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广东省珠海市2014届高三9月开学摸底考试数学文试题(文数)


珠海市 2013 年 9 月高三摸底考试 文科数学试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.已知集合 A ? {x x ? 1} , B ? {x x 2 ? 2 x ? 0} ,则 A ? B ? ( A. {x x ? 0} B. {x x ? 1} C. {x 1 ? x ? 2} ) D. {x 0 ? x ? 2} )
2

( 2.下列函数中,既是偶函数又在区间 0, ??) 上单调递增的函数为(
A. y ? x
?1

B. y ? log 2 x

C. y ?| x | ) C.

D. y ? ? x

3.设 i 为虚数单位,则复数 A.

1 2 ? i 5 5
?

i 等于( 2?i 1 2 B. ? ? i 5 5
) B. ?

1 2 ? i 5 5

D. ?

1 2 ? i 5 5

4. sin 480 的值为( A. ?

1 2

3 2

C.

1 2

D.

3 2

5.中心在原点的双曲线,一个焦点为 F (0 , 3) ,一个焦点到最近顶点的距离是 3 ? 1 , 则双曲线的方程是( A. y ?
2

) B. x ?
2

x2 ?1 2

y2 ?1 2

C. x ?
2

y2 ?1 2

D. y ?
2

x2 ?1 2
主视图 左视图

6.如右图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的 正方形,俯视图是一个直径为 1 的圆,那么这个几何体的全面积为( A. ?
2 2


俯视图

3 2

B. 2?

C. 3?

D. 4? )

7.经过圆 x ? 2 x ? y ? 0 的圆心且与直线 x ? 2 y ? 0 平行的直线方程是( A. x ? 2 y ? 1 ? 0 B. x ? 2 y ? 2 ? 0 C. x ? 2 y ? 1 ? 0

(第 6 题)

D. x ? 2 y ? 2 ? 0

? y?x ? 8.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为( ? y ? ?1 ?
A. 6 B. 5 C.



C

1 2

D. ?3 )

D A B

9.如右上图,在 ?ABC 中,点 D 是 BC 边上靠近 B 的三等分点,则 AD ? (
1

(第 9 题)

A.

2 1 AB ? AC 3 3

B.

1 2 AB ? AC 3 3

C.

2 1 AB ? AC 3 3

D.

1 2 AB ? AC 3 3
?C ( A) ? C ( B) , C ( A) ? C ( B) ?C ( B) ? C ( A) , C ( A) ? C ( B)
B. 1 C. 2

10. C ( A) 表示非空集合 A 中元素的个数, 用 定义 A ? B ? ?

2 若 A ? ?1,? , B ? x | ( x ? ax)( x ? ax ? 2) ? 0 ,且 A ? B ? 1,设实数 a 的所有可
2 2

?

?

能取值构成集合 S ,则 C (S ) ? ( D. 3



A. 4

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,考生作答 4 小题,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡 相应位置. 11.设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,则 12.直线 y ? ?

S4 ? a4



1 1 x ? b 是函数 f ( x) ? 的切线,则实数 b ? 4 x



13.在 ?ABC 中, ?A ?

?
3

, AB=2 ,且 ?ABC 的面积为

3 ,则边 BC 的长为_________. 2

14. (几何证明选讲选做题)如右图,圆 O 的割线 PAB 交圆 O 于 A 、 B 两点,割线 PCD 经过圆心。已知 PA ? 6 ,

A P
C

B

1 AB ? 7 , PO ? 12 。则圆 O 的半径 R ? ____ . 3
15. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系 ( ? , ? ) 中,直线 ? ?

? O
(第 14 题)

D

?
4

( ? ? R )被圆

? ? 2 s in? 截得的弦的长是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? cos x ? sin x cos x , x ? R .
2

(1)求 f ( ) 的值; (2)若 sin ? ?

?

6

3 ? ? ? ,且 ? ? ( , ? ) ,求 f ( + ) . 5 2 2 24

2

17. (本题满分 12 分)为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校 A,B,C 的相 关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人) : (1)求 x , y ; (2)若从高校 B、C 抽取的人中选 2 人作专题发 言, 求这 2 人都来自高校 C 的概率.

