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2014届高三数学辅导精讲精练39


2014 届高三数学辅导精讲精练 39
1.等差数列{an}中,a3+a11=8,数列{bn}是等比数列,且 b7=a7,则 b6·8 b 的值为 A.2 C.8 答案 解析 D a3+a11 ∵{an}为等差数列,∴a7= 2 =4=b7. B.4 D.16 ( )

又{bn}为等比数列,b6·8=b2=16,故选 D. b 7 a9+a10 1

2. 已知等比数列{an}中的各项都是正数, a1, a3,2a2 成等差数列, 且 则 2 a7+a8 等于 A.1+ 2 C.3+2 2 答案 解析 C 记等比数列{an}的公比为 q,其中 q>0, B.1- 2 D.3-2 2 ( )

则有 a3=a1+2a2, 即 a1q2=a1+2a1q,q2-2q-1=0,q=1± 2. 又 q>0,因此 q=1+ 2. a9+a10 a7q2+a8q2 2 所以 = =q =(1+ 2)2=3+2 2. a7+a8 a7+a8 选 C. 3.(2011· 天津)已知{an}为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比 中项,Sn 为{an}的前 n 项和,n∈N*,则 S10 的值为 A.-110 C.90 答案 解析 D 因为 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,所以 a2=a3a9,又因为公差为-2,所 7 B.-90 D.110 ( )

以(a1-12)2=(a1-4)(a1-16),解得 a1=20,通项公式为 an=20+(n-1)(-2)=

10?a1+a10? 22-2n,所以 S10= =5(20+2)=110,故选择 D. 2 4.(2013· 江苏常州)已知数列{an}的通项公式 an=3n2-(9+a)n+6+2a(其中 a 为常数),若 a6 与 a7 两项中至少有一项是 an 的最小值,则实数 a 的取值范围是 ( A.[24,36] C.{a|27≤a≤33,a∈N*} 答案 解析 A 当 a6 为 an 的最小值时, 由题意得 a5≥a6 且 a7≥a6, ∴解得 24≤a≤30; B.[27,33] D.{a|24≤a≤36,a∈N*} )

当 a7 为 an 的最小值时,由题意,a6≥a7 且 a8≥a7,解得 30≤a≤36,∴ 24≤a≤36. 5.在如图的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一 纵列成等比数列,则 a+b+c 的值为 1 1 2 2 1 a b c A.1 C.3 答案 解析 A 1 5 3 由题意知,a=2,b=16,c=16.故 a+b+c=1,故选 A. B.2 D.4 ( )

6.一个数字生成器,生成规则如下:第 1 次生成一个数 x,以后每次生成 的结果可将上一次生成的每一个数 x 生成两个数,一个是-x,另一个是 x+3. 设第 n 次生成的数的个数为 an,则数列{an}的前 n 项和 Sn=________;若 x=1, 前 n 次生成的所有数中不同的数的个数为 Tn,则 T4=________. ... 答案 解析 2n-1 10

由题意可知, 依次生成的数字个数是首项为 1, 公比为 2 的等比数列,

1-2n n 故 Sn= =2 -1. 1-2

当 x=1 时,第 1 次生成的数为 1,第 2 次生成的数为-1、4,第 3 次生成 的数为 1、2,-4、7,第 4 次生成的数为-1、4,-2、5,4、-1,-7、10.故 T4=10. 7.数列{an}是等差数列,若 a1,a3,a4 是等比数列{bn}中的连续三项,则数 列{bn}的公比为________. 答案 解析 1 2或 1
2 设数列{an}的公差为 d,由题可知,a3=a1·4,可得(a1+2d)2=a1(a1 a

+3d),整理得(a1+4d)d=0,解得 d=0 或 a1=-4d.当 d=0 时,等比数列{bn} 的公比为 1;当 a1=-4d 时,a1、a3、a4 分别为-4d、-2d、-d,所以等比数 1 列{bn}的公比为2. 8.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3 成等差数列,则等比数列 {an}的公比为________. 答案 解析 1 3 设等比数列{an}的公比为 q(q≠0),由 4S2=S1+3S3,得 4(a1+a1q)=

1 a1+3(a1+a1q+a1q2),即 3q2-q=0.∴q=3. 9. (2012· 海淀区)设关于 x 的不等式 x2-x<2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为 an,数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S100 的值为________. 答案 解析 10 100 由 x2-x<2nx(n∈N*),得 0<x<2n+1,因此 an=2n,所以数列{an}是

100×?2+200? 一个等差数列,所以 S100= =10 100. 2 10.等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是 d(d≠1),且 a1=b1,a4 =b4,a10=b10. (1)求实数 a1 和 d 的值. (2)b16 是不是{an}中的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由. 答案 3 3 (1)a1= 2,d=- 2

(2)b16 为{an}中的第 34 项

解析

(1)依题意知 an=a1+(n-1)d,

bn=b1·n-1=a1·n-1. q d
3 ?a4=b4, ?a1+3d=a1d , 由? 得? 9 ?a10=b10, ?a1+9d=a1d .

