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高中数学“函数的概念与性质”教学研究


专题讲座
高中数学“函数的概念与性质”教学研究
李梁 北京市西城区教育研修学院 函数是中学数学中的重点内容,它是描述变量之间依赖关系的重要数学模型. 本专题内容由四部分构成:关于函数内容的深层理解;函数概念与性质的教学建议; 学生学习中常见的错误分析与解决策略;学生学习目标检测分析. 研究函数问题通常有两条主线:一是对函数性质作一般性的研究,二是研究几种具体

的基本初等函数——二次函数、指数函数、对数函数、幂函数.研究函数的问题主要围绕以 下几个方面:函数的概念,函数的图象与性质,函数的有关应用等.

一、关于函数内容的深层理解 (一)函数概念的发展史简述 数学史角度:早期函数概念(Descartes,1596—1650 引入坐标系创立解析几 何,已经关注到一个变量对于另一个变量的依赖关系)[几何角度];Newton,1642— 1727,用数流来定义流量(fluxion)的变化率,用以表示变量间的关系;Leibniz,1646 —1716 引入常量、变量、参变量等概念;Euler 引入函数符号 个解析表达式[代数角度];Dirichlet,1805—1859 提出 ,并称变量的函数是一 是 与 之间的一种对

应的观点[对应关系角度] ;Hausdorff 在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数[集合论 角度]. Dirichlet:认为怎样去建立 与 之间的关系无关紧要,他拓广了函数概念,指出: 都有一个确定的值,那么 叫做 的函数.”这

“对于在某区间上的每一个确定的 值,

种函数的定义,避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述,简明精确(经典函数定 义). Veblen,1880-1960 用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义,通过集合概 念,把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了,且打破了“变量是数”的限制,变 量可以是数,也可以是其它对象. (二)初高中函数概念的区别与联系

1.初中函数概念: 设在某个变化过程中有两个变量 唯一的值与它对应,我们就说 2.高中函数概念: (1)设 A,B 是两个非空集合,如果按照某种对应法则 f,对 A 中的任意一个元素 x, 在 B 中有一个且仅有一个元素 y 与 x 对应, 则称 f 是集合 A 到集合 B 的映射.记作 其中 叫原象, 叫象. , ,如果对于 在某个范围内的每一个值, 叫 的函数. 都有

是 的函数, 叫自变量,

(2)设集合 A 是一个非空的数集,对 A 中的任意数 x,按照确定的法则 f,都有唯一 确定的数 y 与它对应,则这种映射叫做集合 A 上的一个函数.记作 .

其中 x 叫做自变量,自变量取值的范围(数集 A)叫做这个函数的定义域.所有函数值 构成的集合 全确定. (3) 函数是一种特殊的映射.其定义域和值域都是非空的数集,值域中的每一个元素 都有原象. 构成函数的三要素:定义城,值域和对应法则,其中定义域和对应法则是核心. (三)函数在整个数学知识体系中的地位及作用 函数是中学数学最重要的基本概念之一, 其核心内涵为从非空数集到非空数集的映射; 函数思想也是整个高中数学最重要的数学思想之一, 而函数概念是函数思想的基础; 它不仅 对前面学习的集合知识做了巩固和发展, 而且它是学好后继知识的基础和工具; 函数与方程、 不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等内容的联系也非常密切;函数的基础知识在现 实生活、社会、经济及其它学科中有广泛的应用;函数概念及其反应的数学思想方法已广泛 渗透到数学的各个领域,是进一步学习数学的重要基础. (四)函数的概念与性质结构框图 叫做这个函数的值域.函数的值域由定义域与对应法则完

(五)函数的概念与性质教学重点和难点 教学重点: 1.函数的概念 2.函数的基本性质 3.基本初等函数的图象和性质 教学难点:

1.函数概念的理解 2.对函数的单调性、奇偶性、周期性实质的把握 3.运用基本初等函数的图象和性质解决简单问题 二、函数概念与性质的教学建议:

(一)如何深入把握函数的概念? 1.映射与函数的教学建议: 教学中,由于映射与函数的概念比较抽象,不易把握,故本部分内容宜采用教师引导, 师生共同研讨的方式来学习. 在教学中,教师可以类似举如下的例子进行剖析: 例 1:设集合 集合 中的元素 和 都是自然数集合 , 则在映射 . 映射 把集合 中的元素 映射到

作用下, 2 的象是_______;20 的原象是________. .

分析:由已知,在映射 所以,2 的象是

作用下 的象为 ;

设象 20 的原象为 ,则 的象为 20,即 由于 , 随着 的增大而增大,又

. ,所以 20 的原象是 4.

这个例子要求学生理解映射的意义,对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的 象与原象. 能够有效判别学生对映射、象、原象这些概念的把握程度.同时,题目中兼顾对 于函数 性质的探究,具有一定的综合程度.

2.函数的定义域问题: 确定函数的定义域是研究函数问题的先决条件,因此对于一个函数问题,首先要明确 自变量的取值集合.教学中,教师可通过类似下述问题明确求函数定义域的几类常见问题: 例 2:求下列函数的定义域:

(1)



(2)



(3)



(4)



解: 由 (1)

, 得

, 所以



, 所以



.

所以,所求函数的定义域为 (2)由 得, 或 .

.

所以,所求函数的定义域为

.

(3)由



,且





所以,所求函数的定义域为

(4)由





所以

.

所以,所求函数定义域为

.

例 3:如图,用长为 的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架,若矩形的底边长 为 ,求此框架围成的面积 与 的函数关系式,并指出定义域. 解:根据题意, .

弧长为

,所以

.

所以, 根据问题的实际意义. .

.





.

所以,所求函数定义域为

.

上述求函数定义域问题涵盖了确定函数定义域的两种类型问题. (1)给出函数解析式求定义域(如例 2),这类问题就是求使解析式有意义的自变量 的取值范围.正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的. 中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有: ① 分式中分母不为零; ② 偶次方根下被开方数非负; ③ 零次幂的底数要求不为零; ④ 对数中的真数大于零,底数大于零且不等于 1;



,则

.

(2)在实际问题中求函数的定义域(如例 3). 在这类问题中除了考虑解析式对自变 量的限制 , 还应考虑实际问题对自变量的限制. 另外,在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识,这是极其重要的.比如在研 究函数单调性、奇偶性、最值等问题时,首先要考虑的就是函数的定义域. 3.函数的对应法则问题: 确定函数的对应法则(即求函数的解析式)是有关函数概念中的重要问题,教学中教 师可以设置如下相关题组,和学生共同解决.

例 4:(1)已知

,求

的解析式;

(2)已知 (3) 如果 的解析式; (4)已知函数 解析式. 分析:(1)求函数 为二次函数,

,求

的值; , 并且当 时, 取得最小值 , 求

与函数

的图象关于直线

对称,求



的解析式,从映射的角度看就是求对应法则,于是,我们一

般有下面两种方法解决(1)这样的问题.

方法一: 法则

. 通过这样“凑型”的方法,我们可以明确看到 .

是“原象对应于原象除以原象的平方减 1”.所以,

方法二:设

,则

.则

,所以

.

这样,通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么.

(2)用“凑型”的方法, .

.所以



(3)因为

为二次函数,并且当

时,

取得最小值



所以,可设 又 ,所以

, ,所以 . .

(4) 这个问题相当于已知

的图象满足一定的条件, 进而求函数 的解析式.

