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哈三中2013文科数学一模答案


2013 年哈三中第一次高考模拟考试 数学试卷(文史类)答案及评分标准
一、选择题: 题号 答案 1 B 2 C 3 D 4 B 5 C 6 B 7 B 8 C 9 A 10 B 11 D 12 B

二、填空题: 13.

11 5

14.

400 9

15.

r />
12 5

16. 13

三、解答题: 17. (Ⅰ)整理得 f ( x ) ?

1 ? 3 sin( 2?x ? ) ? 2 6 4 由最小正周期为 ? ,所以 ? ? 1

……………………………… ……………………………… , x ? [?

4分 6分

(Ⅱ) 由(1)知 f ( x ) ?

1 ? 3 sin( 2 x ? ) ? 2 6 4 ,

? 7?

, ] 6 12
8分

所以 2 x ?

?
6

? [?

? 4?
6 3

] ………………………………………

所以 sin(2 x ?

?
6

) ? [?

3 ,1] …………………………………… 2

10 分

所以 f ( x) ? [

3? 3 5 , ] 4 4

……………………………………

12 分

2 2 18. (Ⅰ)设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为 X 甲 、 X 乙 ,方差分别为 s甲 、 s乙 ,

则 X甲 ?

122 ? 114 ? 113 ? 111 ? 111 ? 107 ? 113 , 6 124 ? 110 ? 112 ? 115 ? 108 ? 109 X乙 ? ? 113 , 6 1 2 2 2 2 s甲 ? ??122 ? 113? ? ?114 ? 113? ? ?113 ? 113? 6?
2

………2 分

? ?1 1 1? 1 1 3 ? ? ?

1 1 1 ? 1 1?3 ? ?
2

1 0?7 ? ? 213 ………4 分 ? 11 , ?
2

1 2 2 2 2 s乙 ? ??124 ? 113? ? ?110 ? 113? ? ?112 ? 113 ? ? 6
2 2 2 ? ?115 ? 113? ? ?108 ? 113? ? ?109 ? 113? ? ? 29.33 , ?

………………6 分

2 2 由于 s甲 ? s乙 ,所以 甲车间的产品的重量相对稳定; ……………7 分

(Ⅱ)从乙车间6件样品中随机抽取两件,结果共有 15 个:

?124,110? , ?124,112?, ?124,115?, ?124,108?, ?124,109?,
?110,112? , ?110,115?, ?110,108?, ?110,109?, ?112,115?, ?112,108? , ?112,109? , ?115,108?, ?115,109?, ?108,109? ?110,112? , ?110,108? , ?110,109? , ?108,109? .
所以 . ………9 分

设所抽取两件样品重量之差不超过2克的事件为 A,则事件 A 共有 4 个结果: ……11 分

P ? A? ?

4 . 15

………12 分

19. (Ⅰ)因为 NK // AB // A P ,所以 N , K , A , P 四点在一个平面内 1 1

由于 AA ? ABC 平面,所以 AA ? AB 1 1

又 AB ? AC ,所以 AB ? ACC1 A ,所以 AB ? AM ,又 AB // NK 1 所以 AM ? NK , ………………………………3 分

在正方形中,利用相似可知 AM ? A1K ,故 AM ? A KNP 平面 1 所以 AM ? PN ……………………………… 6 分

(Ⅱ) 因为 A1P // NK ,所以 VP?MNK ? VA1 ?MNK ………………… 9 分 又 VA1 ? MNK ? VN ? A1MK ?

1 1 NK ? S A1MK ? . ………………12 分 3 16

20. (Ⅰ)由定义可知 C 的轨迹方程为: x2 ? 4 y

. ……………… 4 分

(Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,直线 MN 方程为: y ? 1 ? k ( x ? 1) 在 M 处切线方程为: x1 x ? 2( y ? y1 ) 在 N 处切线方程为: x2 x ? 2( y ? y2 ) . ……………… 解得 K 点坐标为 ( 而? 6 分 8分

x1 ? x2 x1 x2 , ) 2 4

. ………………

? y ? 1 ? k ( x ? 1) ,整理得 x2 ? 4kx ? 4k ? 4 ? 0 x2 ? 4 y ?
. ……… 11 分 . ……… 12 分

所以 xk ? 2k , yk ? k ?1 , 故 K 点所在直线方程为: x ? 2 y ? 2 ? 0 .

b ( x ? 1) ? ( a ? b ln x) a ? b ln x f ( x) ? ? f ?( x) ? x 21. (Ⅰ)由 ·····2 分 ···· x ?1 ( x ? 1) 2
而点 (1, f (1)) 在直线 x ? y ? 2 上, 所以 f (1) ? 1 , 又直线 x ? y ? 2 的斜率为 ?1,则 f ?(1) ? ?1 .·····4 分 ····

? a ? 2 ?1 ?a ?2 故有 ? ······6 分 ····· ?? 2b ? a ?b ? ?1 ? ? ?1 ? 4 2 ? ln x ( x ? 0) (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? x ?1 m 2 x ? x ln x ? m .······7 分 由 f ( x) ? 及 x ? 0, 得 ····· x x ?1
令 g ( x) ?

2 x ? x ln x (1 ? ln x)(x ? 1) ? (2 x ? x ln x) 1 ? x ? ln x . , g ?( x) ? ? x ?1 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2
1 ? 0( x ? 0) , x

令 h( x) ? 1 ? x ? ln x ? h?( x) ? ?1 ? 故 h(x) 在区间 (0,??) 上是减函数,

故当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,当 x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 .··· ···10 分 从而当 0 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 , 则 g (x) 在 (0,1) 是增函数,在 (1,??) 是减函数,故 g ( x) max ? g (1) ? 1 . 要使

2 x ? x ln x ? m 成立,只需 m ? 1 . 故 m 的取值范围是 (1,??) ·· ··12 分 x ?1

22. 解: (I)∵AC 是⊙O1 的切线,∴∠BAC=∠D, 又∵∠BAC=∠E,∴∠D=∠E,∴AD∥EC. (II)设 BP=x,PE=y,∵PA=6,PC=2, ∴xy=12 ① ② ······ 分 ······5

9+x 6 PD AP ∵AD∥EC,∴ = ,∴ = PE PC y 2
? ?x=3 由①、②解得? ? ?y=4

(∵x>0,y>0)

∴DE=9+x+y=16, ∵AD 是⊙O2 的切线,∴AD2=DB· DE=9× 16,∴AD=12. ·······10 分 ······ 23. (Ⅰ) C1 的直角坐标方程为: ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 所以 C2 的直角坐标方程为: x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 (Ⅱ) | OA |? 2 , | OB |? 2 3 ,所以 | AB |? 2 3 ? 2 . 24. (Ⅰ) f ( x) ? 0 解集为: {x | x ? 2或x ? } (Ⅱ) a ? ······ ····· ······ ····· ····· ····· ····· ····· 3分 10 分 5 分 10 分

······ 6 分 ·····

2 3

1 2


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