即 3d=a1(d3-1),9d=a1(d9-1), 以上两式相除并整理得 d6+d3-2=0. 解得 d3=1,或 d3=-2. 3 3 ∵d≠1,∴d3=-2,d=- 2,代入原方程解得 a1= 2. 3 3 故 a1= 2,d=- 2. (2)由(1)得,数列{an},{bn}的通项分别为 3 3 an=(2-n) 2,bn=-(- 2)n. 3 3 故 b16=-(- 2)16=-32 2. 3 3 由(2-n) 2=-32 2,解得 n=34. 故 b16 为{an}中的第 34 项. 11.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,公 比是 q,且满足:a1=3,b1=1,b2+S2=12,S2=b2q. (1)求 an 与 bn; an (2)设 cn=3bn-λ· 3 (a∈R),若数列{an}是递增数列,求 λ 的取值范围. 2 答案 解析 (1)an=3n,bn=3n-1 (2)λ<3

?q+3+a2=12, (1)由已知可得? 2 ?3+a2=q ,

∴q2+q-12=0. 解得 q=3 或 q=-4(舍). 从而 a2=6. ∴an=3n,bn=3n-1. an (2)由(1)知 cn=3bn-λ· 3 =3n-λ·n, 2 2

由数列{cn}是递增数列可得: cn+1>cn 对任意的 n∈N*恒成立, 即 3n+1-λ·n+1>3n-λ·n 恒成立, 2 2 亦即 λ·n<2·n 恒成立, 2 3 3 即 λ<2·2)n 恒成立. ( 3 由于函数 y=(2)n 是增函数, 3 3 ∴[2·2)n]min=2·=3,∴λ<3. ( 2 12.已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 a(单位:m2),其中有部分 旧住房需要拆除.当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的 10%建设新住 房,同时也拆除面积为 b(单位:m2)的旧住房. (1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式; (2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30%, 那么每年拆除的旧住房面积 b 是多少?(计算时取 1.15=1.6) 解析 11 (1)第 1 年末的住房面积 a· -b=1.1a-b(m2), 10

11 11 11 11 第 2 年末的住房面积(a· -b)· -b=a·10)2-b(1+10)=1.21a-2.1b(m2). ( 10 10 11 11 11 11 11 11 (2)第 3 年末的住房面积[a·10)2-b(1+10)]10-b=a·10)3-b[1+10+(10)2], ( ( 11 11 11 11 第 4 年末住房面积为 a· )4-b[1+10+(10)2+(10)3], (10 1-1.15 11 5 11 11 2 11 3 11 4 5 第 5 年末住房面积为 a· ) -b[1+10+(10) +(10) +(10) ]=1.1 a- (10 1-1.1 b=1.6a-6b. a 依题意可知,1.6a-6b=1.3a,解得 b=20. a 所以每年拆除的旧房面积为20(m2). 13.(2012· 福建)在等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=b1=1,b4=8.{an} 的前 10 项和 S10=55. (1)求 an 和 bn;

(2)现分别从{an}和{bn}的前 3 项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件, 并求这两项的值相等的概率. 解析 (1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q.依题意得

10×9 S10=10+ 2 d=55,b4=q3=8, 解得 d=1,q=2,所以 an=n,bn=2n-1. (2)分别从{an}和{bn}的前 3 项中各随机抽取一项,得到的基本事件有 9 个: (1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4).符合题意的基本事 件有 2 个:(1,1),(2,2). 2 故所求的概率 P=9. 14.(2012· 浙江)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2n2+n,n∈N*,数 列{bn}满足 an=4log2bn+3,n∈N*. (1)求 an,bn; (2)求数列{an·n}的前 n 项和 T n. b 解析 (1)由 Sn=2n2+n,得当 n=1 时,a1=S1=3;

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=4n-1,所以 an=4n-1,n∈N*. 由 4n-1=an=4log2bn+3,得 bn=2n-1,n∈N*. (2)由(1)知 an·n=(4n-1)·n-1,n∈N*, b 2 所以 Tn=3+7×2+11×22+…+(4n-1)·n-1. 2 2Tn=3×2+7×22+…+(4n-5)·n-1+(4n-1)·n. 2 2 所以 2Tn-Tn=(4n-1)2n-[3+4(2+22+…+2n-1)]=(4n-5)2n+5. 故 Tn=(4n-5)2n+5,n∈N*.