的解析式. 所

以,可以类比解析几何中求轨迹方程的方法求



的图象上任意一点坐标为 ,由已知,点 在函数 满足 .

,则

关于

对称点的坐标为

的图象上, 的解析式,即 ,

所以,点 所以,

的坐标

由于已知条件的不同,求函数的解析式的常见方法有像(1)(2)所用到的“凑形” 及“换元”的方法;有像(3)所用到的待定系数法;也有像(4)所用到的解析法. 值得注意的是(4)中所用的解析法.在求函数解析式或求曲线的轨迹方程时都可以用 这种方法,是一种通法.同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的取系. (二)教学中如何突出函数性质的本质? 函数的性质主要包括函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性等,侧重点在于理解与 函数性质有关的概念, 掌握有关判断、 证明的基本方法以及简单的应用. 这部分内容常用到 数形结合的思想方法. 1.关于基本概念的理解: (1)设函数 且 设函数 的定义域为 ,如果对于 内的任意一个 ,都有 ,

,则这个函数叫做奇函数. 的定义域为 ,如果对于 内任意一个 ,都有 ,且

,则这个函数叫做偶函数. 由奇函数定义可知,对于奇函数 图象上.又点 与点 ,点 与点 都在其

关于原点对称,我们可以得到:

奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形;通过同样的分析可以得到, 偶函数的图象是以 轴为对称轴的轴对称图形.

(2)一般地,设函数 两个值 , ,改变量

的定义域为 ,则

,区间

.如果取区间

中的任意

当 当 如果一个函数在某个区间 具有单调性,区间

时,就称函数 时,就称函数

在区间 在区间

上是增函数; 上是减函数. 上

上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间

称为单调区间.

在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的. (3)一般地,对于函数 的每一个值时, 常数 叫做这个函数的周期. (4)一般地,对于函数 的每一个值时, ,如果存在一个不为零的常数 ,使得当 取定义域中 都成立,则函数 的图象关于直线 对称. ,如果存在一个不为零的常数 都成立,那么就把函数 ,使得当 取定义域中 叫做周期函数,不为零的

这四个概念都比较抽象,建议讲述相关概念时采用数形结合的手段,不断揭示概念的 几何背景,进而完善学生对概念的认识. 2.关于函数的奇偶性问题: 对于函数的奇偶性,要求学生会判断及简单应用.教学中可给出如下题组: 例 1:判断下列函数的奇偶性.

(1)

; (2)

; (3)



(4)

; (5)

.

解:(1)解

,得到函数的定义域为



,关于原点不对称,

所以此函数为非奇非偶函数. (2)函数的定义域为 即 ,且 ,但是,由于 , , ,

所以此函数为非奇非偶函数.

(3)函数的定义域为 所以此函数为偶函数.

,又



(4)解

,得



又 所以此函数为奇函数.



(5)函数的定义域为 所以此函数为奇函数.

,又



通过本例及函数奇偶性的定义,进一步可以得到下面几个结论: ① 一个函数是奇(或偶)函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称; ② 是奇函数,并且 在 时有定义,则必有 ;

③ 既是奇函数又是偶函数的函数,其解析式一定为 判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个步骤: ① 判断函数的定义域是否关于原点对称; ② 考察 与 的关系.

,等.

由此,若以奇偶性为标准可以把函数分为奇函数,偶函数,既奇又偶函数和非奇非偶 函数四类. 例 2:已知 (1)求 为奇函数,当 的值; 时, ,

(2)当

时,求

的解析式.

解:(1)因为 (2)方法一: 当

为奇函数,所以 时, .

.

所以,

.

方法二:设 的图象上.





时图象上一点,则

一定在





所以,



.

上述三个例子分别从具体函数、抽象函数、以及奇偶性的应用上加深对概念的理解. 3.关于函数的单调性问题:

例 3:用函数单调性定义证明,函数 增函数.

在区间

上为

证明:设



因为

,所以

,又因为



所以





所以



函数 例 4: 设 是定义域为

在区间

上为增函数. 的奇函数, 且它在区间 上是减函数.

(1)试比较 (2)若 解:(1)因为 又 在区间

与 ,且

的大小; ,求证: . , ,即 , .

是奇函数,所以 上是减函数,所以 ,所以 异号,不妨设 , , 在区间

(2)因为 因为 因为 所以 因为 所以

,所以 , , 是奇函数,所以 ,即

上是减函数,

, .

总之,函数的单调性是我们研究的极为重要的函数性质,其与其它问题的联系、自身 的应用都很广泛,在教学中要予以充分注意. (三)怎样有效提升学生对基本初等函数的图象与性质的把握? 基本初等函数包括: 二次函数、指数函数、对数函数和幂函数. 函数的图象上直观地反映着函数的性质, 学习函数的“捷径”是熟知函数的图象. 熟 知函数图象包括三个方面:作图,读图,用图. 掌握初等函数一般包括以下一些内容:首先是函数的定义,之后是函数的图象和性质. 函数的性质一般包括定义域,值域,图象特征,单调性,奇偶性,周期性,零点、最值以及 值的变化特点等,研究和记忆函数性质的时候应全面考虑. 函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质,我们可以通过解析式研究函数 的性质,也可以通过解析式画出函数的图象,进而直观的发现函数的性质.

1.关于二次函数的处理: 对于二次函数,初中已有研究,但高中阶段处理二次函数的视角又和初中有所不同.

例如:设 是实数,证明关于 的方程 解.(初中、高中的不同处理方法) 教学中可以参考如下的题目: 例 1:(1)如果二次函数 的取值范围是________. 在区间

有两个不相等的实数

上是增函数,则

(2)二次函数 (3)函数

的最大值恒为负,则 的取值范围是_______. 对于任意 均有 ,则 ,

的大小关系是_____________. 解:(1)由于此抛物线开口向上,且在 上是增函数,

画简图可知此抛物线对称轴 侧,

或与直线

重合,或位于直线

的左

于是有

,解之得

. ,

(2) 分析二次函数图象可知, 二次函数最大值恒为负的充要条件是 “二次项系数 且判别式 ”,

即 (3)因为对于任意

解得 均有

. ,所以抛物线对称轴为 . 轴上的截距为 ,被 轴截 .

又抛物线开口向上,做出函数图象简图可得 例 2、已知二次函数 得的线段长为 ,求 解:解法一:设 由 的对称轴为 ,可得 的对称轴为 的解析式. , ; ,且图象在

由图象在

轴上的截距为

,可得

; 均为方程 . 的根.

由图象被 轴截得的线段长为 ,可得 所以 ,即 . 解法二:因为图象被 轴截得的线段长为 ,可得 根. 所以,设 又 即 图象在 轴上的截距为 . 所以 , ,即函数图象过 . ,所以

均为方程



点.

二次函数是非常常见的一种函数模型,在高中数学中地位很重. 二次函数的解析式有三种形式: 一般式 双根式 ;顶点式 ,其中 ,其中 为顶点坐标;

为函数图象与 轴交点的横坐标,即二次函

数所对应的一元二次方程的两个根. 例 1、2 两个题目充分体现了数形结合思想及运动变化思想的运用.这两种数学思想在 函数问题的解决中被普遍使用. 2.关于指数函数、对数函数和幂函数的处理: 这三种基本初等函数是在研究一般函数基础上的重要模型,教学中建议采用如下问题 突出相关函数性质的应用. 例 3、比较下列各小题中各数的大小:

(1)



; (2)

; (3)





(4)



; (5)



; (6) . )上是增函数,所以

.

