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CCC轨迹方程的求法、直线与圆锥曲线、综合专题学案


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精锐教育学科教师辅导讲义

讲义编号: 学员编号: 学员姓名: 课 题 年 级: 高三 课时数: 学科教师: C 直线与圆锥曲线 C 圆锥曲线综合

辅导科目: 数学 C 轨迹方程 掌握轨迹方程的几种求法 学会处理直线与圆锥曲线的交点问题 教学内容

教学目的

轨迹的求法
一、直接法:如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确,易于表述成含 x,y 的等式,就得 到轨迹方程,这种方法称之为直接法。用直接法求动点轨迹一般有建系,设点,列式,化简,证明五个步骤,最后的证 明可以省略,但要注意“挖”与“补” 。 例1 已知直角坐标系中,点 Q(2,0) ,圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1 ,动点 M 到圆 C 的切线长与 MQ 的比等于常数

? (? ? 0) ,求动点 M 的轨迹。

练习: (待定系数法题型)在 ?PMN 中, tan ?PMN ? 标系,求以 M,N 为焦点,且过点 P 的椭圆方程。

1 , tan ?MNP ? ?2 ,且 ?PMN 的面积为 1,建立适当的坐 2

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中国领先的高端教育连锁集团 二、定义法:运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义) ,可从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲 线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程。 例2 如图, 某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑, 挖出的土只能沿 AP、 运到 P 处, BP 其中 AP=100m, BP=150m, ∠APB=60 ,问怎能样运才能最省工?
0

练习: 已知圆 O 的方程为 x +y =100,点 A 的坐标为(-6,0) 为圆 O 上任一点,AM 的垂直平分线交 OM 于点 P,求 ,M 点 P 的方程。

2

2

三、代入法(相关点法):动点所满足的条件不易表述或求出,但形成轨迹的动点 P(x,y)却随另一动点 Q(x’,y’)的运 动而有规律的运动,且动点 Q 的轨迹为给定或容易求得,则可先将 x’,y’表示为 x,y 的式子,再代入 Q 的轨迹方程,然 而整理得 P 的轨迹方程,代入法也称相关点法。 例3 如图,从双曲线 x2 -y2 =1 上一点 Q 引直线 x+y=2 的垂线,垂足为 N。求线段 QN 的中点 P 的轨迹方程。

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中国领先的高端教育连锁集团 四、参数法与点差法题型: 参数法:求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系,则可借助中间变量(参数) ,使 x,y 之间 建立起联系,然而再从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方程。 例 4 经过抛物线 y =2p(x+2p)(p>0)的顶点 A 作互相垂直的两直线分别交抛物线于 B、C 两点,求线段 BC 的中点 M 轨 迹方程。
2

五、点差法:求圆锥曲线中点弦轨迹问题时,常把两个端点设为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 并代入圆锥曲线方程,然而作差 求出曲线的轨迹方程。 例 5 如图, 是抛物线 C:y ? P

1 2 x 上一点,直线 l 过点 P 且与抛物线 C 交于另一点 Q。若直线 l 与过点 P 的切线垂直, 2

求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程。

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中国领先的高端教育连锁集团 【小结 】 一、求轨迹的一般方法: 1.直接法,2.定义法,3.代入法,4.参数法,5.待定系数法,6.点差法。

直线与圆锥曲线的位置关系
一、基本知识概要:
1.直线与圆锥曲线的位置关系:相交、相切、相离。 从代数的角度看是直线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组,无解时必相离;有两组解必相交;一组解时,若化 为 x 或 y 的方程二次项系数非零,判别式⊿=0 时必相切,若二次项系数为零,有一组解仍是相交。 2. 弦:直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。 焦点弦:若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦; 通径:若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴,此时焦点弦也叫通径。 3.①当直线的斜率存在时,弦长公式:

l ? 1 ? k 2 x1 ? x 2 = (1 ? k 2 ) ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 或当 k 存在且不为零时

?

?

l ? 1?

1 y1 ? y 2 , (其中( x1 , y1 )( x2 , y2 )是交点坐标) , 。 k2
2p ,其中α 为过焦点的直线的倾斜角。 sin 2 ?

②抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点弦长公式|AB|= x1 ? x 2 ? p ?

4.重点难点:直线与圆锥曲线相交、相切条件下某些关系的确立及其一些字母范围的确定。 5.思维方式: 方程思想、数形结合的思想、设而不求与整体代入的技巧。 6.特别注意:直线与圆锥曲线当只有一个交点时要除去两种情况,些直线才是曲线的切线。一是直线与抛物线的对称轴 平行;二是直线与双曲线的渐近线平行。

二、例题:
【例 1】直线 y=x+3 与曲线 A。没有交点

y2 x | x | ? ?1 9 4



) D。有三个交点

B。只有一个交点

C。有两个交点

2 2 【例 2】已知直线 l : y ? tan(x ? 2 2 ) 交椭圆 x ? 9 y ? 9 于 A、B 两点,若 ? 为 l 的倾斜角,且 AB 的长不小于短

轴的长,求 ? 的取值范围。

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中国领先的高端教育连锁集团 [思维点拔]对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。本题由于 l 的方程由 tan ? 给出,所以可以认定 ? ? 否则涉及弦长计算时,还要讨论 ? ?

?
2



?
2

时的情况。

【例 3】已知抛物线 y 2 ? ? x 与直线 y ? k ( x ? 1) 相交于 A、B 两点 (1) (2) 求证: OA ? OB 当 ?OAB 的面积等于 10 时,求 k 的值。

[思维点拔]本题考查了两直线垂直的充要条件,三角形的面积公式,函数与方程的思想,以及分析问题、解决问题的 能力。 【例 4】在抛物线 y2 =4x 上恒有两点关于直线 y=kx+3 对称,求 k 的取值范围。

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【例 5】已知椭圆的一个焦点 F1 (0,-2 2 ) ,长轴长为 6 (1) 求椭圆方程; (2) 是否存在直线 l ,使 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,且线段 MN 恰被直线 x=的范围;若不存在,请说明理由。

1 平分。若存在,求 l 的倾斜角 2

三、课堂小结:
1、 解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时,对消元后的一元二次方程,必须讨论二次项的系数和判别式,有时借助 于图形的几何性质更为方便。 2、 涉及弦的中点问题,除利用韦达定理外,也可以运用点差法,但必须是有交点为前提,否则不宜用此法。 3、求圆锥曲线的弦长,可利用弦长公式

l ? 1 ? k 2 x1 ? x 2 = (1 ? k 2 ) ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 或当 k 存在且不为零时

?

?

l ? 1?

1 y1 ? y 2 , (其中( x1 , y1 )( x2 , y2 )是交点坐标。 , k2

再结合韦达定理解决,焦点弦长也可利用焦半径公式处理,可以使运算简化。

圆锥曲线的综合应用
一、基本知识概要:
1 知识精讲:圆锥曲线的综合问题包括:解析法的应用,数形结合的思想,与圆锥曲线有关的定值、最值等问题,主 要沿着两条主线,即圆锥曲线科内综合与代数间的科间综合,灵活运用解析几何的常用方法,解决圆锥曲 线的综合问题;通过问题的解决,进一步掌握函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想. 2 重点难点:正确熟练地运用解析几何的方法解决圆锥曲线的综合问题,从中进一步体会分类讨论、等价转化等数学 思想的运用. 3 思维方式:数形结合的思想,等价转化,分类讨论,函数与方程思想等. 4 特别注意:要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换,并在运算过程中注意思维的严密性,以保证结果
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中国领先的高端教育连锁集团 的完整。

二、例题:
例 1. A,B 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上的两点,且 OA ? OB (O 为坐标原点)求证:

(1)A,B 两点的横坐标之积,纵坐标之积分别是定植; (2)直线 AB 经过一个定点

例 2、 如 图, O 为坐 标原 点, 直 线 l 在

x 轴 和 y 轴 上 的 截 距 分 别 是 a 和 b (a ? 0, b ? 0) , 且 交 抛 物 线

两点。 y 2 ? 2 px( p ? 0)于M(x1 , y1),N(x2 , y2) (1) 写出直线 l 的截距式方程 (2) 证明:

