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2013高考数学人教B版课后作业:3-4 定积分与微积分基本定理(理))


3-4 定积分与微积分基本定理(理)
1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线 y=x 与 y=x 所围成图形的面积,其中正确的是 ( ) A.S=?1(x -x)dx
2 2

?0 ?0

B.S=?1(x-x )dx

2

?0

C.S=?1(y -y

)dy [答案] B

2

D.S=?1(y- y)dy

?0

[分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0), (1,1), 故积分上限是 1, 下限是 0, 由于在 [0,1] 上,x≥x ,故函数 y=x 与 y=x 所围成图形的面积 S=?1(x-x )dx.
2 2 2

?0

2.(2010·辽宁锦州模拟)如图,阴影部分面积等于(

)

A.2 3 C. 32 3 D.

B.2- 3 35 3

[答案] C [解析] 图中阴影部分面积为

3.(2010·山东烟台模拟)?2 4-x dx=(

2

?0

)

A.4π

B.2π

C.π

D.

π 2

[答案] C [解析] 令 y= 4-x ,则 x +y =4(y≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴 影部分的面积, 1 2 ∴S= ×π ×2 =π . 4
2 2 2

9 2 4.已知函数 y=x 与 y=kx(k>0)的图象所围成的封闭区域的面积为 ,则 k 等于( 2 A.2 [答案] C [解析] 由?
?y=x ?
2

)

B.1

C.3

D.4

? ?y=kx

消去 y 得 x -kx=0,

2

所以 x=0 或 x=k, 则所求区域的面积为

? (kx-x )dx=(2kx -3x )|0=2. ?0
1 3 1 3 9 即 k - k = ,解得 k=3.故选 C. 2 3 2
?x ? 5.(2011·汕头模拟)设 f(x)=? ?2-x ?
2

k

2

1

2

1

3

k

9

x∈[0,1] x∈
,2]

,则?2f(x)dx 等于(

?0

)

A.

3 4

4 B. 5

5 C. 6

D.不存在

[答案] C

[解析] ?2f(x)dx=?1x dx+?2(2-x)dx

2

?0

?0

?1

6. A.0 π B. 4 C.2 D.-2

(

)

[答案] D

[解析]

7.(2010·惠州模拟)?2(2-|1-x|)dx=________.

?0

[答案] 3
? ?1+x 0≤x≤1 [解析] ∵y=? ?3-x 1<x≤2 ?



∴?2(2-|1-x|)dx=?1(1+x)dx+?2(3-x)dx

?0

?0

?1

1 2 1 1 2 2 3 3 =(x+ x )|0+(3x- x )|1= + =3. 2 2 2 2 8 . (2010· 芜 湖 十 二 中 ) 已 知 函 数

f(x) = 3x2 + 2x + 1 , 若

成立,则 a=________. 1 [答案] -1 或 3

[解析]





(3x + 2x + 1)dx = (x + x + x)| -1 = 4 ,

2

3

2

1

f(x)dx=2f(a),∴6a2+4a+2=4,
1 ∴a=-1 或 . 3

9.已知 项的系数是________. [答案] -192

则二项式(a x-

1

x

) 的展开式中含 x

6

2

[ 解析 ]

由已知得

= ( - cosx + sinx)



π π (sin -cos )-(sin0-cos0)=2, 2 2 (2 x- 1

x

) 的展开式中第 r+1 项是 Tr+1=(-1) ×C6×2
1 1 5

6

r

r

6- r

×x

3-r

, 令 3-r=2 得, r=1,

故其系数为(-1) ×C6×2 =-192. 10.有一条直线与抛物线 y=x 相交于 A、B 两点,线段 AB 与抛物线所围成图形的面积恒 4 等于 ,求线段 AB 的中点 P 的轨迹方程. 3
高&考%资(源#网 wxc

2

[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为 A(a,a ),B(b,b ),不妨设 a<b, 则直线 AB 的方程为 y-a = 即 y=(a+b)x-ab. 则直线 AB 与抛物线围成图形的面积为 S=?b[(a+b)x-ab-x ]dx=(
2 2

2

2

b2-a2 (x-a), b-a

?a

a+b 2 x3 x -abx- )|b a
2 3

1 3 = (b-a) , 6 1 4 3 ∴ (b-a) = , 6 3 解得 b-a=2.设线段 AB 的中点坐标为 P(x,y),

a+ b x= ? ? 2 其中? a +b y= ? ? 2
2 2

2

,将 b-a=2 代入得?