分析:(1) (2)函数

是减函数, 在区间(0, +



函数

在区间(0, +

)上是减函数,所以



所以

.

(3)由于 (4)利用幂函数和指数函数单调性.

,所以 .

.

(5)因为

,

.根据不等式的性质有

.

(6)因为

,所以

,即



比较



,只需比较





因为

是增函数,所以只需比较

与 的大小,

因为

,所以

,所以



综上, 例 4:已知

. ,比较 的大小.

分析:方法一(作商比较法)

,又

,所以



所以

,所以

.

方法二(作差比较法)

, 因为 所以 ,所以 ,即 . ,

方法三(构造函数) 令 因为 ,将 ,所以此函数为减函数,又 , 所以 ,即 . 看作是关于 的一次函数, ,

两个数比较大小的基本思路: 如果直接比较,可以考虑用比较法(包括“作差比较”与“作商比较”,如例 4 的方 法一与方法二),或者利用函数的单调性来比较(如例 3(1) (2) (3),例 4 的方法三). 如果用间接的方法可以尝试对要比较的两数进行适当的变形,转化成对另两个数的比 较,也可以考虑借助中间量来比较(如例 3(4)(5)(6)).

三、学生学习中常见的错误分析与解决策略 例 1:下列四组函数中,表示同一个函数的是( )

(A)

,

(B)

,

(C)

,

(D)

,

易错点:① 定义域;② 对应法则;③ 函数的概念. 错因分析:① 忽视函数的定义域;② 不清楚函数概念的实质,如(B)中表示自变量 的字母不同,就误认为不会是同一个函数. 解题策略:判断两个函数是否为同一函数,就是要看两个函数的定义域与对应法则是 否完全相同. 一般有两个步骤: (1)在不对解析式进行变形的情况下求定义域,看定义域是否一致. (2)对解析式进行合理变形的情况下,看对应法则是否一致. 分析:(A)(C)(D)中两个函数的定义域均不同,所以不是同一函数.(B)中两个 函数的定义域相同,化简后为 及 ,对应法则也相同,所以选(B).

这个例子可以有效检测学生对函数概念的把握,同时突出映射与函数概念的联系. 例 2:已知函数 的定义域为 ,求函数 及 的定义域.

易错点:① 对应法则定义域;② 定义域的概念. 错因分析:① 对对应法则的符号不理解;② 不清楚定义域的含义. 解题策略:此题的题设条件中未给出函数 的解析式,这就要求我们根据函数三要 制约 可知法 ,而定义

素之间的相互制约关系明确两件事情:①定义域是指 的取值范围;②受对应法则 的量的取值范围在“已知”和 “求”当中是一致的 .那么由 则 制约的量的取值范围是 ,而在函数 得 . 的值不恒为零,对于任意的 的奇偶性为_________. 中,受 的定义域是 直接制约的是 ,即

域是指 的范围,因此通过解不等式 . 同理可得 例 3:设函数 的定义域为 在 上有定义,

的定义域是

,恒有

成立,则函数

易错点:① 抽象函数;② 对“恒成立”的理解. 错因分析:① 抽象函数的有关性质;② 对“恒成立”的理解不清晰,不能将其转化 为所需求的结构. 解题策略:关于对抽象函数“ ”的使用一般有以下两个思路:



为某些特殊的值,如本题解法中,令 则可以得到 ,等等.

得到了

.当然,如果令



具有某种特殊的关系,如本题解法中,令 ,等等.

.得到

,在某

些情况下也可令

总之,函数方程的使用比较灵活,要根据具体情况作适当处理.在不是很熟悉的时候, 要有试一试看的勇气. 解:令 再令 零,故 ,则 是奇函数而非偶函数. 是定义域为 与 的单调增函数. ,则 ,所以 ,所以 , ,又 的值不恒为

例 4:已知函数 (1)比较 (2)若

的大小; ,求实数 的取值范围.

易错点:① 函数概念;② 增函数. 错因分析:① 对函数概念中的对应法则的理解不清楚;② 没有理解增函数概念的实 质,不会将其应用于解决问题. 解题策略:回顾单调增函数的定义,在 要的问题: 还是减. 由定义可知:对于任取的 区间上是增函数; 不仅如此,若 若 ,且函数 ,且函数 在区间上是增函数,则 在区间上是增函数,则 ; ; ,若 ,且 ,则函数 在 的符号; , 为区间任意两个值的前提下,有三个重 的符号;函数 在区间上是增

于是,我们可以清晰地看到,函数的单调性与不等式有着自然的联系,请结合例 4 加 以体会.

解:(1)因为 由已知, (2)因为 解得 或 是单调增函数,所以 是单调增函数,且 .

,所以 . ,所以





四、学生学习目标检测分析 (一)课程标准中的相关要求 1.函数 ① 通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此 基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数, 体会对应关系在刻画函数概念中的作用; 了解 构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念。 ② 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如,图像法、列表法、解析法) 表示函数。 ③ 通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用。 ④ 通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意 义;结合具体函数,了解奇偶性的含义。 ⑤ 学会运用函数图像理解和研究函数的性质。 2.指数函数 ① 通过具体实例(如,细胞的分裂,考古中所用的 C 的衰减,药物在人体内残留量 的变化等),了解指数函数模型的实际背景。 ② 理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算。 ③ 理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像,探 索并理解指数函数的单调性与特殊点。 ④ 在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型。
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3.对数函数 ① 理解对数的概念及其运算性质, 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常 用对数;通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用。 ② 通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概 念, 体会对数函数是一类重要的函数模型; 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像, 探索并了解对数函数的单调性与特殊点。 ③ 知道指数函数 y=a 与对数函数 y=loga x 互为反函数。(a > 0, a≠1) 4.幂函数
x

通过实例,了解幂函数的概念;结合函数 y=x, y=x , y=x , y= 解它们的变化情况。 (二)高考考试内容与要求 1.函数

2

3

, y=

的图像,了

① 了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念. ② 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法) 表示函数. ③ 了解简单的分段函数,并能简单应用. ④ 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合具体函数,了解函数奇偶性 的含义. ⑤ 会运用函数图像理解和研究函数的性质. 2.指数函数 ① 了解指数函数模型的实际背景. ② 理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. ③ 理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握函数图像通过的特殊点. ④ 知道指数函数是一类重要的函数模型.

3.对数函数 ① 理解对数的概念及其运算性质, 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常 用对数;了解对数在简化运算中的作用. ② 理解对数函数的概念;理解对数函数的单调性,掌握函数图像通过的特殊点. ③ 知道对数函数是一类重要的函数模型; ④ 了解指数函数 与对数函数 互为反函数( ).

(三)两个典型高考题目剖析: 例 1(2010 年全国卷 理 8)已知函数 则 的取值范围是( ) (A) (B) (C) (D) .若 ,且 ,

分析:本题的知识涉及对数函数的图象和性质,函数图象的变换,利用导数研究单调 性, 不等式中的均值定理等内容; 涉及到数形结合与等价转化的数学思想, 有一定的综合性. 思路一:因为 因为函数 ,得 又因为 在 . ,所以 ,且 . ,即 上单调递增,由 ,所以 ,得 . ,不合题意;由

从而

,其中

.

