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中考数学压轴题100题精选及答案(全)


2010 年中考数学压轴题 100 题精选
【001】如图,已知抛物线 y ? a( x ? 1) ? 3 3 (a≠0)经过点 A(?2,0) ,抛物线的顶点为 D ,
2

过 O 作射线 OM ∥ AD .过顶点 D 平行于 x 轴的直线交射线 OM 于点 C , B 在 x 轴正半轴上,连 结 BC . (1)求该抛物线的解析式; (2)若动点 P 从点 O 出发,以每秒 1 个长度单位的速度沿射线 OM 运动,设点 P 运动的时间为

t (s) .问当 t 为何值时,四边形 DAOP 分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形?
(3)若 OC ? OB ,动点 P 和动点 Q 分别从点 O 和点 B 同时出发,分别以每秒 1 个长度单位和 2 个长度单位的速度沿 OC 和 BO 运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们 的运动的时间为 t ( s ) ,连接 PQ ,当 t 为何值时,四边形 BCPQ 的面积最小?并求出最小值及此 M y D 时 PQ 的长. C P A O Q B x

【002】如图 16,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC = 3,AB = 5.点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个 单位长的速度向点 A 匀速运动,到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回;点 Q 从点 A 出发沿 AB 以 每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动.伴随着 P、Q 的运动,DE 保持垂直平分 PQ,且交 PQ 于点

D,交折线 QB-BC-CP 于点 E.点 P、Q 同时出发,当点 Q 到达点 B 时停止运动,点 P 也随之停止.设
点 P、Q 运动的时间是 t 秒(t>0) . (1)当 t = 2 时,AP = ,点 Q 到 AC 的距离是 ; (2)在点 P 从 C 向 A 运动的过程中,求△APQ 的面积 S 与
B

t 的函数关系式; (不必写出 t 的取值范围)
(3)在点 E 从 B 向 C 运动的过程中,四边形 QBED 能否成 为直角梯形?若能,求 t 的值.若不能,请说明理由; (4)当 DE 经过点 C 时,请直接写出 t 的值. ..
A Q D P C E

图 16

爱心

用心

专心

1

【003】如图,在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD 的三个顶点 B(4,0) C(8,0) D(8,8). 、 、 2 抛物线 y=ax +bx 过 A、C 两点. (1)直接写出点 A 的坐标,并求出抛物线的解析式; (2)动点 P 从点 A 出发.沿线段 AB 向终点 B 运动,同时点 Q 从点 C 出发,沿线段 CD 向终点 D 运动.速度均为每秒 1 个单位长度,运动时间为 t 秒.过点 P 作 PE⊥AB 交 AC 于点 E,① 过点 E 作 EF⊥AD 于点 F,交抛物线于点 G.当 t 为何值时,线段 EG 最长? ②连接 EQ.在点 P、Q 运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的 t 值。

【004】如图,已知直线 l1 : y ?

2 8 x ? 与直线 l2 : y ? ?2 x ? 16 相交于点 C,l1、l2 分别交 x 轴于 3 3

A、B 两点.矩形 DEFG 的顶点 D、E 分别在直线 l1、l2 上,顶点 F、G 都在 x 轴上,且点 G 与
点 B 重合. (1)求 △ABC 的面积; (2)求矩形 DEFG 的边 DE 与 EF 的长; (3)若矩形 DEFG 从原点出发,沿 x 轴的反方向以每秒 1 个单位长度的速度平移, 设移动时间为 t (0 ≤ t ≤12) 秒,矩形 DEFG 与 △ABC 重叠部分的面积为 S ,求 S 关

t 的函数关系式,并写出相应的 t 的取值范围.

y
y

l2
E C D

l1
y

A O

B F (G) x

(第 26 题)

爱心

用心

专心

2

【005】如图 1,在等腰梯形 ABCD 中, AD ∥ BC , E 是 AB 的中点,过点 E 作 EF ∥ BC 交 CD 于点 F . AB ? 4,BC ? 6 ,∠B ? 60? . (1)求点 E 到 BC 的距离; (2)点 P 为线段 EF 上的一个动点,过 P 作 PM ? EF 交 BC 于点 M ,过 M 作 MN ∥ AB 交折 线 ADC 于点 N ,连结 PN ,设 EP ? x . ①当点 N 在线段 AD 上时(如图 2) △PN 的形状是否发生改变?若不变,求出 △PMN 的周 , M 长;若改变,请说明理由; ②当点 N 在线段 DC 上时(如图 3) ,是否存在点 P ,使 △PMN 为等腰三角形?若存在,请求出 所有满足要求的 x 的值;若不存在,请说明理由. A E B 图1 A E B 图 4(备用) D F C B 图 5(备用) D F B M 图2 D F E C A P N D F C B E A P D N F

M 图3

C

(第 25 题) A E

C

【006】如图 13,二次函数 y ? x ? px ? q( p ? 0) 的图象与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C
2

(0,-1) ABC 的面积为 ,Δ

5 。 4

(1)求该二次函数的关系式; (2)过 y 轴上的一点 M(0,m)作 y 轴的垂线,若该垂线与Δ ABC 的外接圆有公共点,求 m 的 取值范围; (3)在该二次函数的图象上是否存在点 D,使四边形 ABCD 为直角梯形?若存在,求出点 D 的 坐标;若不存在,请说明理由。

爱心

用心

专心

3

【007】如图 1,在平面直角坐标系中,点 O 是坐标原点,四边形 ABCO 是菱形,点 A 的坐标为(- 3,4) , 点 C 在 x 轴的正半轴上,直线 AC 交 y 轴于点 M,AB 边交 y 轴于点 H. (1)求直线 AC 的解析式; (2)连接 BM,如图 2,动点 P 从点 A 出发,沿折线 ABC 方向以 2 个单位/秒的速度向终点 C 匀速运动,设△PMB 的面积为 S(S≠0) ,点 P 的运动时间为 t 秒,求 S 与 t 之间的函数关系式(要 求写出自变量 t 的取值范围) ; (3)在(2)的条件下,当 t 为何值时,∠MPB 与∠BCO 互为余角,并求此时直线 OP 与直线 AC 所夹锐角的正切值.

【008】如图所示,在直角梯形 ABCD 中,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=BC,E 是 AB 的中点,CE⊥BD。 (1) 求证:BE=AD; (2) 求证:AC 是线段 ED 的垂直平分线; (3) △DBC 是等腰三角形吗?并说明理由。

爱心

用心

专心

4

【009】一次函数 y ? ax ? b 的图象分别与 x 轴、 y 轴交于点 M , N ,与反比例函数 y ?

k 的图象相 x

交于点 A, B . 过点 A 分别作 AC ? x 轴,AE ? y 轴, 垂足分别为 C , E ; 过点 B 分别作 BF ? x 轴,

BD ? y 轴,垂足分别为 F,D, 与 BD 交于点 K ,连接 CD . AC
(1)若点 A,B 在反比例函数 y ? ① S四边形AEDK ? S四边形CFBK ; ② AN ? BM . (2)若点 A,B 分别在反比例函数 y ? 吗?试证明你的结论. y N E D
A( x1,y1 ) B( x2,y2 )

k 的图象的同一分支上,如图 1,试证明: x

k 的图象的不同分支上,如图 2,则 AN 与 BM 还相等 x

y E N F M x
B( x3,y3 )
A( x1,y1 )

K O C F M

O

C K D

x

(图 1)
2

(图 2)

【010】 如图, 抛物线 y ? ax ? bx ? 3 与 x 轴交于 A B 两点, y 轴交于 C 点, 与 且经过点 (2, 3a) , , ? 对称轴是直线 x ? 1 ,顶点是 M . (1)求抛物线对应的函数表达式; ( 2 ) 经 过 C,M 两 点 作 直 线 与 x 轴 交 于 点 N , 在 抛 物 线 上 是 否 存 在 这 样 的 点 P , 使 以 点 P,A C N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理 , , 由; (3)设直线 y ? ? x ? 3 与 y 轴的交点是 D ,在线段 BD 上任取一点 E (不与 B,D 重合) ,经过

A B,E 三点的圆交直线 BC 于点 F ,试判断 △AEF 的形状,并说明理由; ,
(4)当 E 是直线 y ? ? x ? 3 上任意一点时, (3)中的结论是否成立?(请直接写出结论) . y

A O 1
?3 C

B

x

M

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专心

5

【011】已知正方形 ABCD 中,E 为对角线 BD 上一点,过 E 点作 EF⊥BD 交 BC 于 F,连接 DF,G 为

DF 中点,连接 EG,CG.
(1)求证:EG=CG; (2)将图①中△BEF 绕 B 点逆时针旋转 45?,如图②所示,取 DF 中点 G,连接 EG,CG.问(1) 中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由. (3)将图①中△BEF 绕 B 点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结 论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)
A D A G G E E F F E D A D

B ①

F

C

B ②

C

B ③

C

【012】如图,在平面直角坐标系 xOy 中,半径为 1 的圆的圆心 O 在坐标原点,且与两坐标轴分别 交于 A、B、C、D 四点.抛物线 y ? ax ? bx ? c 与 y 轴交于点 D ,与直线 y ? x 交于点 M、N ,
2

且 MA、NC 分别与圆 O 相切于点 A 和点 C . (1)求抛物线的解析式; (2)抛物线的对称轴交 x 轴于点 E ,连结 DE ,并延长 DE 交圆 O 于 F ,求 EF 的长. (3)过点 B 作圆 O 的切线交 DC 的延长线于点 P ,判断点 P 是否在抛物线上,说明理由. y D E C F B x N

A M

O

爱心

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专心

6

【013】如图,抛物线经过 A(4,,B(1 0) C (0, 2) 三点. 0) ,, ? (1)求出抛物线的解析式; (2)P 是抛物线上一动点,过 P 作 PM ? x 轴,垂足为 M,是否存在 P 点,使得以 A,P,M 为 顶点的三角形与 △OAC 相似?若存在,请求出符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)在直线 AC 上方的抛物线上有一点 D,使得 △DCA 的面积最大,求出点 D 的坐标. y

O B 1
?2

4A

x

C

【014】在平面直角坐标中,边长为 2 的正方形 OABC 的两顶点 A 、 C 分别在 y 轴、 x 轴的正半轴 上,点 O 在原点.现将正方形 OABC 绕 O 点顺时针旋转,当 A 点第一次落在直线 y ? x 上时停止旋 转,旋转过程中, AB 边交直线 y ? x 于点 M , BC 边交 x 轴于点 N (如图). (1)求边 OA 在旋转过程中所扫过的面积; (2)旋转过程中,当 MN 和 AC 平行时,求正方形 OABC 旋转的度数; (3)设 ?MBN 的周长为 p ,在旋转正方形 OABC 的过程中, p 值是否有变化?请证明你的结论.

y y?x
A M B

O C
(第 26 题)

N

x

爱心

用心

专心

7

【015】如图,二次函数的图象经过点 D(0, 7 3 ),且顶点 C 的横坐标为 4,该图象在 x 轴上截得 9 的线段 AB 的长为 6. ⑴求二次函数的解析式; ⑵在该抛物线的对称轴上找一点 P,使 PA+PD 最小,求出点 P 的坐标; ⑶在抛物线上是否存在点 Q, 使△QAB 与△ABC 相似?如果存在, 求出点 Q 的坐标; 如果不存在, 请说明理由.

【016】如图 9,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A(3, . 3) (1)求正比例函数和反比例函数的解析式; (2)把直线 OA 向下平移后与反比例函数的图象交于点 B(6,m) ,求 m 的值和这个一次函数的解 析式; (3)第(2)问中的一次函数的图象与 x 轴、 y 轴分别交于 C、D,求过 A、B、D 三点的二次函数 的解析式; (4)在第(3)问的条件下,二次函数的图象上是否存在点 E,使四边形 OECD 的面积 S1 与四边形 OABD 的面积 S 满足: S1 ? 若不存在,请说明理由. 3

2 S ?若存在,求点 E 的坐标; 3

y A B O 3 C 6 x

D

爱心

用心

专心

8

【017】如图,已知抛物线 y ? x ? bx ? c 经过 A(1 0) , B(0, 两点,顶点为 D . , 2)
2

(1)求抛物线的解析式; (2)将 △OAB 绕点 A 顺时针旋转 90°后,点 B 落到点 C 的位置,将抛物线沿 y 轴平移后经过点

C ,求平移后所得图象的函数关系式;
(3)设(2)中平移后,所得抛物线与 y 轴的交点为 B1 ,顶点为 D1 ,若点 N 在平移后的抛物线上, 且满足 △ NBB1 的面积是 △NDD1 面积的 2 倍,求点 N 的坐标. y

B

O

A D

x

【018】如图,抛物线 y ? ax ? bx ? 4a 经过 A(?1 0) 、 C (0, 两点,与 x 轴交于另一点 B . , 4)
2

(1)求抛物线的解析式; (2)已知点 D(m,m ? 1) 在第一象限的抛物线上,求点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标; (3)在(2)的条件下,连接 BD ,点 P 为抛物线上一点,且 ?DBP ? 45° ,求点 P 的坐标. y

C

A O

B

x

爱心

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专心

9

【019】如图所示,将矩形 OABC 沿 AE 折叠,使点 O 恰好落在 BC 上 F 处,以 CF 为边作正方形 CFGH, 延长 BC 至 M,使 CM=|CF—EO|,再以 CM、CO 为边作矩形 CMNO (1)试比较 EO、EC 的大小,并说明理由 (2)令 m ?

S四边形 CFGH

S四边形 CNMN;

,请问 m 是否为定值?若是,请求出 m 的值;若不是,请说明理由

(3)在(2)的条件下,若 CO=1,CE=

1 2 2 ,Q 为 AE 上一点且 QF= ,抛物线 y=mx +bx+c 经过 C、Q 3 3

两点,请求出此抛物线的解析式. 2 (4)在(3)的条件下,若抛物线 y=mx +bx+c 与线段 AB 交于点 P,试问在直线 BC 上是否存在点 K, 使得以 P、B、K 为顶点的三角形与△AEF 相似?若存在,请求直线 KP 与 y 轴的交点 T 的坐标?若 不存在,请说明理由。

【020】如图甲,在△ABC 中,∠ACB 为锐角,点 D 为射线 BC 上一动点,连结 AD,以 AD 为一边且 在 AD 的右侧作正方形 ADEF。 解答下列问题: (1)如果 AB=AC,∠BAC=90°,①当点 D 在线段 BC 上时(与点 B 不重合) ,如图乙,线段 CF、 BD 之间的位置关系为 ,数量关系为 。 ②当点 D 在线段 BC 的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么? (2)如果 AB≠AC,∠BAC≠90°点 D 在线段 BC 上运动。 试探究:当△ABC 满足一个什么条件时,CF⊥BC(点 C、F 重合除外)?画出相应图形,并说 明理由。 (画图不写作法) (3)若 AC=4 2 ,BC=3,在(2)的条件下,设正方形 ADEF 的边 DE 与线段 CF 相交于点 P,求 线段 CP 长的最大值。

爱心

用心

专心

10

【021】如图,点 P 是双曲线 y ?

k1 x

(k1 ? 0,x ? 0) 上一动点,过点 P 作 x 轴、y 轴的垂线,分别
k2 (0<k2<|k1|)于 E、F 两点. x

交 x 轴、y 轴于 A、B 两点,交双曲线 y =

(1)图 1 中,四边形 PEOF 的面积 S1= ▲ (用含 k1、k2 的式子表示); (2)图 2 中,设 P 点坐标为(-4,3) . ①判断 EF 与 AB 的位置关系,并证明你的结论; ②记 S2 ? S?PEF ? S?OEF ,S2 是否有最小值?若有,求出其最小值;若没有,请说明理由。

【022】一开口向上的抛物线与 x 轴交于 A(m-2,0),B(m+2,0)两点,记抛物线顶点为 C,且 AC ⊥BC. (1)若 m 为常数,求抛物线的解析式; (2)若 m 为小于 0 的常数,那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点? (3)设抛物线交 y 轴正半轴于 D 点,问是否存在实数 m,使得△BCD 为等腰三角形?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由. y
D

O A C

B

x

爱心

用心

专心

11

【023】如图,在梯形 ABCD 中, AD ∥ BC,AD ? 2,BC ? 4, M 是 AD 的中点,△MBC 是 点 等边三角形. (1)求证:梯形 ABCD 是等腰梯形; (2) 动点 P 、Q 分别在线段 BC 和 MC 上运动, ∠MPQ ? 60? 保持不变. PC ? x,MQ ? y, 且 设 求 y 与 x 的函数关系式; (3)在(2)中:①当动点 P 、 Q 运动到何处时,以点 P 、 M 和点 A 、 B 、 C 、 D 中的两个点 为顶点的四边形是平行四边形?并指出符合条件的平行四边形的个数;②当 y 取最小值时,判断 M A D △PQC 的形状,并说明理由.

60° B P

Q

C

【024】如图,已知 ?ABC 为直角三角形, ?ACB ? 90? , AC ? BC ,点 A 、C 在 x 轴上,点 B 坐 标为( 3 ,m ) m ? 0 ) ( ,线段 AB 与 y 轴相交于点 D ,以 P (1,0)为顶点的抛物线过点 B 、 D . (1)求点 A 的坐标(用 m 表示) ; (2)求抛物线的解析式; (3)设点 Q 为抛物线上点 P 至点 B 之间的一动点,连结 PQ 并延长交 BC 于点 E ,连结 BQ 并 延长交 AC 于点 F ,试证明: FC ( AC ? EC ) 为定值.

y
B

E Q D O

A

P

F

C

x

爱心

用心

专心

12

【025】如图 12,直线 y ? ? x ? 4 与两坐标轴分别相交于 A、B 点,点 M 是线段 AB 上任意一点(A、 B 两点除外) ,过 M 分别作 MC⊥OA 于点 C,MD⊥OB 于 D. (1)当点 M 在 AB 上运动时,你认为四边形 OCMD 的周长是否发生变化?并说明理由; (2)当点 M 运动到什么位置时,四边形 OCMD 的面积有最大值?最大值是多少? (3)当四边形 OCMD 为正方形时,将四边形 OCMD 沿着 x 轴的正方向移动,设平移的距离为

a(0 ? a ? 4) ,正方形 OCMD 与△AOB 重叠部分的面积为 S.试求 S 与 a 的函数关系式并画出该函
数的图象. y B D M B y B y

O

C

A

x

O

A 图 12 2) (

x

O

A 图 12 3) (

x

图 12 1) (

【026】如图 11,在△ABC 中,∠C=90°,BC=8,AC=6,另有一直角梯形 DEFH (HF∥DE,∠HDE=90°)的底边 DE 落在 CB 上,腰 DH 落在 CA 上,且 DE=4,∠DEF=∠CBA,AH∶AC=2∶3 (1)延长 HF 交 AB 于 G,求△AHG 的面积.? (2)操作:固定△ABC,将直角梯形 DEFH 以每秒 1 个 单位的速度沿 CB 方向向右移动,直到点 D 与点 B 重合时停止,设运动的时间为 t 秒,运动后的直角梯 形为 DEFH′(如图 12).? 探究 1:在运动中,四边形 CDH′H 能否为正方形?若能, 请求出此时 t 的值;若不能,请说明理由.? 探究 2:在运动过程中,△ABC 与直角梯形 DEFH′重叠 部分的面积为 y,求 y 与 t 的函数关系.??

爱心

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专心

13

【027】阅读材料: 如图 12-1,过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间 的距离叫△ABC 的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅 垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法:S ?ABC ? 平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题: 如图 12-2,抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交 x 轴于点 A(3,0),交 y 轴于点 B. (1)求抛物线和直线 AB 的解析式; (2)点 P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结 PA,PB,当 P 点运动到顶点 C 时,求△CAB 的铅垂高 CD 及 S ?CAB ; (3)是否存在一点 P,使 S△PAB=
y C B D 1 O 1 A x

1 ah ,即三角形面积等于水 2

9 S△CAB,若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,请说明理由. 8

图 12-2

【028】如图,已知抛物线与 x 交于 A(-1,0)、E(3,0)两点,与 y 轴交于点 B(0,3)。 (1) 求抛物线的解析式; (2) 设抛物线顶点为 D,求四边形 AEDB 的面积; (3) △AOB 与△DBE 是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。

爱心

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14

【029】已知二次函数 y ? x ? ax ? a ? 2 。
2

(1)求证:不论 a 为何实数,此函数图象与 x 轴总有两个交点。 (2)设 a<0,当此函数图象与 x 轴的两个交点的距离为 13 时,求出此二次函数的解析式。 (3)若此二次函数图象与 x 轴交于 A、B 两点,在函数图象上是否存在点 P,使得△PAB 的面积为

3 13 ,若存在求出 P 点坐标,若不存在请说明理由。 2

【030】如图,已知射线 DE 与 x 轴和 y 轴分别交于点 D(3, 和点 E (0, .动点 C 从点 M (5, 出 0) 4) 0) 发,以 1 个单位长度/秒的速度沿 x 轴向左作匀速运动,与此同时,动点 P 从点 D 出发,也以 1 个 单位长度/秒的速度沿射线 DE 的方向作匀速运动.设运动时间为 t 秒. (1)请用含 t 的代数式分别表示出点 C 与点 P 的坐标; (2)以点 C 为圆心、 t 个单位长度为半径的 ⊙C 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧) ,连 接 PA、PB. ①当 ⊙C 与射线 DE 有公共点时,求 t 的取值范围; ②当 △PAB 为等腰三角形时,求 t 的值. E

1 2

y

P O DA C BM x

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15

【031】已知直角坐标系中菱形 ABCD 的位置如图,C,D 两点的坐标分别为(4,0),(0,3). 现有两动点 P,Q 分别从 A,C 同时出发,点 P 沿线段 AD 向终点 D 运动,点 Q 沿折线 CBA 向终点 A 运动,设运动时间为 t 秒. (1)填空:菱形 ABCD 的边长是 ▲ 、面积是 ▲ (2)探究下列问题: ①若点 P 的速度为每秒 1 个单位, Q 的速度为每秒 2 个单位.当点 Q 在线段 BA 上时, 点 求△APQ 的面积 S 关于 t 的函数关系式,以及 S 的最大值; ②若点 P 的速度为每秒 1 个单位,点 Q 的速度变为每秒 k 个单位,在运动过程中,任何时刻都 有相应的 k 值,使得△APQ 沿它的一边翻折,翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当 、 高 BE 的长是 ▲ ;

t=4 秒时的情形,并求出 k 的值。
y D

E A O C x

B

【032】如图,已知 A、B 是线段 MN 上的两点, MN ? 4 , MA ? 1 , MB ? 1 .以 A 为中心顺时针旋 转点 M,以 B 为中心逆时针旋转点 N,使 M、N 两点重合成一点 C,构成△ABC,设 AB ? x . (1)求 x 的取值范围; (2)若△ABC 为直角三角形,求 x 的值; (3)探究:△ABC 的最大面积? M A B N C

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16

【033】已知抛物线 y ? x ? 2 x ? a ( a ? 0 )与 y 轴相交于点 A ,顶点为 M .直线 y ?
2

1 x?a分 2

别与 x 轴, y 轴相交于 B,C 两点,并且与直线 AM 相交于点 N . (1)填空:试用含 a 的代数式分别表示点 M 与 N 的坐标,则 M ?



?,N ?



?;

(2)如图,将 △NAC 沿 y 轴翻折,若点 N 的对应点 N ′恰好落在抛物线上, AN ′与 x 轴交于点

D ,连结 CD ,求 a 的值和四边形 ADCN 的面积;
(3)在抛物线 y ? x ? 2 x ? a ( a ? 0 )上是否存在一点 P ,使得以 P,A C,N 为顶点的四边形 ,
2

是平行四边形?若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,试说明理由. y C N B A M 第(2)题 O D N′ x B A M 备用图 N C O x y

【034】 P 为 △ABC 所在平面上一点, ?APB ? ?BPC ? ?CPA ? 120° , 若 且 则点 P 叫做 △ABC 的费马点. ( 1 ) 若 点 P 为 锐 角 △ABC 的 费 马 点 , 且 ?ABC ? 60° PA ? 3,PC ? 4 , 则 PB 的 值 为 , ________; A B? (2)如图,在锐角 △ABC 外侧作等边 △ACB ′连结 BB ′. 求证: BB ′过 △ABC 的费马点 P ,且 BB ′= PA ? PB ? PC . B C 第(25)题

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专心

17

【035】如图①,正方形 ABCD 中,点 A、B 的坐标分别为(0,10)(8,4) , , 点 C 在第一象限.动点 P 在正方形 ABCD 的边上,从点 A 出发沿 A→B→C→D 匀速运动, 同时动点 Q 以相同速度在 x 轴正半轴上运动,当 P 点到达 D 点时,两点同时停止运动, 设运动的时间为 t 秒.

(1)当 P 点在边 AB 上运动时,点 Q 的横坐标 x (长度单位)关于运动时间 t(秒)的 函数图象如图②所示,请写出点 Q 开始运动时的坐标及点 P 运动速度;
(2)求正方形边长及顶点 C 的坐标; (3)在(1)中当 t 为何值时,△OPQ 的面积最大,并求此时 P 点的坐标;

(4)如果点 P、Q 保持原速度不变,当点 P 沿 A→B→C→D 匀速运动时,OP 与 PQ 能否相
等,若能,写出所有符合条件的 t 的值;若不能,请说明理由.

【036】已知:如图,在平面直角坐标系 xOy 中,矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上,OC 在 x 轴 的正半轴上,OA=2,OC=3.过原点 O 作∠AOC 的平分线交 AB 于点 D,连接 DC,过点 D 作 DE⊥DC, 交 OA 于点 E. (1)求过点 E、D、C 的抛物线的解析式; (2)将∠EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后,角的一边与 y 轴的正半轴交于点 F,另一边与线段 OC 交于点 G.如果 DF 与(1)中的抛物线交于另一点 M,点 M 的横坐标为

6 ,那么 EF=2GO 是否成立? 5

若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由; (3)对于(2)中的点 G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q,使得直线 GQ 与 AB 的交 点 P 与点 C、G 构成的△PCG 是等腰三角形?若存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. y A E x D B

O 26 题图

C

爱心

用心

专心

18

【037】 已知平行于 x 轴的直线 y ? a(a ? 0) 与函数 y ? x 和函数 y ? 又有定点 P(2,0) (1)若 a ? 0 ,且 tan∠POB=

1 的图像分别交于点 A 和点 B, x

1 ,求线段 AB 的长; 9 8 ,且在它的对称轴左边 3

(2)在过 A,B 两点且顶点在直线 y ? x 上的抛物线中,已知线段 AB= 时,y 随着 x 的增大而增大,试求出满足条件的抛物线的解析式; (3)已知经过 A,B,P 三点的抛物线,平移后能得到 y ? 离。

9 2 x 的图像,求点 P 到直线 AB 的距 5

【038】如图 1,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点 A 的坐标为(-8,0) ,直线 BC 经过点 B (-8,6) ,将四边形 OABC 绕点 O 按顺时针方向旋转α 度得到四边形 OA′B′C′,此时声母 OA′、 直线 B′C′分别与直线 BC 相交于 P、Q. (1)四边形的形状是 , 当α =90°时,

BP 的值是 PQ



(2)①如图 2,当四边形 OA′B′C′的顶点 B′落在 y 轴正半轴上时,求

BP 的值; PQ

②如图 3,当四边形 OA′B′C′的顶点 B′落在直线 BC 上时,求Δ OPB′的面积. (3)在四边形 OABC 旋转过程中,当 0 ? ? ? 180 时,是否存在这样的点 P 和点 Q,使 BP=
0 0

1 BQ ? 2

若存在,请直接写出点 P 的坐标;基不存在,请说明理由.

