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高三


第五章
一、知识框架

三角比总复习

二、知识提要 第一单元 基本概念及知识点: 1、任意角: 任意角的三角比

5、终边相同的角:

1 / 13

2 / 13

第二单元 三角函数式的求值、化简与证明 公式结构:

3

/ 13

4 / 13

清除等式两端的差异,达到形式上的统一,在等式两端的角、函数名称、表达形式(系数与次 数)等差异中,应主要抓住角的差异。 证明三角恒等式的方法主要有: (1)由繁化简; (2)左右归一; (3)等价转化。

第三单元 解斜三角形

一、基础知识点:
定义:已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。 (1) 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 在 ??? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ??? C 的外接圆的半径,则有

a b c ? ? ? 2R . sin ? sin ? sin C
正弦定理的变形公式: ① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ; ② sin ? ?

a b c , sin ? ? , sin C ? ; 2R 2R 2R

③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; ④ [理解定理] (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数 k 使 a ? k sin A , b ? k sin B , c ? k sinC ; (2)

a?b?c a b c ? ? ? . sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

等价于

a
sin A

?

b
sin B



c
sinC

?

b
sin B



a
sin A

?

c
sinC

从而知正弦定理的基本作用为: ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如 a ?

b sin A ; sin B

5 / 13

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如 sin A ? sin B 。 (3) .直角三角形中各元素间的关系: 如图,在△ABC 中,C=90°,AB=c,AC=b,BC=a。 (a)三边之间的关系:a2+b2=c2。 (勾股定理) (b)锐角之间的关系:A+B=90°; (c)边角之间的关系: (锐角三角函数定义) sinA=cosB=

a b

a b a ,cosA=sinB= ,tanA= 。 c c b

(4) .斜三角形中各元素间的关系: 如图 6-29,在△ABC 中,A、B、C 为其内角,a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边。 (a)三角形内角和:A+B+C=π 。 (b)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等。

a b c ? ? ? 2R 。 sin A sin B sin C
(R 为外接圆半径) (2)余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦 的积的两倍。即

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A
b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC
从余弦定理,又可得到以下推论:

cos A? cos B ? cosC ?
[理解定理]

b2 ? c 2 ? a 2 2bc a 2 ? c 2 ? b2 2ac b2 ? a 2 ? c 2 2ba

从而知余弦定理及其推论的基本作用为: ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。 注意:若 ? ABC 中,C= 90 0 ,则 cos C ? 0 ,这时 c 2 ? a 2 ? b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例。
6 / 13

1.当 A 为钝角或直角时,必须 a ? b 才能有且只有一解;否则无解。 2.当 A 为锐角时, 如果 a ≥ b ,那么只有一解; 如果 a ? b ,那么可以分下面三种情况来讨论: (1)若 a ? b sin A ,则有两解; (2)若 a ? b sin A ,则只有一解; (3)若 a ? b sin A ,则无解。 由余弦定理可知

a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是直角 ? ?ABC是直角三角形 a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是钝角 ? ?ABC是钝角三角形 a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是锐角? ?ABC是锐角三角形
(注意: A是锐角? ?ABC是锐角三角形 ) (3)三角形面积公式: S???C ?

1 1 1 bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2

(4)解斜三角形应用题的一般步骤: (1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图 (2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解 斜三角形的数学模型 (3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解 (4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解

三、例题分析
1. ? 是第四象限角,则 A.-1 B.1

sec? 1 ? tan2 ?
C.-3 D.3

?

2 tan? sec 2 ? ? 1

的值为(

)

2.已知 tan ? ? ?2,则 3、已知

4 sin ? ? 2 cos ? ? 5 cos ? ? 3 sin ?

sin ? 1 ? cos ?
2

?

cos? 1 ? sin 2 ?

,则 ? 的终边在( ) C、第一或第三象限 D、第二、四象限

A、第一象限 B、第二象限 4、已知 sin ? ? cos? ?

1 2

, 则 sin 3 ? ? cos3 ? ? __________ _。

7 / 13

5、若集合 A={ ? 2k ? ?

?

? ? ? ? ? ? ? 2k ? ? ? ,k∈Z}, B ? ?? ? ? 2k ? ? ? ? ? 2k ? ? , k ? Z ? , 4 2 2 ? ?

则 A∩B=_________________。 6、设 ? 是第三象限角,且 2 sec 2 ? ? 3sec? ? 2 ? 0, 则cot? ? _________ 。
2 7.已知 tan ? 是方程 x ?

2 ? x ? 1 ? 0 的两个根中较小的根,求 ? 的值. cos ? 2 1 3 ? tan ? ? 1 ? 0 ,解得 sin ? ? ? ,故 cos ? ? ? cos ? 2 2

2 解:由题意知: tan ? ?