令 区间

,则 上单调递增.由此可知,

,当 ,故

时,

,所以函数 的取值范围是

在 ,正

确选项是(C). 思路二:函数 ,且 以下同解法一. 的图象如右图所示.因为 ,从而有 ,且 .

本题颇有些“绵里藏针”,如果未注意到 理, 深刻性与灵活性可见一斑.

的隐含条件,而直接利用均值定

,从而得出的选 A 或 B 的错误结论.本题对于函数与导数考查的

例 2(2010 年北京卷文 14) 如图放置的边长为 1 的正方形 沿 轴滚动,设顶点 的纵坐标与横坐标的函数关系是 正周期为 ; 在其两个相邻零 ,则 的最小

点间的图象与 轴所围成区域的面积为_______. 说明:“正方形 正方向滚动指的是先以顶点 沿 轴滚动”包括沿 轴正方向和沿 轴负方向滚动. 沿 轴 为中心顺时针旋转,当顶点 落在 轴上时,再以顶点 为

中心顺时针旋转,如此继续.类似地,正方形 分析: 不难想象, 从某一个顶点(比如 落在 轴上,在倒下一次 点落在 轴上,

可以沿 轴负方向滚动. )落在 轴上的时候开始计算,倒下一次 点

.这个过程中四个顶点依次落在了 轴上,而

每两个顶点间距离为正方形的边长 1,因此该函数的周期为 . 下面考察 点的运动轨迹,

不妨考察正方形向右滚动, 点从 原点开始运动的时候, 首先是以 点为圆心, 为半径作圆周运动 ( 圆弧);当 点落在 轴上 为半径 点 圆弧);最终当 点落在 轴上

后,再以

点为圆心,

作圆周运动(

圆弧);当

落在 轴上后,再以 后,以点 象如下: 所以,

点为圆心, 为半径作圆周运动( 点在 轴上保持不动,因此

为圆心作圆,

在其两个相邻零点间的图

在其两个相邻零点间的图象与 轴所围成区域的面积为

.

数与形的运动变化是近几年数学高考的热点问题,如何认识和刻画图形的运动,并揭 示相应的数量关系,是分析和解决这类问题的两个关键点.

互动对话
【参与人员】 黄 炜:北京八中

陈龙清:北京师大二附中 李 梁:北京市西城区教育研修学院

【互动话题】 1.初中已经有函数概念了,在高中阶段为什么重新加以定义? 主要内容:教师将结合具体教学案例,对高中函数概念的建立以及初、高中函数概念 的区别与联系,对教师的教学提供合理化建议。 2.反函数的要求变化后怎样处理这部分教学?

主要内容:《课程标准》削弱了反函数的概念,只要求知道指数函数 数 ( ,

与对数函

)互为反函数,不要求一般地讨论形式化的反函数定义,也不要

求求已知函数的反函数。教师介绍教学实践中的经验,以及一些灵活处理。 3.幂函数的教学实践

主要内容:《课程标准》要求结合函数

的图象,

了解幂函数的变化情况。 由于幂函数图象的复杂性, 这一具体要求如何在课堂教学中加以落 实?话题 3 将围绕教学中的灵活处理给教师一些参考意见。(二附中陈龙清案例) 话题 4:函数的单调性是教学难点,新课程背景下如何实现突破? 主要内容:函数的单调性及其应用是教学难点,教学过程中如何把握其本质特征,掌 握好这一核心性质,本话题将通过一个教学案例加以分析,为教师提供教学建议。

案例评析

【案例信息】 案例名称:《幂函数》 授课教师:陈龙清(北京师大二附中) 评课教师:李梁(北京市西城区教育研修学院)

【课堂实录】

【案例评析】 一、总体构思: 本节课内容选自人教 B 版必修 1 第三章第 3.3 节.《课程标准》中对本部分内容的要

求是:了解幂函数的概念,结合函数

的图象,了解它

们的变化情况.本节课注重在函数的图象与性质的学习中,培养学生的探究能力,渗透科学 的研究问题的方法(研究函数性质与图象的一般方法),努力使学生由“学会”向“会学” 转变.同时借助信息技术(图形计算器)辅助学生探究,帮助学生揭示规律.这与新课标倡 导“积极主动、勇于探索”的学习方式,注重提高数学思维能力,注重信息技术与数学课程 的整合等精神相吻合. 此外,课堂上注重体现以人为本的原则,结合学生的能力基础(建构理论)、结合教 材的特点(难易度),在教师引导的基础上设计了“必选”和“自选”环节,这样既突出重 点,又照顾到不同层次的学生,对提高学生思维能力大有好处. 二、本节课的教学框架: 1、类比指数函数的概念引导学生观察归纳得出幂函数的概念; 2、通过设问启发学生思考如何研究一类未知的函数; 3、让学生从熟悉的 5 个具体幂函数出发,结合图象来观察、归纳幂函数的性质; 4、让学生继续取 质; 的其它数值进行研究,抓住学生展示的结果进一步归纳幂函数的性

5、演示幂函数的图象随着幂指数 的认识;

的变化而变化的情况,使学生对幂函数有一个整体

6、通过例题巩固对知识的理解与掌握,同时体验成功的喜悦; 7、师生共同小结,归纳思想方法。 新课程倡导积极主动、勇于探索的学习方式,注重提高数学思维能力,注重信息技术 与数学课程的整合等理念在本节课中得到了比较充分的体现. 三、本节课的主要特色: 1、敢于放手让学生自主探究,舍得花时间.课堂上留给学生充分的时间加以探究,让 学生动手操作、相互讨论,共同研究.当学生充分参与到教学过程中时,对知识的理解才会 达到一定的深度. 2、恰到好处地应用现代信息技术: (1)通过实物投影展示学生作品能及时反馈学生的情况;课堂上教师及时展示学生的 探究结果, 及时反馈教学情况, 并通过对典型错误的纠正使学生对于知识的理解达到一定深 度. (2)教师演示课件虽然简单,但正好与学生的归纳形成很好的对照,对突 破难点起到了很好的作用,同时对学生课后继续研究提供引导. 3、除运用技术辅助,从图象角度观察归纳以外,也关注从函数解析式或函 数性质本身进行研究,分别从形、数两个角度加以印证,更好地揭示数学本质. 4、课堂上教师灵活应变,变现了较好的基本素质。在归纳的过程中,不仅 不怕学生提出问题,反而灵活地抓住这些问题展开教学,如学生提出的奇偶性问题, 教师迅速“捕捉”这一信息,注意到其普遍性,因势利导,引发学生集体关注,产生良好的 教学效果. 5、教学体现对不同学生的不同要求: (1) 熟悉图象的学生自己描点画图, 不熟悉的借助图形计算器画出图象, 不强求一致, 能使学生较快地观察图象归纳性质,体现对不同学生有不同的要求.

(2)根据学生层次差异较大,设置必选环节和自选环节,调动学生的积极性,满足不 同层次学生的需求.

思考与活动
1.请尝试构建函数的概念与性质的知识结构框图,可参考教科书中的分章结构图,明 确函数的概念与性质的结构体系.

2.思考下述问题:已知实数

满足等式

,下列五个关系式:



; ②

; ③

; ④

; ⑤

.

其中不可能成立的关系式的序号为________ .