爱心

用心

专心

19

【039】如图,已知点 A(-4,8)和点 B(2,n)在抛物线 y ? ax2 上. (1) 求 a 的值及点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标,并在 x 轴上找一点 Q,使得 AQ+QB 最短,求 出点 Q 的坐标; (2) 平移抛物线 y ? ax2 ,记平移后点 A 的对应点为 A′,点 B 的对应点为 B′,点 C(-2,0) 和点 D(-4,0)是 x 轴上的两个定点. ① 当抛物线向左平移到某个位置时,A′C+CB′ 最短,求此时抛物线的函数解析式; ② 当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形 A′B′CD 的周长最短? 若存在,求出此时抛物线的函数解析式;若不存在,请说明理由.
A y 8 6 4 2 C D -4 -2 O -2 -4 B 2 4 x

(第 24 题)

【040】 ABC 与△ A?B?C ? 是两个直角边都等于 4 厘米的等腰直角三角形, N 分别是直角边 AC、 △ M、 BC 的中点。△ ABC 位置固定,△ A?B?C ? 按如图叠放,使斜边 A?B? 在直线 MN 上,顶点 B? 与点 M 重合。等腰直角△ A?B?C ? 以 1 厘米/秒的速度沿直线 MN 向右平移,直到点 A? 与点 N 重合。设 x 秒 时,△ A?B?C ? 与△ ABC 重叠部分面积为 y 平方厘米。 (1)当△ A?B?C ? 与△ ABC 重叠部分面积为 (2)求 y 与 x 的函数关系式; (3)求△ A?B?C ? 与△ ABC 重叠部分面积的最大值。

3 2 平方厘米时,求△ A?B?C? 移动的时间; 2

备用图

爱心

用心

专心

20

【041】 某公交公司的公共汽车和出租车每天从乌鲁木齐市出发往返于乌鲁木齐市和石河子市两地, 出租车比公共汽车多往返一趟,如图表示出租车距乌鲁木齐市的路程 y (单位:千米)与所用时间

x (单位:小时)的函数图象.已知公共汽车比出租车晚 1 小时出发,到达石河子市后休息 2 小时,
然后按原路原速返回,结果比出租车最后一次返回乌鲁木齐早 1 小时. (1)请在图中画出公共汽车距乌鲁木齐市的路程 y (千米)与所用时间 x (小时)的函数图象. (2)求两车在途中相遇的次数(直接写出答案) (3)求两车最后一次相遇时,距乌鲁木齐市的路程. y(千米) 150 100 50

?1

0

1

2

3

4

5

6

7

8 x(小时)

【042】如图 9,在矩形 OABC 中,已知 A 、 C 两点的坐标分别为 A(4,、C (0, , D 为 OA 的 0) 2) 中点.设点 P 是 ?AOC 平分线上的一个动点(不与点 O 重合) . (1)试证明:无论点 P 运动到何处, PC 总与 PD 相等; (2)当点 P 运动到与点 B 的距离最小时,试确定过 O、P、D 三点的抛物线的解析式; (3)设点 E 是(2)中所确定抛物线的顶点,当点 P 运动到何处时, △PDE 的周长最小?求出 此时点 P 的坐标和 △PDE 的周长; (4)设点 N 是矩形 OABC 的对称中心,是否存在点 P ,使 ?CPN ? 90° ?若存在,请直接写 出点 P 的坐标. y
C (0, 2)

B P

O

D 图9

A(4, 0)

x

爱心

用心

专心

21

, 【043】已知函数 y1 ? x,y2 ? x ? bx ? c,?,? 为方程 y1 ? y2 ? 0 的两个根,点 M ?1 T ? 在函
2

数 y2 的图象上. (Ⅰ)若 ? ? ,? ?

1 3

1 ,求函数 y2 的解析式; 2 1 12

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若函数 y1 与 y2 的图象的两个交点为 A,B ,当 △ABM 的面积为 时,求 t 的值;

(Ⅲ)若 0 ? ? ? ? ? 1 ,当 0 ? t ? 1 时,试确定 T,?,? 三者之间的大小关系,并说明理由.

1 2 x –2x+1 的顶点为 P,A 为抛物线与 y 轴的交点,过 A 与 y 轴垂 2 直的直线与抛物线的另一交点为 B,与抛物线对称轴交于点 O′,过点 B 和 P 的直线 l 交 y 轴于点 C,连结 O′C,将△ACO′沿 O′C 翻折后,点 A 落在点 D 的位置.

【044】如图 9,已知抛物线 y=

(1) 求直线 l 的函数解析式; (2) 求点 D 的坐标; (3) 抛物线上是否存在点 Q,使得 S△DQC= S△DPB? 若存在,求出所有符合条件的点 Q 的坐标;若 不存在,请说明理由.

图9

爱心

用心

专心

22

【045】如图,已知直线 y ?

1 1 x ? 1 与 y 轴交于点 A,与 x 轴交于点 D,抛物线 y ? x 2 ? bx ? c 与 2 2

直线交于 A、E 两点,与 x 轴交于 B、C 两点,且 B 点坐标为 (1,0)。 ⑴求该抛物线的解析式; ⑵动点 P 在轴上移动,当△PAE 是直角三角形时,求点 P 的坐标 P。 ⑶在抛物线的对称轴上找一点 M,使 | AM ? MC | 的值最大,求出点 M 的坐标。

【046】如图,已知直线 l1 : y ?

2 8 x ? 与直线 l2 : y ? ?2 x ? 16 相交于点 C,l1、l2 分别交 x 轴于 3 3

A、B 两点.矩形 DEFG 的顶点 D、E 分别在直线 l1、l2 上,顶点 F、G 都在 x 轴上,且点 G 与
点 B 重合. (1)求 △ABC 的面 积; (2)求矩形 DEFG 的边 DE 与 EF 的长; (3)若矩形 DEFG 从原点出发,沿 x 轴的反方向以每秒 1 个单位长度的速度平移,设移动时 间为 t (0 ≤ t ≤12) 秒,矩形 DEFG 与 △ABC 重叠部分的面积为 S ,求 S 关于 t 的函数关系 式,并写出相应的 t 的取值范围.

y
y

l2
E C D

l1
y

A O

B F (G) x

爱心

用心

专心

23

【047】如图(1) ,将正方形纸片 ABCD 折叠,使点 B 落在 CD 边上一点 E (不与点 C , D 重合) , 压平后得到折痕 MN .当 方法指导: 为了求得

CE 1 AM 的值. ? 时,求 CD 2 BN

AM 的值,可先求 BN 、 AM 的长,不妨设: AB =2 BN

类比归纳 在图(1)中,若 于

CE 1 AM 则 的值等于 ? , CD 3 BN CE 1 AM ;若 ,则 的值等于 ? ( n 为整数) CD n BN

;若

CE 1 AM 则 的值等 ? , CD 4 BN

. (用含 n 的式子表示)

联系拓广 如图(2) ,将矩形纸片 ABCD 折叠,使点 B 落在 CD 边上一点 E (不与点 C,D 重合) ,压平 后得到折痕 MN, 设 示) A M F D A M

AB 1 CE 1 AM 则 的值等于 ? ? m ? 1?, ? , BC m CD n BN
F

. (用含 m n 的式子表 ,

D E

E B N 图(2) C

B

N 图(1)

C

【048】如图 11,抛物线 y ? a( x ? 3)( x ? 1) 与 x 轴相交于 A、B 两点(点 A 在点 B 右侧) ,过点 A 的直线交抛物线于另一点 C,点 C 的坐标为(-2,6). (1)求 a 的值及直线 AC 的函数关系式; (2)P 是线段 AC 上一动点,过点 P 作 y 轴的平行线,交抛物线于点 M,交 x 轴于点 N. ①求线段 PM 长度的最大值; ②在抛物线上是否存在这样的点 M,使得△CMP 与△APN 相似?如果存在, 请直接写出所有满足条件的点 M 的坐标 (不 必写解答过程) ;如果不存在,请说明理由。

爱心

用心

专心

24

【049】已知:抛物线 y ? ax ? bx ? c ? a ? 0 ? 的对称轴为 x ? ?1 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴 ,
2

? 0 交于点 C, 其中 A ? ?3,? 、 C ? 0, 2 ?.
(1)求这条抛物线的函数表达式. (2)已知在对称轴上存在一点 P,使得 △PBC 的周长最小.请求出点 P 的坐标. (3)若点 D 是线段 OC 上的一个动点(不与点 O、点 C 重合) .过点 D 作 DE ∥ PC 交 x 轴于点 E. 连接 PD 、 PE .设 CD 的长为 m , △PDE 的面积为 S .求 S 与 m 之间的函数关系式.试说明 S 是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由. y

A

O

B

x

C

【050】如图,在梯形 ABCD 中, AD ∥ BC , AD ? 6cm ,CD ? 4cm , BC ? BD ? 10cm ,点 P 由 B 出发沿 BD 方向匀速运动,速度为 1cm/s;同时,线段 EF 由 DC 出发沿 DA 方向匀速运动,速度 为 1cm/s,交 BD 于 Q,连接 PE.若设运动时间为 t (s) 0 ? t ? 5 ) ( .解答下列问题: (1)当 t 为何值时, PE ∥ AB ? (2)设 △PEQ 的面积为 y (cm ) ,求 y 与 t 之间的函数关系式;
2

2 S△BCD ?若存在,求出此时 t 的值;若不存在,说明理由. 25 (4)连接 PF ,在上述运动过程中,五边形 PFCDE 的面积是否发生变化?说明理由.
(3) 是否存在某一时刻 t ,使 S△ PEQ ? A P B F C E Q D

爱心

用心

专心

25

【051】如图 14(1) ,抛物线 y ? x ? 2 x ? k 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C(0,?3 )[图 .
2

14(2) 、图 14(3)为解答备用图] (1) k ? ,点 A 的坐标为
2

,点 B 的坐标为



(2)设抛物线 y ? x ? 2 x ? k 的顶点为 M,求四边形 ABMC 的面积; (3)在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点 D,使四边形 ABDC 的面积最大?若存在,请求出点 D 的 坐标;若不存在,请说明理由; (4)在抛物线 y ? x ? 2 x ? k 上求点 Q,使△BCQ 是以 BC 为直角边的直角三角形.
2

图 14(1)

图 14(2)

图 14(3)

【052】已知二次函数 y ? ax ? bx ? c ( a ? 0 )的图象经过点 A(1 0) , B(2, , C (0, 2) ,直 , 0) ?
2

线 x ? m ( m ? 2 )与 x 轴交于点 D . (1)求二次函数的解析式; (2)在直线 x ? m ( m ? 2 )上有一点 E (点 E 在第四象限) ,使得 E、D、B 为顶点的三角形与 以 A、O、C 为顶点的三角形相似,求 E 点坐标(用含 m 的代数式表示) ; (3)在(2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点 F ,使得四边形 ABEF 为平行四边形?若存 在,请求出 m 的值及四边形 ABEF 的面积;若不存在,请说明理由. y

O

x

爱心

用心

专心

26

【053】 如图所示, 在平面直角坐标系中, 抛物线 y ? ax ? bx ? c( a ? 0 ) 经过 A(?1 0) ,B(3, , , 0)
2

,过点 P 作 C (0, 三点,其顶点为 D ,连接 BD ,点 P 是线段 BD 上一个动点(不与 B、D 重合) 3)

y 轴的垂线,垂足为 E ,连接 BE .
(1)求抛物线的解析式,并写出顶点 D 的坐标; (2)如果 P 点的坐标为 ( x,y) ,△PBE 的面积为 s ,求 s 与 x 的函数关系式,写出自变量 x 的取 值范围,并求出 s 的最大值; (3)在(2)的条件下,当 s 取得最大值时,过点 P 作 x 的垂线,垂足为 F ,连接 EF ,把 △PEF 沿直线 EF 折叠,点 P 的对应点为 P? ,请直接写出 P? 点坐标,并判断点 P? 是否在该抛物线上. y D

A ?3 ?2 ?1 O

C 3 2 E 1

P B 3 x

1 2 ?1

【054】如图,在直角坐标系中,矩形 ABCD 的边 AD 在 y 轴正半轴上,点 A、C 的坐标分 别为(0,1)(2,4) 、 .点 P 从点 A 出发,沿 A→B→C 以每秒 1 个单位的速度运动,到 点 C 停止;点 Q 在 x 轴上,横坐标为点 P 的横、纵坐标之和.抛物线 y ? ?

1 2 x ? bx ? c 4

经过 A、C 两点.过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M,交抛物线于点 R.设点 P 的运动时间为 t(秒) , △PQR 的面积为 S(平方单位) . (1)求抛物线对应的函数关系式. (2)分别求 t=1 和 t=4 时,点 Q 的坐标. (3)当 0< t ≤5 时,求 S 与 t 之间的函数关系式,并直接写出 S 的最大值.

爱心

用心

专心

27

【055】在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限,斜靠在两坐标轴上, 且点 A(0, ,点 C (?1 0) ,如图所示:抛物线 y ? ax ? ax ? 2 经过点 B . 2) ,
2

(1)求点 B 的坐标; (2)求抛物线的解析式; (3)在抛物线上是否还存在点 P (点 B 除外) ,使 △ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角 形?若存在,求所有点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. y A(0,2) B C(-1,0) x

(第 25 题)

【056】如图 18,抛物线 F: y ? ax ? bx ? c 的顶点为 P,抛物线:与 y 轴交于点 A,与直线 OP
2

交于点 B .过点 P 作 PD ⊥ x 轴于点 D ,平移抛物线 F 使其经过点 A 、 D 得到抛物线 F ′:

y ? a? x 2 ? b? x ? c? ,抛物线 F′与 x 轴的另一个交点为 C.
⑴当 a = 1,b=-2,c = 3 时,求点 C 的坐标(直接写出答案); ⑵若 a、b、c 满足了 b ? 2ac
2

y

①求 b:b′的值; ②探究四边形 OABC 的形状,并说明理由.
A P O D

B

C

x

图 18

爱心

用心

专心

28

【 057 】 直 线 y ? kx ? b(k ? 0) 与 坐 标 轴 分 别 交 于 A 、 B 两 点 , OA 、 OB 的 长 分 别 是 方 程 ,动点 P 从 O 点出发,沿路线 O → B → A 以每秒 1 个单位 x 2 ? 14 x ? 48 ? 0 的两根( OA ? OB ) 长度的速度运动,到达 A 点时运动停止. (1)直接写出 A 、 B 两点的坐标; (2)设点 P 的运动时间为 t (秒), ?OPA 的面积为 S ,求 S 与 t 之间的函数关系式(不必写 出自变量的取值范围) ; (3) S ? 12 时, 当 直接写出点 P 的坐标, 此时, 在坐标轴上是否存在点 M , 使以 O 、A 、P 、 M 为顶点的四边形是梯形?若存在,请直接写出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

y B

P O A x

【058】如图,已知抛物线 y ? x ? 1 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C.
2

(1)求 A、B、C 三点的坐标. (2)过点 A 作 AP∥CB 交抛物线于点 P,求四边形 ACBP 的面积. (3)在 x 轴上方的抛物线上是否存在一点 M,过 M 作 MG ? x 轴于点 G,使以 A、M、G 三点为顶 点的三角形与 ? PCA 相似.若存在,请求出 M 点的坐标;否则,请说明理由.

y
P

A

o
C

B

x

爱心

用心

专心

29

【059】如图(1),已知正方形 ABCD 在直线 MN 的上方,BC 在直线 MN 上,E 是 BC 上一点,以 AE 为边在直线 MN 的上方作正方形 AEFG. (1)连接 GD,求证:△ADG≌△ABE;(4 分) (2)连接 FC,观察并猜测∠FCN 的度数,并说明理由;(4 分) (3)如图(2) ,将图(1)中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD,AB=a,BC=b(a、b 为常数) E 是线 , 段 BC 上一动点(不含端点 B、C) ,以 AE 为边在直线 MN 的上方作矩形 AEFG,使顶点 G 恰好落在射 线 CD 上.判断当点 E 由 B 向 C 运动时,∠FCN 的大小是否总保持不变,若∠FCN 的大小不变,请用 含 a、b 的代数式表示 tan∠FCN 的值;若∠FCN 的大小发生改变,请举例说明.(5 分) G D G

A

D F

F

M B

E 图(1)

C

N

M

B

E 图(2)

C

N

【060】 已知: 如图所示, 关于 x 的抛物线 y ? ax ? x ? c(a ? 0) 与 x 轴交于点 A(?2, 、 B( 0 , 0) 点 6 ),
2

与 y 轴交于点 C . (1)求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标; (2)在抛物线上有一点 D ,使四边形 ABDC 为等腰梯形,写出点 D 的坐标,并求出直线 AD 的 解析式; (3) (2) 在 中的直线 AD 交抛物线的对称轴于点 M , 抛物线上有一动点 P ,x 轴上有一动点 Q . 是 否存在以 A、M、P、Q 为顶点的平行四边形?如果存在,请直接写出点 Q 的坐标;如果不存在, 请说明理由. C y

A

O (第 26 题图)

B

x

爱心

用心

专心

30

【061】如图已知直线 L: y ?

3 x ? 3 ,它与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B 两点。 4

(1)求点 A、点 B 的坐标。 (2)设 F 为 x 轴上一动点,用尺规作图作出⊙P,使⊙P 经过点 B 且与 x 轴相切于点 F(不写作法, 保留作图痕迹) 。 (3)设 92)中所作的⊙P 的圆心坐标为 P(x,y) ,求 y 关于 x 的函数关系式。 (4)是否存在这样的⊙P,既与 x 轴相切又与直线 L 相切于点 B,若存在,求出圆心 P 的坐标,若 不存在,请说明理由。

爱心

用心

专心

31

【062】如图 13-1 至图 13-5,⊙O 均作无滑动滚动,⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4 均表示⊙O 与线段 AB 或

BC 相切于端点时刻的位置,⊙O 的周长为 c.
阅读理解: (1)如图 13-1,⊙O 从⊙O1 的位置出发,沿 AB 滚动到 ⊙O2 的位置,当 AB = c 时,⊙O 恰好自转 1 周. (2)如图 13-2,∠ABC 相邻的补角是 n°,⊙O 在 ∠ABC 外部沿 A-B-C 滚动,在点 B 处,必须由 ⊙O1 的位置旋转到⊙O2 的位置,⊙O 绕点 B 旋 n 转的角∠O1BO2 = n°,⊙O 在点 B 处自转 周. 360 实践应用: (1)在阅读理解的(1)中,若 AB = 2c,则⊙O 自 转 周;若 AB = l,则⊙O 自转 周.在

O1 A

O

O2 B

图 13-1
O1 A B O2 n° D C

图 13-2

O1 A

O B

O2 O3

阅读理解的(2)中,若∠ABC = 120°,则⊙O 在点 B 处自转 在点 B 处自转 周;若∠ABC = 60°,则⊙O 周.
1 c.⊙O 从 2
C

(2)如图 13-3,∠ABC=90°,AB=BC=

O4

⊙O1 的位置出发,在∠ABC 外部沿 A-B-C 滚动 到⊙O4 的位置,⊙O 自转 周.

图 13-3

拓展联想: (1)如图 13-4,△ABC 的周长为 l,⊙O 从与 AB 相切于点 D 的位置出发,在△ABC 外部,按顺时针方向沿三角形滚 动,又回到与 AB 相切于点 D 的位置,⊙O 自转了多少 周?请说明理由.
A

B

O D C

图 13-4 (2)如图 13-5,多边形的周长为 l,⊙ O 从与某边相切于 点 D 的位置出发,在多边形外部,按顺时针方向沿多 边形滚动,又回到与该边相切于点 D 的位置,直接写 .. 出⊙O 自转的周数.

O

D

图 13-5

爱心

用心

专心

32

【063】如图 12,已知抛物线 y ? x ? 4 x ? 3 交 x 轴于 A、B 两点,交 y 轴于点 C,?抛物线的对称
2

轴交 x 轴于点 E,点 B 的坐标为( ?1 ,0) . (1)求抛物线的对称轴及点 A 的坐标; (2)在平面直角坐标系 xoy 中是否存在点 P,与 A、B、C 三点构成一个平行四边形?若存在, 请写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3) 连结 CA 与抛物线的对称轴交于点 D, 在抛物线上是否存在点 M, 使得直线 CM 把四边形 DEOC 分成面积相等的两部分?若存在,请求出直线 CM 的解析式;若不存在,请说明理由.

y

C

D A E B O

x

图 12

【064】如图,抛物线 y ? ?

1 2 x ? x ? 2 的顶点为 A,与 y 轴交于点 B. 4
·
A

(1)求点 A、点 B 的坐标. (2)若点 P 是 x 轴上任意一点,求证: PA ? PB ≤ AB . (3)当 PA ? PB 最大时,求点 P 的坐标.

y

B

O

x

第 28 题图

爱心

用心

专心

33

【065】如图 11,AB 是⊙O 的直径,弦 BC=2cm,∠ABC=60?. (1)求⊙O 的直径; (2)若 D 是 AB 延长线上一点,连结 CD,当 BD 长为多少时,CD 与⊙O 相切; (3)若动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点出发沿着 AB 方向运动,同时动点 F 以 1cm/s 的速度从 B 点出发沿 BC 方向运动,设运动时间为 t ( s)(0 ? t ? 2) ,连结 EF,当 t 为何值时,△BEF 为直角三角形. C E O C F A O B D A B A O C F E B

图 10 1) (

图 10 2) (

图 10 3) (

m 1 5 【066】如图,反比例函数 y= (x>0)的图象与一次函数 y=- x+ 的图象交于 A、B 两点,点 x 2 2 1 C 的坐标为(1, ),连接 AC,AC∥y 轴. 2 (1)求反比例函数的解析式及点 B 的坐标; (2)现有一个直角三角板,让它的直角顶点 P 在反比例函数图象上 A、B 之间的部分滑动(不与 A、B 重合),两直角边始终分别平行于 x 轴、y 轴,且与线段 AB 交于 M、N 两点,试判断 P 点在滑动过程中△PMN 是否与△CBA 总相似?简要说明判断理由.

爱心

用心

专心

34

【067】如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90?,AB=12cm,AD=8cm,BC=22cm,AB 为 ⊙O 的直径,动点 P 从点 A 开始沿 AD 边向点 D 以 1cm/s 的速度运动,动点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向点 B 以 2cm/s 的速度运动,P、Q 分别从点 A、C 同时出发,当其中一点到达端点时,另一 个动点也随之停止运动.设运动时间为 t(s). A P D (1)当 t 为何值时,四边形 PQCD 为平行四边形? (2)当 t 为何值时,PQ 与⊙O 相切? O B C

Q

【068】如图 12,在直角梯形 OABC 中, OA∥CB,A、B 两点的坐标分别为 A(15,0) B(10,12) , , 动点 P、Q 分别从 O、B 两点出发,点 P 以每秒 2 个单位的速度沿 OA 向终点 A 运动,点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 BC 向 C 运动,当点 P 停止运动时,点 Q 也同时停止运动.线段 OB、PQ 相交于点 D, 过点 D 作 DE∥OA,交 AB 于点 E,射线 QE 交 x 轴于点 F.设动点 P、Q 运动时间为 t(单位:秒) . (1)当 t 为何值时,四边形 PABQ 是等腰梯形,请写出推理过程; (2)当 t=2 秒时,求梯形 OFBC 的面积; (3)当 t 为何值时,△PQF 是等腰三角形?请写出推理过程.

爱心

用心

专心

35

【069】如图 11,已知二次函数 y ? ( x ? m) ? k ? m 的图象与 x 轴相交于两个不同的点 A( x, 、 1 0)
2 2

B ( x2, ,与 y 轴的交点为 C .设 △ABC 的外接圆的圆心为点 P . 0)
(1)求 ⊙P 与 y 轴的另一个交点 D 的坐标; (2)如果 AB 恰好为 ⊙P 的直径,且 △ABC 的面积等于 5 ,求 m 和 k 的值.

【070】如图所示,菱形 ABCD 的边长为 6 厘米, ?B ? 60° .从初始时刻开始,点 P 、 Q 同时从

A 点出发,点 P 以 1 厘米/秒的速度沿 A ? C ? B 的方向运动,点 Q 以 2 厘米/秒的速度沿
A ? B ? C ? D 的方向运动,当点 Q 运动到 D 点时, P 、 Q 两点同时停止运动,设 P 、 Q 运
动的时间为 x 秒时, △ APQ 与 △ABC 重叠部分的面积为 y 平方厘米(这里规定:点和线段是面 .... 积为 O 的三角形) ,解答下列问题: (1)点 P 、 Q 从出发到相遇所用时间是 秒; 秒; C

(2)点 P 、 Q 从开始运动到停止的过程中,当 △ APQ 是等边三角形时 x 的值是 (3)求 y 与 x 之间的函数关系式. D P A Q

B

(第 28 题)

爱心

用心

专心

36

【071】已知:抛物线 y ? ax ? bx ? c ? a ? 0 ? 的对称轴为 x ? ?1 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴 ,
2

? 0 交于点 C, 其中 A ? ?3,? 、 C ? 0, 2 ?.
(1)求这条抛物线的函数表达式. (2)已知在对称轴上存在一点 P,使得 △PBC 的周长最小.请求出点 P 的坐标. (3)若点 D 是线段 OC 上的一个动点(不与点 O、点 C 重合) .过点 D 作 DE ∥ PC 交 x 轴于点 E. 连接 PD 、 PE .设 CD 的长为 m , △PDE 的面积为 S .求 S 与 m 之间的函数关系式.试说明 S y 是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.

A

O

B

x

C (第 24 题图)

【072】如图 1 所示,直角梯形 OABC 的顶点 A、C 分别在 y 轴正半轴与 x 轴负半轴上.过点 B、C 作 直线 l .将直线 l 平移,平移后的直线 l 与 x 轴交于点 D,与 y 轴交于点 E. (1)将直线 l 向右平移,设平移距离 CD 为 t (t ? 0),直角梯形 OABC 被直线 l 扫过的面积(图中 阴影部份)为 s , s 关于 t 的函数图象如图 2 所示, OM 为线段,MN 为抛物线的一部分,NQ 为射线,N 点横坐标为 4. ①求梯形上底 AB 的长及直角梯形 OABC 的面积; ②当 2 ? t ? 4 时,求 S 关于 t 的函数解析式; (2)在第(1)题的条件下,当直线 l 向左或向右平移时(包括 l 与直线 BC 重合) ,在直线 AB 上 ... . 是否存在点 P,使 ?PDE 为等腰直角三角形?若存在,请直接写出所有满足条件的点 P 的坐 标;若不存在,请说明理由.

