y=x3+1,x∈R )

解析 利用逐项排除法求解. 选项 A 中函数 y=cos 2x 题意;
? π? 在区间?0,2?上单调递减,不满足 ? ?

小题冲关

第三讲

选项 C 中的函数为奇函数;
选项 D 中的函数为非奇非偶函数,故选 B. 答案 B

小题冲关
2.(2013· 山东)函数 y=xcos x+sin x 的图象大致为

第三讲
( D )

函数 y=xcos x+sin x 为奇函数,排除 B. π 取 x= ,排除 C; 2 取 x=π,排除 A,故选 D.

解析

小题冲关

第三讲

3.如果函数 f(x)=ax2+2x-3 在区间(-∞, 4)上是单调递增的, 则实数 a 的取值范围是 1 1 A.a>- B.a≥- 4 4 1 1 C.- ≤a<0 D.- ≤a≤0 4 4 ( D )

解析 ①当 a=0 时,f(x)=2x-3,在定义域 R 上是单调递 增的,故在(-∞,4)上单调递增;
1 ②当 a≠0 时,二次函数 f(x)的对称轴为直线 x=- , a

因为 f(x)在(-∞,4)上单调递增,
1 1 1 所以 a<0, 且- ≥4, 解得 0>a≥-4.综合①②得-4≤a≤0. a

小题冲关

第三讲

4.设 f(x)为偶函数, 对于任意的 x>0 的数, 都有 f(2+x)=-2f(2 -x),已知 f(-1)=4,那么 f(-3)等于 A.2
解析

( D )

B.-2

C.8

D.-8

∵f(x)为偶函数,

∴f(1)=f(-1)=4,f(-3)=f(3), 当 x=1 时,f(2+1)=-2· f(2-1), ∴f(3)=-2×4=-8,∴f(-3)=-8.

小题冲关

第三讲

5.若偶函数 f(x)在(-∞, 0)内单调递减, 则不等式 f(- 1)<f(lg x) 的解集是 A.(0,10)
?1 ? C.? ,+∞ ? ?10 ? ?1 ? B.? , 10? ?10 ? ? 1? D.?0, ?∪ (10,+∞ ) 10? ?

( D )

解析 因为 f(x)为偶函数,所以 f(x)=f(|x|),
因为 f(x)在(-∞,0)内单调递减,所以 f(x)在[0,+∞)上单 调递增.
1 由|lg x|>1,即 lg x>1 或 lg x<-1,解得 x>10 或 0<x< . 10

小题冲关

第三讲

6.已知定义在 R 上的函数 y= f(x)满足以下三个条件:①对于 任意的 x∈ R, 都有 f(x+ 4)= f(x); ②对于任意的 x1, x2∈ R, 且 0≤ x1< x2≤ 2,都有 f(x1)<f(x2);③函数 y= f(x+ 2)的图 象关于 y 轴对称 .则下列结论中正确的是 A.f(4.5)< f(7)< f(6.5) B.f(7)< f(4.5)<f(6.5) C.f(7)< f(6.5)< f(4.5) D.f(4.5)< f(6.5)< f(7) ( )

小题冲关

第三讲

解析 由已知得 f(x)是以 4 为周期且关于直线 x=2 对称的函数.

1 1 ∴f(4.5)=f(4+2)=f(2), f(7)=f(4+3)=f(3), 5 5 f(6.5)=f(4+2)=f(2).

又 f(x)在[0,2]上为增函数.
所以作出其在[0,4] 上的图象知 f(4.5)<f(7)<f(6.5).
答案 A


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