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23第二十三2012年届希望杯数学竞赛试题高二第一试


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第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛 高二 第1试 2012 年 3 月 11 日 上午 8:30 至 10:00 得分 一、 选择题(每小题 4 分,共 40 分.)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请 将正确答案前的英文字母写在下面的表格内。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题

号 1 得分 答案 1. 集合 P ? { x | x ? 1, x ? R } , Q ? { x |
( A )(0,1). ( B ){0,1}. ( C )[0,1].

x ? 1 ? 1, x ? Z } ,则 P ? Q ? (
( D )[ ? 1,1].



2. 已知 x ? 0, A ? lo g 3 (1 ?
( A) A ? B. ( B ) A ? B.

x ), B ? lo g 4 x ,则 A 与 B 的大小关系是(
(C ) A ? B . ( D ) 随 x 的值而定.



3. 有若干个同心圆,其半径是公比为 q ( q ? 1) 的等比数列,相邻的两个圆组成一个圆环, 则这些圆环的面积( )
( A ) 不是等比数列. ( B ) 是等比数列,公比为 q .
2

( C ) 是等比数列,公比为 q .

( D ) 是等比数列,公比为 q ? 1 .
2

4. 设 a , b 是两个非零向量,则“ a 和 b 同向”是“ ( a ?b ) ? ( a ?a )( b ?b ) ”的( )
2

? ?

?

?

? ?

? ?

? ?

( A ) 充分不必要条件 ( C ) 充分且必要条件

( B ) 必要不充分条件 ( D ) 既不充分也不必要条件
x ?y

5. 已知 x , y ? R ,且 3 ? 5
( A)e
x? y

?3 ?5
y

?x

,则下列关系式中成立的是( )
( D ) ln ( y ? x ? 1) ? 1 .
2

? 1. ( B )e

y?x

? 1 . ( C ) ln( x ? y ) ? 0.

6. The range of values for the function y ? x ? 1 ? x
( A )[ ? 2, 2 ]. ( B )( ?
2

is (


2)

2,

2 ).

( C )[ ? 1,
2

2 ]. ( D )( ? 1,

7. 方程 x ? y ? 2 ? x x ? 2 ? ( y ? 2 ) y ? 4 y ? 6 ? 0 的正整数解的个数是(
( A )1 . ( B )2. ( C )5 . ( D ) 无穷多个.



8. 已知正三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中, A A1 ? a , A B ? 2 a ,
M 、 N 、 E 分别是 A B 、 A C 、 A1 B1 的中点,那么平

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面 B C E 与平面 M N E 所成的二面角的余弦值是( )
( A) 3 2 . (B) 7 2 (C ) 7 7 (D ) 2 7 7

9. 椭圆 x ?
2

y

2

? 1 的内接正方形的面积和内接矩形的最大面积的比等于(
4 5 5 6 7 8



4
(B) (C ) (D )

( A)

3 4

.

10. 定义:过双曲线焦点的直线与双曲线交于 A 、 B 两点,则线段 A B 称为该双曲线的焦点 弦。已知双曲线
x
2

?

y

2

25

9

? 1 ,那么过该双曲线左焦点,长度为整数且不超过 2012 的焦

点弦的条数是( )
( A)4005 ( B )4018 ( C )8 0 2 3 ( D )8 0 3 6

二、

A 组填空题(每小题 4 分,共 40 分)
2

11. 若定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 和奇函数 g ( x ) 满足: f ( x ) ? g ( x ) ? x ? x ? 1 , 则 g (2) ? 12. 函数 y ? e
2 x ?1

? e ( x ? R ) 的单调递减区间是
x

13. 平面直角坐标系中,已知点 A (2,1) ,动点 B 在 x 轴上,动点 C 在直线 y ? x 上,那么
? A B C 的周长的最小值是

14. 已知 sin ? ? cos ? ?
n

2 ,则 tan (? ?
n

?
3

)?

15. 设 A ? { n |

2011 ? 2013 2012

? Z , n ? Z } , A 中的元素从小到大地排列为:a1 , a 2 , ? , 将

?

?

则 a1 ? a 2 ? ? a 2012 ? 16. 已知数列 { x n } 中, x1 ? 3, x n ? 1 ?
xn ? 1
2

2 xn

,则数列 { x n } 的通项公式 x n ?
?

17. 设 A 是半径为 5 的 ? O 上的一个定点, 单位向量 b 在 A 点处与 ? O 相切, P 是 ? O 上 点 的一个动点,且点 P 与点 A 不重合,则 A P ?b 的取值范围是 18. Suppose the equation x ? 2 kx ? k ? 1 ? 0 has two unequal real roots x1 , x 2 ,which
2 2

??? ? ?

satisfy x i ? 1 ? 3( i ? 1, 2 ) . Then the range of values for the real number k is
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19. 如图 2,在正四面体 A B C D 中, P1 , P2 是 B C 的 3 等分点,过这两 个分点分别作 C D 的平行线 P1Q 1 , P2 Q 2 ,其中 Q 1 , Q 2 在 B D 上,则 点 B 到平面 A P1Q1 , A P2 Q 2 的距离之比是
x a
2 2

20. 已知双曲线 C :

?

y b

2 2

? 1 的左、右焦点分别是 F1 , F 2 ,正三角形

???? ???? A F1 F 2 的一边 A F1 与双曲线左支交于点 B ,且 A F1 ? 4 B F1 ,则双

曲线 C 的离心率的值是 三、 B 组填空题(每小题 8 分,共 40 分) 21.一个正数的小数部分、 整数部分及它自身构成等比数列, 则该数的整数部分是 , 小数部分是 22.已知正三棱锥的侧面面积与底面积之比等于 ? ,则此三棱锥的侧棱与底面边长的比等 于 ,侧棱与底面所成角的正弦值等于 23.设曲线 y ? x
n ?1

( n ? N ) 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x n ,则 x n ?
*



log 2012 x1 ? log 2012 x 2 ? ? ? log 2012 x 2011 ?

24.已知函数 f ( x ) ? 是

3 sin ( x ?

?
4

) co s( x ?

?
4

) ? co s x co s( x ?
?

3? 2

) ,则 f ( x ) 的最小正周期

,若函数 f ( x ) 的图象按向量 b ? ( m , n ) 平移后,所得的图象与函数
?
2

g ( x ) ? sin 2 x ? 1 图象重合,且 m ?

,则 b ?

?

25.已知 f ( x ) ? ?

? e ln x , 0 ? x ? 5, ? ? ? x ? 1 0, x ? 5 . ?

若方程 f ( x ) ? k ( k 是 常 数 ) 有三个不同的实数根 a , b , c , 且

a ? b ? c, 则 ab ?

, c 的取值范围是

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