1.(2011· 江苏)设 1=a1≤a2≤…≤a7,其中 a1,a3,a5,a7 成公比为 q 的等 比数列,a2,a4,a6 成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是________. 答案 解析 3 3

设 a2=t, 1≤t≤q≤t+1≤q2≤t+2≤q3, 则 由于 t≥1, 所以 q≥max{t,

3 3 t+1, t+2},故 q 的最小值是 3.

2.(2011· 陕西理)植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一 棵,相邻两棵树相距 10 米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边.使每位 同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为 ________(米). 答案 解析 2 000 当放在最左侧坑时,路程和为 2×(0+10+20+…+190);当放在左

侧第 2 个坑时, 路程和为 2×(10+0+10+20+…+180)(减少了 360 米); 当放在 左侧第 3 个坑时,路程和为 2×(20+10+0+10+20+…+170)(减少了 320 米); 依次进行, 显然当放在中间的第 10、 个坑时, 11 路程和最小, 2×(90+80+… 为 +0+10+20+…+100)=2 000 米. 3.在数列{an}中,设 a1 为首项,其前 n 项和为 Sm,若对任意的正整数 m、 n 都有不等式 S2m+S2n<2Sm+n(m≠n)恒成立,且 2S6>S3. a1 (1)设{an}为等差数列,且公差为 d,求 d 的取值范围; (2)设{an}为等比数列,且公比为 q(q>0 且 q≠1),求 a1-q 的取值范围. 解析 (1)∵S2m+S2n<2Sm+n, 2m?2m-1? 2n?2n-1? d+2na1+ d 2 2 ?m+n??m+n-1? d]. 2

∴2ma1+

<2[(m+n)a1+

∴(m-n)2d<0,∴d<0. 6×5 3×2 又 2S6>S3,∴2(6a1+ 2 d)>3a1+ 2 d. a1 ∴9a1+27d>0,∴ d <-3. (2)∵S2m+S2n<2Sm+n, ∴ ∴ a1 a1 2a1 (1-q2m)+ (1-q2n)< (1-qm+n). 1-q 1-q 1-q a1 (-q2m-q2n+2qm+n)<0. 1-q a1 m n 2 a1 (q -q ) <0,∴ >0. 1-q 1-q

∴-

a1 a1 又 2S6>S3,∴2· (1-q6)> (1-q3). 1-q 1-q 1 ∴2q6-q3-1<0,∴-2<q3<1. 又∵q>0,∴0<q<1. 又∵ a1 >0,∴a1>0,∴a1-q>-1. 1-q

4.(2011· 陕西理)

如图,从点 P1(0,0)作 x 轴的垂线交曲线 y=ex 于点 Q1(0,1),曲线在 Q1 点处 的切线与 x 轴交于点 P2.再从 P2 作 x 轴的垂线交曲线于点 Q2, 依次重复上述过程 得到一系列点:P1,Q1;P2,Q2;…;Pn,Qn,记 Pk 点的坐标为(xk,0)(k=1,2,…, n). (1)试求 xk 与 xk-1 的关系(2≤k≤n); (2)求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|. 解析 (1)设 Pk-1(xk-1,0),由 y′=ex,得 Qk-1(xk-1,exk-1)点处切线方程为 y

-exk-1=exk-1(x-xk-1). 由 y=0,得 xk=xk-1-1(2≤k≤n). (2)由 x1=0,xk-xk-1=-1,得 xk=-(k-1). 所以|PkQk|=exk=e-(k-1),于是 Sn=|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn| =1+e-1+e-2+…+e-(n-1) = 1-e-n e-e1-n . - = 1-e 1 e-1

5. 某市 2003 年共有 1 万辆燃油型公交车. 有关部门计划于 2004 年投入 128 辆电力型公交车,随后电力型公交车每年的投入比上一年增加 50%,试问: (1)该市在 2010 年应该投入多少辆电力型公交车? 1 (2)到哪一年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的3? 答案 (1)1 458 (2)2011 年底

解析

(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{an},

其中 a1=128,q=1.5,则在 2010 年应该投入的电力型公交车为 a7=a1q6= 128×1.56=1 458(辆). (2)记 Sn=a1+a2+…+an, 依据题意,得 Sn 1 > . 10 000+Sn 3

128?1-1.5n? 于是 Sn= >5 000(辆). 1-1.5 657 lg 32 657 即 1.5n> 32 ,则有 n> lg1.5 ≈7.5,因此 n≥8. 1 所以,到 2011 年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的3.


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