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2012年自主招生考试数学试卷1


2012 年 高 中 自 主 招 生 考 试

理综试卷
注意事项:
1. 本试卷由数学、物理及化学三部分构成,数学 1—8 页;理化 9—12 页; 2.分值设置:数学 100 分,物理 40 分,化学 40 分,共 180 分; 3.考试时间:数学、物理及化学同场考试,时间为 150 分钟. 4.答卷前,务必将自己的姓名、考号用钢笔(圆

珠笔)写在每张试卷密封线内相应的 位置上. 5.考试结束后,考生须将第Ⅰ卷、第Ⅱ卷一并交回.

数学部分
第Ⅰ卷(选择题 共 24 分)
一、选择题: (本大题共 8 个小题,每小题 3 分,共 24 分) 在下列各小题中,均给出四个答案,其中有且只有一个正确答案,请将正确答案的字 母代号填入第Ⅱ卷选择题答题表中相应题号下的方格内,填错或不填均为零分. 1. 下列运算正确的是 A. (?2a2 )3 ? ?8a6 B. a ? a ? 2a
3 3 6

C. a ? a ? a
6 3

2

D. a ? a ? 2a
3 3

3

2. 若某三角形的两边长分别为 6 和 8,则下列长度的线段能作为其第三边的是 A.2 B.10 C.14 D.16
2 2 3.实数 a 在数轴上的位置如图所示,则 (a ? 4) ? ( a ? 11) 化简后为

A. 7

B. -7

C. 2a-15

D. 无法确定

0

5

a 10

(第 3 题图)

4. 如图,在平面直角坐标系中,正方形 ABCO 的顶点 A、C 分别 在 y 轴、x 轴上,以 AB 为弦的⊙ M 与 x 轴相切.若点 A 的坐标 为(0,4) ,则圆心 M 的坐标为 B

y
A
?

5 A.( ,﹣2) 2 5 C.(﹣2, ) 2

5 B.( ? ,2) 2 5 D.(2, ? ) 2
数学试卷 第 1 页 共 8 页

M
C O
(第 4 题图)

x

5. 某水库大坝的横断面是梯形,坝内斜坡的坡度 i=1∶ 3 ,坝外斜坡的坡度 i=1∶1,则 两个坡角的和为 A. 60 o B. 75 o C. 90 o D. 105o

6.如图,梯形 ABCD 中,∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于梯形中位线 EF 上的一点 P, 若 EF=3,则梯形 ABCD 的周长为 A.9 B.10.5 C.12 D.15

7. 如图,函数 y1 ? x 和 y 2 ? 时, x 的取值范围是 A.x>-1

1 4 x ? 的图象相交于(-1,1) , (2,2)两点.当 y1 ? y 2 3 3
C.x<2 D. x<-1 或 x>2
y

B.-1<x<2 D P F
(-1,1)

A E B
(第 6 题图) 第5题

l

y
(2,2)

y1 y2
x M O N

A

B

C

O
(第 7 题图)

C
(第 8 题图)

x

8.如图,平面直角坐标系中,四边形 OABC 是菱形,点 C 的坐标为(4,0) ,∠AOC= 60°, 垂直于 x 轴的直线 l 从 y 轴出发,沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度向右平移, 设直线 l 与菱形 OABC 的两边分别交于点 M,N(点 M 在点 N 的上方) ,若△OMN 的 面积为 S,直线 l 的运动时间为 t 秒(0≤t≤4),则能大致反映 S 与 t 的函数关系的图 象是

s
4 3 4 3

s
4 3

s
4 3

s
2 3

2 3

2 3

2 3

O

2

4

t

O

2

4

t

O

2

4

t

O

2

4

t

A.

B.

C.

D.

数学试卷 第 2 页 共 8 页

2012 年 高 中 自 主 招 生 考 试

数 学 试 卷
总 题号 得分 选择题答题表 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 一 二 分 表 三 14 15 16 17 18 19 20 21 总分

第Ⅱ卷 (非选择题 共 76 分)
二、填空题: (本大题共 5 个小题,每小题 3 分,共 15 分)将结果直接填写在每题的横线上. 9.分解因式: xy ? 2xy ? 2 y ? 4 ?
2

.

10.将二次函数 y ? x 的图象向右平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位后,所得图象的函
2

数表达式是



11.已知扇形的圆心角为 150° ,它所对应的弧长为 20 πcm , 则此扇形的面积是

A F E B D
(第 12 题图)

cm2 (结果保留 π ) .

