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平面向量基本定理教学设计


2.3.1 平面向量基本定理---教学设计
课 题 教 师 2.3.1 平面向量基本定理 王崇仙 教 本节课在教材中的地位与作用: 本节内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学 4·必修(人教 A 版) 》第二章 2.3.1 平面向量基本定理。学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算(向量 的加法、减法、数乘向量、共线向量定理)之后的又一重点内容,它是引

入向量坐标表示, 将向量的几何运算转化为代数运算的基础, 使向量的工具性得到初步的体现, 具有承前启后 的作用 学 情 分 析 材 分 课型 班级 析 探究型 高一(23)

1.学生对向量加、减法及数乘等运算的意义与作用认识不够,容易将向量的运算与数 的运算混淆。 2.对于向量的加法、数乘等运算停留在几何直观的理解上,缺乏从代数运算的角度理 解向量运算特征的感受,容易将平面向量基本定理的作用仅仅理解为形式上的变换。 3.如果不加启发与引导,学生是不会从“基底” 、 “元” 、 “维数”这些角度去理解平面 向量基本定理的深刻内涵,也难以认识这个定理在今后用向量方法解决问题中的重要作用。 教学时,启发学生联想到用平行四边形的加法法则进行向量分解,以提高学生学习兴 趣,调动主动性为主,再辅以讲解,让学生体会数形结合的数学思想。 教 知识 与技 能 学 目 标

1、了解平面向量基本定理及其意义,会用基底表示某一向量;掌握两个向量夹角的 定义及两向量垂直的概念,会初步求解简单的两个向量夹角问题,会根据图形判断 两个向量是否垂直。 2、培养学生作图、判断、求解的基本能力。

过程 与方 法 情感 态度 与价 值观 教学 重点 难点

1、经历平面向量基本定理的探究过程,让学生体会由特殊到一般的思维方法; 2、通过本节学习,让学生体会用基底表示平面内一个向量的方法,体会求解一些比 较简单向量夹角的方法。

通过本节的学习,培养学生的动手操作能力、观察判断能力,体会数形结合思想。

教学重点:平面向量基本定理及其意义;两个向量夹角的简单计算; 教学难点:平面向量基本定理的探究;向量夹角的判断。

课 教学 环节 教

堂 环 容



呈 现 师生活动 设计意图

学 内

1

1、 旧 知 回 顾:

复习:1.怎样理解向量的数乘运算λ (1)长度:|λ

a?

a|=|λ ||a|; a 与 a 方向相同;

课前预习 引入课题: 平面 向量基本定理

(2)方向:λ >0 时,λ λ <0 时,λ λ =0 时,λ

通过复习 相关知识, 引入平面 向量基本 定理

a 与 a 方向相反; a=0
c C

2、向量加法的平行四边形法则: B a O

A 问题 1:给定平面内任意两个向量 e1、e2,那么平面 内的任一向量 a 是否都可以用形如 λ1e1+λ2e2 的向量 表示呢?

b

e1

e2

给定平面内任 意两个不共线 的非零向量 e1、 e2 , 作 出 向 量 b=3e1+2e2

你能叙述上述性质吗? 1、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面 内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意 向量 a ,有且只有一对实数 λ 1,λ 2 ,使 2、 探 究 定 理 a= λ
1 1

e

+ λ

2 2

e



注意: ①我们把不共线向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底; ②基底不唯一,关键是不共线; ③由定理可将任一向量 a 在给出基底 e1、e2 的条件 下进行分解; ④基底给定时,分解形式唯一. 回忆:初中是如何定义角的? 问题 2:平面中的任意两个向量的夹角怎样定义? 2、向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b (如图),作 OA =a, OB = b,则∠AOB=θ 叫做向量 a 和 b 的夹角.
B

学生已经 学习过向 量加法的 平行四边 形法则, 运 用平行四 根据作图进行 边 形 法 则 提问、引导、归 解 决 这 里 纳、学生交流、 的 问 题 应 讨论, 教师引导 该不难。 在 板书定理内容 教学中, 应 基于学生 的知识生 长点。 让学 生归纳总 结平面向 量基本定 理.对平面 向量定理 中基底, 要 有一个正 确的理解。 师生互动, 教师 给出向量夹角 的概念 向量是具 有大小又 有方向的 量, 对于两 个向量用
2

b
?
O

a

A

注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点 的 思考:如果任意两向量 a 与 b 的夹角为θ , 则θ 的取 值范围是 (0°≤θ≤180°)
B

夹角来表 示比较直 观。 学生动手, 老师 巡视, 得出两向 量共线时的夹 角及夹角的取 值范围

b
(1)

a

b
a
(2)

b
O

?
a
(3)

A

2、 向 量 夹 角

显然,当 θ=0°时,同向; 当 θ=180°时, a 与 b 反向.因此, 两非零向量的夹角在区间[0° ,180° ]内. 如果 a 与 b 的夹角是 90° ,我们说 a 与 b 垂直,记作 a⊥b 练一练:在 Rt△ABC 中,∠C=90°,且 |

AC |? 1 ,

| BC |? 3 ,求 CA 与 AB 的夹角.

学生独立思考 教师巡视, 及时 归纳总结 教师提示

会找两个 非零向量 的夹角

例1、 已知向量 e1、e2 (如图),求作向量-2e1+3e2.

例 2、如图在

ABCD 中,已知 AB ? a, AD ? b ,

点 E 是 BC 上一点, 且 BC=3BE, 用a , b 表示 AE

会用不共 线的两个 非零向量 及一组基 底表示平 面中的任 意一个向 量

例 3 、已知 O、A、B 是平面内任意三点,点 P 在 直线 AB 上, AP ? 2PB ,   且OP ? xOA ? yOB, 求 x,y 的值.

3

5、课 堂 小 结

(1)平面向量基本定理及应用; (2)夹角的概念; (3)特殊到一般、数形结合等数学思想的运用。 1.设 e1、 e2 是同一平面内的两个向量, 则有( A.e1、e2 一定平行

师生互动、 共同 总结。

反思过程, 提炼思想; 回顾思路, 总结方法。

)

B.e1、e2 的模相等

C.同一平面内的任一向量 a 都有 a =λe1+μe2(λ、μ ∈R) 六、 D.若 e1、e2 不共线, 则同一平面内的任一向量 a 都 课 后 有 a =λe1+μe2(λ、μ∈R) 练 习 巩固知识,升华方法。让学 2.已知向量 e1、 e2 不共线, 实数 x、 y 满足(3x-4y)e1+ 生带着问题回去,有利于学 习的可持续性发展。数学也 应该先预习。 (2x-3y)e2=6e1+3e2,则 x-y 的值等于( ) A.3 3.已知向量

B.-3
1 2

C.0
1 2

D.2
1 2

a=e -2e ,b=2e +e ,其中 e 、e


不共线,则 a+b 与 c=6e1-2e2 的关系( A.不共线

B.共线

C.相等

D.无法确定

4、如图,在△ABC 中, AN

?

1 NC,   P 是 BN 上一 3
实 数 m

点 , 若 =

AP ? m AB ?
.

2 AC,  则 11

板书设计: §2.3.1 平面向量基本定理 一、平面向量基本定理 二、向量夹角 例 1:解题过程。 例 2:解题过程。 例 3:解题过程

4

七、教学程序框图 开始上课

情境导入 布置作业 定理探究

夹角问题

例题分析 否

效果是否满意 是 归纳小结





5


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