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1.3.2.1 第1课时 函数奇偶性的概念课件 新人教A版必修1


1.3.2 奇偶性
第1课时 函数奇偶性的概念

授课教师:田巍 平度一中数学组

1.结合具体函数,了解函 数奇偶性的含义; 2.掌握判断函数奇偶性的 方法; 3.了解函数奇偶性与图象 的对称性之间的关系.

1.对函数奇偶性概念 的理解.(难点) 2.函数奇偶性的判定 方法.(重点)

> 1.轴对称图形:如果一个图形上的任意一点 直线 关于某一条____的对称点仍是这个图形上的点, 就称该图形关于该直线成轴对称图形,这条直 对称轴 线称作该轴对称图形的______. 2.中心对称图形:如果一个图形上的任意一 点关于某一点的对称点仍是这个图形上的点, 就称该图形关于该点成中心对称图形,这个点 对称中心 称作该中心对称图形的_________.

1 原点 4.反比例函数 y=x的图象关于____对称,二 2 y轴 次函数 y=x 的图象关于____对称.

? 一、偶函数的概念
提出问题

结论:这两个函数的图象都关于轴对称.

? 一、偶函数的概念
提出问题
3. 对两个函数,我们分别计算几个特殊的函数值:(-3),(3), (-2),(2),(-1),(1),观察并猜想,它们有何关系?

? 一、偶函数的概念
提出问题

结论: 一般地,如果对于函数()的定义域

内任意一个,都有 (-)=(),那么函数()就叫做偶函数.

一、偶函数的概念
反馈练习

一、偶函数的概念

? 二、奇函数的概念
提出问题

结论:一般地,如果对于函数()的定义域内的任意一个,都有(-)=-(), 那么函数()就叫做奇函数.

? 二、奇函数的概念
提出问题
4.若任意一个奇函数()在原点处有定义,(0)是定值吗?

结论:若一个奇函数()在原点处有定义,根据奇函数的定义,有(-0)=-(0), 可得(0)=0.

函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 项目 一般地,如果对 于函数f(x)的定 义域内任意一个 有f(-x)= x,都_________ 定义 f(x) ____,那么函数 f(x)就叫做偶函 数.

奇函数 一般地,如果 对于函数f(x)的 定义域内任意 一个x,都有 f(-x)=-f(x) ____________, 那么函数f(x)就 叫做奇函数.

定义 域

关于原点对称

关于y轴对称 图象 特征

关于原点对称

与单 在对称区间上,单 在对称区间上, 调性 调性相反 单调性相同 关系

简单函数奇偶性的判断 判断下列函数的奇偶性. 1 3 (1)f(x)=x + ; x (2)f(x)=x4-3x2; 1+x (3)f(x)=(x-1) ; 1-x (4)f(x)= x2-1+ 1-x2.

1 [解题过程] (1)f(x)=x + 的定义域是(-∞, x 0)∪(0,+∞),关于原点对称, 1 1 1 3 3 3 又 f(-x)=(-x) + =-x - =-(x + ) x x ?-x? =-f(x), 1 3 所以 f(x)=x +x是奇函数. (2)f(x)=x4-3x2 的定义域是 R, 关于原点对称, 又 f(-x)=(-x)4-3(-x)2=x4-3x2=f(x), 所以 f(x)=x4-3x2 是偶函数.
3

1+x (3)求得 f(x)=(x-1) 的定义域是[-1,1), 1-x 1+x 不关于原点对称,所以 f(x)=(x-1) 是 1-x 非奇非偶函数. (4)f(x)= x2-1+ 1-x2的定义域是{-1,1}, 关于原点对称, 在定义域内化简 f(x)= x2-1+ 1-x2=0, 所以 f(-1)=f(1)=0,且 f(-1)=-f(1)=0, f(x)= x2-1+ 1-x2既是奇函数又是偶函数.

由题目可获取以下主要信息:,①函数f?x?的解 析式均已知;,②判断奇偶性问题.,解答此类题 目应先判断函数定义域是否关于原点对称,然 后再验证f?x?与f?-x?之间的关系来确定奇偶性.

1.函数f(x)=x2,x∈[0,+∞)的奇偶性是 ( ) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数,又是偶函数 解析: 函数定义域不关于原点对称,所以函 数是非奇非偶函数. 答案: C

1 2.函数 f(x)= -x 的图象关于( ) x A.y 轴对称 B.直线 y=-x 对称 C.直线 y=x 对称 D.坐标原点对称
解析: 函数定义域为{x|x≠0} 1 f(-x)=-x+x=-f(x), f(x)是奇函数,所以函数的图象关于原点对称.
答案: D

3.设函数f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数,则a= ________. 答案: -1

4.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x2-2|x|-1; 1 (2)f(x)=x+ 3 . x -x 解析: (1)f(x)的定义域为R, 且满足f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x2-2|x|-1 =f(x), 从而可知f(x)为偶函数;

1 (2)f(x)=x+ 3 的定义域为{x|x≠0 且 x≠± 1}, x -x ? 1 ? 1 f(-x)=(-x)+ =- ?x+x3-x? = ? ? ?-x?3-?-x? ? ? -f(x), 所以 f(x)为奇函数.

[题后感悟] (1)利用定义判断函数的奇偶性要 注意以下几点: ①必须首先判断f(x)的定义域是否关于原点对 称; ②有些函数必须根据定义域化简后才可判断, 否则可能无法判断或判断错误.如本例(4)中, 若不化简可能会判断为偶函数.注意下面变式 训练中的第(4)小题. ③若判断一个函数为非奇非偶函数,可以举一 个反例即可.