高校 A B C

相关人数 18 36 54

抽取人数 x 2 y

18. (本题满分 14 分)在边长为 4cm 的正方形 ABCD 中, E、F 分别为 BC、CD 的中点,

M、N 分别为 AB、CF 的中点,现沿 AE、AF、EF 折叠,使 B、C、D 三点重合,重合
后的点记为 B,构成一个三棱锥. (1)请判断 MN 与平面 AEF 的位置关系,并给出证明; (2)证明 AB ? 平面 BEF ; (3)求四棱锥 E ? AFNM 的体积.
A D
M B N F E

M

F N
A

B

E

C

19. (本题满分 14 分)数列 {an } 的各项均为正数, S n 为其前 n 项和,对于任意的 n ? N ,
*

3

S a 总有 an , n , n 成等差数列.
2

(1)求 a1 ; (2)求数列 {an } 的通项公式; (3)设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,且 bn ?

1 ,求证:对任意正整数 n ,总有 Tn ? 2 . an 2

20. (本题满分 14 分)已知点 M ( 4 , 0) 、 N (1, 0) ,若动点 P 满足 MN ? MP ? 6 NP . (1)求动点 P 的轨迹曲线 C 的方程; (2)在曲线 C 上求一点 Q ,使点 Q 到直线: x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离最小.

21. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

1 3 1 2 ax ? x ? cx ? d (a, c, d ? R) 满足 f (0) ? 0 , 3 4

f ?(1) ? 0 且 f '( x) ? 0 在 R 上恒成立.
(1)求 a, c, d 的值; (2)若 h( x) ?

3 2 b 1 x ? bx ? ? ,解不等式 f '( x) ? h( x) ? 0 ; 4 2 4

(3)是否存在实数 m ,使函数 g ( x) ? f '( x) ? mx 在区间 [1, 2] 上有最小值 ?5 ?若存在,请 求出实数 m 的值;若不存在,请说明理由.

4

文科数学答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.(集合)已知集合 A ? {x x ? 1} , B ? {x x 2 ? 2 x ? 0} ,则 A ? B ? ( A. {x x ? 0} B. {x x ? 1} C. {x 1 ? x ? 2} )

D. {x 0 ? x ? 2}

( 2.(函数的奇偶性与单调性)下列函数中,既是偶函数又在区间 0, ??) 上单调递增的函数
为( ) B. y ? log 2 x C. y ?| x | D. y ? ? x ) D. ?
2

A. y ? x ?1

3. (复数的除法)设 i 为虚数单位,则复数 A.

1 2 ? i 5 5

B. ?
?

1 2 ? i 5 5


i 等于( 2?i 1 2 C. ? i 5 5

1 2 ? i 5 5

4. (三角函数) sin 480 的值为( A. ?

1 2

B. ?

3 2

C.

1 2

D.

3 2

5. (圆锥曲线)中心在原点的双曲线,一个焦点为 F (0 , 3) ,一个焦点到最近顶点的距离 是 3 ? 1 ,则双曲线的方程是( A. y ?
2


2

x2 ?1 2

B. x ?

y2 ?1 2

C. x ?
2

y2 ?1 2

D. y ?
2

x2 ?1 2
主视图 左视图

6. (三视图)如右图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的 正方形,俯视图是一个直径为 1 的圆,那么这个几何体的全面积为( A. ? )

3 2

B. 2?

C. 3?

D. 4?

俯视图

7. (直线与圆)经过圆 x ? 2 x ? y ? 0 的圆心且与直线 x ? 2 y ? 0 平行的直线方程是
2 2



) B. x ? 2 y ? 2 ? 0 C. x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 2 ? 0

A. x ? 2 y ? 1 ? 0

? y?x ? 8. (线性规划)已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为( ? y ? ?1 ?


C

D
5

A

B

A. 6

B. 5

C.

1 2

D. ?3

9.(向量)如右上图,在 ?ABC 中,点 D 是 BC 边上靠近 B 的三等分点,则 AD ? (

????



? 2 ??? 1 ???? AB ? AC 3 3 ??? 2 ???? ? 1 D. AB ? AC 3 3
A .

B .

? 1 ??? 2 ???? AB ? AC 3 3

C .

? 2 ??? 1 ???? AB ? AC 3 3

10 .( 信 息 题 ) 用 C ( A) 表 示 非 空 集 合 A 中 元 素 的 个 数 , 定 义

?C ( A) ? C ( B) , C ( A) ? C ( B) A? B ? ? ?C ( B) ? C ( A) , C ( A) ? C ( B)
2 若 A ? ?1,? , B ? x | ( x ? ax)( x ? ax ? 2) ? 0 ,且 A ? B ? 1,设实数 a 的所有可能
2 2

?

?

取值构成集合 S ,则 C (S ) ? ( ) D. 3

A. 4

B. 1

C. 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生 只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 11.(等比数列)设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,则 12.(导数)直线 y ? ?