参考答案:③、④ 思考: 本题考查的知识点有哪些?解答本题的过程中用到哪些数学思想?用 到哪些具体方法?对于本题给出一般性的结论. 3. 针对“函数的概念”这节课写一份教学设计,并完成教学实录.学员分组 进行教学设计的交流与反思, 并对教学实录中的各重要教学环节展开评述,重点 放在对教学目标的达成以及教学方法的选择上.最后分别完成本节课的教学反 思.

参考资料
【相关资源】 1.从单调性概念教学片段看数学语言转换的教学(PDF) 2.函数概念的发展与比较 3.数学概念学习的一般理论

【参考文献】 1.参考书目:新专题教程:集合与函数(高中数学 1)陈德燕,华东师范大学出版社, 2009—4—1 2.网上文章:为什么“函数思想”是高中数学课程的主线之一?作者:王尚志,张怡 慈文章来源:整体把握与实践高中数学新课程 3.网上文章:函数与方程的思想在解题中的应用《中学数学研究》2008 年第 2 期文章 作者:罗建宇

函数概念的发展与比较
摘要:函数概念是中学数学重要概念之一,从常量数学到变量数学的转变,是从函数 概念的系统学习开始的。 本文从自 17 世纪下半叶到现在 300 年来函数概念的纵向历史研究, 以及中西方几种不同课程观下函数概念的横向比较入手, 对函数概念的教学方面提出一些观 点与看法。 关键词:函数 函数概念 数学教学 函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一,纵观 300 年来函数概念的发展,众多 数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想,从而推动了整 个数学的发展。但正是由于函数概念的抽象性与层次性,学生往往不习惯用集合、对应的观 点去解释函数关系, 缺乏用函数思想分析问题和解决问题的能力。 本文拟通过对函数概念的 发展与比较的研究,对函数概念的教学进行一些探索。

1、函数概念的纵向发展 1.1 早期函数概念──几何观念下的函数 十七世纪伽俐略(G.Galileo,意,1564-1642)在《两门新科学》一书中,几乎从头 到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念,用文字和比例的语言表达函数的关系。1673 年前后笛卡尔(Descartes,法,1596-1650)在他的解析几何中,已经注意到了一个变量对 于另一个变量的依赖关系,但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念,因此直到 17 世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候,数学家还没有明确函数的一般意义,绝大部分 函数是被当作曲线来研究的。 1.2 十八世纪函数概念──代数观念下的函数

1718 年约翰·贝努利(BernoulliJohann,瑞,1667-1748)才在莱布尼兹函数概念的基 础上,对函数概念进行了明确定义:由任一变量和常数的任一形式所构成的量,贝努利把变 量 x 和常量按任何方式构成的量叫“x 的函数”,表示其在函数概念中所说的任一形式,包 括代数式子和超越式子。 18 世纪中叶欧拉(L.Euler,瑞,1707-1783)就给出了非常形象的,一直沿用至今的 函数符号。 欧拉给出的定义是: 一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组 成的解析表达式。他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数,并进一步把它区分为代 数函数(只有自变量间的代数运算)和超越函数(三角函数、对数函数以及变量的无理数幂 所表示的函数),还考虑了“随意函数”(表示任意画出曲线的函数),不难看出,欧拉给 出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。 1.3 十九世纪函数概念──对应关系下的函数 1822 年傅里叶(Fourier,法,1768-1830)发现某些函数可用曲线表示,也可用一个式 子表示,或用多个式子表示,从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论,把对函 数的认识又推进了一个新的层次。1823 年柯西(Cauchy,法,1789-1857)从定义变量开始 给出了函数的定义,同时指出,虽然无穷级数是规定函数的一种有效方法,但是对函数来说 不一定要有解析表达式, 不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示, 这是一个很大 的局限,突破这一局限的是杰出数学家狄利克雷。 1837 年狄利克雷(Dirichlet, 德, 1805-1859)认为怎样去建立 x 与 y 之间的关系无关 紧要,他拓广了函数概念,指出:“对于在某区间上的每一个确定的 x 值,y 都有一个或多 个确定的值,那么 y 叫做 x 的函数。”狄利克雷的函数定义,出色地避免了以往函数定义中 所有的关于依赖关系的描述,简明精确,以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受。至 此, 我们已可以说, 函数概念、 函数的本质定义已经形成, 这就是人们常说的经典函数定义。 等到康托尔(Cantor,德,1845-1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后,维 布伦(Veblen,美,1880-1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义,通过集 合概念,把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了, 且打破了“变量是数” 的极限, 变量可以是数,也可以是其它对象(点、面) 1.4 现代函数概念──集合论下的函数 1914 年豪斯道夫(F.Hausdorff)在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数。其优点 是避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念,其不足之处是又引入了不明确的概念“序 偶”。库拉托夫斯基(Kuratowski)于 1921 年用集合概念来定义“序偶”,即序偶(a,b)为 集合{{a},{b}},这样,就使豪斯道夫的定义很严谨了。1930 年新的现代函数定义为,若

对集合 M 的任意元素 x, 总有集合N确定的元素 y 与之对应, 则称在集合 M 上定义一个函数, 记为 y=f(x)。元素 x 称为自变元,元素 y 称为因变元。 函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革,形成了函数的现代定义形式,但这并不 意味着函数概念发展的历史终结, 世纪 40 年代, 20 物理学研究的需要发现了一种叫做 Dirac -δ 函数,它只在一点处不为零,而它在全直线上的积分却等于 1,这在原来的函数和积分 的定义下是不可思议的,但由于广义函数概念的引入,把函数、测度及以上所述的 Dirac- δ 函数等概念统一了起来。因此,随着以数学为基础的其他学科的发展,函数的概念还会继 续扩展。

2、函数概念的横向比较 函数概念,作为世界各国学生必修的内容,各国对其分配设置、处理方式不尽相同。 下图对中国与各个西方国家的函数概念作一横向比较: 函数概念引入──学习──深化的过程比较 中国:初三时引入函数概念,强调学生对于函数概念的形式化定义,用“变量”来描 述函数概念。 高一时用“映射”来刻画函数概念。 法国:四五年级学生认识和使用小数集上定义的数值函数。 七年级,用图表表示情景,通过消费、发展、环境等让学生初步感受函数。 八年级,能用图、表或解析式等多种方式表示函数,但不给出严格定义。 九、十年级,用表格、图表处理一些其他领域的问题,定义处理十分谨慎。 高中时,大量增加函数内容。 日本:小学四年级开始接触函数关系的初步概念,对两个相依变化的数量关系进行研 究并用图表来表示,用式子简洁的表示数量关系。 中学在数量关系领域把函数概念的学习划分为三个阶段,渗透函数思想。 美国:九年级以上的各类代数课本中,都首先定义“有序数对”、“关系”,再将函 数定义为一种特殊的关系。