爱心

用心

专心

37

【073】)如图,半径为 2 5 的⊙O 内有互相垂直的两条弦 AB、CD 相交于 P 点. (1)求证:PA·PB=PC·PD; (2)设 BC 的中点为 F,连结 FP 并延长交 AD 于 E,求证:EF⊥AD: (3)若 AB=8,CD=6,求 OP 的长.
A E

C F P O B

D

第 23 题图

【074】如图,在平面直角坐标系中,点 O1 的坐标为 (?4, ,以点 O1 为圆心,8 为半径的圆与 x 轴 0)

5) 交于 A,B 两点,过 A 作直线 l 与 x 轴负方向相交成 60°的角,且交 y 轴于 C 点,以点 O2 (13, 为
圆心的圆与 x 轴相切于点 D . (1)求直线 l 的解析式; (2)将 ⊙O2 以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向左平移,当 ⊙O2 第一次与 ⊙O1 外切时,求 ⊙O2 平移 的时间. l
60°

y O2 O1 O B D x A

C (第 22 题)

爱心

用心

专心

38

【075】如图 11,已知抛物线 y ? ax ? 2ax ? b ( a ? 0 )与 x 轴的一个交点为 B(?1 0) ,与 y 轴 ,
2

的负半轴交于点 C,顶点为 D. (1)直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与 x 轴的另一个交点 A 的坐标; (2)以 AD 为直径的圆经过点 C. ①求抛物线的解析式; ②点 E 在抛物线的对称轴上,点 F 在抛物线上,且以 B,A,F,E 四点为顶点的四边形为平 行四边形,求点 F 的坐标. y

B C

O

A

x

D 图 11

【076】如图,抛物线 y ?

1 2 x ? mx ? n 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,四边形 OBHC 为矩 2

形,CH 的延长线交抛物线于点 D(5,2) ,连结 BC、AD. (1)求 C 点的坐标及抛物线的解析式; (2)将△BCH 绕点 B 按顺时针旋转 90° 再沿 x 轴对折得到 后 △BEF(点 C 与点 E 对应) ,判断点 E 是否落在抛物线上,并说明理由; (3) 设过点 E 的直线交 AB 边于点 P, CD 边于点 Q. 问是否存在点 P, 交 使直线 PQ 分梯形 ABCD 的面积为 1∶3 两部分?若存在,求出 P 点坐标;若不存在,请说明理由.

爱心

用心

专心

39

【077】已知直线 y ? ?

3 x ? m 与 x 轴 y 轴分别交于点 A 和点 B,点 B 的坐标为(0,6) 4

(1)求的 m 值和点 A 的坐标; (2)在矩形 OACB 中,点 P 是线段 BC 上的一动点,直线 PD⊥AB 于点 D,与 x 轴交于点 E,设 BP= a , 梯形 PEAC 的面积为 s 。 ①求 s 与 a 的函数关系式,并写出 a 的取值范围; B C P ②⊙Q 是△OAB 的内切圆,求当 PE 与⊙Q 相交的弦长为 2.4 时点 P 的坐标。
Q

D

O

E

A

【078】如图 12,已知直线 L 过点 A(0, 和 B(1 0) , P 是 x 轴正半轴上的动点, OP 的垂直平分 1) , 线交 L 于点 Q ,交 x 轴于点 M . (1)直接写出直线 L 的解析式; (2)设 OP ? t , △OPQ 的面积为 S ,求 S 关于 t 的函数关系式;并求出当 0 ? t ? 2 时, S 的最 大值; (3)直线 L1 过点 A 且与 x 轴平行,问在 L1 上是否存在点 C , 使得 △CPQ 是以 Q 为直角顶点的 等腰直角三角形?若存在,求出点 C 的坐标,并证明;若不存在,请说明理由. L A Q y L1

O M

P B

x

图 12

爱心

用心

专心

40

【079】如图,

若 ? ABCD 在平面直角坐标系中, AD ? 6, OA 、 OB 的长是关于 x 的一元二次方

程 x 2 ? 7 x ? 12 ? 0 的两个根,且 OA ? OB. (1)求 sin ?ABC 的值. (2)若 E 为 x 轴上的点,且 S△ AOE ?

16 求经过 D 、 E 两点的直线的解析式,并判断 △AOE , 3

与 △DAO 是否相似? (3)若点 M 在平面直角坐标系内,则在直线 AB 上是否存在点 F, 使以 A 、 C 、 F 、 M 为顶 点的四边形为菱形?若存在,请直接写出 F 点的坐标;若不存在,请说明理由. y A

D

B

O

C

x

28 题图

【080】已知:等边三角形 ABC 的边长为 4 厘米,长为 1 厘米的线段 MN 在 △ABC 的边 AB 上沿 AB 方向以 1 厘米/秒的速度向 B 点运动(运动开始时,点 M 与点 A 重合,点 N 到达点 B 时运动 终止) ,过点 M、N 分别作 AB 边的垂线,与 △ABC 的其它边交于 P、Q 两点,线段 MN 运动的 时间为 t 秒. (1)线段 MN 在运动的过程中, t 为何值时,四边形 MNQP 恰为矩形?并求出该矩形的面积; (2) 线段 MN 在运动的过程中, 四边形 MNQP 的面积为 S , 运动的时间为 t . 求四边形 MNQP 的 面积 S 随运动时间 t 变化的函数关系式,并写出自变量 t 的取值范围. Q C

P

A

M

N

B

爱心

用心

专心

41

【081】如图,已知抛物线 y = 1,0) ,过点 C 的直线 y=

3 2 x + bx + c 与坐标轴交于 A 、B 、C 三点, A 点的坐标为(- 4

3 x-3 与 x 轴交于点 Q,点 P 是线段 BC 上的一个动点,过 P 作 PH⊥OB 4t

于点 H.若 PB=5t,且 0<t<1. (1)填空:点 C 的坐标是_▲_,b=_▲_,c=_▲_; (2)求线段 QH 的长(用含 t 的式子表示) ; (3)依点 P 的变化,是否存在 t 的值,使以 P、H、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似?若存在, 求出所有 t 的值;若不存在,说明理由.
A
O

y
Q

H
B P

x

C

【082】 (09 上海)在直角坐标平面内, O 为原点,点 A 的坐标为 (1, ,点 C 的坐标为 (0, ,直 4) 0) 线 CM ∥ x 轴(如图 7 所示) .点 B 与点 A 关于原点对称,直线 y ? x ? b ( b 为常数)经过点 B , 且与直线 CM 相交于点 D ,联结 OD . (1)求 b 的值和点 D 的坐标; (2)设点 P 在 x 轴的正半轴上,若 △POD 是等腰三 角形,求点 P 的坐标; (3)在(2)的条件下,如果以 PD 为半径的圆 P 与 圆 O 外切,求圆 O 的半径. B

y 4 C 3 2 1 A 1 图7 D

y ? x?b
M

?1 O

x

爱心

用心

专心

42

【083】如图,在直角坐标系中,点 A 的坐标为(-2,0) ,连结 OA,将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋 转 120°,得到线段 OB. (1)求点 B 的坐标; (2)求经过 A、O、B 三点的抛物线的解析式; (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点 C,使△BOC 的周长最小?若存在,求出点 C 的 坐标;若不存在,请说明理由. (4)如果点 P 是(2)中的抛物线上的动点,且在 x 轴的下方,那么△PAB 是否有最大面积? 若有,求出此时 P 点的坐标及△PAB 的最大面积;若没有,请说明理由. y

B

A

O

x

【084】如图,在平面直角坐标系中,直线 l:y=-2x-8 分别与 x 轴,y 轴相交于 A,B 两点,点 P (0,k)是 y 轴的负半轴上的一个动点,以 P 为圆心,3 为半径作⊙P. (1)连结 PA,若 PA=PB,试判断⊙P 与 x 轴的位置关系,并说明理由; (2)当 k 为何值时,以⊙P 与直线 l 的两个交点和圆心 P 为顶点的三角形是正三角形?

爱心

用心

专心

43

【085】如图①, 已知抛物线 y ? ax 2 ? bx ? 3 (a≠0)与 x 轴交于点 A(1,0)和点 B (-3,0), 与 y 轴交于点 C. (1) 求抛物线的解析式; (2) 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M ,问在对称轴上是否存在点 P,使△CMP 为等腰三角形?若 存在,请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. (3) 如图②,若点 E 为第二象限抛物线上一动点,连接 BE、CE,求四边形 BOCE 面积的最大值,并 求此时 E 点的坐标.

【086】如图,以 BC 为直径的⊙O 交△CFB 的边 CF 于点 A,BM 平分 ∠ABC 交 AC 于点 M,AD⊥BC 于点 D,AD 交 BM 于点 N,ME⊥BC 于点 E,AB =AF·AC,cos∠ABD= 3 , 5
2

AD=12. ⑴求证:△ANM≌△ENM; ⑵求证:FB 是⊙O 的切线; ⑶证明四边形 AMEN 是菱形,并求该菱形的面积 S.

爱心

用心

专心

44

【087】如图,已知抛物线 y=x +bx+c 经过矩形 ABCD 的两个顶点 A、B,AB 平行于 x 轴,对角线 BD 与抛物线交于点 P,点 A 的坐标为(0,2),AB=4. y (1)求抛物线的解析式;

2

(2)若 S△APO=

3 ,求矩形 ABCD 的面积. 2

A

B x

O P D (第 23 题图) C

【088】 如图所示, 已知在直角梯形 OABC 中, AB ∥OC,BC ⊥ x 轴于点 C,A(11) B(31) . ,、 , 动 点 P 从 O 点出发,沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度移动.过 P 点作 PQ 垂直于直线 OA , .. 垂足为 Q . P 点移动的时间为 t 秒 0 ? t ? 4 ) △O 设 ( , P Q (1)求经过 O、A、B 三点的抛物线解析式; (2)求 S 与 t 的函数关系式; (3)将 △OPQ 绕着点 P 顺时针旋转 90° ,是否存在 t ,使得 △OPQ 的顶点 O 或 Q 在抛物线上? 若存在,直接写出 t 的值;若不存在,请说明理由. y 2 1 Q O P 1 第 26 题图 C 3 x A B 与直角梯形 OABC 重叠部分的面积为 S .

爱心

用心

专心

45

【089】如图,在平面直角坐标系 xOy 中,半径为 1 的圆的圆心 O 在坐标原点,且与两坐标轴分别 交于 A、B、C、D 四点.抛物线 y ? ax ? bx ? c 与 y 轴交于点 D ,与直线 y ? x 交于点 M、N ,
2

且 MA、NC 分别与圆 O 相切于点 A 和点 C . (1)求抛物线的解析式; (2)抛物线的对称轴交 x 轴于点 E ,连结 DE ,并延长 DE 交圆 O 于 F ,求 EF 的长. (3)过点 B 作圆 O 的切线交 DC 的延长线于点 P ,判断点 P 是否在抛物线上,说明理由. y D E C F B x N

A M

O

【090】如图(9)-1,抛物线 y ? ax ? 3ax ? b 经过 A( ?1 ,0) C(3, ?2 )两点,与 y 轴交于 ,
2

点 D,与 x 轴交于另一点 B. (1)求此抛物线的解析式; (2)若直线 y ? kx ? 1(k ? 0) 将四边形 ABCD 面积二等分,求 k 的值; (3)如图(9)-2,过点 E(1,1)作 EF⊥ x 轴于点 F,将△AEF 绕平面内某点旋转 180°得△MNQ (点 M、N、Q 分别与点 A、E、F 对应) ,使点 M、N 在抛物线上,作 MG⊥ x 轴于点 G,若线段 MG︰AG =1︰2,求点 M,N 的坐标. y y
E G A D O C B

x

A O

F Q N M

B

x

图(9)-1

y=kx+1

图(9)-2

爱心

用心

专心

46

【091】已知二次函数 y=x -x+c. 2 (1)若点 A(-1,a)、B(2,2n-1)在二次函数 y=x -x+c 的图象上,求此二次函数的最小值; 2 (2)若点 D(x1,y1)、E(x2,y2)、P(m,n)(m>n)在二次函数 y=x -x+c 的图象上,且 D、E 两 点关于坐标原点成中心对称,连接 OP.当 2 2≤OP≤2+ 2时,试判断直线 DE 与抛物线 y 3 2 =x -x+c+ 的交点个数,并说明理由. 8

2

【092】已知:直角梯形 OABC 的四个顶点是 O(0,0),A(

3 2

,1), B(s,t),C(

7 2

,0),抛物线 y=x

2

+mx-m 的顶点 P 是直角梯形 OABC 内部或边上的一个动点,m 为常数. (1)求 s 与 t 的值,并在直角坐标系中画出直角梯形 OABC; .. (2)当抛物线 y=x +mx-m 与直角梯形 OABC 的边 AB 相交时,求 m 的取值范围.
2

y
3 2 1

-1

O
-1

1

2

3

4

5

x

(第 24 题)

爱心

用心

专心

47

【093】已知在平面直角坐标系中,四边形 OABC 是矩形,点 A、C 的坐标分别为 A ? 3 , ? 、C ? 0 , ? , ??? 4 点 D 的坐标为 D ? ?5, ? ,点 P 是直线 AC 上的一动点,直线 DP 与 y 轴交于点 M.问: ? (1)当点 P 运动到何位置时,直线 DP 平分矩形 OABC 的面积,请简要说明理由,并求出此时直线

DP 的函数解析式;
(2)当点 P 沿直线 AC 移动时,是否存在使 △DOM 与 △ABC 相似的点 M,若存在,请求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由; (3) 当点 P 沿直线 AC 移动时, 以点 P 为圆心、 半径长为 R R>0) ( 画圆, 所得到的圆称为动圆 P. 若 设动圆 P 的直径长为 AC,过点 D 作动圆 P 的两条切线,切点分别为点 E、F.请探求是否存在 四边形 DEPF 的最小面积 S,若存在,请求出 S 的值;若不存在,请说明理由. 注:第(3)问请用备用图解答.

y

y

C

B

C

B

D

O

A

x

D

O

A

x

备用图

【094】在平面直角坐标系中,已知 A(?4, , B(1 0) ,且以 AB 为直径的圆交 y 轴的正半轴于点 0) ,

C (0, ,过点 C 作圆的切线交 x 轴于点 D . 2)
(1)求过 A B,C 三点的抛物线的解析式 , (2)求点 D 的坐标 (3)设平行于 x 轴的直线交抛物线于 E,F 两点,问:是否存在以线段 EF 为直径的圆,恰好与 x 轴相切?若存在,求出该圆的半径,若不存在,请说明理由? y C B O 1 D x
48

2 A ?4
爱心 用心 专心

【095】 )如图 1,已知:抛物线 y ?

1 2 x ? bx ? c 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C ,经过 2

1 x ? 2 ,连结 AC . 2 (1) B、C 两点坐标分别为 B (_____,_____) C (_____,_____) 、 ,抛物线的函数关系式为

B、C 两点的直线是 y ?

______________; (2)判断 △ABC 的形状,并说明理由; (3)若 △ABC 内部能否截出面积最大的矩形 DEFC (顶点 D、E、F、G 在 △ABC 各边上)? 若能,求出在 AB 边上的矩形顶点的坐标;若不能,请说明理由. [抛物线 y ? ax ? bx ? c 的顶点坐标是 ? ?
2

?

b 4ac ? b 2 ? , ?] 4a ? ? 2a
y y

A C

O

B

x

A C

O

B

x

图1

(第 26 题)

图 2(备用)

【096】 如图 12, 已知抛物线经过坐标原点 O 和 x 轴上另一点 E, 顶点 M 的坐标为 (2,4); 矩形 ABCD 的顶点 A 与点 O 重合,AD、AB 分别在 x 轴、y 轴上,且 AD=2,AB=3. (1)求该抛物线所对应的函数关系式; (2) 将矩形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度从图 12 所示的位置沿 x 轴的正方向匀速平行移动, 同时一动点 P 也以相同的速度从点 A 出发向 B 匀速移动,设它们运动的时间为 t 秒(0≤t ..... ≤3) ,直线 AB 与 该 抛物线的交点为 N(如图 13 所示). 5 ① 当 t= 时,判断点 P 是否在直线 ME 上,并说明理由; 2 ② 设以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积为 S,试问 S 是否存在最大值?若存在,求出这 个最大值;若不存在,请说明理由. y M C B C y N M B

·P
D O (A) 图 12 E x DO A 图 13 E

x

爱心

用心

专心

49

【097】矩形 OABC 在平面直角坐标系中位置如图 13 所示, A、C 两点的坐标分别为 A(6, , 0)

3 C (0, 3) ,直线 y ? ? x 与 BC 边相交于 D 点. ? 4 (1)求点 D 的坐标; 9 (2)若抛物线 y ? ax 2 ? x 经过点 A ,试确定此抛物线的表达式; 4 (3)设(2)中的抛物线的对称轴与直线 OD 交于点 M ,点 P 为对称轴上一动点,以 P、O、M 为顶点的三角形与 △OCD 相似,求符合条件的点 P 的坐标.
y A O
?3

6 B

x

C 图 13

D

3 y?? x 4

【098】如图,在平面直角坐标系中,点 A(0,6) ,点 B 是 x 轴上的一个动点,连结 AB,取 AB 的 o 中点 M,将线段 MB 绕着点 B 按顺时针方向旋转 90 ,得到线段 BC.过点 B 作 x 轴的垂线交直线 AC 于 点 D.设点 B 坐标是(t,0). (1)当 t=4 时,求直线 AB 的解析式; (2)当 t>0 时,用含 t 的代数式表示点 C 的坐标及△ABC 的面积; (3)是否存在点 B,使△ABD 为等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的点 B 的坐标;若不存 在,请说明理由. y A D M O B C x O 备用图 x y A·

爱心

用心

专心

50

【099】我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究:根据给定的(或构造的)几何图形提 ................ 出相关的概念和问题(或者根据问题构造图形) .................... ,并加以研究. . ...... 例如:在平面上根据两条直线的各种构图,可以提出“两条直线平行”“两条直线相交”的概 、 念;若增加第三条直线,则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题(包 括研究的思想和方法). 请你用上面的思想和方法对下面关于圆的问题进行研究: (1) 如图 1,在圆 O 所在平面上,放置一条直线 m ( m 和圆 O 分别交于点 A、B) ,根据这个 .. 图形可以提出的概念或问题有哪些(直接写出两个即可)? (2) 如图 2, 在圆 O 所在平面上, 请你放置与圆 O 都相交且不同时经过圆心的两条直线 m 和 n ....... .. ( m 与圆 O 分别交于点 A、B, n 与圆 O 分别交于点 C、D). 请你根据所构造的图形提出一个结论,并证明之. (3) 如图 3,其中 AB 是圆 O 的直径,AC 是弦,D 是 点 C 和点 E 重合的条件,并说明理由.
D B m E C G A O C 第 25 题图 1 第 25 题图 2 O A O F B

ABC 的中点,弦 DE⊥AB 于点 F. 请找出

D 第 25 题图 3

【100】抛物线 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的顶点为 M,与 x 轴的交点为 A、B(点 B 在点 A 的右侧) ,
2

△ ABM 的 三 个 内 角 ∠ M 、 ∠ A 、 ∠ B 所 对 的 边 分 别 为 m 、 a 、 b 。 若 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程

(m ? a) x 2 ? 2bx ? (m ? a) ? 0 有两个相等的实数根。
(1)判断△ABM 的形状,并说明理由。 (2)当顶点 M 的坐标为(-2,-1)时,求抛物线的解析式,并画出该抛物线的大致图形。 (3)若平行于 x 轴的直线与抛物线交于 C、D 两点,以 CD 为直径的圆恰好与 x 轴相切,求该圆的 圆心坐标。

爱心

用心

专心

51

2010 年中考数学压轴题 100 题精选答案
【001】解: (1)? 抛物线 y ? a( x ? 1) ? 3 3(a ? 0) 经过点 A(?2, , 0)
2

? 0 ? 9a ? 3 3 ? a ? ?

3 ···················································· 分 ···················································1 3 3 2 2 3 8 3 ····························· 分 ····························3 x ? x? 3 3 3

?二次函数的解析式为: y ? ?

3 (2)? D 为抛物线的顶点? D(1, 3) 过 D 作 DN ? OB 于 N ,则 DN ? 3 3 ,
AN ? 3, AD ? 32 ? (3 3) 2 ? 6 ??DAO ? 60° ······························ 分 ? ·····························4

?OM ∥ AD
① 当 AD ? OP 时,四边形 DAOP 是平行四边形
··························· ?OP ? 6 ?t ? 6(s) ····························5 分

y

D

M C

② 当 DP ? OM 时,四边形 DAOP 是直角梯形

A

H

P Q

过 O 作 OH ? AD 于 H , AO ? 2, AH ? 1 则 O E N (如果没求出 ?DAO ? 60°可由 Rt△OHA ∽ Rt△DNA 求 AH ? 1)

B x

····················································· ?OP ? DH ? 5 t ? 5(s) ·····················································6 分

③ 当 PD ? OA 时,四边形 DAOP 是等腰梯形
?OP ? AD ? 2 AH ? 6 ? 2 ? 4 ?t ? 4(s)
综上所述:当 t ? 6 、5、4 时,对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形. ·7 分 · (3)由(2)及已知, ?COB ? 60° OC ? OB, OCB 是等边三角形 , △ 则 OB ? OC ? AD ? 6,OP ? t,BQ ? 2t, OQ ? 6 ? 2t (0 ? t ? 3) ?

过 P 作 PE ? OQ 于 E ,则 PE ?

3 t ·········································· 分 ·········································8 2
2

? S BCPQ
当t ?

3 ? 3 ? 63 1 1 3 3 ···················9 分 ? ? 6 ? 3 3 ? ? (6 ? 2t ) ? t= ·················· ?t ? ? ? 2 ? 2? 8 2 2 2

3 63 时, S BCPQ 的面积最小值为 ······································ 3 ······································10 分 2 8
? QE ? 3 ? 3 9 ? 4 4 PE ? 3 3 4

3 3 ?此时 OQ ? 3,OP= ,OE ? 2 4

爱心

用心

专心

52

? 3 3 ? ? 9 ?2 3 3 ·······························11 分 ······························· ? PQ ? PE ? QE ? ? B ? 4 ? ?? 4? ? 2 ? ? ? ? ?
2 2

2

8 【002】解: (1)1, ; 5

(2)作 QF⊥AC 于点 F,如图 3, AQ = CP= t,∴ AP ? 3 ? t . 由△AQF∽△ABC, BC ? 5 ? 3 ? 4 ,
2 2

E Q B A F D ) P C )

QF t 4 1 4 得 ? .∴ QF ? t . ∴ S ? (3 ? t ) ? t , 4 5 2 5 5

E Q D C

图3

即 S ? ? t2 ? t .

2 5

6 5

A P (3)能. 图4 ①当 DE∥QB 时,如图 4. ∵DE⊥PQ,∴PQ⊥QB,四边形 QBED 是直角梯形. 此时∠AQP=90°.

B

由△APQ ∽△ABC,得

AQ AP , ? AC AB
A

Q D P E C

t 3?t 9 即 ? . 解得 t ? . 3 5 8

②如图 5,当 PQ∥BC 时,DE⊥BC,四边形 QBED 是直角梯形. 此时∠APQ =90°. 由△AQP ∽△ABC,得 即 ?
t 5 AQ AP , ? AB AC
Q

图5
B

3?t 15 . 解得 t ? . 3 8

G

(4) t ?

5 45 或t ? . 2 14

D A P

C(E) B G )

【注:①点 P 由 C 向 A 运动,DE 经过点 C. 方法一、连接 QC,作 QG⊥BC 于点 G,如图 6.
3 4 PC ? t , QC 2 ? QG 2 ? CG 2 ? [ (5 ? t )]2 ? [4 ? (5 ? t )]2 . 5 5

图6
Q

由 PC 2 ? QC 2 ,得 t 2 ? [ (5 ? t )]2 ? [4 ? (5 ? t )]2 ,解得 t ?

3 5

4 5

5 . 2
A P

D C(E)

方法二、由 CQ ? CP ? AQ ,得 ?QAC ? ?QCA ,进而可得
5 5 ?B ? ?BCQ ,得 CQ ? BQ ,∴ AQ ? BQ ? .∴ t ? . 2 2

图7

)

②点 P 由 A 向 C 运动,DE 经过点 C,如图 7.
3 4 (6 ? t )2 ? [ (5 ? t )]2 ? [4 ? (5 ? t )]2 , t ? 45 】 5 5 14

【003】解.(1)点 A 的坐标为(4,8) 将 A (4,8)、C(8,0)两点坐标分别代入 y=ax +bx 8=16a+4b 得 0=64a+8b
爱心 用心 专心
2

…………………1 分

53

解 得 a=-

1 ,b=4 2 1 2 x +4x 2
…………………3 分

∴抛物线的解析式为:y=-

(2)①在 Rt△APE 和 Rt△ABC 中,tan∠PAE= ∴PE=

PE BC PE 4 = ,即 = AP AB AP 8

1 1 AP= t.PB=8-t. 2 2 1 ∴点E的坐标为(4+ t,8-t). 2 1 1 1 1 ∴点 G 的纵坐标为:- (4+ t)2+4(4+ t)=- t2+8. …………………5 分 2 2 2 8 1 1 ∴EG=- t2+8-(8-t) =- t2+t. 8 8 1 ∵- <0,∴当 t=4 时,线段 EG 最长为 2. …………………7 分 8
②共有三个时刻. t1= …………………8 分 …………………11 分

8 5 16 40 , t2= ,t3= . 3 13 2? 5

【004】 (1)解:由

2 8 0 得 x ? ? 0, x ? ?4. A 点坐标为 ? ?4,?. ? 3 3

0 ∴ 由 ?2x ? 16 ? 0, x ? 8. B 点坐标为 ? 8,?. AB ? 8 ? ? ?4 ? ? 12. 分) 得 (2 ?

2 8 ? ? x ? 5, ? y ? x? , 6 (3 由? ∴ C 点的坐标为 ? 5,?. 分) 3 3 解得 ? ? y ? 6. ? y ? ?2 x ? 16. ?

1 1 (4 AB yC ? ?12 ? 6 ? 36. 分) · 2 2 2 8 8 (5 (2)解:∵点 D 在 l1 上且 xD ? xB ? 8, yD ? ? 8 ? ? 8.∴ D 点坐标为 ? 8,?. 分)又∵点 ? 3 3
∴ S△ ABC ?

