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函数图象变换


函数图像变换

函数图象变换 1.函数 y=log2|x|的图像大致是( )

lg|x| 7.函数 y= x 的图像大致是( 2.函数 y=ln(1-x)的大致图像为( )

)

8.函数 f(x)= 1 1 3.为了得到函数 y=3×( )x 的图像,可以把函数 y=( )x 的图像( 3 3 A.向左平移 3 个单位长度 C.向左平移 1 个单位长度 4.函数 y= B.向右平移 3 个单位长度 D.向右平移 1 个单位长度 ) )

1 的图像是( 1+|x|

)

的图像大致是(

9.已知函数 f(x)的定义域为[a,b],函数 y=f(x)的图像如下图所示,则函数 f(|x|)的图 像大致是( )

4x+1 5.函数 f(x)= x 的图像 2

10.设 a<b,函数 y=(x-a)2(x-b)的图像可能是( )

)

A.关于原点对称 B.关于直线 y=x 对称 C.关于 x 轴对称 D.关于 y 轴对称 6.已知 lga+lgb=0,函数 f(x)=ax 与函数 g(x)=-logbx 的图像可能是( ) 11.下列命题正确的是( )A.函数 y= 2x+1 的图像关于点(2,-1)对称 x-1

1 π π 1 B.将函数 y=sin( x- )的图像向右平移 个单位可得函数 y=sin x 的图像 2 4 4 2
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C.函数 y=-ex 与 y=e-x 的图像关于原点对称 D.函数 y=a-x 与 y=loga(-x)(a>0 且 a≠1)的图像关于直线 y=x 对称 x+2 12.已知函数 y=f(x)与函数 y=lg 的图像关于直线 y=x 对称,则函数 y=f(x-2) 10 的解析式为( 13. )A.y=10x-2-2 B.y=10x-1-2 C.y=10x-2 D.y=10x-1

19.作图:(1)y=a|x-1|,(2)y=loga|x-1|,(3)y=|loga(x-1)|(a>1).

已知有四个平面图形,分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆.垂直于 x 轴 的直线 l:x=t(0≤t≤a)经过原点 O 向右平行移动,l 在移动过程中扫过平面图形的面 积为 y(选项中阴影部分),若函数 y=f(t)的大致图像如图所示,则平面图形的形状不可 能是 ( ) 20.已知函数 f(x)=|x2-4x+3|.(1)求函数 f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)若关于 x 的方程 f(x)-a=x 至少有三个不相等的实数根, 求实数 a 的取值范围.

14.若函数 f(x)在区间[-2,3]上是增函数,则函数 f(x+5)的单调递增区间是________. 15.已知 x2> ,则实数 x 的取值范围是________.

16.设函数 f(x)、g(x)的定义域分别为 F、G,且 F G.若对任意的 x∈F,都有 g(x)= 1 f(x),则称 g(x)为 f(x)在 G 上的一个“延拓函数”.已知函数 f(x)=( )x(x≤0),若 g(x) 2 为 f(x)在 R 上的一个延拓函数,且 g(x)是偶函数,则函数 g(x)的解析式为________. |x2-1| 17.已知函数 y= 的图像与函数 y=kx-2 的图像恰有两个交点,则实数 k 的取 x-1 值范围是__________. 1 18.如果关于 x 的方程 ax+ 2=3 有且仅有一个正实数解,那么实数 a 的取值范围为 x ____.

1.若直角坐标平面内的两点 P,Q 满足条件:①P,Q 都在函数 y=f(x)的图像上;②P, Q 关于原点对称. 则称点对[P, Q]是函数 y=f(x)的一对“友好点对”(点对[P, Q]与[Q,

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?log2x,x>0, P]看作同一对“友好点对”).已知函数 f(x)=? 则此函数的“友好 2 ?-x -4x,x≤0, 点对”有( )A.0 对 B. 1 对 C.2 对 D.3 对 6.已知函数 f(x)=|x-3|+|x+1|.(1)作出 y=f(x)的图像;(2)解不等式 f(x)≤6.

1 2.设函数 f(x)=x,g(x)=ax2+bx(a,b∈R,a≠0).若 y=f(x)的图像与 y=g(x)的图像 有且仅有两个不同的公共点 A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是 A.当 a<0 时,x1+x2<0,y1+y2>0 C.当 a>0 时,x1+x2<0,y1+y2<0 1 3.函数 f(x)=lnx- x2 的图像大致是( 2 B.当 a<0 时,x1+x2>0,y1+y2<0 D.当 a>0 时,x1+x2>0,y1+y2>0 )

(

)

1 4.设 a>1,对于实数 x,y 满足:|x|-loga y=0,则 y 关于 x 的函数图像是 (

7.已知函数 f(x)=ax3-x2+cx(a≠0)的图像如下所示,它与 x 轴仅有两个交点 O(0,0) ) 1 和 A(xA,0)(xA>0).(1)证明:常数 c≠0;(2)如果 xA= ,求函数 f(x)的解析式. 2

5.已知函数 f(x)=x|m-x|(x∈R),且 f(4)=0.(1)求实数 m 的值; (2)作出函数 f(x)的图像;(3)根据图像指出 f(x)的单调递减区间; (4)根据图像写出不等式 f(x)>0 的解集;(5)求当 x∈[1,5)时函数的值域.