德国:初中由机器运算寄存器的有关知识展开所熟悉的简单算法,让学生在编写简单 程序的同时开始学习变量、函数。 英国:由实际情景得到表达式,再得到数据,描点作出图象,利用曲线解决实际问题, 在实际问题的解决中引入函数概念。 2.1 函数概念引入方式上的差异 我国教材函数概念引入方式为:实际例子(问题)→数学解答→从过程中提炼出函数 概念。这种方式更注重函数概念引入的系统性,从两个阶段入手,多层面,多角度地向学生 介绍了以“变量”为基础的函数古典定义以及以“集合”为基础的现代函数定义,所呈现的 函数概念结构较系统和完整,有利于学生基础知识和基本技能的熟练掌握,但学生对“对应 关系” 往往缺乏充分的理解, 并且函数概念引入时间较晚, 定义方式理论性较强, 比较抽象, 不利于学生深入理解函数思想的实质,以及自身辨证思维能力的发展。 西方各国函数概念的引入一般较早,函数概念引入方式为:实际例子(问题)→数学 概念→实际问题。它更注重函数概念背景知识的铺垫,重视函数思想和方法的掌握,淡化函 数的形式化定义, 大多没有给出具体的函数概念, 而是将实际应用中的问题与学生的认知结 构相联系,以问题解决的形式让学生学习函数内容,应用数学的意识比较突出。 2.2 函数概念与信息技术结合程度上的差异 我国函数概念教学中加强了函数与其他学科知识的联系,并且结合各种现代教育技术 初步培养学生用数学能力,逐步提高学生分析问题,解决实际问题的能力。但常常局限于用 计算器进行简单求解, 用计算机辅助教学等内容, 没有很好的引导学生利用互联网资源自主 学习。西方各国大部分函数概念教学都与计算机技术教育相结合,涉及“寄储器”、 “算法” 等诸多计算机语言、计算机网络图,很好的培养了学生动手操作能力,调动学生积极思维, 有利于学生树立正确的数学观, 即数学不仅是书本上呈现的知识, 而是广泛存在于我们的生 活空间, 拥有非常丰富的信息载体, 学生应通过自主的学习行为去领略书本以外的数学世界。

3、函数概念教学的几点思考 3.1 注重函数概念的早期渗透 函数概念的培养在小学已经开始了,进入中学,随着代数式、方程的研究以渗透了这 一观念,任何一个含有字母的代数式,就可以看作它所含字母的函数。所以教师可以在教学 中,根据相关内容向学生渗透函数的思想,如代数式的学习,让学生了解到量与量之间的依 存性;通过数的概念的发展,积累学生关于“集合”概念的初步思想;通过数轴和坐标的教

学,渗透关于“对应”概念的初步思想等。通过这样的铺垫,学生在接触到严谨而抽象的集 合函数概念时,易于接受。 3.2 注重学生学习函数概念的心理建构过程 建构主义学习理论认为:应把学生看成是学生主动的建构活动,学习应与一定的知识、 背景即情境相联系; 在实际情境下进行学习, 可以使学生利用已有的知识与经验同化和索引 出当前要学习的新知识,这样获取的知识,不但便于保持,而且易于迁移到陌生的问题情境 中。在函数概念教学中,可以适当采用引导讨论,注重分析、启发、反馈,先从实际问题引 入概念,然后揭示函数概念的共同特性: (1)问题中所研究的两个变量是相互联系的。 (2) 其中一个变量变化时,另一个变量也随着发生变化。(3)对第一个变量在某一范围内的每 一个确定的值,第二个变量都有唯一确定的值与它对应。同时从阅读、练习中巩固概念,再 从讨论、反馈中深化概念,让学生自己完成从具体到抽象的过程,避免概念教学的抽象与枯 燥,使学生深入理解函数的实质,从而让学生较好地完成函数概念的建构。 3.3 注重函数概念与信息技术的适时性、适度性结合 由初中刚进高中的高一学生,思维较为单一,认识比较具体,注意不够持久,并且高 中数学比较抽象,学生学习普遍感到困难,因此在教学过程中应创设一些知识情境,借助现 代教学手段多媒体进行教学, 让学生在轻松愉快的氛围中进行学习。 应用信息技术时要根据 教学需要,学生需求和课堂教学过程中出现的情况适时使用,并且运用要适度,掌握分寸, 避免过量信息钝化学生的思维。函数概念教学中,教师可以借助于几何画板,图形计算器等 现代教学工具辅助教学,鼓励学生上机操作,观察函数图象的变化过程,引导学生交流与讨 论,更好的学习和理解函数。 3.4 注重函数概念的实际应用 抽象的函数概念必须经过具体的应用才能得到深刻理解,生活中的许多问题都是通过 建立函数模型而通过解决的,因此在函数概念教学中,可以通过函数性质比较大小,求解方 程、 不等式, 证明不等式等活动加强理解, 同时引入具体的函数生活实例, 如银行的利率表、 数学用表、 股势走势图, 让学生记录一周的天气预报, 列出最高气温与日期的函数关系等等。 这样学生既受到思想方法的训练, 又对函数概念有了正确的认识, 使学生相应的数学能力得 到充分的培养与发展。

关于数学概念学习的一般理论
概念是人脑对事物本质特征的反映(哲学观点)。数学概念是客观事物在数与形方面 的本质特征与联系在人脑中的反映。 它通常包括四个方面: 概念的名称、 定义、 例子和属性。

例如“圆”这个概念,“圆”这个词是概念的名称;“到定点的距离等于定长的点的集合叫 做圆”是概念的定义;符合定义特征的具体图形都是概念的例子;“圆”的属性有:是平面 图形、封闭的、存在一个圆心、圆心到圆上各点的距离为半径(定长)等。

一、数学概念的结构 目前,在认知心理学领域,对概念结构的研究有多种理论,其中的特征表说具有代表 性。 特征表说认为概念由两个因素构成: ①定义性特征, 即一类个体具有的共同的有关属性; ②定义性特征之间的关系,即整合这些特征的规则。这两个因素有机地结合在一起,组成一 个特征表,可以表示为 共同的定义特征, 。其中 表示概念, 表示一类个体具有的

表示整合这些特征的规则。

例如,“菱形”这一概念的结构为:菱形 合取(邻边相等,平行四边形)。

通常,规则

指形式逻辑中的联结词,包括肯定、否定、合取、析取、蕴含等基本形 在概念结构中是非常重要的因素,因为一个概念的

式以及这些基本联结词的复合。规则

定义性特征往往不止一个, 而是由多个定义性特征组成, 这些定义性特征的联系就靠规则去 作用。 对数学概念而言,蕴含式规则最为常见,例如:单调增函数 蕴含 。

二、数学概念的特点 由于数学的研究对象是事物的数量关系和空间形式,这种关系和形式是脱离了事物的 具体物质属性的,因此,数学概念有于此相对应的特点。 1.数学概念反映了一类事物在数量关系和空间形式方面的本质属性,它是排除了一类 对象的具体物质内容后的抽象,反映的是一类对象在数与形方面的内在的、固有的属性,因 而它在这一类对象的范围内具有普遍意义。 2.数学概念是对现实世界的数量关系和空间形式的简明、概括的反应,并且由反映概 念本质特征的符号来表示,这些符号有比其它学科更加简明、清晰、准确的表达形式。数学 概念的这种特性使学生在较短时间内掌握大量数学概念及其系统成为可能。

3.数学概念是具体性与抽象性的辩证统一。有些数学概念是思维的自由想象和创造的 产物,他们与真实世界的距离是很遥远的,如“虚数”、“ 维空间”等;还有一些数学概 念是抽象之上的抽象,这些表明了数学概念的高度抽象性。但另一方面,数学概念又是非常 具体的,一个数学概念背后有许多具体内容为支撑,学生只有掌握了数学概念的定义,同时 又能够举出概念的具体例证,才算正真正掌握了数学概念,从这个角度讲,数学概念又是非 常具体的。 4.数学概念具有很强的系统性。先前的数学概念往往是后续概念的基础,从而形成数 学概念的系统结构。 公理化体系就是这种系统性的最高反映。 数学概念的这种特性要求学生 在数学学习时必须做到循序渐进,一步一个脚印,扎扎实实打好数学基础。