8 (6 ?? ? ∴ E 在 l2 上且 yE ? yD ? 8, 2 xE ? 16 ? 8. xE ? 4. E 点坐标为 ? 4,?. 分)
∴ OE ? 8 ? 4 ? 4,EF ? 8. 分) (7

① (3) 解法一: 当 0 ≤ t ? 3 时, 如图 1, 矩形 DEFG 与 △ABC 重叠部分为五边形 CHFGR t ? 0 (
时,为四边形 CHFG ).过 C 作 CM ? AB 于 M ,则 Rt△RGB ∽ Rt△CMB.

y
y E

l2
C R D

y
l1
y E y

l2
D C R

y
l1
y R Bx
专心

E

y D

l2
C

l1
y B x
54

A O

F MG B x

A F OG M (图 2)
爱心 用心

F AG O

M

(图 1)

(图 3)

BG RG t RG 即 ∴ ? , ? , RG ? 2t. Rt△AFH ∽ Rt△AMC, ? BM CM 3 6 1 1 2 ∴ S ? S△ ABC ? S△BRG ? S△ AFH ? 36 ? ? t ? 2t ? ? 8 ? t ? ? ? 8 ? t ?. 2 2 3 4 16 44 即 S ? ? t2 ? t ? (10 . 分) 3 3 3 【005】 (1)如图 1,过点 E 作 EG ? BC 于点 G.··········1 分 · ········· · A ∵ E 为 AB 的中点, 1 ∴ BE ? AB ? 2. E 2 在 Rt△EBG 中,∠B ? 60?, ∠BEG ? 30?.·······2 分 ∴ · ······ · 1 B ∴ BG ? BE ? 1 EG ? 22 ? 12 ? 3. G , 2 图1 即点 E 到 BC 的距离为 3.························3 分 · ······················· ·
∴ (2)①当点 N 在线段 AD 上运动时, △PMN 的形状不发生改变. ∵ PM ? EF,EG ? EF, PM ∥ EG. ∴ ∵ EF ∥ BC, EP ? GM , PM ? EG ? 3. ∴

D F C

同理 MN ? AB ? 4.·····················································4 分 · ····················································· · 如图 2,过点 P 作 PH ? MN 于 H ,∵ MN ∥ AB, ∴ ∠NMC ? ∠B ? 60?,∠PMH ? 30?. N A D ∴ PH ?

1 3 PM ? . 2 2
B

E

P H

F

3 ∴ MH ? PM ? 30? ? . cos 2 3 5 则 NH ? MN ? MH ? 4 ? ? . 2 2
2 2

GM 图2
2

C

2 ?5? ? 3? 在 Rt△PNH 中, PN ? NH ? PH ? ? ? ? ? ? ? 7. ?2? ? 2 ? ? ?

∴ △PMN 的周长= PM ? PN ? MN ? 3 ? 7 ? 4.·························6 分 ·························· ②当点 N 在线段 DC 上运动时, △PMN 的形状发生改变,但 △MNC 恒为等边三角形. 当 PM ? PN 时,如图 3,作 PR ? MN 于 R ,则 MR ? NR.

3 . 2 ∴ MN ? 2MR ? 3 ·······················································7 分 · . ······················································ ∵ △MNC 是等边三角形,∴ MC ? MN ? 3. 此时, x ? EP ? GM ? BC ? BG ? MC ? 6 ?1 ? 3 ? 2.······················· 分 · ······················8 ·
类似①, MR ?

爱心

用心

专心

55

A E B P R G M 图3

D N F C B E

A P

D F N C B E

A

D F(P) N C

G 图4

M

G 图5

M

当 MP ? MN 时,如图 4,这时 MC ? MN ? MP ? 3. 此时, x ? EP ? GM ? 6 ? 1 ? 3 ? 5 ? 3. 当 NP ? NM 时,如图 5,∠NPM ? ∠PMN ? 30?. 则 ∠PMN ? 120?, ∠MNC ? 60?, 又 ∴ ∠PNM ?∠MNC ? 180?. 因此点 P 与 F 重合, △PMC 为直角三角形. ∴ MC ? PM ? 30? ? 1 tan . 此时, x ? EP ? GM ? 6 ?1 ?1 ? 4. 综上所述,当 x ? 2 或 4 或 5 ? 3 时, △PMN 为等腰三角形. 【006】解: (1)OC=1,所以,q=-1,又由面积知 0.5OC×AB=

?

?

5 5 ,得 AB= , 4 2

设 A(a,0),B(b,0)AB=b?a=

(a ? b) 2 ? 4ab =
2

5 3 3 ,解得 p= ? ,但 p<0,所以 p= ? 。 2 2 2

所以解析式为: y ? x ? (2) y=0, 令 解方程得 x ?
2

3 x ?1 2

3 1 1 得 x ? 1 ? 0 , x1 ? ? , x2 ? 2 ,所以 A( ? ,0),B(2,0),在直角三角形 AOC 2 2 2

中可求得 AC=

5 ,同样可求得 BC= 5 ,显然 AC2+BC2=AB2,得△ABC 是直角三角形。AB 为斜 2

边,所以外接圆的直径为 AB=

5 5 5 ,所以 ? ? m ? 。 2 4 4

(3)存在,AC⊥BC,①若以 AC 为底边,则 BD//AC,易求 AC 的解析式为 y=-2x-1,可设 BD 的解析式

3 ? 2 5 ? y ? x ? x ?1 为 y=-2x+b,把 B(2,0)代入得 BD 解析式为 y=-2x+4,解方程组 ? 得 D( ? ,9) 2 2 ? y ? ?2 x ? 4 ?
②若以 BC 为底边,则 BC//AD,易求 BC 的解析式为 y=0.5x-1,可设 AD 的解析式为 y=0.5x+b,把

3 ? 2 1 5 3 ? y ? x ? x ?1 A( ? ,0)代入得 AD 解析式为 y=0.5x+0.25,解方程组 ? 得 D( , ) 2 2 2 2 ? y ? 0.5 x ? 0.25 ?

综上,

爱心

用心

专心

56

所以存在两点: ? (

5 5 3 ,9)或( , )。 2 2 2

【007】

【008】证明: (1)∵∠ABC=90°,BD⊥EC, ∴∠1 与∠3 互余,∠2 与∠3 互余, ∴∠1=∠2…………………………………………………1 分

爱心

用心

专心

57

∵∠ABC=∠DAB=90°,AB=AC ∴△BAD≌△CBE…………………………………………2 分 ∴AD=BE……………………………………………………3 分 (2)∵E 是 AB 中点, ∴EB=EA 由(1)AD=BE 得:AE=AD……………………………5 分 ∵AD∥BC∴∠7=∠ACB=45°∵∠6=45°∴∠6=∠7 由等腰三角形的性质,得:EM=MD,AM⊥DE。 即,AC 是线段 ED 的垂直平分线。……………………7 分 (3)△DBC 是等腰三角(CD=BD)……………………8 分 理由如下: 由(2)得:CD=CE 由(1)得:CE=BD∴CD=BD ∴△DBC 是等腰三角形。……………………………10 分 【009】解: (1)①? AC ⊥ x 轴, AE ⊥ y 轴, y N E D
A B

?四边形 AEOC 为矩形. ? BF ⊥ x 轴, BD ⊥ y 轴, ?四边形 BDOF 为矩形.
? AC ⊥ x 轴, BD ⊥ y 轴,
······ ?四边形 AEDK,DOCK,CFBK 均为矩形. ·······1 分

K O C F M

x

图1

? OC ? x1,AC ? y1,x1 ?y1 ? k , ? S矩形AEOC ? OC ?AC ? x1 ?y1 ? k ? OF ? x2,FB ? y2,x2 ?y2 ? k , ? S矩形BDOF ? OF ?FB ? x2 ?y2 ? k . ? S矩形AEOC ? S矩形BDOF . ? S矩形AEDK ? S矩形AEOC ? S矩形DOCK ,
S矩形C F B K S ? 矩形
B D O F矩形

? S

, CK DO

····················································· ? S矩形AEDK ? S矩形CFBK . ······················································2 分 ②由(1)知 S矩形AEDK ? S矩形CFBK .

CK ? AK ?DK ? BK ? . AK BK . ·····························································4 分 ····························································· ? ? CK DK ? ?AKB ? ?CKD ? 90°, ······················································· ? △AKB ∽△CKD .·······················································5 分 ? ?CDK ? ?ABK .
爱心 用心 专心 58

······························································ ? AB ∥CD . ······························································6 分

? AC ∥ y 轴, ?四边形 ACDN 是平行四边形. ······························································ ? AN ? CD . ······························································7 分 同理 BM ? CD . ······························································ ? AN ? BM .······························································8 分 (2) AN 与 BM 仍然相等. ··················································· 分 ··················································9 ? S矩形AEDK ? S矩形AEOC ? S矩形ODKC ,
S矩形BKCF ? S矩形BDOF ? S矩形ODKC ,
又? S矩形AEOC ? S矩形BDOF ? k , ·················· ? S矩形AEDK ? S矩形BKCF . ···················10 分 y E N F M
A

x O C CK ? AK ?DK ? BK ? . D K CK DK B . ? ? AK BK 图2 ? ?K ? ?K , ? △CDK ∽△ABK . ? ?CDK ? ?ABK . ····························································· ? AB ∥CD . ·····························································11 分

? AC ∥ y 轴, ?四边形 ANDC 是平行四边形. ? AN ? CD . 同理 BM ? CD . ···························································· ? AN ? BM . ·····························································12 分
??3a ? 4a ? 2b ? 3, ? 【010】解: (1)根据题意,得 ? b ··· 分 ··2 ?? 2a ? 1. ?
解得 ?

y D E N

? a ? 1, ?抛物线对应的函数表达式为 y ? x 2 ? 2 x ? 3 . 3 分 ?b ? ?2.
A O

(2)存在. 在 y ? x ? 2 x ? 3 中,令 x ? 0 ,得 y ? ?3 .
2

1

N

x

2 , 令 y ? 0 ,得 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,? x1 ? ?1 x2 ? 3 .

F C

P

? A(?1, , B(3, , C (0, 3) . 0) 0) ?
2

M (第 26 题图)

又 y ? ( x ? 1) ? 4 ,?顶点 M (1 ? 4) . ·········································5 分 ········································· ,

爱心

用心

专心

59

容易求得直线 CM 的表达式是 y ? ? x ? 3 . 在 y ? ? x ? 3 中,令 y ? 0 ,得 x ? ?3 . ···················································· ? N (?3, ,? AN ? 2 . ·····················································6 分 0) 在 y ? x ? 2 x ? 3 中,令 y ? ?3 ,得 x1 ? 0,x2 ? 2 .
2

?CP ? 2, AN ? CP . ?
··················· ? ? AN ∥CP ,?四边形 ANCP 为平行四边形,此时 P(2, 3) . ···················8 分 (3) △AEF 是等腰直角三角形. 理由:在 y ? ? x ? 3 中,令 x ? 0 ,得 y ? 3 ,令 y ? 0 ,得 x ? 3 .

3) 0) ?直线 y ? ? x ? 3 与坐标轴的交点是 D(0, , B(3, .
··············································9 ?OD ? OB ,??OBD ? 45°. ··············································· 分 又?点 C (0, 3) ,?OB ? OC .??OBC ? 45° .·····························10 分 ····························· ? 由图知 ?AEF ? ?ABF ? 45° , ?AFE ? ?ABE ? 45° . ························ 分 ·······················11 ··················· ??EAF ? 90°,且 AE ? AF .? AEF 是等腰直角三角形. ···················12 分 △ (4)当点 E 是直线 y ? ? x ? 3 上任意一点时, (3)中的结论成立. 14 分 【011】解: (1)证明:在 Rt△FCD 中,∵G 为 DF 的中点,∴ CG= FD.???1 分 同理,在 Rt△DEF 中,EG= FD.????2 分∴ CG=EG.???????3 分 (2) (1)中结论仍然成立,即 EG=CG.??????????4 分 证法一:连接 AG,过 G 点作 MN⊥AD 于 M,与 EF 的延长线交于 N 点. 在△DAG 与△DCG 中,∵ AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG, ∴ △DAG≌△DCG.∴ AG=CG.?????????5 分 在△DMG 与△FNG 中,∵ ∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG, ∴ △DMG≌△FNG.∴ MG=NG 在矩形 AENM 中,AM=EN. ?????6 分 在 Rt△AMG 与 Rt△ENG 中,∵ AM=EN, MG=NG, ∴ △AMG≌△ENG.∴ AG=EG.∴ EG=CG. ???????????8 分 证法二:延长 CG 至 M,使 MG=CG, 连接 MF,ME,EC, ????????4 分 在△DCG 与△FMG 中,∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG, ∴△DCG ≌△FMG.∴MF=CD,∠FMG=∠DCG. ∴MF∥CD∥AB.?????????5 分∴ 在 Rt△MFE 与 Rt△CBE 中,
爱心 用心 专心 60

∵ MF=CB,EF=BE,∴△MFE ≌△CBE.∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°.∴ △ MEC 为直角三角形.∵ MG = CG,∴ EG= MC.???8 分 (3) (1)中的结论仍然成立,即 EG=CG.其他的结论还有:EG⊥CG.??10 分 【012】解: (1)? 圆心 O 在坐标原点,圆 O 的半径为 1,

0) ? 0) 1) ?点 A、B、C、D 的坐标分别为 A(?1,、B(0, 1)、C (1,、D(0,

?抛物线与直线 y ? x 交于点 M、N ,且 MA、NC 分别与圆 O 相切于点 A 和点 C ,
? , 1) ? , ? M (?1, 1)、N (11) .?点 D、M、N 在抛物线上,将 D(0,、M (?1, 1)、N (11) 的坐标代入
?c ? 1 ? y ? ax ? bx ? c ,得: ? ?1 ? a ? b ? c ?1 ? a ? b ? c ?
2

? a ? ?1 ? 解之,得: ?b ? 1 ?c ? 1 ?

········································ ?抛物线的解析式为: y ? ? x 2 ? x ? 1 . ········································4 分

1? 5 ? (2)? y ? ? x ? x ? 1 ? ? ? x ? ? ? 2? 4 ?
2

2

?抛物线的对称轴为 x ?

1 , 2
y D E C F B P x N

1 1 5 ? OE ? ,DE ? ?1 ? . ············6 分 ··········· 2 4 2
连结 BF,?BFD ? 90° ,

DE OD , ? ? BFD ∽△EOD ,? △ DB FD
A O

5 ,OD ? 1,DB ? 2 , 又 DE ? 2
? FD ? 4 5 , 5

M

? EF ? FD ? DE ?

4 5 5 3 5 ? ? . ········································ 分 ·······································8 5 2 10

(3)点 P 在抛物线上. ······················································· 分 ······················································9 设过 D、C 点的直线为: y ? kx ? b , 将点 C (1 0) D(0, 的坐标代入 y ? kx ? b ,得: k ? ?1 b ? 1 , ,、 1) , ················································· ?直线 DC 为: y ? ? x ? 1 . ·················································10 分

爱心

用心

专心

61

过点 B 作圆 O 的切线 BP 与 x 轴平行, P 点的纵坐标为 y ? ?1 , 将 y ? ?1 代入 y ? ? x ? 1 ,得: x ? 2 .

? ? P 点的坐标为 (2, 1) ,当 x ? 2 时, y ? ? x 2 ? x ? 1 ? ?22 ? 2 ? 1 ? ?1 ,
所以, P 点在抛物线 y ? ? x ? x ? 1 上. ·······································12 分 ·······································
2

【013】解: (1)? 该抛物线过点 C (0, 2) ,?可设该抛物线的解析式为 y ? ax ? bx ? 2 . ?
2

将 A(4, , B(1, 代入, 0) 0)

1 ? a?? , 16a ? 4b ? 2 ? 0, ? ? ? 2 得? 解得 ? ? a ? b ? 2 ? 0. ?b ? 5 . ? ? 2

1 5 ································ ?此抛物线的解析式为 y ? ? x 2 ? x ? 2 . ································(3 分) 2 2
(2)存在.·····························································(4 分) ····························································· 如图,设 P 点的横坐标为 m , 则 P 点的纵坐标为 ? 当 1 ? m ? 4 时,

1 2 5 m ? m?2 , 2 2
y B O 1
?2

1 5 AM ? 4 ? m , PM ? ? m2 ? m ? 2 . 2 2 又??COA ? ?PMA ? 90°, AM AO 2 ? ? 时, ?①当 PM OC 1 △APM ∽△ACO ,
即 4 ? m ? 2? ?

D P A M E C 4 x

(第 26 题图)

? 1 2 5 ? m ? m ? 2? . 2 ? 2 ?

解得 m1 ? 2,m2 ? 4 (舍去) ? P(2, . ··································· , 1) ·································· (6 分) ②当

AM OC 1 1 5 ? ? 时, △APM ∽△CAO ,即 2(4 ? m) ? ? m2 ? m ? 2 . PM OA 2 2 2

解得 m1 ? 4 , m2 ? 5 (均不合题意,舍去)

1) ·············································· ?当 1 ? m ? 4 时, P(2, .···············································(7 分)
类似地可求出当 m ? 4 时, P(5, 2) . ····································· (8 分) ····································· ? 当 m ? 1 时, P( ? 3, 14) . ?

爱心

用心

专心

62

综上所述,符合条件的点 P 为 (2, 或 (5, 2) 或 ( ? 3, 14) . ················· (9 分) ················· 1) ? ?

1 2 5 t ? t?2. 2 2 1 过 D 作 y 轴的平行线交 AC 于 E .由题意可求得直线 AC 的解析式为 y ? x ? 2 .(10 分) 2
(3)如图,设 D 点的横坐标为 t (0 ? t ? 4) ,则 D 点的纵坐标为 ?

1 5 1 ? 1 ? ?1 ? · ? E 点的坐标为 ? t, t ? 2 ? .? DE ? ? t 2 ? t ? 2 ? ? t ? 2 ? ? ? t 2 ? 2t . · (11 分) 2 2 2 ?2 ? ? 2 ? 1 ? 1 ? ? S△ DAC ? ? ? ? t 2 ? 2t ? ? 4 ? ?t 2 ? 4t ? ?(t ? 2) 2 ? 4 . 2 ? 2 ?

1) ····························· ?当 t ? 2 时, △DAC 面积最大.? D(2, . ······························(13 分)
【014】 (1)解:∵ A 点第一次落在直线 y ? x 上时停止旋转,∴ OA 旋转了 45 .
0

45? ? 22 ? ∴ OA 在旋转过程中所扫过的面积为 ? .?????4 分 360 2
(2)解:∵ MN ∥ AC ,∴ ?BMN ? ?BAC ? 45? , ?BNM ? ?BCA ? 45? . ∴ ?BMN ? ?BNM .∴ BM ? BN .又∵ BA ? BC ,∴ AM ? CN . 又 ∵ O A ?

O , ?OAM ? ?OCN , ∴ ?OAM ? ?OCN . ∴ ?AOM ? ?CON . ∴ C

1 ?AOM ? (90? ? 45?? ? ????? .∴旋转过程中,当 MN 和 AC 平行时,正方形 OABC 旋转的度 2
数为 45? ? ????? ? ????? .?????????????????8 分 (3)答: p 值无变化. 证明:延长 BA 交 y 轴于 E 点,则 ?AOE ? 45 ? ?AOM ,
0

. 又 ?CON ? 900 ? 450 ? ?AOM ? 450 ? ?AOM , ∴ ?A O E? ? C O N ∵ O A ?

, OC

?OAE ? 1800 ? 900 ? 900 ? ?OCN .∴ ?OAE ? ?OCN .∴ OE ? ON , AE ? CN .
又∵ ?MOE ? ?MON ? 45 , OM ? OM , ∴ ?OME ? ?OMN . y
0

∴ MN ? ME ? AM ? AE .∴ MN ? AM ? CN ,

E

y?x
A M B

∴ p ? MN ? BN ? BM ? AM ? CN ? BN ? BM ? AB ? BC ? 4 . ∴在旋转正方形 OABC 的过程中, p 值无变化. ?????12 分 O

N C
(第 26 题)

x

爱心

用心

专心

63

【015】⑴设二次函数的解析式为:y=a(x-h) +k∵顶点 C 的横坐标为 4,且过点(0, 7 3 ) 9
2

∴y=a(x-4) +k

2

7 3 ? 16 a ? k 9

??????① ∴A(1,0),B(7,0)

又∵对称轴为直线 x=4,图象在 x 轴上截得的线段长为 6

∴0=9a+k ??????②由①②解得 a= 3 ,k=- 3 ∴二次函数的解析式为:y= 3 (x-4)2- 3 9 9 ⑵∵点 A、B 关于直线 x=4 对称 ∴PA=PB ∴PA+PD=PB+PD≥DB ∴当点 P 在线段 DB 上时 PA+PD 取得 最小值 ∴DB 与对称轴的交点即为所求点 P 设直线 x=4 与 x 轴交于点 M ∵PM∥OD,∴∠BPM=∠BDO,又∠PBM=∠DBO ∴△BPM∽△BDO∴ PM ? BM DO BO
7 3 ?3 3 ∴点 P 的坐标为(4, 3 ) ∴ PM ? 9 ? 3 7 3

⑶由⑴知点 C(4, ? 3 ),又∵AM=3,∴在 Rt△AMC 中,cot∠ACM= 3 , 3 ∴∠ACM=60 ,∵AC=BC,∴∠ACB=120
o o

①当点 Q 在 x 轴上方时,过 Q 作 QN⊥x 轴于 N 如果 AB=BQ,由△ABC∽△ABQ 有 BQ=6,∠ABQ=120 ,则∠QBN=60 ∴QN=3 3 ,BN=3,ON=10,此时点 Q(10, 3 3 ), 如果 AB=AQ,由对称性知 Q(-2, 3 3 ) ②当点 Q 在 x 轴下方时,△QAB 就是△ACB,此时点 Q 的坐标是(4, ? 3 ), 经检验,点(10, 3 3 )与(-2, 3 3 )都在抛物线上 综上所述,存在这样的点 Q,使△QAB∽△ABC 点 Q 的坐标为(10, 3 3 )或(-2, 3 3 )或(4, ? 3 ).
o o

【016】解: (1)设正比例函数的解析式为 y ? k1 x(k1 ? 0) , 因为 y ? k1 x 的图象过点 A(3, ,所以 3 ? 3k1 ,解得 k1 ? 1 . 3) 这个正比例函数的解析式为 y ? x . ········································· ········································ (1 分) 设反比例函数的解析式为 y ?

k2 k 3) (k2 ? 0) .因为 y ? 2 的图象过点 A(3, ,所以 x x

爱心

用心

专心

64

3?

k2 9 ,解得 k2 ? 9 .这个反比例函数的解析式为 y ? .···················· (2 分) ···················· 3 x 9 9 3 ? 3? 的图象上,所以 m ? ? ,则点 B ? 6, ? . ····· ···· (3 分) x 6 2 ? 2?

(2)因为点 B(6,m) 在 y ?

设一次函数解析式为 y ? k3 x ? b(k3 ? 0) .因为 y ? k3 x ? b 的图象是由 y ? x 平移得到的, 所以 k3 ? 1 ,即 y ? x ? b .又因为 y ? x ? b 的图象过点 B ? 6, ? ,所以

? ?

3? 2?

3 9 9 ················· ? 6 ? b ,解得 b ? ? ,?一次函数的解析式为 y ? x ? . ················· (4 分) 2 2 2
(3)因为 y ? x ?

9 9? ? 的图象交 y 轴于点 D ,所以 D 的坐标为 ? 0, ? . ? 2? 2 ?
2

设二次函数的解析式为 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) . 因为 y ? ax ? bx ? c 的图象过点 A(3, 、 B ? 6, ? 、和 D ? 0, ? 3)
2

? ?

3? 2?

? ?

9? ?, 2?

? ?9a ? 3b ? c ? 3, ? 3 ? 所以 ?36a ? 6b ? c ? ,·········· (5 分) ··········· 2 ? 9 ? ?c ? ? 2 . ?
这个二次函数的解析式为 y ? ? (4)? y ? x ? 如图所示, S ?

1 ? ?a ? ? 2 , ? 解得 ?b ? 4, ? 9 ?c ? ? . 2 ?

1 2 9 ······························ x ? 4 x ? . ······························(6 分) 2 2

9 ?9 ? 交 x 轴于点 C ,?点 C 的坐标是 ? ,? , 0 2 ?2 ?

y 15 1 1 3 1 ? 6 ? ? 6 ? 6 ? ? ? 3 ? ? 3? 3 2 2 2 2 2 9 9 3 ? 45 ? 18 ? ? 4 2 81 ? . O 4 2 81 2 27 假设存在点 E ( x0,y0 ) ,使 S1 ? S ? . ? ? 3 4 3 2

A E 3 C B 6 x

?四边形 CDOE 的顶点 E 只能在 x 轴上方,? y0 ? 0 , D
1 9 9 1 9 81 9 ? S1 ? S△OCD ? S△OCE ? ? ? ? ? ?y0 ? ? y0 . 2 2 2 2 2 8 4

爱心

用心

专心

65

?

81 9 27 3 ,? y0 ? .? E ( x0,y0 ) 在二次函数的图象上, ? y0 ? 8 4 2 2 1 2 9 3 ?? x0 ? 4 x0 ? ? .解得 x0 ? 2 或 x0 ? 6 . 2 2 2
? ? 3? 2?

当 x0 ? 6 时,点 E ? 6, ? 与点 B 重合,这时 CDOE 不是四边形,故 x0 ? 6 舍去,

? 3? ?点 E 的坐标为 ? 2, ? . (8 分) ? 2?
【017】解: (1)已知抛物线 y ? x ? bx ? c 经过 A(1 0) B(0, , ,, 2)
2

?0 ? 1 ? b ? c ?? ?2 ? 0 ? 0 ? c

解得 ?

?b ? ?3 ?c ? 2

······································ ?所求抛物线的解析式为 y ? x 2 ? 3x ? 2 . ······································2 分 (2)? A(1 0) , B(0, ,?OA ? 1 OB ? 2 , 2) , 可得旋转后 C 点的坐标为 (3, ·················································3 分 1) ················································· 当 x ? 3 时,由 y ? x ? 3x ? 2 得 y ? 2 ,
2

可知抛物线 y ? x ? 3x ? 2 过点 (3, 2)
2

?将原抛物线沿 y 轴向下平移 1 个单位后过点 C .
·································· ?平移后的抛物线解析式为: y ? x 2 ? 3x ? 1 .···································5 分
2 (3)?点 N 在 y ? x ? 3x ? 1 上,可设 N 点坐标为 ( x0,x0 ? 3 x0 ? 1)
2

将 y ? x ? 3x ? 1 配方得 y ? ? x ?
2

? ?

3? 5 3 ················· ? ? ,?其对称轴为 x ? . ·················6 分 2? 4 2
y

2

①当 0 ? x0 ?