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函数图象变换答案 1.C 函数 y=log2|x|为偶函数,作出 x>0 时 y=log2x 的图像,图像关于 y 轴对称,. 2.C 将函数 y=lnx 的图像关于 y 轴对称,得到 y=ln(-x)的图像,再向右平移 1 个 单位即得 y=ln(1-x)的图像. 1 1 1 1 1 3.D y=3×( )x=( )-1· ( )x=( )x-1,故它的图像是把函数 y=( )x 的图像向右平移 1 3 3 3 3 3 个单位长度得到的. 1 4.Clog2x>0,即 x>1 时,f(x)= =x;当 log2x<0,即 0<x<1 时,f(x)= =x. 1 所以函数图像在 0<x<1 时为反比例函数 y=x的图像,在 x>1 时为一次函数 y=x 的图 像. 5.Df(x)=2x+2-x,因为 f(-x)=f(x),所以 f(x)为偶函数.所以 f(x)的图像关于 y 轴对 称. 1 6.B ∵lga+lgb=0,∴lgab=0,ab=1,∴b=a. ∴g(x)=-logbx=logax,∴函数 f(x)与 g(x)互为反函数,图像关于直线 y=x 对称, 1 ? ?x≥0?, ? 1 + x 1 8. C 本题通过函数图像考查了函数的性质. f(x)= = 1+|x| ? 1 ? ?1-x?x<0?.

14.[-7,-2]解析 ∵f(x+5)的图像是 f(x)的图像向左平移 5 个单位得到的, ∴f(x+5)的递增区间就是[-2,3]向左平移 5 个单位得到的区间[-7,-2]. 15.答案

{x|x<0 或 x>1}解析

分别画出函数 y=x2 与 y=

的图像,如图所

示,由于两函数的图像都过点(1,1),由图像可知不等式 x2> 点评 本题根据幂函数的图像求解, 不等式 x2>

的解集为{x|x<0 或 x>1}.

的解集即为幂函数 y=x2 的图像

在幂函数 y=

的图像上方部分的所有点的横坐标的集合. 1 16.g(x)=2|x|解析 画出函数 f(x)=( )x(x≤0)的图像关于 y 轴对称的这部分图像,即可 2 得到偶函数 g(x)的图像,由图可知:函数 g(x)的解析式为 g(x)=2|x|. ?x+1,x≤-1或x>1, 17. (0,1)∪(1,4)解析 y=? 函数 y=kx-2 恒过定点 M(0, -2), ?-x-1,-1<x<1, kMA=0,kMB=4.

7. D

1 1 当 x≥0 时, x 增大, 减小, 所以 f(x)在当 x≥0 时为减函数; 当 x<0 时, x 增大, 1+x 1-x 1 1 增大,所以 f(x)在当 x<0 时为增函数.本题也可以根据 f(-x)= = =f(x), 1+|-x| 1+|x| 得 f(x)为偶函数,图像关于 y 轴对称,选 C.9.B 10.设 a<b,函数 y=(x-a)2(x-b)的图像可能是 ( )

当 k=1 时,直线 y=kx-2 在 x>1 时与直线 y=x+1 平行,此 时有一个公共点,∴k∈(0,1)∪(1,4),两函数图像恰有两个交点. 1 18.{a|a≤0 或 a=2} 令 f(x)=ax-3,g(x)=- 2,在同一坐标系中分别作出 f(x)=ax x 1 -3 与 g(x)=- 2的图像, 显然 a≤0.又当 a=2 时, f(x)=g(x)有且只有一个正的实数解. x

答案 C 解析 由解析式可知,当 x>b 时,f(x)>0,由此可以排除 A、B 选项.又当 x≤b 时,f(x)≤0,从而可以排除 D.故本题选择 C. 11.C x+2 x+2 12.B∵y=lg ,∴ =10y.∴x=10y+1-2,∴f(x)=10x+1-2.∴f(x-2)=10x-1- 10 10 2. 13.C 观察函数图像可得函数 y=f(t)在[0,a]上是增函数,即说明随着直线 l 的右移, 扫过图形的面积不断增大,从这个角度讲,四个图像都适合.再对图像作进一步分析, 图像首先是向下凸的,说明此时扫过图形的面积增加得越来越快,然后是向上凸的, 说明此时扫过图形的面积增加得越来越慢.根据这一点很容易判定 C 项不适合.这是 因为在 C 项中直线 l 扫到矩形部分时,面积会呈直线上升.

