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高考专题讲座(第11讲)综合运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想解决函数综合问题


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高中数学复习专

题系列讲座

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题目

高中数学复习专题讲座 综合运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想解决函数综合问题 高考要求 函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一, 一般难度较大, 考查 内容和形式灵活多样 本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上 进一步深化综合运用知识的能力, 掌握基本解题技巧和方法, 并培养考生的 思维和创新能力 重难点归纳 在解决函数综合问题时,要认真分析、处理好各种关系,把握问题的主 线, 运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决, 尤其是注意等价转 化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用 综合问题的求解往往需要应 用多种知识和技能 因此,必须全面掌握有关的函数知识,并且严谨审题, 弄清题目的已知条件,尤其要挖掘题目中的隐含条件 学法指导 怎样学好函数 学习函数要重点解决好四个问题 准确深刻地理解函数的有关概念; 揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系;把握数形结合的特征和方法; 认识函数思想的实质,强化应用意识 (一)准确、深刻理解函数的有关概念 概念是数学的基础, 而函数是数学中最主要的概念之一, 函数概念贯穿 在中学代数的始终 数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等是以函 数为中心的代数 近十年来,高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主 线 (二)揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系 函数是研究变量及 相互联系的数学概念, 是变量数学的基础, 利用函数观点可以从较高的角度 处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容 在利用函数和方程的 思想进行思维中,动与静、变量与常量如此生动的辩证统一,函数思维实际 上是辩证思维的一种特殊表现形式 所谓函数观点, 实质是将问题放到动态背景上去加以考虑 高考试题涉及 5 个方面 (1)原始意义上的函数问题;(2)方程、不等式作为函数性质解决; (3)数列作为特殊的函数成为高考热点;(4)辅助函数法;(5)集合与映射,作 为基本语言和工具出现在试题中 (三)把握数形结合的特征和方法 函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合, 有效地揭示了各 类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性,体现了数形 结合的特征与方法,为此,既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观 察图形、绘制图形,又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换 (四)认识函数思想的实质,强化应用意识 函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象,抽象数量特
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征,建立函数关系,求得问题的解决 纵观近几年高考题,考查函数思想方 法尤其是应用题力度加大,因此一定要认识函数思想实质,强化应用意识 典型题例示范讲解 例 1 设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,其图象关于直线 x=1 对称,对任意
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x1、x2∈[0, (1)求 f(

1 2

],都有 f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),且 f(1)=a>0 )、f(
1 4

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1 2

);

(2)证明 f(x)是周期函数; (3)记 an=f(2n+
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1 2n

),求 lim (ln a n ).
n? ?

命题意图 本题主要考查函数概念,图象函数的奇偶性和周期性以及 数列极限等知识,还考查运算能力和逻辑思维能力 知识依托 认真分析处理好各知识的相互联系,抓住条件 f(x1+x2)= f(x1)·f(x2)找到问题的突破口 错解分析 不会利用 f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)进行合理变形
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技巧与方法 解决问题的关键 (1) 解
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由 f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)变形为 f ( x ) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) 是
2 2 2 2

x

x

x

x

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因 为 对 x1,x2 ∈ [ 0,
x 2 ?
1 2

1 2

] , 都 有 f(x1+x2)=f(x1) · f(x2), 所 以 x∈[0,1]
1 2 1 4

f(x)= f (

x x )? f( )f( )?0, 2 2 2

x

又因为 f(1)=f( f(
1 2

+

1 2 1 4

)=f(

1 2

)·f(

1 2

)=[f(

)]2

)=f(

1 4

+

1 4

)=f(

)·f(

1 4

)=[f(

) 2 ]

又 f(1)=a>0 ∴f(
1 2
1

)=a 2 ,
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f(

1 4

1

)=a 4

(2)证明 依题意设 y=f(x)关于直线 x=1 对称,故 f(x)=f(1+1-x), 即 f(x)=f(2-x),x∈R 又由 f(x)是偶函数知 f(-x)=f(x),x∈R ∴f(-x)=f(2-x),x∈R 将上式中-x 以 x 代换得 f(x)=f(x+2),这表明 f(x)是 R 上的周期函数, 且 2 是它的一个周期
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(3)解 ∵f( =f(

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由(1)知 f(x)≥0,x∈[0,1] )=f(n· )·f(
1 2n
1

1 2

1 2n

)=f(

1 2n

+(n-1)
1 2n

1 2n

)=f(

1 2n

)·f((n-1)·

1 2n

)=……

1 2n

1 2n

)·……·f(
1

)

=[f(

)]n=a 2

∴f(

1 2n

)=a

2n

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又∵f(x)的一个周期是 2 ∴f(2n+
1 2n

)=f(
1 2n

1 2n

),
1 2n
1

∴an=f(2n+

)=f(

)=a 2 n

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1

因此 an=a 2 n ∴ lim (ln a n ) ? lim (
n? ? n? ?