10 当 cos ? ?

3 3 2 时,原方程为 3x ? 4 x ? 3 ? 0 ,解之得 x1 ? ? 3, x2 ? ? 3 2
2? ,k ?Z 3

故 tan ? ? ? 3 ,所以 ? ? k? ?

20 当 cos ? ? ?

3 3 2 时,原方程为 3x ? 4 x ? 3 ? 0 ,解之得 x1 ? 3, x2 ? 2 3

故 tan ? ?

? 3 ,所以 ? ? k? ? , k ? Z 6 3

8.已知一扇形的周长为 c(c>0),当扇形的弧长为何值时,它有最大面积?并求出面积的最大值.

9、已知: ? 是三角形的内角,若 sin ? ? cos ? ?

1 , 求 tan ? 的值. 5

10.已知关于 x 的方程 4x2-2(m+1)x+m=0 的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦,求实 数 m 的值. 解:设直角三角形的两个锐角分别为α 、β ,则可得α +β = ∴cosα =sinβ
8 / 13

? , ?

∵方程 4x2-2(m+1)x+m=0 中,Δ =4(m+1)2-4?4m=4(m-1)2≥0 ∴当 m∈R,方程恒有两实根.

m ?1 m ,cosα ?cosβ =sinβ cosβ = 2 4 m m ?1 2 ∴由以上两式及 sin2β +cos2β =1,得 1+2? =( ) 4 2
又∵cosα +cosβ =sinβ +cosβ = 解得 m=± 3 当 m= 3 时,cosα +cosβ =

3 ?1 3 >0,cosα ?cosβ = >0,满足题意, 2 4
1? 3 <0,这与α 、β 是锐角矛盾,应舍去. 2

当 m=- 3 时,cosα +cosβ = 综上,m= 3

11、当 ? 和 x 取何值时, logsin ? (x 2 ? x ? 2) ? logsin ? (x ? 1) ;

12.已知点 P?sin ? ? cos? , tan? ? 在第一象限,则在 ?0,2? ? 内 ? 的取值范围是______.

k ?3 ? sin ? ? ? ? k ?5 13、如果满足条件 ? ?cos ? ? 4 ? 2k ? k ?5 ?

,则 ? 所在象限是________.

14、已知角 ? 的终边上一点 P 到原点的距离 OP ? 25, 且sin? ? ?

4 3 (? ? ? ? ? ) ,求点 P 坐标; 5 2

15、设 sin ? 与 cos ? 是方程 2x 2 ? ( 3 ? 1) x ? m ? 0 的两根,求 m与

sin ? cos ? ? 的值。 1 ? cot ? 1 ? tan ?

16、已知 3sin

2

? ? 2 sin 2 ? ? 2 sin ? , 求 cos2 ? ? cos2 ? 的取值范围。

9 / 13

17、△ABC 中, (a 2 ? bc )x

2

? 2 b 2 ? c 2 x ? 1 ? 0 有两相等实根;求∠A;

18、 锐角△ABC 中, A<B<C, ∠B=600, (1 ? cos 2A )(1 ? cos 2C ) ? 与 2c 的大小;

3 ?1 ; 判断和证明 a ? 2b 2

四、课后练习
1.设 3 弧度的圆心角所对的弧长是 12cm,那么,这个圆心角所夹的扇形面积为( A.18 cm
2

)

B.12 cm

2

C.24 cm

2

D.36 cm

2

2.已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半,那么这扇形的圆心角 ? 的大小为( A.

)

? ?1 2

B. ? ? 1

C.

? 3、集合 M ? ? ? ? k ? 90 , k ? N 中各角的终边都在(

?

3? 2

D. ? ? 3 ) D、x 正半轴或 y 正半轴上

?

A、x 正半轴上 4、 k ? ?

B、y 正半轴上 )角 B、第一象限

C、x 轴或 y 轴上

?
2

( k ? Z ) 是(

A、第二象限

C、第三象限

D、不属任何象限 )

5、设 ? 是第四象限角,则 sin ? 1 ? cos2 ? ? cos? 1 ? sin 2 ? 的值等于( A、1 B、-1 C、±1 D、以上答案都不对 )条件 C、充要 ) D、既不充分又不必要

6、 "? ? ? "是" tan? ? tan? " 的( A、充分不必要 B、必要不充分

7、若 cosx=tanx,则 sinx 的值是( A 、

5 ?1 ?1? 5 ?1? 5 5 ?1 B、 C、 D、 2 2 2 2
10 / 13

8、已知 sin ? ? cos? ? A、-2 B、2

2,则tan? ? cot? 的值是( )
C、±2 D、±1

9、已知 A 为三角形的内角,且 sin A ? cos A ? ? , 则 cos A ? sin A 的值是( ) A 、?