三、数学概念的获得 学生理解和掌握概念的过程实际上是掌握同类事物的共同、关键属性的过程。例如, 学习“棱锥”这个概念,就是掌握:凸多面体、底面是多边形、侧面是有一个公共顶点的三 角形等几个关键属性。 同类事物的关键属性可以由学生从大量的同类事物的不同例证中独立 发现,这种概念的获得方式叫做概念形成;也可以用定义的方式向学生直接揭示,学生利用 已有认知结构中的有关知识来理解新概念, 这种概念的获得方式叫做概念同化。 概念形成与 概念同化是两种基本的概念获得方式。 1.概念形成 概念形成过程实质上是抽象出某一类对象或事物的共同本质特征的过程,这一过程可 概括如下: (1)辨别各种刺激模式。这些刺激模式可以是学生自己在日常生活中的经、验或事实, 也可以是由教师提供的有代表性的典型事例。但不论是那种刺激模式,都必修通过比较,在 知觉水平上进行分析、辨认,根据事物的外部特征进行概括。例如,形成矩形概念,先让学 生辨认他们所熟悉的实例,像桌面、墙壁、黑板、书本表面等。 (2)分化出各种刺激模式的属性。为理解该类刺激模式的本质属性,就要、对各种刺激 模式的各个属性予以分化。例如桌面可看成是四边形,两组对边分别平行且相等,四个角相 等,等。 (3)概括出各个刺激模式的共同属性, 并提出它们的共同关键属性的种种假设。 上例中, 共同属性有:可抽象地看成平行四边形;四个角相等;两组对边分别平行且相等,等。共同 关键属性可假设为:( )两组对边分别平行且四个角都是直角的四边形是矩形;( )两

组对边分别相等且四个角都是直角的四边形是矩形; ( )四个角都是直角的平行四边形是 矩形,等。这里,提出关键属性假设的方法是一条或几条共同属性的结合。 (4)在特定的情境中假设检验, 确定关键属性。 检验过程中, 采用变式是一种有效手段。 (5)概括,形成概念。验证了假设以后,把关键属性抽象出来,并区分出有从属关系的 关键属性,使新概念与认知结构中的已有有关观念分化,用语言概括成为概念的定义。上例 中,( )( )中的“四个角都是直角”与“有一个角是直角”具有从属关系,而四边形 只要有“两组对边分别平行”及“一个角是直角”,那么就能推出“两组对边分别相等”和 “四个角都是直角”,因此只要取前两个关键属性即可,于是将矩形定义为“两组对边分别 平行并且有一个角是直角的四边形”。 (6)用形式符号表示新概念。通过概念形成的上述步骤,学生对概念的内涵和外延都有 了比较准确和全面的理解。这时,就应及时地引进数学符号。引进数学符号以后,应当引导 学生把符号与它所代表的实质内容联系起来, 使学生看到符号时就能够联想到符号所代表的 概念及其本质特征。事实上,如果概念的符号能够与概念的实质内容建立联系,那么,符号 的掌握又可以提高学生的抽象和概括能力。数学中的逻辑推理,关键就在于能够合理、恰当 地运用符号,而这又要依靠对符号实质意义的把握。 (7)组织,就是把新旧概念进行归类整理,并按照相应的类属关系进行编码,从而形成 一个合理有序的概念系统。 这既是在更大范围内检验和修正概念的过程, 又是一个概念应用 的过程,从中我们可以看出概念的本质是否已经被真正理解。在这个过程中,我们可以让学 生对一些概念的等价语言进行判断和推理。上例中“对角线相等且互相平分”就是矩形概念 的一个等价语言。 通过这个过程, 使新概念与已有认知结构中比较稳定的相关概念建立实质 性联系,并将新概念纳入已有认知结构,从而形成新的认知结构,使之成为一个整体,因此 这是概念形成的一个非常重要的步骤。 2.与概念形成对应的教学分析 用概念形成方式教学概念时,必须强调按学生的认知规律办事。如下几个方 面值得注意: (1)给学生提供的刺激模式应当是正例,而且数量要恰当。 (2)向学生呈现刺激模式时,应该采用同时呈现的方式,以利于学生进行分析、比较, 这样可以减轻学生的记忆负担。

(3)要注意选择那些刺激强度适当、变化性大和新颖有趣的例子作为刺激模式,这样 的刺激模式有利于学生进行深入地观察, 展开积极的思维活动, 对各个刺激模式的属性进行 充分地分化,有利于培养学生从平常的现象中发现共性或因果关系的能力。 (4)要让学生进行充分的自主活动,使他们有机会经历概念产生的过程,了解概念产 生的条件,把握概念形成的规律,引导学生从共同特征中抽象出本质属性。及时对概念的本 质特征进行抽象概括,有利于学生更加准确、迅速地掌握概念。 (5)在确认事物的关键属性,概括成概念以后,教师应当采取适当的措施,使学生认 知结构中的新旧概念分化,以免造成新旧概念的混淆,新概念被旧概念所湮没。例如,学习 三角函数中“第一象限角”这个概念后,如果不及时与已有的“锐角”概念分化,则学生容 易把它与锐角等同起来。 (6)必须使新概念纳入到已有的概念系统中去,使新概念与认知结构中已有的起固定 点作用的相关概念建立起实质性的联系。 这样可以使概念的记忆效果提高, 有利于概念的检 索,有利于用以掌握的概念去吸收和理解新的知识。 (7)在用概念形成方式教学概念时,教师的语言引导作用很大,它可以使学生更加有 的放矢地对概念的具体事例进行分析、归纳和概括。同时,教师还应设法用一定的教学情境 来引导学生回忆和提取与概念学习的有关知识, 激发新概念与已有认知结构的矛盾, 引起学 生的积极思维,使学生积极主动地投入学习。 应当注意,用概念形成方式教学概念时,教师一定要扎扎实实地引导学生完成概念形 成的每一个步骤,如果没有经历概念形成的全过程,学生往往很难全面正确地理解概念,容 易造成对概念的片面、孤立甚至是错误的理解。 3.概念同化 随着学生学习知识水平的提高,他们的认知结构中的知识不断丰富,所掌握的概念也 越 来越系统。相应地,概念同化也逐渐成为他们获得概念的主要形式。概念同化属于接 受学习,要使学生有意义地同化新概念,新概念必须具有逻辑意义,学生的认知结构中必须 具备同化新概念的适当知识。用概念同化方式学习概念一般要经历一下几个阶段: (1)揭示概念的关键属性,给出定义、名称和符号。如“一次函数”的定义为“形如 的函数叫做一次函数”。

(2) 对概念进行特殊地分类, 讨论这个概念所包含的各种特例, 突出概念的本质特征。 如“一次函数”的特例是 等,实际是对 的某些特殊值进行讨论。突出函

数表达式中,自变量 的次数为一次这个关键特征。 (3)使新概念与已有认知结构中的相关概念建立起联系,把新概念纳入到已有概念体 系中,同化新概念。上例中,可以把一次函数与函数、一次多项式等概念作比较,认识一次 函数与这些相关概念的联系与区别。 (4) 用肯定例证与否定例证让学生辨认, 是新概念与已有认知结构中的相关概念分化。 例如, 概念辨析: 函数 指出相应的 是否为一次函数?如果是,