1 2n

ln a ) ? 0 .

例 2 甲、乙两地相距 S 千米,汽车从甲地匀速驶到乙地,速度不得超过 c 千米/小时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部 分组成,可变部分与速度 v(km/h)的平方成正比,比例系数为 b,固定部分为 a元 (1)把全程运输成本 y(元)表示为 v(km/h)的函数, 并指出这个函数的定义 域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? 命题意图 本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识,还 考查学生综合运用所学数学知识解决实际问题的能力 知识依托 运用建模、函数、数形结合、分类讨论等思想方法 错解分析 不会将实际问题抽象转化为具体的函数问题,易忽略对参 变量的限制条件 技巧与方法 四步法 (1)读题;(2)建模;(3)求解;(4)评价
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解法一

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(1)依题意知,汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为
S v

S v

,全程

运输成本为 y=a·

+bv2·

S v

=S(

a v
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+bv)
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∴所求函数及其定义域为 y=S(

a v

+bv),v∈(0,c ]

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(2)依题意知,S、a、b、v 均为正数 ∴S(
a v

+bv)≥2S ab
a v
a b



当且仅当
y

=bv,即 v=

时,①式中等号成立
y

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o

a b

c

xo c

a b

x



a b

≤c 则当 v=

a b

时,有 ymin=2S ab ;



a b

>c,则当 v∈(0,c ] 时,有 S(
a v a c S vc

a v

+bv)-S(

a c

+bc)

=S[(



)+(bv-bc)]=

(c-v)(a-bcv)

∵c-v≥0,且 c>bc2, ∴a-bcv≥a-bc2>0 ∴S(
a v

+bv)≥S(

a c

+bc),当且仅当 v=c 时等号成立,
a c
ab b

也即当 v=c 时,有 ymin =S(

+bc); ≤c 时,行驶速度应为

综上可知,为使全程运输成本 y 最小,当 v=
ab b

,


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ab b

>c 时行驶速度应为 v=c
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解法二

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(1)同解法一
a v

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(2)∵函数 y=S(
a b

+bv),

v∈(0,+∞),

当 x∈(0,

)时,y 单调减小,

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当 x∈(

a b

,+∞)时 y 单调增加,
a

当 x=

a b

时 y 取得最小值, 而全程运输成本函数为 y=Sb(v+ b ),v∈(0,c ]
v

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y

y

o

a b

c

xo c

a b

x

∴当
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a b

≤c 时,则当 v=
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a b

时,y 最小,若

a b

>c 时,则当 v=c 时,

y 最小 结论同上 例 3 设函数 f(x)的定义域为 R,对任意实数 x、y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y), 当 x>0 时 f(x)<0 且 f(3)=-4 (1)求证 f(x)为奇函数; (2)在区间[-9,9]上,求 f(x)的最值 (1)证明 令 x=y=0,得 f(0)=0 令 y=-x,得 f(0)=f(x)+f(-x),即 f(-x)=-f(x) ∴f(x)是奇函数 (2)解 1°,任取实数 x1、x2∈[-9,9]且 x1<x2,这时,x2-x1>0, f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x1)=-f(x2-x1) 因为 x>0 时 f(x)<0,∴f(x1)-f(x2)>0 ∴f(x)在[-9,9]上是减函数 故 f(x)的最大值为 f(-9),最小值为 f(9) 而 f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=-12,f(-9)=-f(9)=12 ∴f(x)在区间[-9,9]上的最大值为 12,最小值为-12 学生巩固练习 1 函数 y=x+a 与 y=logax 的图象可能是( )
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y 1 o x

y 1 o x

y 1
1

y 1

1

o

1

x

o

1

x

A

B
第5页
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C
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D
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2 定义在区间(-∞,+∞)的奇函数 f(x)为增函数,偶函数 g(x)在区间[0, +∞)的图象与 f(x)的图象重合,设 a>b>0,给出下列不等式 ①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b) ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a) ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a) 其中成立的是( ) A ①与④ B ②与③ C ①与③ D ②与④ 3 若关于 x 的方程 22x+2xa+a+1=0 有实根, 则实数 a 的取值范围是____ 2 4 设 a 为实数,函数 f(x)=x +|x-a|+1,x∈R (1)讨论 f(x)的奇偶性;(2)求 f(x)的最小值
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设 f(x)=
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1 x ?1