(2)判断函数的奇偶性,一般有以下几种方法: ①定义法:若函数定义域不关于原点对称,则函 数为非奇非偶函数;若函数定义域关于原点对称 ,则应进一步判断f(-x)是否等于±f(x),或判断 f(-x)±f(x)是否等于0,从而确定奇偶性. ②图象法:若函数图象关于原点对称,则函数为 奇函数;若函数图象关于y轴对称,则函数为偶 函数.

另外,还有如下性质可判定函数奇偶性: 偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函 数;奇函数的和、差仍为奇函数,奇(偶)数个奇 函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个 奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(注:利用 以上结论时要注意各函数的定义域 )

1.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x3+x5; 2x2+2x (2)f(x)= ; x+1 (3)f(x)=|x+1|+|x-1|; 2 1-x (4)f(x)= . |3-x|-3

解析: (1)函数定义域为R. f(-x)=(-x)3+(-x)5=-(x3+x5)=-f(x). ∴f(x)是奇函数. (2)函数的定义域为{x|x≠-1}.不关于原点对 称, ∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (3)f(x)的定义域是R, 又f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1| =f(x), ∴f(x)是偶函数.

(4)函数 f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原 点对称, 1-x2 1-x2 ∵f(x)= = . 3-x-3 -x 1-?-x?2 1-x2 ∴f(-x)= = x =-f(x), x 即函数 f(x)是奇函数.

分段函数的奇偶性判断 ?x2+x+1 ?x<0? 已知 f(x)=? ,判断 2 ?-x +x-1 ?x>0? f(x)的奇偶性.
[策略点睛]

[ 题 后 感 悟 ] (1) 如 何 判 断 分 段 函 数 f(x) = ?f1?x?, x∈I1 ? ,的奇偶性? ?f2?x?, x∈I2 ①求 f(x)定义域 x∈I1∪I2,判断定义域是否关 于原点对称; ②当-x∈I1 时,求 f(-x),判断 f(-x)与 f(x) 的关系; ③当-x∈I2 时,求 f(-x),判断 f(-x)与 f(x) 的关系; ④结论.

(2)判断分段函数奇偶性的注意事项: ①根据-x所属区间进行分类讨论,只不过经 过转化最后变成了先写x的所属区间; ②f(-x)与f(x)需用不同分段上的解析式,因为 -x与x所属区间不同; ③定义域内的x值应讨论全面,不能遗漏.

2. 判 断 函 数
?x-1,x>0, ? ?0,x=0, ? ?x+1,x<0

f(x) =

的奇偶性.

解析: 当x<0时,-x>0, f(-x)=-x-1=-(x+1)=-f(x), 另一方面,当x>0时,-x<0, f(-x)=-x+1=-(x-1)=-f(x), 而f(0)=0,∴f(x)是奇函数.

?x-2 ?x<0? ? 3.判断函数 f(x)=?0 ?x=0? ? ?-x-2 ?x>0?

的奇偶

性.
解析: ①当x>0时,-x<0 f(-x)=-x-2=f(x) ②当x<0时,-x>0 f(-x)=-(-x)-2=x-2 =f(x) ③当x=0时,f(-x)=0=f(x) ∴f(x)是偶函数.

抽象函数奇偶性的判断 已知函数 f(x)不恒为 0,当 x、y∈R 时, 恒有 f(x+y)=f(x)+f(y). 求证:f(x)是奇函数.

[解题过程] 函数定义域为R,其定义域关于 原点对称. ∵f(x+y)=f(x)+f(y), ∴令y=-x, 则f(0)=f(x)+f(-x), 再令x=y=0, 则f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0, ∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.

[题后感悟] 如何判断抽象函数的奇偶性? ①明确目标:判断f(-x)与f(x)的关系; ②用赋值法在已知抽象关系中凑出f(-x)与f(x), 如本例中令y=-x; ③用赋值法求特殊函数值,如本例中令x=y= 0,求f(0).

4.本例中, 若将条件“f(x+y)=f(x) +f(y)”改为 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)· f(y),其余 不变,求证 f(x)是偶函数.
证明: 令x=0,y=x, 则f(x)+f(-x)=2f(0)·f(x)① 又令x=x,y=0得 f(x)+f(x)=2f(x)·f(0)② ①②得f(-x)=f(x) ∴f(x)是偶函数.

1.准确理解函数奇偶性定义 (1)①偶函数(奇函数)的定义中“对D内任意一 个x,都有-x∈D,且f(-x)=f(x)(f(-x)=- f(x))”,这表明f(-x) 与f(x)都有意义,即x、-x同时属于定义域. 因此偶(奇)函数的定义域是关于坐标原点对称 的.也就是说,定义域关于坐标原点对称是函 数具有奇偶性的前提条件.

②存在既是奇函数又是偶函数的函数,即f(x) =0,x∈D,这里定义域D是关于坐标原点对 称的非空数集. (2)函数按奇偶性可以分为四类:奇函数,偶 函数,既是奇函数又是偶函数,既不是奇函数 又不是偶函数.

1+x ◎判断函数 f(x)=(x-1) 的奇偶性. 1-x 【错解】 将解析式变形为: 21+x f(x)=- ?1-x? =- ?1+x??1-x? 1-x =- 1-x2. ∴f(-x)=- 1-?-x?2=- 1-x2 ∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.

【错因】 没有考察函数定义域的对称性. 【正解】 因为函数f(x)的定义域-1≤x<1不 关于原点对称,故此函数为非奇非偶函数.


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