S4 ? a4

15 8



1 1 x ? b 是函数 f ( x) ? 的切线,则实数 b ? 4 x

1或-1



13.(解三角形)在 ?ABC 中, ?A ?

?
3

, AB=2 ,且 ?ABC 的面积为

3 ,则边 BC 的长 2

为___ 3 ______. 14. (几何证明选讲选做题)如右图,圆 O 的割线 PAB 交圆 O 于 A 、 B 两点,割线 PCD 经过圆心。已知 PA ? 6 ,

A P
C

B

1 AB ? 7 , PO ? 12 。则圆 O 的半径 R ? 3

8



? O

D

15. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系 ( ? , ? ) 中,直线 ? ?

?
4

( ? ? R )被圆

? ? 2 s in? 截得的弦的长是

2



三、解答题:本大题共 6 小题,12 分+12 分+14 分+14 分+14 分+14 分=80 分.解答须写出文 字说明、证明过程和演算步骤. 16. (三角函数)已知函数 f ( x) ? cos x ? sin x cos x , x ? R
2

(1)求 f ( ) 的值; (2)若 sin ? ?

?

6

3 ? ? ? ,且 ? ? ( , ? ) ,求 f ( + ) . 5 2 2 24
6

解: (1) f ( ) ? cos 2

?

?
6

6

? sin

?
6

cos

?
6

?(

3 2 1 3 ) ? ? 2 2 2

?

3+ 3 …………………………………………………………………………… 4

…………2 分 (2) f ( x) ? cos x ? sin x cos x
2

?

1+ cos 2 x 1 ? sin 2 x …………………………………………………………… 2 2 1 1 ? (sin 2 x+ cos 2 x) 2 2
1 2 ? ? sin(2 x + ) …………………………………………………………… 2 2 4

…………4 分

?
?

…………6 分

? ? 1 2 ? ? f( + )? ? sin(? + + ) ………………………………………………… 2 24 2 2 12 4
…………8 分

?

1 2 ? ? sin(? + ) 2 2 3 1 2 1 3 ? (sin ? ? ? cos ? ? ) ………………………………………… 2 2 2 2

?
…………10 分 因 为

s ?? i

3 5

n ,



? ?(

?
2

?

,

, )





4 cos ? ? ? ………………………………………………11 分 5
所 以

f(

?
2

?

?

1

?

? ? ?

?

?

?

+ ………………………………

2

2

12 分

高校
7

相关人数

抽取人数

17.(概率)为了对某课题进行研究,用分层抽样方 法从三所高校 A,B,C 的相关人员中,抽取若干人组 成研究小组,有关数据见下表(单位:人) (1)求 x , y ; (2)若从高校 B、C 抽取的人中选 2 人作专题发言, 求这 2 人都来自高校 C 的概率. 解 : (1) 由 题 意 可 得

A B C

18 36 54

x
2 y

:

x ? 1 ………………………………………………………………………2 分 y 2 , ? 54 36
y ? 3 ………………………………………………………………………4 分
(2) 设 事 件 : 2 人 都 来 自 A C…………………………………………………………………………5 分 记高校 B 的两人为 b1 , b2 ,高校 C 的两人为 c1 , c2 , c3 高

x 2 ? 18 36

,







则选取 2 人的所包含的基本事件共有: b1和b2 , b1和c1 , b1和c2 , b1和c3 ,

b2和c1 , b2和c2 , b2和c3 , c1和c2 , c1和c3 , c2和c3
况…………………………9 分

共 有 10 种 情

选取 2 人都来自高校 C 的所包含的基本事件有: c1和c2 , c1和c3 , c2和c3 共 3 种情 况………11 分 所 以

P( A) ?
…12 分

m 3 ……………………………………………………………………………… ? n 10

18. (立几)在边长为 4cm 的正方形 ABCD 中, E、F 分别为 BC、CD 的中点,M、N 分 别为 AB、CF 的中点,现沿 AE、AF、EF 折叠,使 B、C、D 三点重合,重合后的点记 为 B ,构成一个三棱锥. (1)请判断 MN 与平面 AEF 的位置关系,并给出证明; (2)证明 AB ? 平面 BEF ; (3)求四棱锥 E ? AFNM 的体积.
M

A

D

B N F E

M

F N
A

8 B

E

C

解: (1) MN 平行平面 AEF ……………………………………………………………………2 分 证明: 由题意可知点 M、N 在折叠前后都分别是 AB、CF 的中点 (折叠后 B、C 两 点重合) 所 以 平 行 MN AF …………………………………………………………………………………3 分 因 为

面 ? M ?N ? 面 ? A ?F ? M 平行 N ?