? lg

1? x
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1? x

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(1)证明 (2)证明

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f(x)在其定义域上的单调性; 方程 f-1(x)=0 有惟一解;
1 2

(3)解不等式 f[x(x- 6
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)]<

1
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2

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定义在(-1,1)上的函数 f(x)满足①对任意 x、y∈(-1,1),都有
x? y 1 ? xy

f(x)+f(y)=f( 求证
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);②当 x∈(-1,0)时,有 f(x)>0

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1 1 1 1 f ( )? f ( )?? ? f ( 2 )? f( ) 5 11 2 n ? 3n ? 1

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7 某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为 200 平方米的三级 污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过 16 米,如果池外周壁建造 单价为每米 400 元,中间两条隔墙建造单价为每米 248 元, 池底建造单价为每平方米 80 元(池壁厚度忽略不计, 且池无盖) (1)写出总造价 y(元)与污水处理池长 x(米)的函数关 系式,并指出其定义域 (2)求污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并 求最低总造价 8 已知函数 f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上有定义, 且在(0,+∞)上是增函数,
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f(1)=0,又 g(θ )=sin2 θ -mcosθ -2m,θ ∈[0,
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?
2

],设 M={m|g(θ )<0,m∈

R},N={m|f[g(θ )]<0},求 M∩N 参考答案: 1 解析 分类讨论当 a>1 时和当 0<a<1 时 答案 C 2 解析 用特值法,根据题意,可设 f(x)=x,g(x)=|x|,又设 a=2,b=1,
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则 f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a)-f(b)=f(2)-f(-1)=2+1=3 g(b)-g(-a)=g(1)-g(-2)=1-2=-1 ∴f(a)-f(-b)>g(1)-g(-2)=1-2=-1 又 f(b)-f(-a)=f(1)-f(-2)=1+2=3 g(a)-g(-b)=g(2)-g(1)=2-1=1,∴f(b)-f(-a)=g(a)-g(-b) 即①与③成立 答案 C 3 解析 设 2x=t>0,则原方程可变为 t2+at+a+1=0 ①
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? ? ? a 2 ? 4 ( a ? 1) ? 0 ? 方程①有两个正实根,则 ? t 1 ? t 2 ? ? a ? 0 ?t ? t ? a ? 1 ? 0 ? 1 2

解得 答案
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a∈(-1,2-2 2 ] (-1,2-2 2 ]
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4 解 (1)当 a=0 时, 函数 f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),此时 f(x)为偶函数; 当 2 2 a≠0 时, f(a)=a +1,f(-a)=a +2|a|+1,f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a) 此时函数 f(x) 既不是奇函数也不是偶函数
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(2)①当 x≤a 时,函数 f(x)=x2-x+a+1=(x-

1 2

)2+a+

3 4

,若 a≤

1 2

,则函数

f(x)在(-∞,a ] 上单调递减,从而,函数 f(x)在(-∞,a ] 上的最小值为 f(a)=a2+1
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若 a>

1 2

,则函数 f(x)在(-∞,a ] 上的最小值为 f(
1 2

1 2

)=
3 4

3 4

+a,且 f(

1 2

)≤f(a)

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②当 x≥a 时,函数 f(x)=x2+x-a+1=(x+ 当 a≤-
1 2

)2-a+

;
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时,则函数 f(x)在[a,+∞ ) 上的最小值为
1 2

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f(- 若 a>-
1 2

)=

3 4

-a,且 f(-

1 2

)≤f(a)

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,?则函数 f(x)在[a,+∞)上单调递增,
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从而,函数 f(x)在[a,+∞]上的最小值为 f(a)=a2+1 综上,当 a≤- 当-
1 2 1 2

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时,函数 f(x)的最小值是

3 4

-a,

<a≤

1 2

时,函数 f(x)的最小值是 a2+1;
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当 a>

1 2

时,函数 f(x)的最小值是 a+

3
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4

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(1)证明

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?1 ? x ?0 ? 由 ?1 ? x 得 f(x)的定义域为(-1,1), ?x ? 2 ? 0 ?
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易判断 f(x)在(-1,1)内是减函数 (2)证明
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∵f(0)=


1 2

,∴f- 1(



1 2

)=0,即 x=
1 2

1 2

是方程 f- 1(x)=0 的一个解




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若方程 f- 1(x)=0 还有另一个解 x0≠ 由反函数的定义知 f(0)=x0≠ (3)解
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,则 f- 1(x0)=0,

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1 2

,与已知矛盾,故方程 f- 1(x)=0 有惟一解
1 2

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f[x(x-

1 2

)]<

1 2

,即 f[x(x-

)]<f(0)

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1 ? ?? 1 ? x( x ? 2 ) ? 1 1 ? 15 1 1 ? 15 ? ?? ? ? x ? 0或 ? x ? . 1 4 2 4 ? x(x ? ) ? 0 ? 2 ?