1 8

3 2

B、 ?

3 2

C、 ?

5 2

D、 ?

5 2

10、若 cos ? ?

4 , ? ? (0, ? ), 则 cot ? 的值为( ) 5 4 3 4 3 A 、 B、 C、 ? D、 ? 3 4 3 4

11、若 ? 为锐角, 则logsin ? (1 ? cot2 ? ) ? __________ _。 12、使

1 ? sin ? ? tan? ? sec ? 成立的角 ? 所在象限是______________。 1 ? sin ?
sin(3? ? ? )

3 cot(?? ? ? ) cos(4? ? ? ) 2 13、化简 ? ? ? ___________。 ? cos(? ? 5? ) tan( ? ??) cos(?? ? ) 2
14、 sin ? ? sin ?是? ? ? 的( )条件 C、充要 D、既不充分又非必要
2 2 2

A、充分但非必要 B、必要但非充分

15、已知 cos A ? cos? ? sin C, cos ? ? sin ? sin C(C ? k? , k ? z)求sin A ? sin B ? sin C 的值。

17、已知 sin ? ? m ? 1, cos? ? m ? 2, 其中? ? ? 18、已知集合 M ? A、 C、

?? sin ? ? 0?, N ? ? ?

?? ? , ? ? ,则实数 m 的取值范围是_________。 ?2 ?

1 ? tan2 ? ? ? sec? 则M ? N 是(
B、

?



?? ?为第三象限角 ? ?? ?为第三、 四象限角?
2 2

?? ?为第四象限角 ? ?? ?为第二、 三象限角?

D、

19、若 tan ? , t an ? 是关于 x 的方程 x ? px ? q ? 0 的两根, cot? , cot ? 是关于 x 的 方程 x ? ?x ? s ? 0 的两根,则 ?s 等于( )

11 / 13

A、pq 20、若 sin x ? A 、

B、

1 pq

C、

p q2


D、

q p2

a?b (0 ? a ? b), 则 cot 2 x ? cos 2 x 等于( a?b
B、

4ab a ?b 2
2

4ab ? (a 2 ? b 2 )

C、

4ab a ? b2
2

D、

4ab ? (a 2 ? b 2 )

21、已知等腰三角形的底角的余弦值是

4 ,则顶角的余弦值是_____________。 5

22、设 tan? ?

2 cos2 2,则

?
2

? sin ? ? 1

2 sin(? ?

?
4

? _________________。

)

23、设 2? ? ? ? ? , 函数 y ? cos ? ? 6 sin ? 的最大值和最小值分别是 m、n,则下列结论中 正确的是( A、 m ? n ? )

13 1 2

B、 m ? n ? ?

1 2

C、 mn ? 35 )

D、 mn ? ?35

24、 cos(310 ? ? ) ? cos(290 ? ? ) ? sin(310 ? ? ) ? sin(290 ? ? ) 的值为( A、 ?

3 2

B、

1 2

C、 ?

1 2

D、

3 2


25、若 sin ? ? sin ? ?

2 ,则 cos? ? cos ? 的取值范围是( 2
B、 ? ?

A、 ?0,

? ?

2? ? 2 ?

? ?

2 2? , ? 2 2 ?

C、 ?? 2,2?

D、 ??

? ?

14 14 ? , ? 2 2 ?


26、 已知△ABC 中, a>b>c, 设 p=sinAsinB, q=sinaAsinC, r=sinBsinC, 则 p、 q、 r 大小关系为 ( A、p>q>r B、q>p>r C、p>r>q D、q>r>p ) D、 ? ?

27、△ABC 中,∠C=600,则 cosAcosB 的取值范围是( A、 ??

? 1 1? , ? ? 2 4?

B、 ??

? 3 1? , ? ? 4 4?

C、 ?0, ? 4

? 1? ? ?

? 1 1? , ? ? 2 4?

28、△ABC 中,S△=a2-(b-c)2,b+c=8;求 S△的最大值;

12 / 13

29、△ABC 中,若已知三边为连续正整数,最大角为钝角,求最大角。

30、 三角形三边长为: 2a ? 3, a

2

? 3a ? 3, a 2 ? 2a ,其中 a ? 0 ,则三角形最大角=____________。

31、△ABC 中,若

sin 2 B ? sin 2 C ? sin 2 A ? 1,则 ?A ? ___________。 sin B sin C
) C、 0 ? x

32、锐角三角形边长分别为 2、3、x,则( A、

1? x ? 5

B、

5 ? x ? 13

? 5

D、

13 ? x ? 5

13 / 13


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