3 时,如图①, 2

? S△ NBB1 ? 2S△ NDD1

B B1 O C D N D 1 图① x

1 1 ?3 ? ? ?1? x0 ? 2 ? ?1? ? ? x0 ? 2 2 ?2 ?
? x0 ? 1
此时 x0 ? 3x0 ? 1 ? ?1
2

A

爱心

用心

专心

66

····················································· ? ? N 点的坐标为 (1, 1) . ·····················································8 分

3 ②当 x0 ? 时,如图② 2
同理可得

y

1 1 ? 3? ?1? x0 ? 2 ? ? ? x0 ? ? 2 2 ? 2?
B1 O

B N C x

? x0 ? 3
此时 x0 ? 3 x0 ? 1 ? 1
2

A D D1 图②

1) ?点 N 的坐标为 (3, .
综上,点 N 的坐标为 (1 ? 1) 或 (3, . ·········································· 分 , 1) ·········································10 【018】解: (1)? 抛物线 y ? ax ? bx ? 4a 经过 A(?1 0) , C (0, 两点, , 4)
2

?a ? b ? 4a ? 0, ? a ? ?1, ?? 解得 ? ??4a ? 4. ?b ? 3.

?抛物线的解析式为 y ? ? x 2 ? 3x ? 4 .
(2)?点 D(m,m ? 1) 在抛物线上,? m ? 1 ? ?m ? 3m ? 4 ,
2

y 即 m ? 2m ? 3 ? 0 ,? m ? ?1 或 m ? 3 .
2

4) ?点 D 在第一象限,?点 D 的坐标为 (3, .
由(1)知 OA ? OB, CBA ? 45° . ?? 设点 D 关于直线 BC 的对称点为点 E .

C

D

? C (0, ,?CD ∥ AB ,且 CD ? 3 , 4)

A

E B O x

??ECB ? ?DCB ? 45° ,

? E 点在 y 轴上,且 CE ? CD ? 3 .
1) ?OE ? 1,? E (0, .
即点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标为(0,1) . (3)方法一:作 PF ⊥ AB 于 F , DE ⊥ BC 于 E . 由(1)有: OB ? OC ? 4, OBC ? 45°, ?? ??DBP ? 45° ??CBD ? ?PBA . ,

y

? C (0,,D(3, ,?CD ∥OB 且 CD ? 3 . 4) 4)

C P A F O E

D

??DCE ? ?CBO ? 45°,

B

x
67

爱心

用心

专心

? DE ? CE ?

3 2 . 2 5 2 , 2

?OB ? OC ? 4 ,? BC ? 4 2 ,? BE ? BC ? CE ?
DE 3 ? . BE 5 设 PF ? 3t ,则 BF ? 5t ,?OF ? 5t ? 4 , ? tan ?PBF ? tan ?CBD ?
? P(?5t ? 4, ) . 3t

? P 点在抛物线上,

? 3t ? ?(?5t ? 4)2 ? 3(?5t ? 4) ? 4 ,
?t ? 0 (舍去)或 t ?
22 ? 2 66 ? ,? P ? ? , ? . 25 ? 5 25 ?

方法二: 过点 D 作 BD 的垂线交直线 PB 于点 Q , 过点 D 作 DH ⊥ x 轴于 H . Q 点作 QG ⊥ DH 过 于G .

? ?PBD ? 45° ?QD ? DB . , ??QDG ? ?BDH ? 90° ,
又 ?DQG ? ?QDG ? 90° ,??DQG ? ?BDH . Q C P

y

D G B O H

?△QDG ≌△DBH ,?QG ? DH ? 4 , DG ? BH ? 1 .
由(2)知 D(3, ,?Q(?1 3) . 4) ,

A

x

3 12 ? B(4, ,?直线 BP 的解析式为 y ? ? x ? . 0) 5 5
2 ? ? y ? ? x 2 ? 3 x ? 4, ?x ? ? 5 , x1 ? 4, 2 ? ? ? 解方程组 ? ? 3 12 得 ? ? y ? ? x ? , ? y1 ? 0; y ? 66 . ? 5 5 ? ? 2 25 ?
? 2 66 ? ?点 P 的坐标为 ? ? , ? . ? 5 25 ?
【019】 (1)EO>EC,理由如下: 由折叠知,EO=EF,在 Rt△EFC 中,EF 为斜边,∴EF>EC, 故 EO>EC ?2 分 (2)m 为定值 ∵S 四边形 CFGH=CF2=EF2-EC2=EO2-EC2=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―EC) S 四边形 CMNO=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC) ·CO
爱心 用心 专心 68

∴m ?

S四边形 CFGH ?1 S四边形 CMNO

????????????????????4 分

(3)∵CO=1, CE ? ,QF ? ∴cos∠FEC=

1 3

2 3

∴EF=EO= 1 ?

1 2 ? ? QF 3 3

1 ∴∠FEC=60°, 2 180 ? ? 60? ∴ ?FEA ? ? 60? ? ?OEA,?EAO ? 30? 2 2 ∴△EFQ 为等边三角形, EQ ? ????????????????5 分 3
作 QI⊥EO 于 I,EI=

3 3 1 1 EQ ? EQ ? ,IQ= 2 3 2 3 3 1 , ) 3 3
??????????????6 分

∴IO=

2 1 1 ? ? 3 3 3

∴Q 点坐标为 (

∵抛物线 y=mx2+bx+c 过点 C(0,1), Q ( ∴可求得 b ? ? 3 ,c=1 ∴抛物线解析式为 y ? x ? 3x ? 1
2

3 1 , ) ,m=1 3 3

??????????????7 分

(4)由(3) AO ? , 当x ?

3EO ?

2 3 3

2 2 2 1 3 时, y ? ( 3 ) 2 ? 3 ? 3 ? 1 ? <AB 3 3 3 3
2 3 1 , ) 3 3
???????8 分

∴P 点坐标为 ( ∴BP= 1 ?

1 2 ? AO 3 3


方法 1:若△PBK 与△AEF 相似,而△AEF≌△AEO,则分情况 下:
2 2 3 4 3 8 3 BK ① ? 3 时, BK ? 9 ∴K 点坐标为 ( 9 ,1) 或 ( 9 ,1) 2 2 3 3 3

② BK

2 时, BK ? 3 2 2 3 3 3

?

2 3 3

∴K 点坐标为 (

4 3 ,1) 或 (0,1) ????10 分 3

故直线 KP 与 y 轴交点 T 的坐标为

爱心

用心

专心

69

5 7 1 (0,? )或(0, )或(0,? )或(0,1) 3 3 3

????????????????12 分

方法 2: 若△BPK 与△AEF 相似, (3) ∠BPK=30°或 60°, P 作 PR⊥y 轴于 R, 由 得: 过 则∠RTP=60° 或 30° ①当∠RTP=30°时, RT ?

2 3 ? 3?2 3 2 3 2 ? 3? 3 3

②当∠RTP=60°时, RT ?

∴ T1 (0, ),T 2(0,? ),T3 (0,? ),T4 (0,1)

7 3

5 3

1 3

???????????12 分

【020】解: (1)①CF⊥BD,CF=BD ②成立,理由如下:∵∠FAD=∠BAC=90° ∴∠BAD=∠CAF 又 BA=CA ,AD=AF ∴△BAD≌△CAF∴CF=BD ∠ACF=∠ACB=45° ∴∠BCF=90° ∴CF⊥BD ??(1 分) (2)当∠ACB=45°时可得 CF⊥BC,理由如下: 如图:过点 A 作 AC 的垂线与 CB 所在直线交于 G 则∵∠ACB=45° ∴AG=AC ∠AGC=∠ACG=45° ∵AG=AC AD=AF ???(1 分) ∴△GAD≌△CAF(SAS) ∴∠ACF=∠AGD=45° ∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90° ∴CF⊥BC ????(2 分) (3)如图:作 AQBC 于 Q ∵∠ACB=45° AC=4 2 ∴CQ=AQ=4

∵∠PCD=∠ADP=90°∴∠ADQ+∠CDP=∠CDP+∠CPD=90° ∴△ADQ∽△ DPC PC CD ∴ = DQ AQ 设 CD 为 x ( 0 < x < 3
PC x = 4? x 4

?(1 分)





DQ=CQ



CD=4



x



????(1 分)

∴PC=

1 1 (-x2+4x)=- (x-2)2+1≥1 4 4

当 x=2 时,PC 最长,此时 PC=1 【031】解: (1)5 , 24,

???(1 分)

24 ?????????????3 分 5 (2)①由题意,得 AP=t,AQ=10-2t. ??????????????1 分 如图 1,过点 Q 作 QG⊥AD,垂足为 G,由 QG∥BE 得 QG QA △AQG∽△ABE,∴ , ? y BE BA D 48 48t ∴QG= , ??????????1 分 ? P 5 25
E G A O Q B
(图1)

C

x

爱心

用心

专心

70

1 24 24 5 AP ? QG ? ? t 2 ? t ( ≤t≤5). 2 25 5 2 24 5 2 5 ≤t≤5). ∵ S ? ? (t ? ) ? 6 ( 25 2 2
∴S ? ∴当 t=

5 时,S 最大值为 6.???????1 分 2

② 要使△APQ 沿它的一边翻折,翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形,根据轴对称的性质, 只需△APQ 为等腰三角形即可. 当 t=4 秒时,∵点 P 的速度为每秒 1 个单位,∴AP= 4 .??????1 分 以下分两种情况讨论: 第一种情况:当点 Q 在 CB 上时, ∵PQ≥BE>PA,∴只存在点 Q1,使 Q1A=Q1P. 如图 2,过点 Q1 作 Q1M⊥AP,垂足为点 M,Q1M 交 AC 于点 F,则 AM= 由△AMF∽△AOD∽△CQ1F,得 ∴ Q1 F ? MQ1 ? FM ?

1 AP ? 2 . 2

FM Q1 F OD 3 3 ? ? ? , FM ? , AM CQ1 AO 4 2

P E A M F O C x y D

33 . ? ? ? ? ??1 10 4 1? t AP , 22 ∴CQ1= QF = .则 ? 3 5 k ? t CQ1 CQ1 11 ∴k ? .???????????1 分 ? AP 10 第二种情况:当点 Q 在 BA 上时,存在两点 Q2,Q3,
分别使 A P= A Q2,PA=PQ3. ①若 AP=AQ2,如图 3,CB+BQ2=10-4=6.

BQ1 y (图2) D P

1? t AP CB ? BQ2 3 ,∴ k ? ? ? .??1 分 AP 2 k ? t CB ? BQ2 ②若 PA=PQ3,如图 4,过点 P 作 PN⊥AB,垂足为 N,


AN AP 由△ANP∽△AEB,得 . ? AE AB 28 7 ∵AE= AB 2 ? BE 2 ? , ∴AN= . 5 25 56 56 194 ∴AQ3=2AN= , ∴BC+BQ3=10? 25 25 25 CB ? BQ3 97 1? t AP 则 .∴ k ? . ? ? AP 50 k ? t CB ? BQ3 ?????????1 分 综上所述,当 t= 4 秒,以所得的等腰三角形 APQ 沿底边翻折,
11 3 97 翻折后得到菱形的 k 值为 或 或 . 10 2 50

A

O

C

x

Q2 B y D (图3) P E A N Q3 B
(图4)

O

C

x

【032】解: (1)在△ABC 中,∵ AC ? 1 , AB ? x , BC ? 3 ? x .
?1 ? x ? 3 ? x ∴? ,解得 1 ? x ? 2 . ?1 ? 3 ? x ? x

·············································4 分 ·············································
爱心 用心 专心 71

(2)①若 AC 为斜边,则 1 ? x 2 ? (3 ? x) 2 ,即 x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ,无解. ②若 AB 为斜边,则 x 2 ? (3 ? x) 2 ? 1 ,解得 x ? ③若 BC 为斜边,则 (3 ? x) 2 ? 1 ? x 2 ,解得 x ? ∴x?
5 4 或x? . 3 3 5 ,满足 1 ? x ? 2 . 3 4 ,满足 1 ? x ? 2 . 3

·························································· 分 ·························································9

(3)在△ABC 中,作 CD ? AB 于 D, 设 CD ? h ,△ABC 的面积为 S,则 S ? ①若点 D 在线段 AB 上, 则 1 ? h 2 ? (3 ? x) 2 ? h 2 ? x .
1 xh . 2

C

M

A

D

B

N

(第 24 题-1)

∴ (3 ? x) 2 ? h 2 ? x 2 ? 2 x 1 ? h 2 ? 1 ? h 2 ,即 x 1 ? h 2 ? 3x ? 4 . ∴ x 2 (1 ? h 2 ) ? 9 x 2 ? 24x ? 16 ,即 x 2 h 2 ? ?8x 2 ? 24x ? 16 . ∴S2 ?

4 1 2 2 3 1 . x h ? ?2 x 2 ? 6 x ? 4 ? ?2( x ? ) 2 ? ( ≤ x ? 2 ) 4 2 2 3

·················11 分 ·················

当x?

4 2 3 1 时(满足 ≤ x ? 2 ) S 2 取最大值 ,从而 S 取最大值 , .·············13 分 ············· 2 2 2 3

②若点 D 在线段 MA 上, 则 (3 ? x) 2 ? h 2 ? 1 ? h 2 ? x . 同理可得, S 2 ?
1 2 2 x h ? ?2 x 2 ? 6 x ? 4 4

C

4 3 1 , ? ?2( x ? ) 2 ? ( 1 ? x ≤ ) 2 2 3
2 易知此时 S ? . 2

M

D A

B

N

(第 24 题-2)

综合①②得,△ABC 的最大面积为 【033】 y C N B A (1) M ?1 a ? 1?,N ? , O D

2 . ········································ 分 ·······································14 2

P1 N′ x B A C N

y

O P2

x

M 1 ? ?4 a, a ? .?????4 分 ? 3 ? ?3 第(2)题
爱心 用心

M 备用图
专心 72

(2)由题意得点 N 与点 N ′关于 y 轴对称,? N ? ? ? 将 N ′的坐标代入 y ? x ? 2 x ? a 得 ? a ?
2

1 ? ? 4 a, a ? , ? 3 ? ? 3

1 3

16 2 8 a ? a?a, 9 3

9 ? a1 ? 0 (不合题意,舍去) a2 ? ? .?????2 分 , 4
3? ? ? N ? ?3, ? ,?点 N 到 y 轴的距离为 3. 4? ?
9? 9 ? ? 3? ? A ? 0, ? , N ? ? 3, ? ,?直线 AN ? 的解析式为 y ? x ? , ? 4? 4 ? ? 4?
它与 x 轴的交点为 D ? ,?, 点 D 到 y 轴的距离为 0 ?

?9 ?4

? ?

9 . 4

1 9 1 9 9 189 .?????2 分 ? S四边形ADCN ? S△ ACN ? S△ ACD ? ? ? 3 ? ? ? ? 2 2 2 2 4 16
(3)当点 P 在 y 轴的左侧时,若 ACPN 是平行四边形,则 PN 平行且等于 AC ,

7 ? ?4 ? ?把 N 向上平移 ?2a 个单位得到 P ,坐标为 ? a, a ? ,代入抛物线的解析式, 3 ? ?3
得: ?

7 16 8 a ? a2 ? a ? a 3 9 3

3 ? 1 7? ? a1 ? 0 (不舍题意,舍去) a2 ? ? ,? P ? ? , ? .?????2 分 , 8 ? 2 8?
当点 P 在 y 轴的右侧时,若 APCN 是平行四边形,则 AC 与 PN 互相平分,

?OA ? OC,OP ? ON .
? 4 1 ? ? P 与 N 关于原点对称,? P ? ? a, a ? , ? 3 3 ?
将 P 点坐标代入抛物线解析式得: a ?

1 3

16 2 8 a ? a?a, 9 3

? a1 ? 0 (不合题意,舍去) a2 ? ? ,

15 ? 5 5? ,? P ? , ? .?????2 分 ? 8 ?2 8?

? 1 7? ?5 5? ? ?存在这样的点 P ? ? , ? 或 P2 ? , ? ,能使得以 P,A,C,N 为顶点的四边形是平行四边 1 ? 2 8? ?2 8?
形. 【034】解: (1)2 3 . ?????2 分

爱心

用心

专心

73

(2)证明:在 BB? 上取点 P ,使 ?BPC ? 120° , A B? 连结 AP ,再在 PB? 上截取 PE ? PC ,连结 CE . E ??BPC ? 120° ??EPC ? 60°,? PCE 为正三角形, , △ ? PC ? CE,?PCE ? 60° ?CEB? = 120°, , P ? ACB? 为正三角形,? AC ? B? C,?ACB? = 60°, △ B C ??PCA ? ?ACE ? ?ACE ? ?ECB? = 60°, 第(25)题 ??PCA ? ?ECB? ′,? ACP ≌△B? CE . △ ??APC ? ?B? CE ? 120° PA ? EB? , , ??APB ? ?APC ? ?BPC ? 120° ,? P 为 △ABC 的费马点, ? BB? 过 △ABC 的费马点 P ,且 BB? = EB? + PB ? PE ? PA ? PB ? PC .???2 分 【035】解: (1) Q (1,0) ··················································· 分 ··················································1 点 P 运动速度每秒钟 1 个单位长度. ···········································2 分 ··········································· (2) 过点 B 作 BF⊥y 轴于点 F , BE ⊥ x 轴于点 E ,则 BF =8, OF ? BE ? 4 . ∴ AF ? 10 ? 4 ? 6 .
y

在 Rt△AFB 中, AB ? 8 ? 6 ? 10
2 2

3分

D

过点 C 作 CG ⊥ x 轴于点 G ,与 FB 的延长线交于点 H . ∵ ?ABC ? 90?, AB ? BC ∴△ABF≌△BCH. ∴ BH ? AF ? 6, CH ? BF ? 8 . ∴ OG ? FH ? 8 ? 6 ? 14, CG ? 8 ? 4 ? 12 . ∴所求 C 点的坐标为(14,12) . (3) 过点 P 作 PM⊥y 轴于点 M,PN⊥ x 轴于点 N, 则△APM∽△ABF. ∴
AP AM MP . ? ? AB AF BF
3 5 4 5 ? t AM MP . ? ? 10 6 8

C A M F P H Gx

4分
O N Q

B E

∴ AM ? t,PM ? t .

∴ PN ? OM ? 10 ? t , ON ? PM ? t .

3 5

4 5

设△OPQ 的面积为 S (平方单位) ∴ S ? ? (10 ? t )(1 ? t ) ? 5 ?
1 2 3 5 47 3 ································5 t ? t 2 (0≤ t ≤10) ································· 分 10 10

说明:未注明自变量的取值范围不扣分.
3 ∵ a ? ? <0 10

∴当 t ? ?

47 10 3 2 ? (? ) 10

?

47 时, △OPQ 的面积最大. ·················· 分 ·················6 6

此时 P 的坐标为(
5 3

94 53 , ) . ··············································7 分 ·············································· 15 10 295 时, 13

(4) 当 t ? 或 t ?

OP 与 PQ 相等. ·································9 分 ·································

对一个加 1 分,不需写求解过程. 【036】解: (1)由已知,得 C (3, , D(2, , 0) 2)

??ADE ? 90°? ?CDB ? ?BCD ,
1 1) ·············· ? AE ? AD?tan ?ADE ? 2 ? tan ?BCD ? 2 ? ? 1 .? E (0, .··············(1 分) 2
爱心 用心 专心 74

设过点 E、D、C 的抛物线的解析式为 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) .将点 E 的坐标代入,得 c ? 1 .
2

[来源:学&

将 c ? 1 和点 D、C 的坐标分别代入,得 ?

?4a ? 2b ? 1 ? 2, ······················ ····················· (2 分) ?9a ? 3b ? 1 ? 0.

5 ? ?a ? ? 6 ? 解这个方程组, 得 ? ?b ? 13 ? 6 ?

故抛物线的解析式为 y ? ?
[来源:学#科#网]

5 2 13 ······ x ? x ? 1 . ·······(3 分) 6 6

(2) EF ? 2GO 成立. ··················································· ·················································· (4 分)

6 12 ·········· ?点 M 在该抛物线上,且它的横坐标为 ,?点 M 的纵坐标为 . ···········(5 分) 5 5
设 DM 的解析式为 y ? kx ? b1 (k ? 0) , 将点 D、M 的坐标分别代入,得 F A E x y


D B

? 2k ? b1 ? 2, ? ?6 12 ? 5 k ? b1 ? 5 . ?

1 ? ?k ? ? , 解得 ? 2 ?b1 ? 3. ?

O

G

K

C

1 ····················· 3) ? DM 的解析式为 y ? ? x ? 3 .? F (0, , EF ? 2 .······················(7 分) 2 过点 D 作 DK ⊥ OC 于点 K ,则 DA ? DK .??ADK ? ?FDG ? 90°, ??FDA ? ?GDK .又??FAD ? ?GKD ? 90°,? DAF ≌△DKG . △ ? KG ? AF ? 1 . ?GO ? 1.? EF ? 2GO .
[来

(3)?点 P 在 AB 上, G(1 0) , C (3, ,则设 P(1 2) . , 0) ,

? PG 2 ? (t ? 1)2 ? 22 , PC 2 ? (3 ? t )2 ? 22 , GC ? 2 .
①若 PG ? PC ,则 (t ? 1) ? 2 ? (3 ? t ) ? 2 ,
2 2 2 2

解得 t ? 2 .? P(2, ,此时点 Q 与点 P 重合.? Q(2, . 2) 2) ②若 PG ? GC ,则 (t ? 1) ? 2 ? 2 ,解得 t ? 1 ,? P(1 2) ,此时 GP ⊥ x 轴. ,
2 2 ?

7 ? 7? GP 与该抛物线在第一象限内的交点 Q 的横坐标为 1,?点 Q 的纵坐标为 .? Q ? 1, ? . 3 ? 3?
③若 PC ? GC ,则 (3 ? t ) ? 2 ? 2 ,
2 2 2
[来

解得 t ? 3 ,? P(3, ,此时 PC ? GC ? 2 , △PCG 是等腰直角三角形. 2) 过点 Q 作 QH ⊥ x 轴于点 H ,则 QH ? GH ,设 QH ? h , A E
爱心 用心 专心

y Q P Q (Q) D (P) B (P)

? Q(h ? 1,h) .

O

G

H C

75

x

5 13 ?? (h ? 1)2 ? (h ? 1) ? 1 ? h . 6 6
解得 h1 ?

7 ? 12 7 ? . (12 分) ,h2 ? ?2 (舍去) ? Q ? , ? . 5 ? 5 5?
? 7? ? 3? ? 12 7 ? ,?. ? 5 5?

综上所述,存在三个满足条件的点 Q ,即 Q(2, 或 Q ? 1, ? 或 Q ? 2) 【037】 (1) 解: 设第一象限内的点 B (m,n) 则 tan∠POB ? ,

n 1 1 得 又点 B 在函数 y ? ? , m=9n, m 9 x 1 1 的图象上,得 n ? ,所以 m=3(-3 舍去) ,点 B 为 (3, ) , m 3 1 1 1 8 而 AB∥x 轴,所以点 A( , ) ,所以 AB ? 3 ? ? ; 3 3 3 3 1 1 8 (2)由条件可知所求抛物线开口向下,设点 A(a , a) ,B( ,a) ,则 AB= - a = , a a 3 1 2 所以 3a ? 8a ? 3 ? 0 ,解得 a ? ?3或a ? . 3 1 5 当 a = -3 时,点 A(―3,―3) ,B(― ,―3) ,因为顶点在 y = x 上,所以顶点为(- , 3 3 5 5 2 5 3 - ) ,所以可设二次函数为 y ? k ( x ? ) ? ,点 A 代入,解得 k= - ,所以所求函数解析 3 3 3 4 3 5 2 5 式为 y ? ? ( x ? ) ? . 4 3 3 1 3 5 2 5 同理,当 a = 时,所求函数解析式为 y ? ? ( x ? ) ? ; 3 4 3 3 1 a 1 (3)设 A(a , a) ,B( ,a) ,由条件可知抛物线的对称轴为 x ? ? . a 2 2a 9 1 设所求二次函数解析式为: y ? ( x ? 2)( x ? (a ? ) ? 2) . 5 a
点 A(a , a)代入,解得 a1 ? 3 , a 2 ?

6 6 ,所以点 P 到直线 AB 的距离为 3 或 。 13 13

【038】解: (1)矩形(长方形) ;

BP 4 ? . BQ 7

(2)①? ?POC ? ?B?OA? , ?PCO ? ?OA?B? ? 90° ,? COP ∽△A?OB? . △

?

CP OC CP 6 9 7 ,即 ·················· ? ? ,? CP ? , BP ? BC ? CP ? .···················4 分 A?B? OA? 6 8 2 2
CQ B?C CQ 10 ? 6 ? ,即 , ? C ?Q B?C ? 6 8 BP 7 ? .································ 分 ·······························6 BQ 22
用心 专心 76

同理 △B?CQ ∽△B?C?O ,?

?CQ ? 3 , BQ ? BC ? CQ ? 11.?

爱心

②在 △OCP 和 △B?A?P 中,

??OPC ? ?B?PA?, ? ·························· △ ??OCP ? ?A? ? 90°, ? OCP ≌△B?A?P(AAS) . ··························7 分 ?OC ? B?A?, ?
[来源:学科网 ZXXK]

?OP ? B?P .设 B?P ? x , 在 Rt△OCP 中, (8 ? x) 2 ? 62 ? x 2 ,解得 x ?
[来源:学科网]

25 . ·· 分 ·8 4

1 25 75 . ·················································· 分 ·················································9 ? S△OPB? ? ? ? 6 ? 2 4 4 1 (3)存在这样的点 P 和点 Q ,使 BP ? BQ . ································· 分 ································10 2
点 P 的坐标是 P ? ?9 ? 1

? ?

3 ? ? 7 ? ································· 6 6,? , P2 ? ? ,? .·································12 分 6 2 ? 4 ? ?
B?
B C H y Q

对于第(3)题,我们提供如下详细解答,对学生无此要求. 过点 Q 画 QH ⊥ OA? 于 H ,连结 OQ ,则 QH ? OC ? ? OC , P

? S△POQ ?

1 1 PQ? , S△POQ ? OP? OC QH , 2 2 1 ? PQ ? OP .设 BP ? x ,? BP ? BQ ,? BQ ? 2 x , 2
① 如图 1,当点 P 在点 B 左侧时,

A?
A O y B

C?

x

OP ? PQ ? BQ ? BP ? 3x ,
在 Rt△PCO 中, (8 ? x) ? 6 ? (3x) ,
2 2 2
[来源:学科网 ZXXK]

A?
P H O

B?
Q

C

C?
A x

解得 x1 ? 1 ?

3 3 . 6 , x2 ? 1 ? 6 (不符实际,舍去) 2 2
3 3 ? ? 6,? . 6 6 ,? P ? ?9 ? 1 2 2 ? ?

? PC ? BC ? BP ? 9 ?