12. 如图, 在 △ ABC 中, 点 D、 E、 F 分别在边 AB、 BC、 CA 上, 且 DE ∥ CA , DF ∥ BA .下列四种说法: ①四边形 AEDF 是平行四边形; ②如果 ?BAC ? 90 ,那么四边形 AEDF 是矩形; ③如果 AD 平分 ?BAC ,那么四边形 AEDF 是菱形; ④如果 AD ? BC 且 AB ? AC ,那么四边形 AEDF 是正 方形.其中错误的是 (只填序号).
A1 O



y
A2 B1 C1

A3 B2 C2

B3

13.正方形 A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,?按如图所示的 方式放置.点 A1,A2,A3,?和点 C1,C2,C3,?分别在 直线 y ? kx ? b (k>0)和 x 轴上,已知点 B1(1,1) ,B2 (3,2) ,则直线 y ? kx ? b 的解析式为

C3 x

(第 13 题图)

.Bn 的坐标是



数学试卷 第 3 页 共 8 页

三、解答题: (本大题共 8 个小题,满分 61 分) 14.(本题满分 5 分)化简:

x? y x2 ? y 2 2y . ? 2 ? 2 x ? 3 y x ? 6 xy ? 9 y x? y

15.(本题满分 6 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2 + 2(k-1)x + k2-1 = 0 有两个不相 等的实数根. (1)求实数 k 的取值范围; (2)0 可能是方程的一个根吗?若是,请求出它的另一个根;若不是,请说明理由.

数学试卷 第 4 页 共 8 页

16.(本题满分 6 分)在电视台举办的“超级女生”比赛中,甲、乙、丙三位评委对选手 的综合表现,分别给出“淘汰”或“通过”的结论. (1)请用树状图表示出三位评委给出 A 选手的所有可能的结论; (2)比赛规则设定:三位评委中至少有两位评委给出“通过”的结论,那么这位选 手才能进入下一轮比赛.试问:对于选手 A,进行下一轮比赛的概率是多少?

17. (本题满分 6 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AC=2AB,点 D 是 AC 的中点, 将一块锐角为 45°的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与 A、D 重 合,连结 BE、EC.试猜想线段 BE 和 EC 的数量及位置关系,并证明你的猜想.

E A D B C

数学试卷 第 5 页 共 8 页

18.(本题满分 8 分)如图,△ABC 内接于⊙ O,CA=CB,CD∥ AB 与 OA 的延长线交于点 D. (1)求证:CD 是⊙ O 的切线; (2)若∠ ACB=120° ,OA= 4,求 CD 的长.

?O
A D C B

19.(本题满分 8 分)如图,已知菱形 OABC 的边长为 6,O 点为坐标原点,C 点在 x 轴上, D 为 BC 边的中点,双曲线 y= (1)求反比例函数 y=

k (k >0)经过 A、D 两点. x

k 的解析式; x

(2)若点 P 为 x 轴上一点,且满足 PD=AD,求出点 P 的坐标.

y
A D O C B

x

数学试卷 第 6 页 共 8 页

20. (本题满分 10 分) 为迎新年, 某公司用 10 台机器生产 A、 B 两种不同的龙年吉祥玩具, 每台机器只生产其中一种玩具,每天所需生产原料总数不超过 950 千克,每天生产的 B 种玩具不小于 A 种玩具的件数,每天连续工作 10 小时.下表是这种机器生产不同玩 具所需原料及生产能力的有关数据. 型号 每件所需原料(千克) 每小时生产数量(件) A B 1.5 0.4 6 25

设生产 A 种玩具的机器 x 台,则生产 B 种玩具的机器有(10- x )台. (1)求 x 的取值范围. (2)若 A 种玩具每 2 件包装成一盒,B 种玩具每 4 件包装成一盒,每天生产的各种玩 具恰好包装完 . A 种玩具每盒可获利 5 元,B 种玩具每盒可获利 6 元. (包装了才 ..... 能销售)怎样安排机器生产使每天生产玩具获利最大. (3)若用 6 台机器生产 A 种玩具,4 台机器生产 B 种玩具,且将 A 种玩具 2 件,B 种 玩具 4 件混合包装成一盒,这样安排后,每天生产出来的玩具不能成套包装的有 多少件?

数学试卷 第 7 页 共 8 页

21. (本题满分 12 分)如图,在平面直角坐标系中,已知点 A 坐标为(2,4) ,直线 x ? 2 与 x 轴相交于点 B , 连结 OA , 抛物线 y ? x 2 从点 O 沿 OA 方向平移, 与直线 x ? 2 交 于点 P ,顶点 M 到 A 点时停止移动. (1)求线段 OA 所在直线的函数解析式; (2)设抛物线顶点 M 的横坐标为 m ,① 用 m 的代数式表示点 P 的坐标; ② 当 m 为何值时,线段 PB 最短; (3)当线段 PB 最短时,相应的抛物线上是否存在点 Q ,使△ QMA 的面积与△ PMA 的面积相等,若存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

y
A P M

O

B
x?2

x

数学试卷 第 8 页 共 8 页


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