6

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证明

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对 f(x)+f(y)=f(

x ? y 1 ? xy

)中的 x,y,令 x=y=0,得 f(0)=0,

再令 y=-x,又得 f(x)+f(-x)=f(0)=0,即 f(-x)=-f(x), ∴f(x)在 x∈(-1,1)上是奇函数
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设-1<x1<x2<0,则 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(

x1 ? x 2 1 ? x1 x 2

),

∵-1<x1<x2<0,∴x1-x2<0,1-x1x2>0

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x1 ? x 2 1 ? x1 x 2

<0,

于是由②知 f(

x1 ? x 2 1 ? x1 x 2

)?>0,

从而 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), 故 f(x)在 x∈(-1,0)上是单调递减函数 根据奇函数的图象关于原点对称,知 f(x)在 x∈(0,1)上仍是递减函数,且 f(x)<0
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1 ? f( 1 n ? 3n ? 1
2

)? f[

1 ( n ? 1)( n ? 2 ) ? 1

]? f[

( n ? 1)( n ? 2 ) 1? 1 ( n ? 1)( n ? 2 )

]

1

1 1 ? f ( n ?1 n ? 2 ) ? f ( )? f( ) 1 1 n ?1 n?2 1? ? n ?1 n ? 2

?

1

1 1 1 ? f ( )? f ( )?? ? f ( 2 ) 5 11 n ? 3n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [ f ( ) ? f ( )] ? [ f ( ) ? f ( )] ? ? ? [ f ( )? f( )] ? f ( ) ? f ( ), 2 3 3 4 n ?1 n?2 2 n?2

?0?

) ? 0, n?2 1 1 1 ? f( )? f( ) ? f ( ), 故 原 结 论 成 立 . 2 n?2 2 n?2

1

? 1时 , 有 f (

1

7

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(1)因污水处理水池的长为 x 米,则宽为
200 x

200 x

米,
324 x

总造价 y=400(2x+2×
? 0 ? x ? 16 , ? 由题设条件 ? 200 ? 16 ?0 ? x ?

)+248×

200 x

×2+80×200=800(x+

)+1600,

解得 12

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5≤x≤16,即函数定义域为[12
324 x

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5,16]
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(2)先研究函数 y=f(x)=800(x+ 对于任意的 x1,x2∈[12
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)+16000 在[12

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5,16]上的单调性,

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5,16],不妨设 x1<x2,
1 x2 ? 1 x1

则 f(x2)-f(x1)=800[(x2-x1)+324( ∵12
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)]=800(x2-x1)(1-

324 x1 x 2

),

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5≤x1≤x2≤16

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∴0<x1x2<162<324,∴

324 x1 x 2

>1,即 1-

324 x1 x 2

<0

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又 x2-x1>0,∴f(x2)-f(x1)<0,即 f(x2)<f(x1), 故函数 y=f(x)在[12 5,16]上是减函数
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∴当 x=16 时, 取得最小值, y 此时,min=800(16+ y
200 x ? 200 16
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324 16

)+16000=45000(元),

=12

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5(米)?
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综上,当污水处理池的长为 16 米,宽为 12 5 米时,总造价最低,最 低为 45000 元 8 解 ∵f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数, ∴f(x)在(-∞,0)上也是增函数 又 f(1)=0,∴f(-1)=-f(1)=0,从而,当 f(x)<0 时,有 x<-1 或 0<x<1, 则集合 N={m|f[g(θ )]<θ = } ={m|g(θ )<-1 或 0<g(θ )<1 } , ∴M∩N={m|g(θ )<-1 }
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由 g(θ )<-1,得 cos2θ >m(cosθ -2)+2,θ ∈[0,
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? 2

],

令 x=cosθ ,x∈[0,1]得 x2>m(x-2)+2,x∈[0,1] , 2 令① y1=x ,x∈[0,1]及②y2=m(m-2)+2, 显然①为抛物线一段,②是过(2,2)点的直线系, 在同一坐标系内由 x∈[0,1]得 y1>y2
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∴m>4-2 2 ,故 M∩N={m|m>4-2 2 } 课前后备注
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