②如图 2 ,当点 P 在点 B 右侧时,?OP ? PQ ? BQ ? BP ? x , PC ? 8 ? x . 在 Rt△PCO 中, (8 ? x) ? 6 ? x ,解得 x ?
2 2 2

25 25 7 .? PC ? BC ? BP ? 8 ? ? , 4 4 4

1 3 ? 7 ? ? ? ? 7 ? 6 ? P2 ? ? ,? .综上可知,存在点 P ? ?9 ? 6 6,? , P2 ? ? ,? ,使 BP ? BQ . 6 1 2 2 ? 4 ? ? 4 ? ? ?
【039】(1) 将点 A(-4,8)的坐标代入 y ? ax2 ,解得 a ? 将点 B(2,n)的坐标代入 y ?
1 . ??1 分 2

1 2 x ,求得点 B 的坐标为(2,2), 2

则点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标为(2,-2).
5 4 直线 AP 的解析式是 y ? ? x ? . 3 3

??1 分 ??1 分

A

y 8 6 4

爱心

用心

专心

B 2 C D -4 -2 O Q 2 4 x -2 P -4 (第 24 题(1))

77

令 y=0,得 x ?

4 4 .即所求点 Q 的坐标是( ,0). 5 5
4 14 ︱= , 5 5

??1 分 ??1 分

(2)① 解法 1:CQ=︱-2故将抛物线 y ?

1 2 14 x 向左平移 个单位时,A′C+CB′最短, 2 5

1 14 此时抛物线的函数解析式为 y ? ( x ? )2 . 2 5

??1 分
A y 8 6 4 B 2 2 4 x

1 2 x 向左平移 m 个单位,则平移后 A′,B′的 2 坐标分别为 A′(-4-m,8)和 B′(2-m,2),点 A′关于 x 轴对称点的坐 标为 A′′(-4-m,-8).

解法 2:设将抛物线 y ?



5 5 4 直线 A′′B′的解析式为 y ? x ? m ? . 要使 A′C+CB′最短,点 3 3 3 C 应在直 线 A′′B′上,将点 C(-2,0)代入直线 A′′B′的解析式,

C D ′ -4 -2 O -2 -4 A

解得 m ?

14 . 5 1 2 14 x 向左平移 个单位时 A′C+CB′最短,此时抛物线 2 5

故将抛物线 y ?

′ (第 24 题(2)①) ′

1 14 的函数解析式为 y ? ( x ? )2 . 2 5

??1 分

② 左右平移抛物线 y ?

1 2 x ,因为线段 A′B′和 CD 的长是定值,所以要使四边形 A′B′CD 的 2
A′ y 8 6 4 B′ 2 2 4 x

周长最短,只要使 A′D+CB′最短; ??1 分 第一种情况:如果将抛物线向右平移,显然有 A′D+CB′>AD+CB,因此不存 在某个位置,使四边形 A′B′CD 的周长最短.??1 分 第二种情况:设抛物线向左平移了 b 个单位,则点 A′和点 B′的坐标分别为 A′(-4-b,8)和 B′(2-b,2). 因为 CD=2,因此将点 B′向左平移 2 个单位得 B′′(-b,2), 要使 A′D+CB′最短,只要使 A′D+DB′′最短. ??1 分 点 A′关于 x 轴对称点的坐标为 A′′(-4-b,-8),直线 A′′B′′的解析式
5 5 为 y ? x ? b ? 2 .要使 A′D+DB′′最短,点 D 应在直线 A′′B′′上, 2 2

B

D ′C -4 -2 O ′ -2 -4 A

′ (第 24 题(2)②) ′

16 将点 D(-4, 0)代入直线 A′′B′′的解析式, 解得 b ? . 故将抛物线向左平移时, 存在某个位置, 5 1 16 使四边形 A′B′CD 的周长最短,此时抛物线的函数解析式为 y ? ( x ? )2 .??1 分 2 5

【040】 (1)解 ①如图 1,当 B? 在△ABC 内时,重叠部分是平行四边形,由题意得:

2x ?

3 2 2

解得 x=

3 ??(2 分) 2

②如图 3 ,当 A? 在△ABC 内时,重叠部分是平行四边形,由题意得:

A? N= 6 2 ? x

列式得( 6 2 ? x )× 2 =
爱心 用心 专心

3 2 2
78

解得 x= 6 2 ?

3 ??(2 分) 2
3 2 平方厘米时,△ A?B?C? 移动的时 2

综上所述,当△ A?B?C ? 与△ ABC 重叠部分面积 为 间为

3 3 或( 6 2 ? )秒。 2 2

图1 (2) ①如图 1,当 0≤x≤ 2 2 时

图2

图3

y ? 2 x ??(1 分)

②如图 2,当 2 2 ≤x≤ 4 2 时,如图,△D B? N, △ A?ME ,△ C ?FG 是等腰直角三角形,

B? N= x ? 2 ,GF=MN= 2 2 , A?M ? 4 2 ? x
y? 1 1 1 1 ? 4 ? 4 ? ? 2 ? 2 ? ? ( x ? 2 2 ) 2 ? ? (4 2 ? x) 2 2 2 4 4 1 2 即 y ? ? x ? 3 2 x ? 4 ?(3 分) 2
③如图 3,当 4 2 ≤x≤ 6 2 时, y ? ? 2 x ? 12 ?(1 分) (3)①当 0≤x≤ 2 2 时, ②当 2 2 ≤x≤ 4 2 时, ③当 4 2 ≤x≤ 6 2 时,

y

最大值

=4 ??(1 分) =5 ??(2 分) =4 ??(1 分)

y

最大值

y

最大值

所以,△ A?B?C ? 与△ ABC 重叠部分面积的最大值为 5。 【041】 (1)如图 (3 分) y(千米) 150 100 E 50 A -1 0 1 2 C D B

6 7 8 x(小时) 5 3 4 (2)2 次································································ ·······························································(5 分) (3)如图,设直线 AB 的解析式为 y ? k1 x ? b1 ,
爱心 用心 专心 79

0) 150) ?图象过 A(4,,B(6, ,
? 4k1 ? b1 ? 0, ?k1 ? 75, ?? ?? ·························· y ? 75 x ? 300 .① ··························(7 分) ?6k1 ? b1 ? 150. ?b1 ? ?300.
设直线 CD 的解析式为 y ? k2 x ? b2 ,

0) 150) ?图象过 C (7,,D(5, ,

?7 k2 ? b2 ? 0, ?k2 ? ?75, ?? ?? ······················· ? y ? ?75x ? 525 .② ·······················(7 分) ?5k2 ? b2 ? 150. ?b2 ? 525.
解由①、②组成的方程组得 ?

? x ? 5.5, ? y ? 112.5.

?最后一次相遇时距离乌鲁木齐市的距离为 112.5 千米. (12 分) 【042】解: (1)∵点 D 是 OA 的中点,∴ OD ? 2 ,∴ OD ? OC . 又∵ OP 是 ?COD 的角平分线,∴ ?POC ? ?POD ? 45° , ∴ △POC ≌△POD ,∴ PC ? PD .·········································· 分 ·········································3 (2)过点 B 作 ?AOC 的平分线的垂线,垂足为 P ,点 P 即为所求. 易知点 F 的坐标为(2,2) ,故 BF ? 2 ,作 PM ⊥ BF , y P 1 ∵ △PBF 是等腰直角三角形,∴ PM ? BF ? 1 , (0, F 2) 2 C M B ∴点 P 的坐标为(3,3) .
∵抛物线经过原点,∴设抛物线的解析式为 y ? ax ? bx . O
2

D

A(4, 0)

x

?9a ? 3b ? 3 又∵抛物线经过点 P(3, 和点 D(2, ,∴有 ? 3) 0) ?4a ? 2b ? 0
2

E ?a ? 1 解得 ?

?b ? ?2

∴抛物线的解析式为 y ? x ? 2 x . ·············································7 分 ············································· (3)由等腰直角三角形的对称性知 D 点关于 ?AOC 的平分线的对称点即为 C 点. 连接 EC ,它与 ?AOC 的平分线的交点即为所求的 P 点(因为 PE ? PD ? EC ,而两点之间线段 最短) ,此时 △PED 的周长最小. ∵抛物线 y ? x ? 2 x 的顶点 E 的坐标 (1 ? 1) , C 点的坐标 (0, , , 2)
2

设 CE 所在直线的解析式为 y ? kx ? b ,则有 ? ∴ CE 所在直线的解析式为 y ? ?3x ? 2 .

? k ? b ? ?1 ? k ? ?3 ,解得 ? . ?b ? 2 ?b ? 2

1 ? ?x ? 2 ? y ? ?3x ? 2 ? ?1 1? 点 P 满足 ? ,解得 ? ,故点 P 的坐标为 ? , ? . ?2 2? ?y ? x ?y ? 1 ? ? 2
爱心 用心 专心 80

△PED 的周长即是 CE ? DE ? 10 ? 2 .
(4)存在点 P ,使 ?CPN ? 90° .其坐标是 ? , ? 或 (2, . ···················14 分 2) ··················· 【043】解(Ⅰ)? y1 ? x,y2 ? x ? bx ? c,y1 ? y2 ? 0 ,
2

?1 1? ?2 2?

? x 2 ? ? b ? 1? x ? c ? 0 .····················································1 分 ····················································
将 ? ? ,? ?
2

1 3

1 2 分别代入 x ? ? b ? 1? x ? c ? 0 ,得 2
2

1 1 ?1? ?1? ? ? ? ? b ? 1? ? ? c ? 0, ? ? ? b ? 1? ? ? c ? 0 , ? 3 2 ?3? ?2?
解得 b ? ,c ?

1 6

1 5 1 2 .?函数 y2 的解析式为 y2 ? x ? x ? .···················3 分 ··················· 6 6 6
2 ,设 △ABM 的高为 h , 6

(Ⅱ)由已知,得 AB ?

? S△ ABM ?

1 2 1 1 AB h ? · h ? 3 ,即 2h ? . 2 12 12 144

根据题意, t ? T ? 当t ?
2

1 1 5 1 1 2h ,由 T ? t 2 ? t ? ,得 ?t 2 ? t ? ? . 6 6 144 6 6

5 1 1 5 时,解得 t1 ? t2 ? ; t? ?? 6 6 144 12
5? 2 5? 2 5 1 1 ,t4 ? 时,解得 t3 ? . t? ? 12 12 6 6 144 5 5? 2 5? 2 , , . ·············································6 分 ············································· 12 12 12
2 2 2

当t ?
2

?t 的值为

(Ⅲ)由已知,得 ? ? ? ? b? ? c,? ? ? ? b? ? c,T ? t ? bt ? c .

?T ? ? ? ? t ? ? ?? t ? ? ? b ? , T ? ? ? ? t ? ? ?? t ? ? ? b ? ,

? ? ? ? ?? 2 ? b? ? c ? ? ? ? 2 ? b? ? c ? ,化简得 ?? ? ? ??? ? ? ? b ? 1? ? 0 .
? 0 ? ? ? ? ? 1 ,得 ? ? ? ? 0 ,
有 ? ? b ? 1 ? ? ? 0,? ? b ? 1 ? ? ? 0 . 又 0 ? t ? 1 ,?t ? ? ? b ? 0 , t ? ? ? b ? 0 ,

?? ? ? ? b ? 1 ? 0 .

爱心

用心

专心

81

?当 0 ? t ≤ a 时, T ≤? ≤ ? ;当 ? ? t ≤ ? 时, ? ? T ≤ ? ;
当 ? ? t ? 1时, ? ? ? ? T . ··················································· 分 ··················································10
1 2 (x–2) –1,∴抛物线的对 2 称轴为直线 x=2,顶点为 P(2,–1) . 1 2 取 x=0 代入 y= x –2x+1,得 y=1,∴点 A 的 2 坐标是(0,1).由抛物线的对称性知,点 A(0,1)与 点 B 关于直线 x=2 对称,∴点 B 的坐标是(4,1). 2 分 设直线 l 的解析式为 y=kx+b(k≠0),将 B、P 的 坐标代入,有

【044】(1) 配方,得 y=

?1 ? 4k ? b, ? k ? 1, 解得 ? ∴直线 l 的解析式为 y=x–3.3 分 ? ?1 ? 2k ? b, ? ?b ? ?3.

(2) 连结 AD 交 O′C 于点 E,∵ 点 D 由点 A 沿 O′C 翻折后得到,∴ O′C 垂直平分 AD.

[来源:Z。xx。k.Com]

由(1)知,点 C 的坐标为(0,–3),∴ 在 Rt△AO′C 中,O ′A=2,AC=4,∴ O′C=2 5 . 1 1 4 8 据面积关系,有 ×O′C×AE= ×O′A×CA,∴ AE= 5 ,AD=2AE= 5. 2 2 5 5 AF DF AD 作 DF⊥AB 于 F,易证 Rt△ADF∽Rt△CO′A,∴ , ? ? AC O?A O?C AD 16 AD 8 ∴ AF= ·AC= ,DF= ·O′A= ,5 分 O ?C 5 O ?C 5 8 3 又 ∵OA=1,∴点 D 的纵坐标为 1– = – , 5 5 16 3 ∴ 点 D 的坐标为( ,– ). 5 5 (3) 显然,O′P∥AC,且 O′为 AB 的中点, ∴ 点 P 是线段 BC 的中点,∴ S△DPC= S△DPB . 故要使 S△DQC= S△DPB,只需 S△DQC=S△DPC . 过 P 作直线 m 与 CD 平行,则直线 m 上的任意一点与 CD 构成的三角形的面积都等于 S△DPC ,故 m 与抛物线的交点即符合条件的 Q 点.
16 3 3 ,– )的直线的解析式为 y= x–3, 5 4 5 3 5 据直线 m 的作法,可以求得直线 m 的解析式为 y= x– . 4 2 1 2 3 5 7 3 5 1 令 x –2x+1= x– ,解得 x1=2,x2= ,代入 y= x– ,得 y1= –1,y2= , 2 4 2 2 4 2 8

容易求得过点 C(0,–3)、D(

[来源:学_科_网]

因此,抛物线上存在两点 Q1(2,–1)(即点 P)和 Q2( 【045】 (1)将 A(0,1) B 、 (1, 坐标代入 y ? 0)

7 1 , ),使得 S△DQC= S△DPB. 2 8

1 2 x ? bx ? c 2

爱心

用心

专心

82

3 ?c ? 1 ? ? ?b ? ? 得 ?1 解得 ? 2 ?2 ? b ? c ? 0 ?c ? 1 ? ?

1 2 3 x ? x ? 1 ?(2 分) 2 2 1 2 3 (2)设点 E 的横坐标为 m,则 它的纵坐标为 m ? m ?1 2 2 1 2 3 1 即 E 点的坐标( m , m ? m ? 1 )又∵点 E 在直线 y ? x ? 1 上 2 2 2 1 2 3 1 ∴ m ? m ?1 ? m ?1 解得 m1 ? 0 (舍去) m2 ? 4 , 2 2 2
∴抛物线的解折式为 y ? ∴E 的坐标为(4,3)??(4 分) (Ⅰ)当 A 为直角顶点时 过 A 作 AP1 ⊥DE 交 x 轴于 P1 点,设 P1(a,0) ∽Rt△POA 得

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易知 D 点坐标为(-2,0)

由 Rt△AOD

1 ,0)??(5 分) 2 11 (Ⅱ)同理,当 E 为直角顶点时,P2 点坐标为( ,0)??(6 分) 2 (Ⅲ)当 P 为直角顶点时,过 E 作 EF⊥x 轴于 F,设 P3( b 、 3 )由∠OPA+∠FPE=90°,得∠
∴P1( OPA=∠FEP 由 Rt△AOP∽Rt△PFE

DO OA 2 1 1 即 ? ,∴a= ? OA OP 1 a 2

AO OP 1 b 得 解得 b1 ? 3 , b2 ? 1 ? ? PF EF 4 ? b 3

∴此时的点 P3 的坐标为(1,0)或(3,0)??(8 分)

1 11 ,0)或(1,0)或(3,0)或( ,0) (Ⅲ) 2 2 3 3 抛物线的对称轴为 x ? ?(9 分)∵B、C 关于 x= 对称 ∴MC=MB 2 2
综上所述,满足条件的点 P 的坐标为(
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要使 | AM ? MC | 最大,即是使 | AM ? MB | 最大 由三角形两边之差小于第三边得,当 A、B、M 在同一直线上时 | AM ? MB | 的值最大.易知直

3 ? ? y ? ?x ?1 ?x ? 2 ? ? 线 AB 的解折式为 y ? ? x ? 1 ∴由 ? 得? 3 ?y ? ? 1 ?x ? 2 ? ? ? 2

3 1 ,- )??(11 分) 2 2 2 8 0 【046】 (1)解:由 x ? ? 0, x ? ?4. A 点坐标为 ? ?4,?. 得 ? 3 3
∴M(
网]

0 ∴ 由 ?2x ? 16 ? 0, x ? 8. B 点坐标为 ? 8,?. AB ? 8 ? ? ?4 ? ? 12.············ ( 得 ··········· ·· ·········· ·· ?
分)
爱心 用心 专心

2

83

2 8 ? ? x ? 5, ? y ? x? , 6 ···················· (3 由? ∴ C 点的坐标为 ? 5,?.···················· 分) ··········· ········· 3 3 解得 ? ? y ? ?2 x ? 16. ? y ? 6. ?
∴ S△ ABC ?

1 1 ··········· ··········· ······ ·········· ··········· ······· AB yC ? ?12 ? 6 ? 36.····························(4 分) · 2 2 2 8 (2)解:∵点 D 在 l1 上且 xD ? xB ? 8, yD ? ? 8 ? ? 8. ? 3 3

8 (5 ?? ? ∴ D 点坐标为 ? 8,?. 分)又∵点 E 在 l 2 上且 yE ? yD ? 8, 2 xE ? 16 ? 8. xE ? 4. 8 (6 ∴ E 点坐标为 ? 4,?. 分)∴ OE ? 8 ? 4 ? 4,EF ? 8. 分) (7
(3)解法一: ① 当 0 ≤ t ? 3 时,如图 1,矩形 DEFG 与 △ABC 重叠部分为五边形 CHFGR ( t ? 0 时,为四边形 CHFG ).过 C 作 CM ? AB 于 M ,则 Rt△RGB ∽ Rt△CMB.

y
y E

l2
C R D

y
l1
y E y

l2
D C R

y
l1
y R Bx E y D

l2
C

l1
y B x

A O

F MG B x

A F OG M (图 2)

F AG O

M

(图 1)

(图 3)

BG RG t RG ∴ 即 ∴ ? , ? , RG ? 2t. Rt△AFH ∽ Rt△AMC, ? BM CM 3 6 1 1 2 ∴ S ? S△ ABC ? S△BRG ? S△ AFH ? 36 ? ? t ? 2t ? ? 8 ? t ? ? ? 8 ? t ?. 2 2 3 4 16 44 S ? ? t2 ? t ? . 3 3 3 即
【047】解:方法一:如图(1-1) ,连接 BM,EM,BE . F A M D

E

B

N 图 (1-1)

C

由题设,得四边形 ABNM 和四边形 FENM 关于直线 MN 对称. ∴ MN 垂直平分 BE .∴ BM ? EM,BN ? EN.····························· 1 分 · ····························· · ∵四边形 ABCD 是正方形,∴ ?A ? ?D ? ?C ? 90° ,AB ? BC ? CD ? DA ? 2. ∵

CE 1 设 则 ? , CE ? DE ? 1. BN ? x, NE ? x, ? 2 ? x. ? NC CD 2

爱心

用心

专心

84

5 5 ,即 BN ? . 分 3 4 4 在 Rt△ABM 和在 Rt△DEM 中, AM 2 ? AB2 ? BM 2 , DM 2 ? DE 2 ? EM 2 , · ·············································· · ? AM 2 ? AB2 ? DM 2 ? DE 2.·············································· 5 分 2 2 2 2 设 AM ? y, DM ? 2 ? y, y ? 2 ? ? 2 ? y ? ? 1 . 则 ∴ 1 1 AM 1 解得 y ? , AM ? . 即 ∴ · ·························· · ? .···························7 分 4 4 BN 5 5 方法二:同方法一, BN ? .·············································· 3 分 · ·············································· · 4 如图(1-2) ,过点 N 做 NG ∥CD, AD 于点 G ,连接 BE. 交
2 2 在 Rt△CNE 中, NE 2 ? CN 2 ? CE 2 .∴ x ? ? 2 ? x ? ? 1 . 解得 x ? 2

A M

F

G

D

E

B

C N 图(1-2)

∵ AD ∥ BC, ∴四边形 GDCN 是平行四边形. ∴ NG ? CD ? BC. 同理,四边形 ABNG 也是平行四边形.∴ AG ? BN ? . ∵ MN ? BE, EBC ? ?BNM ? 90° ?? .

5 4

? NG ? BC, MNG ? ?BNM ? 90° ??EBC ? ?MNG. ?? , 在 △BCE 与 △NGM 中
??EBC ? ?MNG, ? ∴ △BCE ≌△NGM,EC ? MG.················5分 · ··············· · ? BC ? NG, ??C ? ?NGM ? 90°. ?
∵ AM ? AG ? MG,AM = 类比归纳

5 1 AM 1 ∴ ························ ?1 ? . ? .······················· 7 分 4 4 BN 5
n 2 m 2 ? 2n ? 1 ··························· 12 分 ··························· n 2 m2 ? 1

2 4 9 (或 ) ; ; 5 10 17

? n ? 1?

2

n2 ? 1

【048】解: (1)由题意得 6=a(-2+3)(-2-1),∴a=-2, ∴抛物线的函数解析式为 y=-2(x+3)(x-1)与 x 轴交于 B(-3,0) 、A(1,0) 设直线 AC 为 y=kx+b,则有 0=k+b,6=-2k+b,解得 k=-2,b=2, ∴直线 AC 为 y=-2x+2 (2)①设 P 的横坐标为 a(-2≤a≤1),则 P(a,-2a+2) ,M(a,-2a2-4a+6) ∴PM=-2a2-4a+6-(-2a+2)=-2a2-2a+4=-2a2+a+14+92 =-2a+122+92,∴当 a=-12 时,PM 的最大值为 926 分 ②M1(0,6)M2-14,678

爱心

用心

专心

85

【049】解: (1)由题意得 ? 2a ? 1

?b

? ?9a ? 3b ? c ? 0 ? ? ? ? c ? ?2 ?

解得 ? ?

?

2 3 4 ? ?b ? 3 ? ? c ? ?2 ? ? a?

2 2 4 ································ x ? x ? 2 ·································3 分 3 3 (2)连结 AC 、 BC .因为 BC 的长度一定,所以 △PBC 周长最小,就是使 PC ? PB 最小 . B 点 关于对称轴的对称点是 A 点, AC 与对称轴 x ? ?1 的交点即为所求的点 P .
∴此抛物线的解析式为 y ?

2 ? ??3k ? b ? 0, ? k ? ? 设直线 AC 的表达式为 y ? kx ? b 则 ? 解得 ? 3 ?b ? ?2 ?b ? ? 2 ?

y E A P C O D B x

2 ∴此直线的表达式为 y ? ? x ? 2. 3
把 x ? ?1 代入得 y ? ?

4 4? ? ∴ P 点的坐标为 ? ?1 ? ? , 3? 3 ?

(3) S 存在最大值,理由:∵ DE ∥ PC, DE ∥ AC. 即

OD OE 2 ? m OE ∴ △OED ∽△OAC. ∴ 即 ? , ? . OC OA 2 3 3 3 ∴ OE ? 3 ? m,AE ? 3,OE ? m 2 2
方法一:连结 OP , S ? S四边形PDOE ? S△OED ? S△POE ? S△POD ? S△OED =

(第 24 题图)

1 ? 3 ? 4 1 1 ? 3 ? ? ? 3 ? m ? ? ? ? ? 2 ? m ? ?1 ? ? ? 3 ? m ? ? ? 2 ? m ? 2 ? 2 ? 3 2 2 ? 2 ?

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=?

3 2 3 3 3 3 3 ··········· m ? m ∵ ? ? 0 ∴当 m ? 1时, S最大 ? ? ? ? ···········9 分 4 2 , 4 4 2 4

方法二: S ? S△OAC ? S△OED ? S△ AEP ? S△PCD

=

1 1 ? 3 ? 1 3 4 1 ? 3 ? 2 ? ? ? 3 ? m ? ? ? 2 ? m ? ? ? m ? ? ? m ?1 2 2 ? 2 ? 2 2 3 2

=?

3 2 3 3 3 3 3 2 ∵ ? ? 0 ∴当 m ? 1时, S最大 ? ·············· 分 ·············9 m ? m ? ? ? m ? 1? ? 4 2 4 4, 4 4

DE DP .而 DE ? t,DP ? 10 ? t , ? DA DB E t 10 ? t 15 15 A ∴ ? ,∴ t ? .∴当 t ? (s),PE ∥ AB . 6 10 4 4 Q (2)∵ EF 平行且等于 CD , N P ∴四边形 CDEF 是平行四边形.
【050】解: (1)∵ PE ∥ AB ∴
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D M C
86

B

F

爱心

用心

专心

∴ ?DEQ ? ?C,?DQE ? ?BDC . ∵ BC ? BD ? 10 ,∴ ?DEQ ? ?C ? ?DQE ? ?BDC .∴ △DEQ ∽△BCD .

DE EQ t EQ 2 . .∴ EQ ? t . ? ? BC CD 10 4 5 过 B 作 BM ⊥ CD ,交 CD 于 M ,过 P 作 PN ⊥ EF ,交 EF 于 N .


BM ? 102 ? 22 ? 100 ? 4 ? 96 ? 4 6 .∵ ED ? DQ ? BP ? t ,
∴ PQ ? 10 ? 2t .又 △PNQ ∽△BMD ,

PQ PN 10 ? 2t PN , , ? ? 10 BD BM 4 6

1 1 2 4 6 2 4 6 ? t? ? t? t ? t. PN ? 4 6 ?1 ? ? S△ PEQ ? EQ?PN ? ? t ? 4 6 ?1 ? ? ? ? 2 2 5 25 5 ? 5? ? 5?,
(3) S△BCD ? ? ?BM ? CD 若 S△ PEQ ?

1 2

1 ? 4? 4 6 ? 8 6 . 2

4 6 2 4 6 2 2 t ? t ? ? 8 6 ,解得 t1 ? 1,t2 ? 4 . S△BCD ,则有 ? 25 5 25 25
DE ? BP ? t,

? ? (4)在 △PDE 和 △FBP 中, PD ? BF ? 10 ? t, ?△PDE ≌△FBP ? ?PDE ? ?FBP,? ?
∴ S五边形PFCDE ? S△ PDE ? S四边形PFCD ? S△FBP ? S四边形PFCD ? S△ BCD ? 8 6 . ∴在运动过程中,五边形 PFCDE 的面积不变. 【051】解: (1) k ? ?3 , (-1,0) ,B(3,0) ············3 分 . ··········· (2)如图 14(1) ,抛物线的顶点为 M(1,-4) ,连结 OM. 则 △AOC 的面积=

3 3 , △MOC 的面积= , △MOB 的面积=6, 四边形 ABMC 的面积=△AOC ∴ 2 2

的面积+△MOC 的面积+△MOB 的面积=9.················· 6 分 ················· 说明:也可过点 M 作抛物线的对称轴,将四边形 ABMC 的面 积转化为求 1 个梯形与 2 个直角三角形面积的和. (3)如图 14(2) ,设 D(m, m ? 2m ? 3 ),连结 OD.
2

则 0<m<3, m ? 2m ? 3 <0. 且 △AOC 的面积=
2

3 3 ,△DOC 的面积= m , 2 2
图 14(2)

△DOB 的面积=-

3 2 ( m ? 2m ? 3 ), 2

∴ 四边形 ABDC 的面积=△AOC 的面积+△DOC 的面积+△DOB 的面积

3 2 9 3 3 75 . m ? m ? 6 = ? (m ? ) 2 ? 2 2 2 2 8 3 15 75 ∴ 存在点 D ( , ) ,使四边形 ABDC 的面积最大为 . ? 2 4 8
=? (4)有两种情况:

爱心

用心

专心

87

图 14(3)

图 14(4)

如图 14(3) ,过点 B 作 BQ1⊥BC,交抛物线于点 Q1、交 y 轴于点 E,连接 Q1C. ∵ ∠CBO=45°,∴∠EBO=45°,BO=OE=3. ∴ 点 E 的坐标为(0,3) ∴ 直线 BE 的解析式为 y ? ? x ? 3 . ··············12 分 . ·············· 由?