?x=a+1 ? ?y=a +2a+2 ?
2



消去 a 得 y=x +1. ∴线段 AB 的中点 P 的轨迹方程为 y=x +1.
2

11.(2010·福建莆田市质检)如图,D 是边长为 4 的正方形区域,E 是区域 D 内函数 y=x 图象下方的点构成的区域,向区域 D 中随机投一点,则该点落入区域 E 中的概率为( )

2

A.

1 5

1 B. 4

C.

1 3

1 D. 2

[答案] C 1 3 2 16 2 2 [解析] 阴影部分面积 S=2?2x dx=2× x |0= ,又正方形面积 S′=4 =16,∴所求 3 3 ?
0

概率 P=

S 1 = . S′ 3

12. (2010·江苏盐城调研)甲、 乙两人进行一项游戏比赛, 比赛规则如下: 甲从区间[0,1] 上随机等可能地抽取一个实数记为 b,乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为 c(b、

c 可以相等),若关于 x 的方程 x2+2bx+c=0 有实根,则甲获胜,否则乙获胜,则在一场比
赛中甲获胜的概率为( A. C. 1 3 1 2 B. D. 2 3 3 4 )

[答案] A [解析] 方程 x +2bx+c=0 有实根的充要条件为 Δ =4b -4c≥0,即 b ≥c,
2 2 2

由题意知,每场比赛中甲获胜的概率为 p=
2

? b db ?0 1
1×1

1 2

= . 3

13.抛物线 y =2x 与直线 y=4-x 围成的平面图形的面积为________. [答案] 18 [解析]
?y =2x ? 由方程组? ?y=4-x ?
2

解得两交点 A(2,2)、 B(8, -4), 选 y 作为积分变量 x= 、 2

y2

x=4-y

∴S=?2-4[(4-y)- ]dy=(4y- - )|-4=18. 2 2 6 ? 14. (2011·潍坊模拟)抛物线 y=-x +4x-3 及其在点 A(1,0)和点 B(3,0)处的切线所围 成图形的面积为________. [答案] 2 3
2

y2

y2 y3

2

[解析] ∵y′=-2x+4, ∴在点 A(1,0)处切线斜率 k1=2,方程为 y=2(x-1), 在点 B(3,0)处切线斜率 k2=-2,方程为 y=-2(x-3).

由?

?y= ? ? ?y=-

x- x-

得?

?x=2 ? ? ?y=2



1 2 2 故所求面积 S=?2[(2x-2)-(-x +4x-3)]dx+?3[(-2x+6)-(-x +4x-3)]dx=( 3

?1

?2

3 2 3 x3-x2+x)|2 1+( x -3x +9x)|2= + = .

1 3

1 3

1 2 3 3

15.求下列定积分.

[解析]

[来源:高&考%资(源#网 wxc]

16.已知函数 f(x)=-x +ax +bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与 x 轴在原点处相切, 1 且 x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为 ,求 a 的值. 12 [解析] f ′(x)=-3x +2ax+b,∵f ′(0)=0,∴b=0, ∴f(x)=-x +ax ,令 f(x)=0,得 x=0 或 x=a(a<0). ∴S 阴影=?0[0-(-x +ax )]dx
3 2 3 2
[来源:Ks5u.com]

3

2

2

?a

1 4 1 3 0 1 4 1 =( x - ax )|a= a = , 4 3 12 12 ∵a<0,∴a=-1.

1.曲线 y=cosx(0≤x≤2π )与直线 y=1 所围成的图形面积是( A.2π C. 3π 2 B.3π D. π

)

[答案] A [解析] 如右图,
π S=∫2 0 (1-cosx)dx

=(x-sinx)|0 =2π . [点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面 积相等解决,但若把积分区间改为? 就无能为力了. 2.(2011·龙岩质检)已知函数 f(x)=sin x+1,根据函数的性质、积分的性质和积分的
5



?π ,π ?,则对称性 ? ?6 ?

几何意义,探求 1 π A. + 6 2 C.1 B.π D. 0

的值,结果是(

)

[答案] B [解析]

[来源:Ks5u.com]

3.(2010·广东佛山顺德区质检)对任意非零实数 a、b,若 a?b 的运算原理如图所示,则

2??π sinxdx=________.

?0

[答案]

2 2

[来源:高&考%资(源#网 wxc]

[解析] ∵?π sinxdx=-cosx|0 =2> 2,

π

?0

2-1 2 ∴ 2??π sinxdx= 2?2= = . 2 2 ?0


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