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2016届高考数学一轮复习 第3讲 函数的奇偶性与周期性课件 文 新人教A版


第 3 讲
? 夯基释疑

函数的奇偶性与周期性

考点一 概要 ? 考点突破 考点二 考点三

例1 例2 例3

训练1 训练2 训练3

? 课堂小结

夯基释疑

判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y=x2,x∈(0,+∞)是偶函数.( ) (2)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原 点.( ) (3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x =a对称.( ) (4)函数f(x)在定义域上满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周 期为2a(a>0)的周期函数.( )

考点突破 考点一 函数奇偶性的判断
【例 1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=xlg(x+ x +1);
2

先判断函数的定义域是否关于原点对称

(2)f(x)=(1-x)

1+x ; 1-x

2 ? ?-x +2x+1 (x>0), 4-x2 (3)f(x)=? 2 (4)f(x)= . | x + 3| - 3 ? ?x +2x-1 (x<0);

解 (1)∵ x2+1>|x|≥0, ∴函数f(x)的定义域为R,关于原点对称, 又 f(-x)=(-x)lg(-x+ (-x)2+1) =-xlg( x2+1-x)

=xlg( x2+1+x)=f(x). 即f(-x)=f(x),
∴f(x)是偶函数.

考点突破 考点一 函数奇偶性的判断
【例 1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=xlg(x+ x +1);
2

先判断函数的定义域是否关于原点对称

(2)f(x)=(1-x)

1+x ; 1-x

2 ? ?-x +2x+1 (x>0), 4-x2 (3)f(x)=? 2 (4)f(x)= . | x + 3| - 3 ? ?x +2x-1 (x<0);

1+x (2)当且仅当 ≥0 时函数有意义,∴-1≤x<1, 1-x 由于定义域关于原点不对称,∴函数f(x)是非奇非偶函数. (3)函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,

当x>0时,-x<0,f(-x)=x2-2x-1=-f(x), 当x<0时,-x>0,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x). ∴f(-x)=-f(x), 即函数是奇函数.

考点突破 考点一 函数奇偶性的判断
【例 1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=xlg(x+ x +1);
2

先判断函数的定义域是否关于原点对称

(2)f(x)=(1-x)

1+x ; 1-x

2 ? ?-x +2x+1 (x>0), 4-x2 (3)f(x)=? 2 (4)f(x)= . | x + 3| - 3 ? ?x +2x-1 (x<0);

2 ? ?4-x ≥0, ?-2≤x≤2且x≠0, (4)∵? ? ?|x+3|≠3

∴函数的定义域关于原点对称.
4-x2 4-x2 4-(-x)2 4-x2 =- , 又 f(-x)= = , ∴f(x)= x x -x x+3-3 ∴f(-x)=-f(x),

即函数是奇函数.

考点突破 考点一 函数奇偶性的判断

规律方法 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件: (1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分 条件,所以首先考虑定义域; (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算 中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x) =0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.

考点突破 考点一 函数奇偶性的判断
【训练 1】 (1)(2015· 郑州质量预测)下列函数中, 既是偶函数又在 区间(1,2)上单调递增的是( ) - 2x-2 x 2-x A.y=log2|x| B.y=cos 2x C.y= D.y=log2 2 2+x (2)(2014· 日照模拟)函数 f(x)=log2(x+ x2+1)(x∈R)与 g(x)=lg |x-2|分别为________和________函数(填“奇”“偶”“既奇又 偶”或“非奇非偶”).

解析

(1)对于A,函数y=log2|x|是偶函数且在区间(1,2)上是

增函数; 对于B,函数y=cos 2x在区间(1,2)上不是增函数; - 2x-2 x 对于 C,函数 y= 不是偶函数; 2 2-x 对于 D, 函数 y=log2 不是偶函数, 故选A. 2+x

考点突破 考点一 函数奇偶性的判断
【训练 1】 (1)(2015· 郑州质量预测)下列函数中, 既是偶函数又在 区间(1,2)上单调递增的是 ( ) - 2x-2 x 2-x A.y=log2|x| B.y=cos 2x C.y= D.y=log2 2 2+x (2)(2014· 日照模拟)函数 f(x)=log2(x+ x2+1)(x∈R)与 g(x)=lg |x-2|分别为________ 和________ 函数(填“奇”“偶”“既奇又 偶”或“非奇非偶”).