? y ? ? x ? 3, ? y ? x ? 2x ? 3
2

解得 ? í

ì x1 = - 2, ì x2 = 3, ? ? ? ∴ 点 Q1 的坐标为(-2,5) ····· 分 . ····13 í ? y1 = 5; ? y2 = 0. ? ? ? ?

如图 14(4) ,过点 C 作 CF⊥CB,交抛物线于点 Q2、交 x 轴于点 F,连接 BQ2. ∵ ∠CBO=45°,∴∠CFB=45°,OF=OC=3. ∴ 点 F 的坐标为(-3,0) .∴ 直线 CF 的解析式为 y ? ? x ? 3 .··············· 分 ··············14 由?

? y ? ? x ? 3,
2 ? y ? x ? 2x ? 3

解得 ? í

ì x1 = 0, ì x2 = 1, ? ? ? í ? y1 = - 3; ? y2 = - 4. ? ? ? ?

∴点 Q2 的坐标为(1,-4) .综上,在抛物线上存在点 Q1(-2,5) 2(1,-4) 、Q , 使△BCQ1、△BCQ2 是以 BC 为直角边的直角三角形.

?a ? b ? c ? 0, ? 【052】解: (1)根据题意,得 ? 4a ? 2b ? c ? 0, ?c ? ?2. ?
解得 a ? ?1 b ? 3,c ? ?2 .? y ? ? x ? 3x ? 2 . 分) (2 ,
2

y A O (F2)F1 C E1 (E2) B D x

AO CO AO CO (2)当 △EDB ∽△AOC 时,得 或 , ? ? ED BD BD ED AO CO 1 2 ∵ AO ? 1 CO ? 2,BD ? m ? 2 ,当 时,得 , ? ? , ED BD ED m ? 2
∴ ED ?

(x=m)

m?2 ? 2?m? ,∵点 E 在第四象限,∴ E1 ? m, ····················· ? . ······················(4 分) 2 ? 2 ?



AO CO 1 2 时,得 ,∴ ED ? 2m ? 4 , ? ? BD ED m ? 2 ED

4 ∵点 E 在第四象限,∴ E2 (m,? 2m) . ····································· ···································· (6 分)
(3)假设抛物线上存在一点 F ,使得四边形 ABEF 为平行四边形,则 EF ? AB ? 1 ,点 F 的横坐标为 m ? 1 , 当点 E1 的坐标为 ? m,

? ?

2?m? 2?m? ? ? 时,点 F1 的坐标为 ? m ? 1, ?, 2 ? 2 ? ?

爱心

用心

专心

88

∵点 F1 在抛物线的图象上,∴

2?m ? ?(m ? 1)2 ? 3(m ? 1) ? 2 ,∴ 2m2 ? 11m ? 14 ? 0 , 2 7 ?5 3? ,∴ ? ,m ? 2 (舍去) F1 ? , ? , 2 ?2 4?

∴ (2m ? 7)(m ? 2) ? 0 ,∴ m ? ∴ S? ABEF ? 1?

3 3 ·················································· ? . ···················································(9 分) 4 4

当点 E2 的坐标为 (m,? 2m) 时,点 F2 的坐标为 (m ? 1 4 ? 2m) , 4 , ∵点 F2 在抛物线的图象上,∴ 4 ? 2m ? ?(m ? 1) ? 3(m ? 1) ? 2 ,∴ m ? 7m ? 10 ? 0 ,
2

2

? ∴ (m ? 2)(m ? 5) ? 0 ,∴ m ? 2 (舍去) m ? 5 ,∴ F2 (4, 6) ,∴ S? ABEF ? 1? 6 ? 6 . ,
【053】解: (1)设 y ? a( x ? 1)( x ? 3) ,把 C (0, 代入,得 a ? ?1 , ···············2 分 ··············· 3) ∴抛物线的解析式为: y ? ? x ? 2 x ? 3 .顶点 D 的坐标为 (1, . ·················· 分 4) ·················5
2

(2)设直线 BD 解析式为: y ? kx ? b ( k ? 0 ) ,把 B、D 两点坐标代入, 得?

?3k ? b ? 0, 解得 k ? ?2,b ? 6 .∴直线 AD 解析式为 y ? ?2 x ? 6 . ············· 分 ············7 ? k ? b ? 4.

s?

1 1 1 ········· PE ? ? xy ? x(?2 x ? 6) ? ? x 2 ? 3x ,∴ s ? ? x 2 ? 3x(1 ? x ? 3) ·········9 分 OE 2 2 2
3 ? ? ? ??x ?? 2 ? ?
2

9 ? 9 ? s ? ?? x2 ? x ? ? ? 3 4 ? 4 ?
∴当 x ?

9 ? ··································10 . ··································· 分 4

3 9 时, s 取得最大值,最大值为 . ···································11 分 ··································· 2 4 3 ?3 ? , y ? 3 ,∴ P ? ,? .∴四边形 PEOF 是矩形. 3 2 ?2 ?
y D (E) C 3
P?

(3)当 s 取得最大值, x ?

作点 P 关于直线 EF 的对称点 P? ,连接 P?E、P?F . 法一:过 P? 作 P?H ⊥ y 轴于 H , P?F 交 y 轴于点 M . 设 MC ? m ,则 MF ? m,P?M ? 3 ? m,P?E ?
2

P

3 . 2

在 Rt△P?MC 中,由勾股定理, ? 解得 m ?

?3? 2 2 ? ? (3 ? m) ? m . ?2?

M A ?3 ?2 ?1 O

2 H 1 B
?1

1F 2

3

x

15 9 .∵ CM ? ?H ? P?M ? ?E ,∴ P?H ? . P P 8 10 EH EP? 6 6 9 由 △EHP? ∽△EP?M ,可得 , EH ? .∴ OH ? 3 ? ? . ? EP? EM 5 5 5

爱心

用心

专心

89

∴ P? 坐标 ? ?

? 9 9? ······················································· , ? . ·······················································13 分 ? 10 5 ?

法二:连接 PP? ,交 CF 于点 H ,分别过点 H、P? 作 PC 的垂线,垂足为 M、N . 易证 △CMH ∽△HMP .∴

3 3 y D 设 CM ? k ,则 MH ? 2k,PM ? 4k .∴ PC ? 5k ? , k ? . 2 10 (E) C 3M P 12 6 N 由三角形中位线定理, PN ? 8k ? ,P?N ? 4k ? . 5 5 2 H P? 12 3 9 9 ∴ CN ? PN ? PC ? ? ? ,即 x ? ? . 1 5 2 10 10 A M y ? PF ? P?N ? 3 ?

CM MH 1 ? ? . MH PM 2

B

x 1F 2 3 ?3 ?2 ?1 O 6 9 ? 9 9? ···················?1 ··········13 ·· ? ∴ P? 坐标 ? ? , ? . ································ 分 5 5 ? 10 5 ?

把 P? 坐标 ? ?

? 9 9? ··········14 , ? 代入抛物线解析式,不成立,所以 P? 不在抛物线上. ··········· 分 ? 10 5 ?

【054】 (1)由抛物线经过点 A(0,1),C(2,4),

?c ? 1, ?b ? 2, ? 得? 1 解得 ? 2 ? c ? 1. ?? 4 ? 2 ? 2b ? c ? 4. ?

1 ∴抛物线对应的函数关系式为: y ? ? x 2 ?2 x ? 1 . ··················(2 分) ················· 4 (2)当 t ? 1 时,P 点坐标为(1,1),∴Q 点坐标为(2,0). 当 t ? 4 时,P 点坐标为(2,3),∴Q 点坐标为(5,0). ················ (5 分) ················ 1 1 1 (3)当 0 ? t ≤2 时, S ? (? t 2 ? 2t ? 1 ? 1) ?1 .S ? ? t 2 ? t . 2 4 8 1 1 5 当 2 ? t ≤5 时, S ? (5 ? t )(2 ? t ? 2 ? 1 ? 2) .S ? ? t 2 ? 3t ? . (8 分) 2 2 2 当 t ? 3 时,S 的最大值为 2. ···································· (10 分) ···································· y 【055】 (1)过点 B 作 BD ? x 轴,垂足为 D ,

??BCD ? ?ACO ? 90° ?ACO ? ?CAO ? 90° , ??BCD ? ?CAO ; ; 又? ?BDC ? ?COA ? 90° CB ? AC , ? BCD ≌△CAO ,? BD ? OC ? 1 CD ? OA ? 2 △ ,
, ························· ?点 B 的坐标为 (?31) ; ·························4 分
2

A B D C N O M P1 P2 x

(2)抛物线 y ? ax ? ax ? 2 经过点 B(?3, ,则得到 1 ? 9a ? 3a ? 2 , ·············· 分 ·············5 1)

1 1 2 1 ,所以抛物线的解析式为 y ? x ? x ? 2 ; ··························7 分 ·························· 2 2 2 (3)假设存在点 P ,使得 △ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形:
解得 a ?

① 若以点 C 为直角顶点;
爱心 用心 专心 90

则延长 BC 至点 P ,使得 PC ? BC ,得到等腰直角三角形 △ ACP , ···············8 分 ··············· 1 1 1 过点 P 作 PM ? x 轴,? CP ? BC,?MCP ? ?BCD,?PMC ? ?BDC ? 90° ; 1 1 1 1 1

?△MPC ≌△DBC ?CM ? CD ? 2,PM ? BD ? 1 ,可求得点 P(1,-1); ·····11 分 ····· 1 1 1

② 若以点 A 为直角顶点;
则过点 A 作 AP2 ? CA ,且使得 AP ? AC ,得到等腰直角三角形 △ ACP2 , ········12 分 ········ 2 过点 P2 作 P2 N ? y 轴,同理可证 △ AP N ≌△CAO ; ··························· 分 ··························13 2

? NP2 ? OA ? 2,AN ? OC ? 1 ,可求得点 P2 (2, ; ···························· 分 1) ···························14 1) ? 经检验,点 P (1, 1) 与点 P (2, 都在抛物线 y ? 2 1
【056】解: (1) C(3,0) ; (2)①抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c ,令 x =0,则 y = c , ∴A 点坐标(0,c) .

1 2 1 ················ x ? x ? 2 上.················16 分 2 2

b c 4ac ? b 2 4ac ? 2ac 2ac c . ? ? ? ,∴点 P 的坐标为( ? , ) 4a 4a 4a 2 2a 2 b ∵PD⊥ x 轴于 D,∴点 D 的坐标为( ? . ,0 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 分 2a
∵ b 2 ? 2ac ,∴ 根据题意,得 a=a′,c= c′,∴抛物线 F′的解析式为 y ? ax 2 ? b' x ? c . 又∵抛物线 F′经过点 D( ?

b2 b b , ,0 ) ∴ 0 ? a ? 2 ? b' (? ) ? c . ? ? ? ? ? 6 分 2a 2a 4a

∴ 0 ? b 2 ? 2bb'?4ac .又∵ b 2 ? 2ac ,∴ 0 ? 3b 2 ? 2bb' .∴b:b′= ②由①得,抛物线 F′为 y ? ax 2 ?

2 . 3

3 bx ? c . 2 3 b b 令 y=0,则 ax 2 ? bx ? c ? 0 . ∴ x1 ? ? , x2 ? ? . 2 2a a b b ∵点 D 的横坐标为 ? . , ∴点 C 的坐标为( ? ,0 ) 2a a b c 设直线 OP 的解析式为 y ? kx .∵点 P 的坐标为( ? , , ) 2a 2 c b b ac 2ac b2 b ∴ ?? ?? ? ? ,∴ y ? ? x . k ,∴ k ? ? ? ? b 2b 2b 2 2 2a 2 b b b ∵点 B 是抛物线 F 与直线 OP 的交点,∴ ax 2 ? bx ? c ? ? x .∴ x1 ? ? , x2 ? ? . 2 2a a b b ∵点 P 的横坐标为 ? ,∴点 B 的横坐标为 ? . 2a a

爱心

用心

专心

91

b b b b b 2 2ac 代入 y ? ? x ,得 y ? ? (? ) ? ? ?c. 2 a 2 a 2a a 2 b ∴点 B 的坐标为 (? , c) .∴BC∥OA,AB∥OC. (或 BC∥OA,BC =OA) , a ∴四边形 OABC 是平行四边形. 又∵∠AOC=90°,∴四边形 OABC 是矩形.
把x?? 【057】(1)

A(8,0), B(0,6)

y B P2

(2)∵ OA ? 8 , OB ? 6 ,∴ AB ? 10 当点 P 在 OB 上运动时, OP1 ? t ,

1 1 S ? OA ? OP1 ? ? 8 ? t ? 4t ; 2 2
当点 P 在 BA 上运动时,作 P2 D ? OA 于点 D , 有

P1

O

D

A

x

P2 D AP2 48 ? 3t ∵ AP2 ? 6 ? 10 ? t ? 16 ? t ,∴ P2 D ? ? BO AB 5

∴S ?

1 1 48 ? 3t 12 192 ? OA ? P2 D ? ? 8 ? ?? t? 2 2 5 5 5

(3)当 4t ? 12 时, t ? 3 , P (0,3) , 1 此时,过 ?AOP 各顶点作对边的平行线,与坐标轴无第二个交点,所以点 M 不存在; 当?

12 192 t? ? 12 时, t ? 11 , P2 (4,3) ,此时, M 1 (0,3) 、 M 2 (0,?6) 5 5
2

y
P

【058】解: (1)令 y ? 0 ,得 x ? 1 ? 0 ∴ A (?1,0) (2)∵OA=OB=OC= 1
?

解得 x ? ?1 ,令 x ? 0 ,得 y ? ?1 ·······3 分 ······
?

B (1, 0)

C (0, ?1)

∴ ? BAC= ? ACO= ? BCO= 45

A

o
C

E B

x

∵AP∥CB,∴ ? PAB= 45 ,过点 P 作 PE ? x 轴于 E, 则 ? APE 为等腰直角三角形 令 OE= a ,则 PE= a ? 1
2

∴P (a, a ? 1)
2

∵点 P 在抛物线 y ? x ? 1 上 ∴ a ? 1 ? a ? 1 解得 a1 ? 2 , a2 ? ?1 (不合题意,舍去) ∴四边形 ACBP 的面积 S = ∴PE= 3 ····························4 分 ····························

1 1 1 1 AB?OC+ AB?PE= ? 2 ?1 ? ? 2 ? 3 ? 4 ················5 分 ················ 2 2 2 2
?

(3). 假设存在∵ ? PAB= ? BAC = 45

∴PA ? AC

爱心

用心

专心

92

∵MG ? x 轴于点 G, 在 Rt△AOC 中,OA=OC= 1

∴ ? MGA= ? PAC = 90? ∴AC= 2 ,在 Rt△PAE 中,AE=PE= 3
2

∴AP= 3 2 ···· 分 ···6

设 M 点的横坐标为 m ,则 M (m, m ? 1) ①点 M 在 y 轴左侧时,则 m ? ?1 M

y
P

AG MG (ⅰ) 当 ? AMG ∽ ? PCA 时,有 = ∵AG= ?m ?1 , PA CA
MG= m ? 1 即
2

?m ? 1 m2 ? 1 ? 3 2 2

解得 m1 ? ?1 (舍去)

G A

o
C

B

x

m2 ?

2 (舍去)???7 分 3 AG MG = CA PA

(ⅱ) 当 ? MAG ∽ ? PCA 时有 即

?m ? 1 m2 ? 1 ? 解得: m ? ?1 (舍去) 2 3 2 ,

y

m2 ? ?2 ∴M (?2,3) ·············································P··········8 分 ············································· ·········· ·
M ② 点 M 在 y 轴右侧时,则 m ? 1 (ⅰ) 当 ? AMG ∽ ? PCA 时有 ∵AG= m ? 1 ,MG= m ? 1
2

AG MG = PA CA

A

o
C

G B

x



m ? 1 m2 ? 1 ? 3 2 2

解得 m1 ? ?1 (舍去)

m2 ?

4 4 7 ∴M ( , ) 3 3 9

(ⅱ) 当 ? MAG ∽ ? PCA 时有 解得: m1 ? ?1(舍去)

m ? 1 m2 ? 1 AG MG ? = 即 CA PA 2 3 2
∴M (4,15) ∴存在点 M,使以 A、M、G 三点为顶点的三

m2 ? 4

角形与 ? PCA 相似,M 点的坐标为 (?2,3) , ( , ) , (4,15) 【059】解: (1)∵四边形 ABCD 和四边形 AEFG 是正方形 ∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90? ∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD A ∴∠BAE=∠DAG ∴△ BAE≌△DAG ????4 分 (2)∠FCN=45? ????5 分 理由是:作 FH⊥MN 于 H ∵∠AEF=∠ABE=90? M B ∴∠BAE +∠AEB=90?,∠FEH+∠AEB=90?
爱心 用心 专心

4 7 3 9

G D F E C 图 (1) H N
93

∴∠FEH=∠BAE 又∵AE=EF,∠EHF=∠EBA=90? ∴△EFH≌△ABE ????7 分 ∴FH=BE,EH=AB=BC,∴CH=BE=FH ∵∠FHC=90?,∴∠FCH=45? ????8 分 (3)当点 E 由 B 向 C 运动时,∠FCN 的大小总保持不变,????9 分 G 理由是:作 FH⊥MN 于 H 由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90? 结合(1) (2)得∠FEH=∠BAE=∠DAG D A 又∵G 在射线 CD 上,∠GDA=∠EHF=∠EBA=90? ∴△EFH≌△GAD,△EFH∽△ABE ??11 分 EH FH FH ∴EH=AD=BC=b,∴CH=BE,∴ AB=BE=CH FH EH b M B E C ∴在 Rt△FEH 中,tan∠FCN=CH= AB=a 图 (2) b ∴当点 E 由 B 向 C 运动时,∠FCN 的大小总保持不变,tan∠FCN=a y 【060】解: (1)根据题意,得 D C P2 P1 C 1 ? 4a ? 2 ? c ? 0 ? ?a ? ? Q1 ,解得 ? 4 ? 36a ? 6 ? c ? 0 Q2 A O Q3 B ? ?c ? 3 ? P4 P

F H

N

Q4 x

?抛物线的解析式为 y ? ?

1 2 第 x ? x ? 3 ,顶点坐标是(2,4) 26 题图 4

3

(2) D(4, ,设直线 AD 的解析式为 y ? kx ? b(k ? 0) 3)

1 ? ? ?2 k ? b ? 0 ? k ? 1 ?? 0) 点 3) ?直线经过点 A(?2,、 D(4, ? ? 2 ? y ? x ?1 2 ? 4k ? b ? 3 ?b ? 1 ?
0) 0) 0) (3)存在. Q1 (2 2 ? 2, , Q2 (?2 2 ? 2,0) , Q3 (6 ? 2 6, , Q4 (6 ? 2 6,
【061】解(1)A( ?4 ,0) ,B(0,3) ·······················2 分(每对一个给 1 分) ······················ (2) 满分 3 分. 其中过 F 作出垂线 1 分, 作出 BF 中垂线 1 分, 找出圆心并画出⊙P 给 1 分. (注: 画垂线 PF 不用尺规作图的不扣分) (3)过点 P 作 PD⊥ y 轴于 D,则 PD= x ,BD= 3 ? y , ········6 分 ······· PB=PF= y ,∵△BDP 为直角三形,∴ PB ? PD ? BD
2 2 2 2 2 ∴ BP ? PD ? BD ,即 y ? x ? 3 ? y
2 2 2

2

y B D P

即 y ? x ? (3 ? y ) ∴ y 与 x 的函数关系为 y ?
2 2 2

A (4)存在 解法 1:∵⊙P 与 x 轴相切于点 F,且与直线 l 相切于点 B ∴ AB ? AF ,∵ AB ? OA ? OB ? 5 ,∴ AF ? 5
2 2 2 2 2 2

1 2 3 x ? 6 2

O

F

x

∵AF= x ? 4

, ∴ ( x ? 4) ? 5 ,∴ x ? 1或x ? ?9 11 分
2 2

爱心

用心

专心

94

把 x ? 1或x ? ?9 代入 y ? ∴点 P 的坐标为(1,

1 2 3 5 x ? ,得 y ? 或y ? 15 6 2 3

5 )或( ? 9,15)12 分 3

l 1 5 1 【062】解:实践应用(1)2; . ; . (2) . 4 3 6 c

l 拓展联想(1)∵△ABC 的周长为 l,∴⊙O 在三边上自转了 周. c 又∵三角形的外角和是 360°,
∴在三个顶点处,⊙O 自转了
l ∴⊙O 共自转了( +1)周. c l (2) +1. c 360 . ? 1 (周) 360

【063】 (1)① 对称轴 x ? ?

4 ········································ ? ?2 ········································(2 分) 2
2

② 当 y ? 0 时,有 x ? 4 x ? 3 ? 0 ,解之,得 x1 ? ?1 , x2 ? ?3 ∴ 点 A 的坐标为( ?3 ,0) ······································ .······································ (4 分) (2)满足条件的点 P 有 3 个,分别为( ?2 ,3)(2,3)( ?4 , ?3 ) ···· (7 分) , , . ···· (3)存在.当 x ? 0 时, y ? x ? 4 x ? 3 ? 3
2

∴ 点 C 的坐标为(0,3)

∵ DE∥ y 轴,AO ? 3,EO ? 2,AE ? 1,CO ? 3 ∴ △AED ∽ △AOC ∴ S梯形DEOC ? ∴

AE DE ? AO CO



1 DE ? 3 3

∴ DE ? 1······· ······ (9 分)

1 ? (1 ? 3) ? 2 ? 4 2 4 1 4 在 OE 上找点 F,使 OF ? ,此时 S△COF ? ? ? 3 ? 2,直线 CF 把四边形 DEOC 3 2 3
分成面积相等的两部分,交抛物线于点 M. ································(10 分) ································ 设直线 CM 的解析式为 y ? kx ? 3 ,它经过点 F ? ? ,? .则 ? 0 解之,得 k ?

? 4 ? 3

? ?

4 k ? 3 ? 0 ·(11 分) 3

9 4

∴ 直线 CM 的解析式为 y ?

9 ··············· x ? 3 ···············(12 分) 4

【064】解: (1)抛物线 y ? ?

1 2 x ? x ? 2 与 y 轴的交于点 B,令 x=0 得 y=2. y 4
·
A B

∴B(0,2) 1 1 ∵ y ? ? x 2 ? x ? 2 ? ? ( x ? 2)2 ? 3 ∴A(—2,3) 4 4 (2)当点 P 是 AB 的延长线与 x 轴交点时,

PA ? PB ? AB .
当点 P 在 x 轴上又异于 AB 的延长线与 x 轴的交点时,
爱心 用心 专心

H

O

P

x

第 28 题图

95

在点 P、A、B 构成的三角形中, PA ? PB ? AB . 综合上述: PA ? PB ≤ AB (3)作直线 AB 交 x 轴于点 P,由(2)可知:当 PA—PB 最大时,点 P 是所求的点 ···· 分 ···8 作 AH⊥OP 于 H.∵BO⊥OP,∴△BOP∽△AHP AH HP ∴ 由(1)可知:AH=3、OH=2、OB=2,∴OP=4,故 P(4,0) ? BO OP 【065】解: (1)∵AB 是⊙O 的直径(已知) ∴∠ACB=90?(直径所对的圆周角是直角) ∵∠ABC=60?(已知) ∴∠BAC=180?-∠ACB-∠ABC= 30?(三角形的内角和等于 180?) ∴AB=2BC=4cm(直角三角形中,30?锐角所对的直角边等于斜边的一半) 即⊙O 的直径为 4cm. (2)如图 10(1)CD 切⊙O 于点 C,连结 OC,则 OC=OB=1/2·AB=2cm. ∴CD⊥CO(圆的切线垂直于经过切点的半径) ∴∠OCD=90?(垂直的定义) ∵∠BAC= 30?(已求) ∴∠COD=2∠BAC= 60? ∴∠D=180?-∠COD-∠OCD= 30?∴OD=2OC=4cm -OB=4-2=2(cm) ∴当 BD 长为 2cm,CD 与⊙O 相切. (3)根据题意得: BE=(4-2t)cm,BF=tcm; 如图 10(2)当 EF⊥BC 时,△BEF 为直角三角形,此时△BEF∽△BAC ∴BE:BA=BF:BC 即: (4-2t) :4=t:2 解得:t=1 如图 10(3)当 EF⊥BA 时,△BEF 为直角三角形,此时△BEF∽△BCA ∴BE:BC=BF:BA 即: (4-2t) :2=t:4 解得:t=1.6 ∴当 t=1s 或 t=1.6s 时,△BEF 为直角三角形. 【066】 (1)由 C ? 1, ? 得 A(1 2) ,代入反比例函数 y ? , ∴反比例函数解析式为: y ?