分别是多少。这一阶段继续巩固新概念的本质特征。

(5)把新概念纳入到相应的概念体系中,市有关概念融会贯通,构成一个整体。 4.与概念同化对应的教学分析 (1)用概念同化方式获得概念,实际上使用演绎方式学习概念的一种形式。因为它是 从抽象定义出发来学习概念的, 所以应注意及时应用实例, 使抽象概念获得具体例证的支持。 (2) 新概念的获得主要依赖认知结构中原有的相关概念, 必须通过新旧念的相互作用, 实现新旧概念的同化,进而形成分化程度更高的认知结构。 (3)用概念同化方式获得概念,不同于“注入式”的教学,因为用概念同化方式教学 时,教师为了把自己对概念的理解传授给学生,必须将他的主观理解赋予一定的客观形式, 才能进行概念教学。而从学生的角度来说,他所接受的并不是现成的概念本身,而是教师用 以说明他的理解的一些信息,学生要对教师传递的信息进行加工、转换,在自己的头脑中重 新建构对概念的理解。 5.两种概念获得方式的融合 在数学概念学习中,两种方式不能孤立使用。如果仅用概念形成方式学习,显然受紧 张的教学课时的制约;而仅仅用概念同化方式学习,由于数学概念的高度抽象性,学生比较 难于把握概念背后的丰富内容, 难以理解概念的关键属性。 因此, 应该把两者结合起来使用。 一般来说, 教师可以先通过具有典型性的实例, 引导学生通过对它们的共同本质特征的概括 而形成概念的定义;在揭示概念的定义后,再引导学生在定义的指导下去观察实际事例,这 时定义的导向可以使学生比较容易揭示实例中包含的与概念有关的关键属性。 同时, 通过正

例与反例的应用,可以使概念的关键属性变得清晰。最后,还要引导学生将新概念与已有认 知结构中的有关概念建立联系,形成概念系统。 概念形成与概念同化都是在现有认知结构的基础上进行新概念的学习,因此在概念教 学中,教师把握学生现有认知结构的现状是非常重要的。事实上,学生感知和理解事物的一 般方式是由学生已有的认知结构决定的, 新的概念不是被同化到现有认知结构中, 就是改造 现有认知结构以接纳这个新概念。因此,新概念的学习一定要适合学生现有认知水平,概念 教学得以充分展开的根本动力是学生已有的认知结构与新概念的不平衡。学生遇到新概念 时, 总是先用已有的认知结构去同化, 如果获得成功, 就得到暂时的平衡; 如果同化不成功, 则会调节已有的认知结构或重新建立新的认知结构,以顺应新概念,从而达到新的平衡。教 师应该依据学生概念学习的这种机制, 利用新概念与学生已有的认知结构之间的差异来设置 相应的教学情境,以使学生能够意识到这种不平衡,从而引起学生的认知需求,促使学生展 开积极主动的学习活动。 6.概念获得中的“精致”过程 一个人在学习某个概念时,可能对所学概念有所拓展,有时甚至会做出某种推论,这 一过程被称为“精致”。在数学学习中,“精致”的实质是对数学概念内涵与外延进行尽量 详细的“深加工”,对概念要素进行具体界定,使学生建立更清晰的概念,获得更多的概念 例证,对概念的把握更加准确。如对于“直线的方程”这一概念: ,直线是上升的; 致。 上述精致过程是围绕概念本身进行的。对概念的另一种精致方式叫“组织”。组织是 对新信息分类并表明它们之间的关系的过程。 在概念的系统中学习概念, 使所学概念与其相 关的知识间的关系明确化,使概念的网络结构更加清晰。如对于“直线的方程”这一概念: 通过“组织”,使它与一次函数、二元一次方程的解、二元一次方程组的解及其性质等知识 之间的联系明确化。 这一过程使概念成为一种有层次的组织, 其作用是能使人对记忆进行结 构化检索,将使概念的提取更加迅速和准确。 概念教学中,关键是要使学生建立概念的网络结构:通过“精致”使学生获得对概念 的细节的认识、充分的典型例证、能从信息的相互联系中推出新的概念;通过“组织”获得 对相关概念之间联系性的认识,形成层次化的概念结构。 中,

越大,直线越“陡”; 是纵截距等,都属于对这一概念的精

课程简介

高中数学“函数的概念与性质”教学研究
【课程简介】 本专题为“高中数学函数的概念与性质教学研究”,将重点研究如下问题:对函数内 容的知识结构、 在数学整体中的地位作用作简要阐述; 重点对函数的概念和性质作一般性的 研究:包括函数的定义,函数的单调性,函数的奇偶性,函数的周期性等;在此基础上研究 几种具体的基本初等函数——二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等的图象与性质;分 析与函数的概念与性质相关的几类典型问题及其解法,明确解题思路.梳理本部分内容教学 中的重点与难点,提供可操作建议. 本专题将解决的主要问题是:整体上提升对函数的概念与性质的理解,把握概念实质; 通过对基本初等函数的研究,进一步丰富函数的实例,在函数一般性知识的引导下, 研究一些具体函数模型. 通过本专题的学习,希望老师们体会:研究函数的问题主要围绕以下两个方面:函数 的概念,函数的图象与性质,进一步加深对研究函数问题方法策略的把握.

【学习要求】 本专题的学习要求如下: 1.明确函数内容在中学数学中的地位和作用,把握本部分内容与相关知识的联系,为 后续研究函数的应用奠定基础. 2.加深对函数的概念和性质的理解,把握概念和性质的实质,进一步熟悉函数性质的 应用,能够解决典型的问题. 3.通过对基本初等函数的具体研究,把握每种函数的图象及重要性质,丰富函数的实 例,加深对函数模型的理解. 4.明确函数内容的重点与难点,以及教学中的相关注意事项,加强本部分内容教学实 效性. 5.明确本专题内容中涉及的几类典型问题及其解法,固化重点问题的常规处理方法, 明确解题思路.

教师团队

【主讲教师】
李梁

北京市西城区教育研修学院中学数学教研室主任,北京市数学会常务理事,北京市骨干教师,北京 教科院基教研中心兼职教研员,北京市高中新课程指导组成员。高级教师,西城数学会秘书长。曾参与北 京市重点课题:“国家高中数学课程标准立项实验”的研究,承担了西城区实验校的指导工作。曾受单位 委派,赴 Canada Niagara Catholic District School Board 交流学习。撰写的多篇论文获北京市一等奖。

【互动教师】
黄炜

北京市第八中学青年教师,中学一级职称。从教十年有着较丰富的教育教学经验,他曾在 2007 年北 京市教学基本功大赛中荣获一等奖。在 2008 年 11 月北京市优秀课观摩与评选活动中获一等奖,同年代表 北京市参加了第六届全国青年数学教师优秀课观摩与评选活动,获全国一等奖。

陈龙清

北京师范大学第二附属中学教师,中学高级职称。工作期间,曾被评为西城区优秀青年教师,北京 师范大学“抗击非典”先进个人。 2002 年起参加市级研究课题“手持技术环境下中学数学教学模式的研 究”,课例《幂函数》获西城杯一等奖,并参加北京市说课比赛,获北京市一等奖,其教学设计被收录到 北京市优秀教学课例集。


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