1 1 1 ? ? y1 y 2 b

(3) 当 a ? 2 p 时,求 ?MON 的大小。

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中国领先的高端教育连锁集团 直线与圆锥曲线位置关系 一、选择题(每小题 6 分,共 42 分) 1.如果椭圆 A.x-2y=0

x2 y2 ? =1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( 36 9
B.x+2y-4=0 C.2x+3y-12=0



D.x+2y-8=0 )

2.方程 y=ax+b 和 a2 x2 +y2 =b2(a>b>1)在同一坐标系中的图形可能是(

4.对于抛物线 C:y2 =4x,我们称满足 y02 <4x0 的点 M(x0 ,y0 )在抛物线的内部,若点 M(x0 ,y0 )在抛物线的内部,则 直线 l:y0 y=2(x+x0 )与 C( ) A.恰有一个公共点 C.没有公共点 B.恰有两个公共点 D.可能有一个公共点也可能有两个公共点

5.抛物线 y2 =2px 与直线 ax+y-4=0 交于两点 A、B,其中点 A 的坐标是(1,2).若抛物线的焦点为 F,则|FA|+|FB|等于 ( A.5 ) B.6 C.3 5 D.7

6.(2010 湖北黄冈一模,11)过点 M(-2,0)的直线 m 与椭圆

x2 2 +y =1 交于 P1 、P2 两点,线段 P1 P2 的中点为 P,设直 2
) D.-

线 m 的斜率为 k1 (k≠0),直线 OP 的斜率为 k2 ,则 k1 k2 的值为( A.2 B.-2
2

C.

1 2

1 2

7.(2010 东北三校联考,9)过抛物线 y =ax(a>0)的焦点 F 作一条直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AF、BF 的长分别为 m、n,则 A.2a

m?n 等于( mn

) B.4a C.

1 2a

D.

4 a

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中国领先的高端教育连锁集团 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 8.设 P1 、P2 是抛物线 x2 =y 的一条弦,如果 P1 P2 的垂直平分线的方程为 y=-x+3,那么弦 P1 P2 所在的直线方程是 ____________________.

9.直线 y=kx+1 与焦点在 x 轴上的椭圆

x2 y2 ? =1 总有公共点,则 m 的取值范围是_________. 5 m

10.如果实数 b 不论取何值,直线 y=kx+b 与双曲线 x2-2y2 =1 总有公共点,那么 k 的取值范围是_____________.

三、解答题(11—13 题每小题 10 分,14 题 13 分,共 43 分)

x2 y2 x y 11.已知椭圆 C: 2 ? 2 =1(a>b>0),直线 l1 : ? =1 被椭圆 C 截得的弦长为 2 2 ,过椭圆 C 的右焦点且斜率为 3 的 a b a b
直线 l2 被椭圆 C 截得的弦长是椭圆长轴长的

2 ,求椭圆 C 的方程. 5

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x2 y2 12.已知双曲线 C: 2 ? 2 =1(a>0,b>0),B 是右顶点,F 是右焦点,点 A 在 x 轴的正半轴,且满足| OA |、| OB |、| OF | a b
成等比数列,过 F 作双曲线 C 在第一、三象限的渐近线的垂线 l,垂足为 P. (1)求证: PA · OP = PA · FP ; (2)若 l 与双曲线 C 的左、右两支分别交于点 D、E,求

c 的取值范围. a

13.已知点 P(2,1)在双曲线

x2 y2 ? =1,且它和双曲线一个焦点 F 的距离是 1, a2 b2

(1)求双曲线的方程; (2)过点 F 的直线 l,交双曲线于 A、B 两点,若弦长|AB|不超过 4,求 l 的倾斜角范围. .

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中国领先的高端教育连锁集团 14.(2010 江苏南京一模,22)已知直线 x+2y+m=0(m∈R)与抛物线 C:y =x 相交于不同的两点 A,B, (1)求实数 m 的取值范围; (2)在抛物线 C 上是否存在一个定点 P,对(1)中任意的 m 的值,都有直线 PA 与 PB 互为相反数?若存在,求出 点 P 的坐标;若不存在,试说明理由.
2

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