A

E

F

A, E 所 F 以 A F

MN









AEF ………………………………………………5 分 (2)证明:由题意可知 AB ? BE 的关系在折叠前后都没有改变
因 为 在 折 叠前 AD ? DF , 由 于 折叠 后 AD与AB重合 , 点 D与F 重合 , 所 以

AB ? BF……6 分
? A ? B ? A ? B ? ? E ?B ? 面 ?B ? 面 F ? ?B ? E = ? B B
, B

E F
所 E





F以 F B

AB ?





B B F

E

BEF ……………………………………………………10 分
(3)

VE ? AFNM ? VE ? ABF ? VE ? MBN ………………………………………………………………………
…11 分

? VA? BEF ? VM ? BEN ……………………………………………………………
……………12 分

1 1 ? S?BEF ? AB ? S?BEN ? MB ……………………………………………… 3 3
……………13 分

1 1 1 1 ? ? ? 2 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 ? 1? 2 3 2 3 2 ? 2 ………………………………………………………………………………
…………14 分 19. (数列)数列 {an } 的各项均为正数, S n 为其前 n 项和,对于任意的 n ? N ,总有
*

an , n , n 2 成等差数列 S a
9

(1)求 a1 ; (2)求数列 {an } 的通项公式; (3)设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,且 bn ?
*

1 ,求证:对任意正整数 n ,总有 Tn ? 2 an 2
2

S a 解: (1)由已知:对于任意的 n ? N ,总有 an , n , n 成等差数列
? 2Sn =an ? an 2 a1 =1 …………………………………………………………………
…………2 分 令 n ? 1 ,? 2S1 =a1 ? a1 又 因 为 数 列
2

即 2a1 =a1 ? a1

2

{an }





















a1 =1 …………………………………………………4 分
(2)? 2Sn =an ? an
2



2 ? 2Sn -1 =an -1 ? a n -1 (n ? 2)

②……………………………………………………………………5 分 由①-②得: 2Sn ? 2Sn -1 =an ? an -1 ? an ? a n -1
2 2



2 2an =an ? an -1 ? an 2 ? a n -1

2 ? an ? an -1 = an 2 ? a n -1



an ? an -1 =(an ? an -1 )(an ? an -1 )

? an , an -1









? an ? an -1 = 1(n ? 2) ………………………………………………………7 分
∴数列 {an } 是公差为 1 的等差数列

? an = a1 ? (n ? 1)d ? 1 ? (n ? 1) ? n …………………………………………………
……………9 分 ( 3 )

bn ?
0分

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? ? (n ? 2) …………………………………………1 2 an n n ? n n ? (n ? 1) n ? 1 n


n=1
10





Tn ? b1 =

1 1 ? 2 =1 ? 2 ………………………………………………………………11 分 2 a1 1

当 n ? 2 时, Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 2 ? 2 ? ? ? ? 2 1 2 3 n 1 1? 2 2 ? 3 n ? 1 n 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ( ? ) ? ( ? ) ? ?? ( ? ) ? 2 ? ? 2 ………………… 1 2 2 3 n ?1 n n
对 任 意 正 整 数

………13 分 所



n







Tn ? 2 ………………………………………………………………14 分
20.(解几综合)已知点 M ( 4 , 0) 、 N (1, 0) ,若动点 P 满足 MN ? MP ? 6 | NP | . (1)求动点 P 的轨迹曲线 C 的方程; (2)在曲线 C 上求一点 Q ,使点 Q 到直线: x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离最小. 解: (1)设点 P 坐标为 ( x, y ) ,则 MN ? (?3, 0) , MP ? ( x ? 4, y ) , NP ? ( x ? 1, y ) ,

???? ???? ?

??? ?

???? ?

????

??? ?

| NP |? ( x ? 1) 2 ? y 2 .
2 2 因为 MN ? MP ? 6 | NP | , 所以 ?3( x ? 4) ? 0 ? 6 ( x ? 1) ? y , 化简得

??? ?

???? ???? ?

??? ?

x2 y2 ? ? 1. 4 3
迹 为









P





x2 y2 ? ? 1 ……………………………………………………………………6 分 4 3
(2)

x2 y2 点 Q 在 ? ? 1 上 , 设 点 Q 坐 标 为 ( 2 c? o s 4 3

, ,? 3 s i n

)

? ? [0, 2? ) .…………………8 分
记 Q 到直线 x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离为 d

d?

| 2 cos ? ? 2 3 sin ? ? 12 | 12 ? 22

| 4sin(? ? ) ? 12 | 12 ? 4sin(? ? ) 6 6 , ………… ? ? 5 5

?