(2)法一 易知f(x)的定义域为R.
∵f(-x)=log2[-x+

(-x)2+1] =log2

1 x+ x2+1

=-log2(x+ x2+1)=-f(x),∴f(x)是奇函数.

对于g(x),由|x-2|>0,得x≠2.∴g(x)的定义域为{x|x≠2}. ∵g(x)的定义域关于原点不对称, ∴g(x)为非奇非偶函数.

考点突破 考点一 函数奇偶性的判断
【训练 1】 (1)(2015· 郑州质量预测)下列函数中, 既是偶函数又在 区间(1,2)上单调递增的是( ) - 2x-2 x 2-x A.y=log2|x| B.y=cos 2x C.y= D.y=log2 2 2+x (2)(2014· 日照模拟)函数 f(x)=log2(x+ x2+1)(x∈R)与 g(x)=lg |x-2|分别为________和________函数(填“奇”“偶”“既奇又 偶”或“非奇非偶”).

法二

易知f(x)的定义域为R.

∵f(-x)+f(x)=log2[-x+ (-x)2+1]+log2(x+ x2+1)

=log21=0, f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数. 对于g(x),由|x-2|>0,得x≠2. ∴g(x)的定义域为{x|x≠2}. ∵g(x)的定义域关于原点不对称,∴g(x)为非奇非偶函数. 答案 (1)A (2)奇函数 非奇非偶

考点突破 考点二 函数周期性的应用
【例 2】(1)(2014· 安徽卷)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函数, ? ?x(1-x),0≤x≤1, 且在[0,2]上的解析式为 f(x)=? ?sin πx,1<x≤2, ? 29? 41? ? ? 则 f ? 4 ?+f ? 6 ?=________. (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且 f(x+2)=-f(x), 当 2≤x≤3 时,f(x)=x,则 f(105.5)=________.

(1)由于函数f(x)是周期为4的奇函数, 3? 7? 3? 7? 29? 41? ? ? ? ? ? ? =f ?-4?+f ?-6? 4- +f 2× 所以 f ? 4 ?+f ? 6 ?=f ?2× 4? ? 4-6? 3? 7? 3? 7? ? ? ? ? =-f ?4?-f ?6? =-f ?4?-f ?6? 3 π 5 =- +sin = . 16 6 16

解析

考点突破 考点二 函数周期性的应用
【例 2】(1)(2014· 安徽卷)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函数, ? ?x(1-x),0≤x≤1, 29? ? 且在[0, 2]上的解析式为 f(x)=? 则 f? 4 ?+ ?sin πx,1<x≤2, ? 41? ? f? 6 ?=________. (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且 f(x+2)=-f(x), 当 2≤x≤3 时,f(x)=x,则 f(105.5)=________.

(2)由f(x+2)=-f(x), 得f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2) =-[-f(x)]=f(x), 所以函数f(x)的周期为4, ∴f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5)=2.5. 5 答案 (1) (2)2.5 16

考点突破 考点二 函数周期性的应用

规律方法 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函 数周期性的考查,主要涉及函数周期性的判断,利用函 数周期性求值.