19. 解析 (1)的变换是:y=ax→y=a|x|→y=a|x-1|,而不是:y=ax→y=ax-1→y=a|x-1|, 这需要理解好 y=f(x)→y=f(|x|)的交换.(2)题同(1),(3)与(2)是不同的变换,注意区别. 2 ??x-2? -1,x∈?-∞,1]∪[3,+∞?, 20.解析 f(x)=? 作出图像如图所示. 2 ?-?x-2? +1,x∈?1,3?.

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(1)递增区间为[1,2],[3,+∞),递减区间为(-∞,1],[2,3]. (2)原方程变形为|x2-4x+3|=x+a,于是,设 y=x+a,在同一坐标系下再作出 y =x+a 的图像.如图. 则当直线 y=x+a 过点(1,0)时 a=-1;当直线 y=x+a 与抛物线 y=-x2+4x-3 ?y=x+a, 3 相切时,由? ?x2-3x+a+3=0.由 Δ=9-4(3+a)=0,得 a=- . 2 4 ?y=-x +4x-3 3 由图像知当 a∈[-1,- ]时方程至少有三个不等实根. 4 ?log2x,x>0, 1.C 函数 f(x)=? 的图像及函数 f(x)=-x2-4x(x≤0)的图像关 2 ?-x -4x,x≤0

单调递增;故 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,函数单调递减.故 x=1 为极大值点,f(1)= 1 - <0. 2 1 ? ?a?x,x≥0, ? 1 4.B 解析 由题意知 y=a|x|,∴y=? ∵a>1,∴函数在[0,+∞) 1 -x ? ??a? ,x<0. 上是减函数,经过点(0,1),且函数为偶函数.故图像关于 y 轴对称.故选 B. 5. (1)∵f(4)=0,∴4|m-4|=0,即 m=4.

2 ?x?x-4?=?x-2? -4,x≥4, (2)f(x)=x|x-4|=? 2 ?-x?x-4?=-?x-2? +4,x<4. f(x)的图像如图所示. (3)f(x)的减区间是[2,4].(4)由图像可知 f(x)>0 的解集为{x|0<x<4 或 x>4}. (5)∵f(5)=5>4,由图像知,函数在[1,5]上的值域为[0,5).

于原点对称的图像如图所示. 则 A,B 两点关于原点的对称点一定在函数 f(x)=-x2-4x(x≤0)的图像上,故函 数 f(x)的“友好对点”有 2 对,选 C.

6.解析

?-2x+2,x≤-1, (1)f(x)=|x-3|+|x+1|=?4,-1<x≤3, ?2x-2,x>3.

图像如下图所示:

2.B 解析 方法一 由题意知满足条件的两函数图像只有图(1)与图(2)两种情况, 图(1)中,作 B 关于原点的对称点 B′,据图可知:当 a<0 时,x1+x2>0,y1+y2<0, 故 B 正确.图(2)中,作 A 关于原点的对称点 A′,据图可知:当 a>0 时,x1+x2<0, 1 1 1 y1+y2>0,C,D 均错.方法二x=ax2+bx? 2=ax+b,分别作出 y= 2和 y=ax+b 的 x x

(2)由 f(x)≤6,得当 x≤-1 时, -2x+2≤6,x≥-2.∴-2≤x≤-1;当-1<x≤3 时,4≤6 成立; 当 x>3 时,2x-2≤6,x≤4,∴3<x≤4.∴不等式 f(x)≤6 的解集为[-2,4]. 另解:(数形结合)由上图可知,不等式 f(x)≤6 的解集为{x|-2≤x≤4}. 1 7.解析 (1)反证法:假设 c=0,则 y=x2(ax-1).∴xA=a>0. 当 x>xA 时, f(x)>0; 当 x<xA 时, f(x)<0.这与图像所给的当 0<x<xA 时 f(x)>0 矛盾, ∴c≠0. (2)f(x)=x(ax2-x+c).∵函数的图像与 x 轴有且仅有两个公共点,
a=1, ? ? 1 1 1 1 ∴ax -x+c=0 有两个相等的实数根 x= .∴ = + =1 且 Δ=1-4ac=0,解得? 1 2 a 2 2 c= . ? ? 4
2

图像,如下: 不妨设 x1<0,x2>0,当 a>0 时,x1+x2<0, 1 1 x1+x2 1 1 x1+x2 y1+y2= + = >0.当 a<0 时,x1+x2>0,y1+y2= + = <0.故选 B. x1 x2 x1x2 x1 x2 x1x2 1 3.B∵f′(x)=x-x=0 在(0,+∞)上的解为 x=1,且在 x∈(0,1)时,f′(x)>0,函数



1 3 2 所求函数为 f(x)=x -x + x. 4

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