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平面向量数乘运算及其几何意义


2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义

1.向量加法三角形法则: 1.向量加法三角形法则: 向量加法三角形法则 特点:首尾顺次连, 特点:首尾顺次连,起点 指终点

2.向量加法平行四边形法则: 2.向量加法平行四边形法则: 向量加法平行四边形法则 特点:起点相同 对角为和 特点 起点相同,对角为和 起点相同

C<

br />
r r a+b
A

r b

B
r b

r a
r r a+b

C

r b
A

r a

B

O

r a

3.向量减法三角形法则: 3.向量减法三角形法则: 向量减法三角形法则 特点:平移同起点, 特点:平移同起点,方向指被减

r a

r b

r b
O

B

r a

r uuu r r BA = a ? b
A

作一作, 作一作,看成果
r r r r 你能发现什么? 已知非零向量 a ,作出 a + a + a ,你能发现什么? 作出 你能发现什么 r a r r r r r r 3a与 a 方向相同 a a a r r O 3a A C B 即 3a = 3 a
r r r (? 类比上述结论, 类比上述结论, a) + (?a) + (?a)

r ?a

r ?a

r ?a

N

M

Q

P

r ?3a

又如何呢? 又如何呢? r r ?3a与 ar方向相反 r 即 ?3a = 3 a

r 一般地,我们规定实数λ 的积是一个向量 向量, 一般地,我们规定实数λ与向量 a 的积是一个向量, r ,它的长度和方向 向量的数乘, 这种运算叫做向量的数乘 这种运算叫做向量的数乘,记作 λ a
规定如下: 规定如下:
(1)

r r | λ a |=| λ || a |;

r 的方向与 r 的方向相同; (2)当 λ > 0时, a 相同 a 的方向相同; λr r 的方向相反。 相反。 当 λ < 0时, a 的方向与 a 的方向相反 λ

r r 特别的, 特别的,当 λ = 0 时, a = 0. λ

练一练: 书本P90,练习2,3 练一练: 书本P90,练习2,3 P90,练习

(1) 根据定义,求作向量3(2a)和(6a) 根据定义,求作向量3(2a (6a (a为非零向量),并进行比较。 为非零向量) 并进行比较。 (2) 已知向量 a,b,求作向量2(a+b)和2a+2b, a,b,求作向量2(a+b) a+2 并进行比较。 并进行比较。 r

a

r 3(2a )

r b r

r r 3(2a ) = 6a
r r a +b

a

r r 2a + 2b

r r r r 2(a + b ) = 2a + 2b

r 2b
r 2a

向量的数乘运算满足如下运算律:

λ, ? 是 实 数 ,

( 1) λ ? a ) = ( λ ? ) a ; (

r

r

( 2 )( λ + ? )a = λ a + ? a ; ( 3 )λ ( a + b ) = λ a + λ b .
r r 特别地:( ? λ) = λ ? a a r r r r λ a ? b = λ a ? λb

r

r

r

r

r

r

r

(

)

( )

向量的加、 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算 数乘运算统称为向量的线性运算

例1、计算下列各式 、

r r (1)( ? 3 ) × 4 a = ?12a r r r r r r ( 2)3( a + b ) ? 2( a ? b ) ? a = 5b r r r r r r (3)(2a + 3b ? c) ? (3a ? 2b + c)
r r r = ?a + 5b ? 2c

练一练: 练一练:

书本P90,练习5 书本P90,练习5 P90,练习

思考 :
(1)若b = λ a (a ≠ 0), 则a, b位置关系如何 ?

r r b // a
成立

(2)若b // a (a ≠ 0), 则b = λ a是否成立 ?

向量共线定理: 向量共线定理:
r r r r 向量a (a ≠ 0)与b共线, 当且仅当有唯一一个实数λ , r r 使b = λ a.

r r 即a与b共线

r r r r b = λ a (a ≠ 0)

r 思考:1) 为什么要是非零向量? 思考:1) a 为什么要是非零向量?
r 可以是零向量吗? 2) b 可以是零向量吗?

练一练: 练一练:

书本P90,练习4 书本P90,练习4 P90,练习

例2 如图,已知AD=3AB,DE=3BC, 如图,已知AD=3AB,DE=3BC, 试判断AC与AE是否共线。 试判断AC与AE是否共线。
C E

Q 解: AE = AD + DE

A B D

= 3 AB + 3BC

= 3 AB + BC

(

)

= 3 AC
共线. ∴ AC与 AE 共线.

uuu r r r r r 如图, 例3.如图,已知任意两个向量 a、 ,试作OA = a + b, 如图 b

uuu r r r uuur r r 你能判断A、 、 三点之 OB = a + 2b, OC = a + 3b. 你能判断 、B、C三点之
C

间的位置关系吗?为什么? 间的位置关系吗?为什么?
r 3b r 2b

r a

r b

B

A

r b
O

r a

总结: 总结
证明三点共线的方法: 证明三点共线的方法: 三点共线的方法

AB=λBC
且有公共点B 且有公共点B

A,B,C三点共线 A,B,C三点共线

ur uu r 已知两个非零向量e1和e2不共线,如果 uuu r ur uu uuu r r ur uu uuu r r ur uu r AB = 2e1 + 3e2, = 6e1 + 23e2, = 4e1 ? 8e2, BC CD 求证 : A、B、D三点共线.

u ur r u uuu u ur uuu u ur r r u r r u 是两个不共线的向量, 设 e1, e2是两个不共线的向量, AB = 2e1 + ke2 , CB = e1 + 3e2 , uuu r u ur r u 三点共线, 的值. ,若A、B、D三点共线,求k的值 、 、 三点共线 的值 CD = 2e1 ? e2

如图, 的两条对角线相交于点M, 例5.如图,平行四边形 如图 平行四边形ABCD的两条对角线相交于点 ,且 的两条对角线相交于点

r r uuu r uuur r r uuur uuur uuuu uuuu r r b AB = a, AD = b ,你能用 a 、 来表示MA、 、 和 MD MB MC
D M C



b
A

r a

B

练一练: 书本P92,11题 练一练: 书本P92,11题 P92,11

C

D

① ② ④

小结: 小结
一、

①λa 的定义及运算律 ②向量共线定理 (a≠0) b=λ b=λa 向量a 向量a与b共线

二、定理的应用: 定理的应用: 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 三点共线: AB=λ 且有公共点B 且有公共点B 3. 证明 两直线平行: 两直线平行: AB=λ AB=λCD AB∥ AB∥CD

A,B,C三点共线 A,B,C三点共线

直线AB∥直线CD 直线AB∥直线CD

AB与CD不在同一直线上 AB与CD不在同一直线上

书本P91,A组,9,10 , 组 书本 B组,3 组


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