∴ BD= OD

? 1? ? 2?

m 中,得 m ? 2 x

2 ············································· ( x ? 0) ·············································2 分 x

1 5 ? y ?? x? ? 1 5 2 ? 2 2 2 解方程组 ? 由 ? x ? ? 化简得: x ? 5 x ? 4 ? 0 2 2 x ?y ? 2 ? x ?
? 1? ····································· ( x ? 4)( x ?1) ? 0 , x1 ? 4,x2 ? 1 所以 B ? 4, ? ·····································5 分 ? 2?
(2)无论 P 点在 AB 之间怎样滑动, △PMN 与 △CAB 总能相似.因为 B、C 两点纵坐标相 等,所以 BC ∥ x 轴. 又因为 AC ∥ y 轴,所以 △CAB 为直角三角形. 同时 △PMN 也是直角三角形, AC ∥ PM,BC ∥ PN. ····················································· ? △PMN ∽△CAB.····················································8 分 (在理由中只要能说出 BC ∥ x 轴, ?ACB ? 90°即可得分. )
爱心 用心 专心 96

【067】 (1)解:∵直角梯形 ABCD, ∥ BC AD

? PD ∥QC

A

P

D

?当 PD ? QC 时,四边形 PQCD
为平行四边形. 由题意可知: AP ? t,CQ ? 2t O

?8 ? t ? 2t C Q B 3t ? 8 8 t? 3 8 ····································· ?当 t ? s 时,四边形 PQCD 为平行四边形. ·····································3 分 3
(2)解:设 PQ 与 ⊙O 相切于点 H, 过点 P 作 PE ? BC, 垂足为 E ?直角梯形 ABCD,AD ∥ BC A P H D

? PE ? AB
由题意可知: AP ? BE ? t,CQ ? 2t O

? BQ ? BC ? CQ ? 22 ? 2t EQ ? BQ ? BE ? 22 ? 2t ? t ? 22 ? 3t
B E Q C

? AB 为 ⊙O 的直径, ?ABC ? ?DAB ? 90° ? AD、BC 为 ⊙O 的切线
? AP ? PH,HQ ? BQ
······························ ? PQ ? PH ? HQ ? AP ? BQ ? t ? 22 ? 2t ? 22 ? t ······························5 分 在 Rt△PEQ 中, PE ? EQ ? PQ ,?12 ? (22 ? 3t ) ? (22 ? t )
2 2 2 2 2 2

即: 8t ? 88t ? 144 ? 0 , t ? 11t ? 18 ? 0 , (t ? 2)(t ? 9) ? 0
2 2

? t1 ? 2,t2 ? 9



因为 P 在 AD 边运动的时间为

AD 8 ? ? 8秒 1 1

而 t ? 9 ? 8 ,?t ? 9 (舍去) ?当 t ? 2 秒时, PQ 与 ⊙O 相切. ·················· 分 , ·················8 【068】解: (1)如图 4,过 B 作 BG ? OA于G, 则 AB ?
2 BG 2 ? GA2 ? 122 ? 15 ? 10) ? 169 ? 13 (

过 Q 作 QH ? OA于H,

爱心

用心

专心

97

2 2 2 2 2 ( 则 QP ? QH ? PH ? 12 ? 10 ? t ? 2t ) ? 144 ? (10 ? 3t )

···················································(2 分) ·················································· 要使四边形 PABQ 是等腰梯形,则 AB ? QP ,
2 即 144 ? (10 ? 3t ) ? 13,

5 ·············· ?t ? 或 t ? 5 (此时 PABQ 是平行四边形,不合题意,舍去) ···············(3 分) 3
(2)当 t ? 2 时, OP ? 4,CQ ? 10 ? 2 ? 8,QB ? 2 。

? CB ∥ DE ∥ OF, ?

QB QE QD QB 1 ·························· ? ? ? ? . ···························(4 分) AF EF DP OP 2

······························ ? AF ? 2QB ? 2 ? 2 ? 4, OF ? 15 ? 4 ? 19. ······························(5 分) ?

1 ······································ ? S 梯形OFBC ? ( ? 19) 12 ? 174 . ······································ (6 分) 10 ? 2
2 2 (3)①当 QP ? PF 时,则 12 ? (10 ? t ? 2t ) ? 15 ? 2t ? 2t,

1 19 ···················································· ? t ? 或t ? . ·····················································(7 分) 3 3
2 2 2 2 2 2 ②当 QP ? QF 时, 则 12 ? (10 ? t ? 2t ) ? 12 ? FH ? 12 ? [15 ? 2t ? (10 ? t )]

即 12 ? (10 ? 3t ) ? 12 ? (5 ? 3t ) , t ? ?
2 2 2 2

5 ······························· ······························(8 分) 6 4 14 2 2 ③当 QF ? PF 时, 则 12 ? (5 ? 3t ) ? 15, t ? 或t ? ? (舍去)····· ? . ···· (9 分) 3 3 1 19 5 4 综上,当 t ? ,t ? ,t ? ,t ? 时,△PQF 是等腰三角形. ········· (10 分) ········· 3 3 6 3
(1)易求得点 C 的坐标为 (0,k ) 由题设可知 x1,x2 是方程 ( x ? m) ? k ? m ? 0 即 x ? 2mx ? k ? 0 的两根,
2 2

【069】解

2

所以 x1, ? 2

?2m ? (?2m) 2 ? 4k ,所 x1 ? x2 ? ?2m,x1 ? x2 ? k ···············(1 分) ··············· 2

如图 3,∵⊙P 与 y 轴的另一个交点为 D,由于 AB、CD 是⊙P 的两 条相交弦,设它们的交点为点 O,连结 DB,∴△AOC∽△DOC,则

OD ?

k OA ? OB x1 x 2 ? ? ? 1. ························ (2 分) ························ OC k k

由题意知点 C 在 y 轴的负半轴上,从而点 D 在 y 轴的正半轴上, 所以点 D 的坐标为(0,1) ············································ ··········································· (3 分) (2)因为 AB⊥CD, AB 又恰好为⊙P 的直径,则 C、D 关于点 O 对称,
爱心 用心 专心

98

所以点 C 的坐标为 (0, 1) ,即 k ? ?1 ··································· ·································· (4 分) ? 又 AB ? x2 ? x1 ? 所以 S△ ABC ?

( x2 ? x1 ) 2 ? 4 x1 x2 ? (?2m) 2 ? 4k ? 2 m 2 ? k ? 2 m 2 ? 1 ,

1 1 ············ AB ? OC ? ? 2 m2 ? 1 ?1 ? 5 解得 m ? ?2. ·············(6 分) 2 2

【070】解: (1)6. (2)8. ···············································(3 分) ··············································· (3)①当 0 ≤ x ? 3 时, Q3 C D P3 O P2 Q2 P1 E A

y ? S△ AP1Q3

1 Q1 1 3 3 2 ? AP AQ1 sin 60? ? · x 2 x · · · · ? x . ····················(5 分) ··················· 1 2 2 2 2

B

②当 3 ≤ x ? 6 时,

y ? S△ APQ2 = 1 ?

1 AP2 P2Q2 2

1 AP2 CQ2 sin 60? · · 2 1 3 ? x (12 - 2 x· · ) 2 2
=?

3 2 ························································ x ? 3 3x. ························································(7 分) 2

③当 6 ≤ x ≤ 9 时,设 P3Q3 与 AC 交于点 O . (解法一) 过 Q3 作 Q3 E ∥ CB, 则 △CQ 3 E 为等边三角形.

? Q3 E ? CE ? CQ3 ? 2 x ? 12. ? Q3 E ∥ CB. ?△COP3 ∽△EOQ3

?

OC CP3 x?6 1 ? ? ? , OE EQ3 2 x ? 12 2

1 1 ? OC ? CE ? (2 x ? 12), 3 3
y ? S△ AQP3 ? S△ ACP3 - S△COP3 1 1 ? CP3 AC sin 60° ? OC CP3 sin 60° · · · · 2 2
爱心 用心 专心 99

1 3 1 1 3 . ? ( x ? 6) 6 ? · ? ? (2 x ? 12)( x ? 6) ? 2 2 2 3 2 ?? 3 2 7 3 ············································ x ? x ? 15 3 . ·············································(10 分) 6 2

(解法二) 如右图,过点 O 作 OF ? CP 于点 F , OG ? CQ3 ,于点 G , 3 过点 P3 作 P3 H ? DC 交 DC 延长线于点 H .

? ?ACB ? ?ACD, ? OF ? OG.
又 CP ? x ? 6, CQ3, ? 2 x ? 12 ? 2( x ? 6), 3

? S△CQP3
? S△COP3

1 ? S△COQ3 2 1 ? S△CP3Q3 , 3

D

Q3

G C H O
F

P3 B

A

1 1 ? ? · CQ3 P3 H · 3 2 1 1 3 ? ? (2 x ? 12)( x ? 6) · 3 2 2 ? 3 ( x ? 6) 2 . 6

又 S △ACP 3 ?

1 CP3 AC sin 60° · · 2

1 3 ? ( x ? 6) ? 6 ? 2 2 3 3 ? ( x ? 6). 2
? y ? S△ AOP3

? S△ ACP3 ? S△OCP3 ? 3 3 3 ( x ? 6) ? ( x ? 6) 2 2 6

??

3 2 7 3 x ? x ? 15 3. ···············································(10 分) ·············································· 6 2

爱心

用心

专心

100

2 ? ?b ?a ? 3 ?1 ? 2a ? ? 4 ?9a ? 3b ? c ? 0 ? 【071】解: (1)由题意得 ? ,解得 ?b ? 3 ? ? ? ? c ? ?2 ? c ? ?2 ? ? ?

2 2 4 3分 x ? x?2 3 3 (2)连结 AC 、 BC .因为 BC 的长度一定,所以 △PBC 周长最小,就是使 PC ? PB 最 小. B 点关于对称轴的对称点是 A 点, AC 与对称轴 x ? ?1 的交点即为所求的点 P . y
∴此抛物线的解析式为 y ? 设直线 AC 的表达式为 y ? kx ? b E

2 ? ??3k ? b ? 0, ?k ? ? 则? 解得 ? 3 ?b ? ?2 ?b ? ? 2 ?

A P

O D

B

x

2 ∴此直线的表达式为 y ? ? x ? 2. ??5 分 3

C

4 4? ? 把 x ? ?1 代入得 y ? ? ∴ P 点的坐标为 ? ?1 ? ? ······················· 分 ······················6 , 3? 3 ?
(3) S 存在最大值···················································7 分 ··················································· 理由:∵ DE ∥ PC, DE ∥ AC. 即

(第 24 题图)

OD OE 2 ? m OE 即 ? , ? . OC OA 2 3 3 3 ∴ OE ? 3 ? m,AE ? 3,OE ? m 2 2
∴ △OED ∽△OAC. ∴ 方法一: 连结 OP S ? S四边形PDOE ? S△OED ? S△POE ? S△POD ? S△OED

=

1 ? 3 ? 4 1 1 ? 3 ? ? ? 3 ? m ? ? ? ? ? 2 ? m ? ?1 ? ? ? 3 ? m ? ? ? 2 ? m ? 2 ? 2 ? 3 2 2 ? 2 ?

3 2 3 ···················································· m ? m ·····················································8 分 4 2 3 3 3 3 ∵ ? ? 0 ,∴当 m ? 1时, S最大 ? ? ? ? ························9 分 ························ 4 4 2 4
=? 方法二:

S ? S△OAC ? S△OED ? S△ AEP ? S△PCD
=

1 1 ? 3 ? 1 3 4 1 ? 3 ? 2 ? ? ? 3 ? m ? ? ? 2 ? m ? ? ? m ? ? ? m ?1 2 2 ? 2 ? 2 2 3 2

爱心

用心

专心

101

3 2 3 3 3 2 ···································· m ? m ? ? ? m ? 1? ? ·····································8 分 4 2 4 4 3 3 ∵ ? ? 0 ,∴当 m ? 1时, S最大 ? ·································9 分 ································· 4 4 8 【072】解: (1)① AB ? 2 , OA ? ? 4 , OC ? 4 ,S 梯形 OABC=12 2 ②当 2 ? t ? 4 时, 直角梯形 OABC 被直线 l 扫过的面积=直角梯形 OABC 面积-直角三角开 DOE 面积 1 S ? 12 ? (4 ? t ) ? 2(4 ? t ) ? ?t 2 ? 8t ? 4 2 8 (2) 存在 , P (?12, 4), P2 (?4, 4), P (? , 4), P4 (4, 4), P (8, 4) 1 3 5 3
=? 对于第(2)题我们提供如下详细解答(评分无此要求).下面提供参考解法二: ① 以点 D 为直角顶点,作 PP ? x 轴 1

(图示阴影) ?在Rt ?ODE中, ? 2OD, 设 OD ? b,OE ? 2b . Rt ?ODE ? Rt ?PPD, OE ? 1 、P(-4,4)E 点在 0 点 ?b ? 4, b ? 8 ,在上面二图中分别可得到 P 点的生标为 P(-12,4) 2 与 A 点之间不可能; ② 以点 E 为直角顶点

同理在②二图中分别可得 P 点的生标为 P(- ③ 以点 P 为直角顶点

8 ,4) 、P(8,4)E 点在 0 点下方不可能. 3

爱心

用心

专心

102

同理在③二图中分别可得 P 点的生标为 P(-4,4) (与①情形二重合舍去) 、P(4,4) , E 点在 A 点下方不可能. 综上可得 P 点的生标共 5 个解,分别为 P(-12,4) 、P(-4,4) 、P(- P(8,4) 、P(4,4) . 下面提供参考解法二: 以直角进行分类进行讨论(分三类) : 第一类如上解法⑴中所示图 ?P为直角:设直线DE:y ? 2 x ? 2b, 此时D (-b,o),E(O,2b)

8 ,4) 、 3

b 1 b 3b 直线 DE 的中垂线方程:y ? b ? ? ( x ? ) , y ? 4 得 P( ? 8,4) . 令 由 的中点坐标为(- ,b), 2 2 2 2
2 已知可得 2PE ? DE 即 2 ? ( b ? 8) ? (4 ? 2b) ? b ? 4b 化简得 3b ? 32b ? 64 ? 0 解
2 2 2 2

3 2

得 b1 ? 8,b2 ?

8 3b 将之代入( -8,4) P ? P ? 1 (4,4)、 P2 (?4, 4) ; 3 2

此时D (-b,o),E(O,2b) 第二类如上解法②中所示图 ?E为直角:设直线DE:y ? 2 x ? 2b,
,直线 PE 的方程: y ? ?

1 x ? 2b ,令 y ? 4 得 P(4b ? 8,4) .由已知可得 PE ? DE 即 2

(4b ? 8) 2 ? (4 ? 2b) 2 ? b 2 ? 4b 2 化简得 b2 ? (2b ? 8)2 解之得 ,

b1 ? 4,b2 ?

8 4 P 将之代入(4b-8,4) P ? P ? 3 (8,4)、 4 (? ,4) 3 3

此时D (-b,o),E(O,2b) 第三类如上解法③中所示图 ?D为直角:设直线DE:y ? 2 x ? 2b,
,直线 PD 的方程: y ? ? ( x ? b) ,令 y ? 4 得 P(?b ? 8,4) .由已知可得 PD ? DE 即

1 2

82 ? 42 ? b 2 ? 4b 2 解得 b1 ? 4,b2 ? ?4将之代入(-b-8,4) P ? P ? 5 (-12,4)、

P6 (?4, 4) ( P6 (?4, 4) 与 P2 重合舍去) .
综上可得 P 点的生标共 5 个解,分别为 P(-12,4) 、P(-4,4) 、P(- P(8,4) 、P(4,4) . 事实上,我们可以得到更一般的结论: 如果得出 AB ? a、OC ? b、 ? h、 k ? 设 OA

8 ,4) 、 3

b?a ,则 P 点的情形如下 h

爱心

用心

专心

103

直角分类情形

k ?1
P ( h, h ) 1

k ?1

?P为直角
P2 (?h, h)

P (?h, h) 1

?E为直角

P3 (?

hk , h) 1? k hk P4 ( , h) k ?1

h P2 (? , h) 2
P3 (0, h)
P4 (?2h, h)

P5 (?h(k ? 1), h)

?D为直角
P6 (?h(k ? 1), h)
【073】(1)∵∠A、∠C 所对的圆弧相同,∴∠A=∠C. ∴Rt△APD∽Rt△CPB,∴ AP ? PD ,∴PA·PB=PC·PD;?????????3 分

CP

PB

(2)∵F 为 BC 的中点,△BPC 为 Rt△,∴FP=FC,∴∠C=∠CPF. 又∠C=∠A,∠DPE=∠CPF,∴∠A=∠DPE.∵∠A+∠D=90°, ∴∠DPE+∠D=90°.∴EF⊥AD. (3)作 OM⊥AB 于 M,ON⊥CD 于 N,同垂径定理: ∴OM2=(2 5 )2-42=4,ON2=(2 5 )2-32=11 又易证四边形 MONP 是矩形, ∴OP= OM ? ON ? 15
2 2

y l
60°

O1 O B D1 D x

P A

O3

O2

【074】 (1)解:由题意得 OA ?| ?4 | ? | 8 |? 12 ,

0) ? A 点坐标为 (?12, .?在 Rt△AOC 中, ?OAC ? 60° , C
OC ? OA tan ?OAC ? 12 ? tan 60° ? 12 3
? ?C 点的坐标为 (0, 12 3) .
设直线 l 的解析式为 y ? kx ? b ,由 l 过 A、C 两点,得 ? (第 22 题答图)

? ?12 3 ? b ? ?0 ? ?12 k ? b ?

解得 ?

?b ? ?12 3 ? ?k ? ? 3 ?

?直线 l 的解析式为: y ? ? 3x ? 12 3 .

(2)如图,设 ⊙O2 平移 t 秒后到 ⊙O3 处与 ⊙O1 第一次外切于点 P ,

⊙O3 与 x 轴相切于 D1 点,连接 O1O3,O3 D1 .则 O1O3 ? O1 P ? PO3 ? 8 ? 5 ? 13
爱心 用心 专心

104

? O3 D1 ⊥ x 轴,? O3 D1 ? 5 ,
在 Rt△O1O3 D1 中, O1 D1 ? O1O3 ? O3 D1 ? 13 ? 5 ? 12 . ····················· 分 ····················6
2 2 2 2

? O1D ? O1O ? OD ? 4 ? 13 ? 17 ,? D1D ? O1D ? O1D1 ? 17 ? 12 ? 5 ,

?t ?

5 ··································· ? 5 (秒)?⊙O2 平移的时间为 5 秒. ···································8 分 1 【075】解: (1)对称轴是直线: x ? 1,
点 A 的坐标是(3,0) ·································· 2 分 . ·································· (说明:每写对 1 个给 1 分,“直线”两字没写不扣分) (2)如图 11,连接 AC、AD,过 D 作 DM ? y 轴 于点 M, 解法一:利用 △AOC ∽△CMD ∵点 A、D、C 的坐标分别是 A (3,0) ,D(1, ? a ? b ) C(0, ? b ) 、 , ∴AO=3,MD=1.由

AO OC 3 b 得 ? ∴ 3 ? ab ? 0 ··························3 分 ·························· ? CM MD a 1
?3 ? ab ? 0 ?a ? 1 得? ?b ? 3 ?3a ? b ? 0
··········································· 分 ··········································6

又∵ 0 ? a ? (?1) ? 2a ? (?1) ? b ∴由 ?
2

∴函数解析式为: y ? x ? 2 x ? 3
2

解法二:利用以 AD 为直径的圆经过点 C ∵点 A、D 的坐标分别是 A (3,0) 、D(1, ? a ? b ) 、C(0, ? b ) , ∴ AC ?

9 ? b 2 , CD ? 1 ? a 2 , AD ? 4 ? (?a ? b) 2 ∵ AC 2 ? CD2 ? AD 2
又∵ 0 ? a ? (?1) ? 2a ? (?1) ? b …②
2 2

∴ 3 ? ab ? 0 …①

························· 分 ························4

由①、②得 a ? 1 b ? 3 ,

∴函数解析式为: y ? x ? 2 x ? 3 ··················6 分 ··················

(3)如图所示,当 BAFE 为平行四边形时,则 BA ∥ EF ,并且 BA = EF . ∵ BA =4,∴ EF =4 ,由于对称为 x ? 1,∴点 F 的横坐标为 5. ···············7 分 ··············· 将 x ? 5 代入 y ? x ? 2 x ? 3 得 y ? 12 ,∴F(5,12) .
2

E y

F

根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧 抛物线上也存在点 F,使得四边形 BAEF 是 平行四边形,此时点 F 坐标为( ?3 ,12) . 当四边形 BEAF 是平行四边形时, 点 F 即为点 D,此时点 F 的坐标为(1, ?4 ) . 综上所述,点 F 的坐标为(5,12) , ( ?3 ,12)或(1, ?4 ) . 【076】解: (1)∵四边形 OBHC 为矩形,∴CD∥AB, 又 D(5,2) ∴C(0,2) , ,OC=2 .

B C

O A D

x

图 11

爱心

用心

专心

105

?n ? 2 ? ∴ ?1 2 ?2 ? 5 ? 5 ? m ? n ? 2 ?

5 ? ?m ? ? 解得 ? 2 ?n ? 2 ?

1 2 5 x ? x ? 2 ?? 4 分 2 2 (2)点 E 落在抛物线上. 理由如下:??? 5 分

∴抛物线的解析式为: y ?

由 y = 0,得

1 2 5 解得 x1=1,x2=4. ∴A(4,0) ,B(1,0). x ? x?2?0. 2 2 ∴OA=4,OB=1. 由矩形性质知:CH=OB=1,BH=OC=2,∠BHC=90°, 由旋转、轴对称性质知:EF=1,BF=2,∠EFB=90°,∴点 E 的坐标为(3,-1).

1 2 5 1 5 x ? x ? 2 ,得 y ? ? 3 2 ? ? 3 ? 2 ? ?1, ∴点 E 在抛物线上. 2 2 2 2 (3)法一:存在点 P(a,0) ,延长 EF 交 CD 于点 G,易求 OF=CG=3,PB=a-1. S 梯形 BCGF = 5,S 梯形 ADGF = 3,记 S 梯形 BCQP = S1,S 梯形 ADQP = S2, 1 下面分两种情形: ①当 S1∶S2 =1∶3 时, S1 ? (5 ? 3) ? 2 ? 5 , 4
把 x=3 代入 y ? 此时点 P 在点 F(3,0)的左侧,则 PF = 3-a,由△EPF∽△EQG,得
PF EF 1 ? ? ,则 QG=9 QG EG 3

1 9 -3a,∴CQ=3-(9-3a) =3a -6,由 S1=2,得 (3a ? 6 ? a ? 1) ? 2 ? 2 ,解得 a ? ; 2 4 3 ②当 S1∶S2=3∶1 时, S1 ? (5 ? 3) ? 6 ? 5 此时点 P 在点 F(3,0)的右侧,则 PF = a- 4 ,

3,由△EPF∽△EQG,得 QG = 3a-9,∴CQ = 3 +(3 a-9)= 3 a-6,
9 13 1 13 由 S1= 6,得 (3a ? 6 ? a ? 1) ? 2 ? 6 ,解得 a ? ,综上所述:所求点 P 的坐标为( ,0)或( , 2 4 4 4 0)??? 14 分 法二:存在点 P(a,0). 记 S 梯形 BCQP = S1,S 梯形 ADQP = S2,易求 S 梯形 ABCD = 8.

当 PQ 经过点 F(3,0)时,易求 S1=5,S2 = 3,此时 S1∶S2 不符合条件,故 a≠3.
1 ? ?k ? a ? 3 ?3k ? b ? ?1 ? 设直线 PQ 的解析式为 y = kx+b(k≠0),则 ? ,解得 ? , ?ak ? b ? 0 ?b ? ? a ? a?3 ?

∴y?

1 a . 由 y = 2 得 x = 3a-6,∴Q(3a-6,2) ??? 10 分 x? a ?3 a ?3 1 (3a ? 6 ? a ? 1) ? 2 ? 4a ? 7 . 2

∴CQ = 3a-6,BP = a-1, S1 ?

1 1 下面分两种情形:①当 S1∶S2 = 1∶3 时, S1 ? S梯形ABCD ? ? 8 = 2; 4 4

9 ;?????????????????? 12 分 4 3 3 13 ②当 S1∶S2 = 3∶1 时, S1 ? S梯形ABCD ? ? 8 ? 6 ; ∴4a-7 = 6,解得 a ? ; 4 4 4 9 13 综上所述:所求点 P 的坐标为( ,0)或( ,0)???? 14 分 4 4 9 13 [说明:对于第(3)小题,只要考生能求出 a ? 或 a ? 两个答案,就给 6 分. ] 4 4

∴4a-7 = 2,解得 a ?

爱心

用心

专心

106

【077】解: (1)把 B(0,6)代入 y ? ?

3 ? m ,得 m =6?????????1 分 4 3 把 y =0 代入 y ? ? ? 6 ,得 x =8 4
∴点 A 的坐标为(8,0)????? 3 分 (2)在矩形 OACB 中,AC=OB=6, BC=OA=8,∠C=90° ∴AB=

B

P' G

P

C

F E'

Q I J M E M

D

AC 2 ? BC 2 ? 6 2 ? 8 2 ? 10

∵PD⊥AB∴∠PDB=∠C=90°
A

O

cos ?CBA ? BD ?

BD BC ? BP BA

, ∴

BD 8 ? a 10



4 4 a ∴ AD ? 10 ? a 5 5

又∵BC∥AE,∴△PBD∽△EAD

4a AE AE AD 5 ,∴ AE ? 5 (10 ? 4a ) ? 12.5 ? a ∴ ,即 ? ? 4a BP BD 4 5 a 5 1 1 ∵ S 梯形PEAC ? ( PC ? AE ) AC ,∴ s ? (8 ? a ? 12.5 ? a)6 ? ?6a ? 61.5 2 2 ( o ? a ? 8 )???????????7 分 (注:写成 o ? a ? 8 不扣分) 10 ?
② ⊙Q 是△OAB 的内切圆 ,可设⊙Q 的半径为 r ∵

S ?OAB ?

1 1 (6 ? 8 ? 10)r ? ? 6 ? 8 ,解得 r=2.???????????????8 分 2 2

设⊙Q 与 OB、AB、OA 分别切于点 F、G、H 可知,OF=2∴BF=BG=OB-OF=6-2=4,设直线 PD 与⊙Q 交于点 I、J ,过 Q 作 QM⊥IJ 于点 M,连结 IQ、QG, ∵QI=2, IM ? ∴ QM ?

1 IJ ? 1.2 2

QI 2 ? IM 2 ? 1.6 ∴ 在矩形 GQMD 中,GD=QM=1.6

∴BD=BG+GD=4+1.6=5.6,由 cos ?CBA ?

BD BC 8 5 ,得 BP ? BD ? 7 ? ? BP BA 10 4

∴点 P 的坐标为(7,6)?????????????????????????11 分 当 PE 在圆心 Q 的另一侧时,同理可求点 P 的坐标为(3,6)?????????12 分 综上,P 点的坐标为(7,6)或(3,6) .??????????????????13 分。 【078】 (1) y ? 1 ? x ························································· 分 ························································2 (2)∵ OP ? t ,∴ Q 点的横坐标为 ①当 0 ?

1 t, 2

1 1 t ? 1 ,即 0 ? t ? 2 时, QM ? 1 ? t , 2 2
1 ? 1 ? t ?1 ? t ? . ·····················································3 分 ····················································· 2 ? 2 ?

∴ S△OPQ ?

爱心

用心

专心

107

②当 t ≥ 2 时, QM ? 1 ?

1 1 t ? t ?1 , 2 2

∴ S△OPQ

?1 ? 1 ? 0 ? 2 t ? 1 ? 2 t ?, ? t ? 2, 1 ?1 ? ? ? ? ···························4 分 ··························· ? t ? t ? 1? .∴ S ? ? 2 ?2 ? ? 1 t ? 1 t ? 1 ?,t ≥ 2. ? ?2 ? 2 ? ? ?

当0 ?

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