?

…………12 分 当

??

?
3



d









11

8 ,…………………………………………………………………………13 分 5
此 时 点

Q







3 .………………………………………………………………………………14 分 1 , ) 2 1 1 21 . 导 数 综 合 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ax3 ? x 2 ? cx ? d (a, c, d ? R) 满 足 f ( 0 )? 0, ( 3 4 (

f ?(1) ? 0 且 f '( x) ? 0 在 R 上恒成立.
(1)求 a, c, d 的值; (2)若 h( x) ?

3 2 b 1 x ? bx ? ? ,解不等式 f '( x) ? h( x) ? 0 ; 4 2 4

(3)是否存在实数 m ,使函数 g ( x) ? f '( x) ? mx 在区间 [1, 2] 上有最小值 ?5 ?若存在,请 求出实数 m 的值;若不存在,请说明理由. 解: (1)? f (0) ? 0, ?d ? 0 ;

1 1 ……………………………………………… ? f '( x) ? ax 2 ? x ? c及f '(1) ? 0, 有a ? c ? 2 2
……………1 分

? f ' ( x) ? 0在R上恒成立,即ax 2 ?
即 ax ?
2

1 x ? c ? 0 恒成立; 2

显 , 上 式 不 能 立;…………………………………………………………………………2 分 ∴ a ? 0 ,由于对一切 x ? R, 都有f ?( x) ? 0, 则有:

1 1 x ? ? a ? 0 恒成立; 2 2 然 时 a?0





?a ? 0 ? ? 1 2 1 ?( ? 2 ) ? 4 a ( 2 ? a ) ? 0 ?





?a ? 0, ? ? 1 2 ?( a ? 4 ) ? 0 ?









1 ;…………………………………………3 分 4 ∴ , d ?0 1 ………………………………………………………………………………………4 a?c? 4 a?
分 (2)? a ? c ? 由

1 . 4

? f ?( x) ?

1 2 1 1 x ? x? . 4 2 4

12

f ?( x) ? h( x) ? 0



1 2 1 1 3 b 1 x ? x ? ? x 2 ? bx ? ? ? 0 ;…………………………………5 分 4 2 4 4 2 4 1 b 1 即 x 2 ? (b ? ) x ? ? 0 ,即 ( x ? b)( x ? ) ? 0 ; 2 2 2
∴ 当

1 1 …………………………………………………………………………6 b ? 时, 解集为( , b) , 2 2


1 1 当b ? 时, 解集为(b, ) ………………………………………………………………… 2 2
…………7 分 当

1 b ? 时, 解集为? ………………………………………………………………………………… 2
8分 (3)假设存在实数 m 使函数 g ( x) ? f ?( x) ? mx ? 最小值-5.

1 2 1 1 x ? ( ? m) x ? 在区间 [1, 2] 上有 4 2 4

g ( x) ? f ?( x) ? mx ?

1 2 1 1 x ? ( ? m) x ? 图象开口向上且对称轴为 x ? 2m ? 1. 4 2 4

①当 2m ? 1 ? 1,即m ? 0时 ,此时函数 g ( x) 在区间 [1, 上是递增的; 2]

1 1 1 ? g (1) ? ?5,即 ? ( ? m) ? ? ?5. 4 2 4 解 得 与 矛 盾 m?5 m?0 ② 当 ? m ? 5 ;……………………………………………………………………10 分 1 1 ? 2m ? 1 ? 2,即0 ? m ? 时 ,此时函数 g ( x) 在区间 [1, 2m ? 1] 上是递减的,而在区间 2
[2m ? 1, 2] 上是递增的, ? g (2m ? 1) ? ?5.


1 1 1 (2m ? 1) 2 ? ( ? m)( 2m ? 1) ? ? ?5 4 2 4
1 21 1 21 1 ? 或m ? ? ? , 均与0 ? m ? 产生矛盾 ; 2 2 2 2 2

解得 m ? ?

1 21 1 21 ?m ? ? ? 且m ? ? ? ………………………………………………………… 2 2 2 2
…………12 分 ③当 2m ? 1 ? 2,即m ?

? g (2) ? ?5

1 2] 时 ,此时函数 g ( x) 在区间 [1, 上递减的; 2 1 2 1 1 即 ? 2 ? ( ? m) ? 2 ? ? ?5. 4 2 4

13

21 1 ,满足 m ? 8 2 21 综 上 知 : 当 m? 时 , g ( x) ? f ?( x) ? mx 在 [1, 2] 上 有 最 小 值 - 8
解得 m ? 5………………………………………1 4 分

14


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