考点突破 考点二 函数周期性的应用
【训练 2】(2014· 长春一模)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且是以 2 为周期的周期函数.若当 x∈[0,1)时,f(x)=2x-1,则 f(log16)的值为( )
2

5 A.- 2

B.-5

1 C.- 2

D.-6

解析

∵f(x)是周期为2的奇函数. 3? 3? ? ? 1 ∴f(log16)=f log 2 =f ?-log22? ? 2 ? 2 3? log 3 ? =-f ?log2 2?=-(2 2-1) 1 =- . 2 答案 C
2

考点突破 考点三 函数性质的综合应用
【例3】 (1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x), 且在区间[0,2]上是增函数,则( ) A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11) (2)(2014· 新课标全国Ⅱ卷)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对 称,f(3)=3,则f(-1)=________. 解析 (1) ∵f(x)满足f(x-4)=-f(x),∴f(x-8)=f(x), ∴函数f(x)是以8为周期的周期函数, 则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3). 由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-4)=-f(x), 得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1). ∵f(x)在区间[0,2]上是增函数,f(x)在R上是奇函数, ∴f(x)在区间[-2,2]上是增函数, ∴f(-1)<f(0)<f(1),即f(-25)<f(80)<f(11).

考点突破 考点三 函数性质的综合应用
【例3】 (2) (2014· 新课标全国Ⅱ卷)偶函数y=f(x)的图象关于直 线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=________. (2) 因为f(x)的图象关于直线x=2对称,

所以f(x)=f(4-x),f(-x)=f(4+x),
又f(-x)=f(x),

所以f(x)=f(4+x),
则f(-1)=f(4-1)=f(3)=3.

答案

(1) D

(2) 3

考点突破 考点三 函数性质的综合应用

规律方法 比较不同区间内的自变量对应的函数值的大小.对于偶 函数,如果两个自变量的取值在关于原点对称的两个不 同的单调区间上,即正负不统一,应利用图象的对称性 将两个值化归到同一个单调区间,然后再根据单调性判 断.

考点突破 考点三 函数性质的综合应用
【训练 3】已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上 单调递增. 若实数 a 满足 f(log2a)+f(log1a)≤2f(1), 则 a 的取值范围是( )
2

1? 1 ? ? ? A.[1,2] B.?0,2? C.?2,2? D.(0,2]

解析 因为f(x)是偶函数, 所以f(-x)=f(x)=f(|x|), 又因为 log1a=-log2a,且 f(x)是偶函数,

所以 f(log2a)+f(log1a)=2f(log2a)=2f(|log2a|)≤2f(1),
2

2

即f(|log2a|)≤f(1),又函数在[0,+∞)上单调递增,
1 所以0≤|log2a|≤1,即-1≤log2a≤1, 解得 ≤a≤2. 2 答案 C

考点突破 考点三 函数性质的综合应用
【训练 3】已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上 单调递增. 若实数 a 满足 f(log2a)+f(log1a)≤2f(1), 则 a 的取值范围是( )
2

1? 1 ? ? ? A.[1,2] B.?0,2? C.?2,2? D.(0,2]

深度思考 你知道奇偶性与单调性的关系了吗?(奇函数在对称 区间上单调性相同,偶函数在对称区间上单调性相反 .)在解决有关偶函数问题时,常利用f(x)=f(|x|)这一 结论进行转化.

课堂小结 思想方法
1. 奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要方法之一; 为了便于判 断,有时需要将函数进行化简,或用定义变通形式: f(-x) f(-x)=±f(x)? f(-x)±f(x)=0? =±1(f(x)≠0). f(x) 2.已知函数的奇偶性求参数问题的一般思路是:利用函数的 奇偶性的定义,转化为f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))对x∈R 恒成立,从而可轻松建立方程,通过解方程,使问题获得解 决. 3.若对于函数 f(x)的定义域内任一个自变量的值 x 都有 f(x+ 1 1 a)=-f(x)或 f(x+a)= 或 f(x+a)=- (a 是常数且 a f(x) f(x) ≠0),则 f(x)是一个周期为 2a 的周期函数.

课堂小结 易错防范
1.在用函数奇偶性的定义进行判断时,要注意自变量在定义 域内的任意性.不能因为个别值满足f(-x)=±f(x),就确定 函数的奇偶性. 2.分段函数奇偶性判定时,要以整体的观点进行判断,不可 以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在 整个定义域的奇偶性. 3.函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b-x)表明的是函数图象的 对称性,函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是 函数的周期性,在使用这两个关系时不要混淆.


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