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人教A版必修4 简单的三角恒等变换 学案


疱工巧解牛 知识?巧学 一、半角的三角函数 1.在倍角公式 cos2α=1-2sin2α=2cos2α-1 中,以 α 代替 2α,以 ? ? 代替 α,将得出 sin =± 2 2 1 ? cos? ? 1 ? cos? ? 1 ? cos? , cos ? ? , tan ? ? ,我们称之为半角公式,它们 2 2 2 2 1 ? cos? 是用单角的余弦函数表示半角的弦函数与切函数的.其正负号的选取由 2.对于半角的切函数,还可写成 tan ? 2 ? sin ? 1 ? cos ? ? ,我们可从同角的三角函数 1 ? cos ? sin ? ? 所在的象限确定. 2 的商数关系出发, 逆用二倍角公式去证明, 即 tan ? 2 ? sin ? ? 2 ? 2 sin ? 2 ? 2 cos ? 2 ? cos 2 cos2 ? 2 sin ? . 1 ? cos? 2 的分子、分母同乘以 2sin ? ,即可化成 tan ? ? 1 ? cos ? . 2 sin ? 2 2 cos 2 ? 1 ? cos ? 2 ? 也可从半角的切函数 tan 出发,把被开方数转化成一个完全平方的形式,通 2 1 ? cos ? 同理,可把 tan ? ? sin ? ? 过开方求值.由于 tan2 ? 2 ? 1 ? cos? (1 ? cos? )(1 ? cos? ) sin 2 ? , ? ? 1 ? cos? (1 ? cos? ) 2 (1 ? cos? ) 2 ? | sin ? | ? ? ? ? ? |= .∵sinα=2sin cos =2tan · cos2 ,∴sinα 与 tan 同号. 2 2 1 ? cos ? 2 2 2 2 ? sin ? ? 又∵1+cosα>0,∴ tan . 2 1 ? cos ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? ? 同理,若把 的分子、分母同乘以 1-cosα,可转化成 tan . 1 ? cos ? 2 sin ? ? sin ? ? 1 ? cos ? ? ? 我们也把 tan , tan 称之为半角公式,它是用单角的正、 2 1 ? cos ? 2 sin ? ∴|tan 余弦函数表示半角的切函数的. 3.对于半角公式,也必须明确“半角”是相对而言,不能认为 3? ? ? 是 3α 的半角;反之, 、2α 分别是 、α 的倍角.正是根据这个思想,才由二倍角公 2 2 4 式得出了半角公式. 学法一得 关于半角正切的三个公式:公式 tan ? 才是半角.如 2α 是 4α 的半角、 2 ? 2 ? 1 ? cos ? 不带有根号,而且分母为单 sin ? 项 式 , 运 用 起 来 特 别 方 便 , 但 要 注 意 它 与 以 下 两 个 公 式 : tan ? 2 ?? 1 ? cos? 和 1 ? cos? tan ? 2 ? sin ? 的使用范围不完全相同,后两个公式只要 α≠(2k+1)π(k∈Z),而第一个公 1 ? cos ? 式除 α≠(2k+1)π(k∈Z)之外,还必须有 α≠2kπ(k∈Z).当然,这三个公式可以互化,在使用时 要根据题目中式子的特征灵活选用. ? ? 所在的象限无法确定时,应保留根号前面的正、负两个符号;当 α 或 的 2 2 ? 大小确定时,应根据 所在的象限,确定根号前的正负号. 2 误区警示 当 二、积化和差公式 1.公式:sinαcosβ=

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