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004江西历年高考数学题-数列


004 江西历年高考数学题------数列 2009 年 理科
8.数列 {an } 的通项 an ? n (cos
2 2

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 Sn ,则 S30 为( 3 3
C. 495 D. 510



A. 470

B.

490

22. (本小题满分 14 分) 各项均为正数的数列 {an} ,a1 ? a, a2 ? b , 且对满足 m ? n ? p ? q 的正整数 m, n, p , q 都有

a p ? aq am ? an ? . (1 ? am )(1 ? an ) (1 ? a p )(1 ? aq )
(1)当 a ?

1 4 , b ? 时,求通项 an ; 2 5

w.w. w.k.s.5. u.c. o.m

(2)证明:对任意 a ,存在与 a 有关的常数 ? ,使得对于每个正整数 n ,都有

1

?

? an ? ?.

2009 年 文科
8. 公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 a4 是 a3与a7 的等比中项, S8 ? 32 ,则 S10 等于( A. 18 )
()

B. 24

C. 60

D. 90

21. (本小题满分 12 分) 数列 {an } 的通项 an ? n (cos
2 2

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 Sn . 3 3

(1) 求 Sn ; (2) bn ?

S3 n , 求数列{ bn }的前 n 项和 Tn . n ? 4n

2010 年理科
5.等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,a8 =4,函数 f ? x ? ? x( x ? a1 )( x ? a2 )?( x ? a8 ) ,则 f ' ? 0? ?
( ) A. 2
6

B. 2

9

C. 2

12

D. 2

15

22. (本小题满分 14 分) 证明以下命题: (1) 对任一正整 a,都存在整数 b,c(b<c),使得 a ,b ,c 成等差数列。 (2) 存在无穷多个互不相似的三角形△ n ,其边长 an,bn,cn 为正整数且 an 2,bn 2,cn 2 成等差数列。
2 2 2

2010 年文科
7. 等比数列 A. (?2)

{an } 中, | a1 |? 1, a5 ? ?8a2 , a5 ? a2 , 则 an ? (
n ?1


n

B. ?(?2

n ?1

)

C. (?2)

n

D. ?(?2)

22. (本小题满分 14 分)
2 正实数数列 {an } 中, a1 ? 1, a2 ? 5 ,且 {an } 成等差数列.

(1) 证明数列 {an } 中有无穷多项为无理数; (2)当 n 为何值时, an 为整数,并求出使 an ? 200 的所有整数项的和.

2011 年 理科
5.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足: Sn ? Sm ? Sn?m ,且 a1 ? 1 ,那么 a10 ? (

) D. 55

A. 1 B. 9 18.(本小题满分 12 分)

C. 10

已知两个等比数列 ?an ?, ?bn ?,满足 a1 ? a(a ? 0),b1 ? a1 ? 1, b2 ? a2 ? 2, b3 ? a3 ? 3 . (1)若 a =1,求数列 ?an ?的通项公式; (2)若数列 ?an ?唯一,求 a 的值.

2011 年 文科
5.设{ an }为等差数列,公差 d = -2, Sn 为其前 n 项和.若 S10 ? S11 ,则 a1 =( A.18 B.20 C.22 21.(本小题满分 14 分) D.24 )

(1) 已知两个等比数列 ?an ?, ?bn ?, 满足 a1 ? a?a ? 0?, b1 ? a1 ? 1, b2 ? a2 ? 2, b3 ? a3 ? 3 , 若数列 ?an ?唯一,求 a 的值; (2) 是否存在两个等比数列 ?an ?, ?bn ?, 使得 b1 ? a1 , b2 ? a2 , b3 ? a3 , b4 ? a4 成公差 不 为 0
?

的等差数列?若存在,求

?an ?, ?bn ?

的通项公式;若 不 存在,说明理由.
?

2012 年理科
6.观察下列各式: a ? b ? 1, a ? b ? 3, a ? b ? 4, a ? b ? 7, a ? b ? 11,?
2 2 3 3 4 4 5 5

则a ?b ?(
10 10

) C.123 D.199

A.28

B.76

12.设数列 ?an ?, ?bn ?都是等差数列,若 a1 ? b1 ? 7, a3 ? b3 ? 21, 则a5 ? b5 ? ___________。 16.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ?的前 n 项和 S n ? ? (1)确定常数 k,求 an ;

1 2 n ? kn(其中k ? N ) ,且 Sn 的最大值为 8. 2

? 9 ? 2an ? ? ? (2)求数列 ? 2n ? 的前 n 项和 Tn 。

2012 年文科
13. 等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,公比若不为 1 。若 a1=1 ,且对任意的 n ? N 都有

an?2 ? an?1 ? 2an ? 0 ,则 S5=_________________。
17.(本小题满分 12 分) 已知数列|an|的前 n 项和 Sn ? kcn ? k (其中 c,k 为常数) ,且 a2=4,a6=8a3。 (1)求 an ; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn 。

2013 年理科
3.等比数列 x,3x ? 3,6 x ? 6,? 的第四项等于( A.-24 B. 0 C.12 D.24 )

17. (本小题满分 12 分) 正项数列 ?an ?的前 n 项和 Sn 满足: Sn2 ? (n2 ? n ?1)Sn ? (n2 ? n) ? 0 (1) 求数列 ?an ?的通项公式 an ;

(2)

bn ?
令 有 Tn ?

n ?1 (n ? 2) 2 an 2 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,证明:对于任意 n ? N * ,都
5 。 64

2013 年文科
12.某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植 2 棵,以后每天植树的棵树是前一天的 2 倍,则需要的最少天数 n(n∈N*)等于 。 16.(本小题满分 12 分)正项数列{ an }满足 an 2 ? (2n ?1)an ? 2n ? 0 。 (1)求数列{ an }的通项公式 an ; (2)令 bn ?

1 ,求数列{ bn }的前 n 项和 Tn。 (n ? 1)an

2014 年理科
18. (12 分) (2014?江西)已知首项是 1 的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N )满足 anbn+1 ﹣an+1bn+2bn+1bn=0. (1)令 cn= (2)若 bn=3 ,求数列{cn}的通项公式;
n﹣1 *

,求数列{an}的前 n 项和 Sn.

2014 年文科
13.在等差数列 ?an ? 中,a1 ? 7 , 公差为 d , 前 n 项和为 S n , 当且仅当 n ? 8 时 S n 取最大值, 则 d 的取值范围_________. 17. (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ?的前 n 项和 S n ? (1)求数列 ?an ?的通项公式;

3n 2 ? n ,n ? N ? . 2

am 成等比数列. (2)证明:对任意 n ? 1 ,都有 m ? N ? ,使得 a1,an ,

004 江西历年高考数学题------数列 答案 2009 年 理科

8. 由于 {cos

2

n? n? ? sin 2 } 以 3 为周期,故 3 3

S30 ? (?

12 ? 22 42 ? 52 282 ? 292 ? 32 ) ? (? ? 62 ) ? ? ? (? ? 302 ) 2 2 2

? ?[?
k ?1

10

10 (3k ? 2)2 ? (3k ? 1)2 5 9 ?10 ?11 ? (3k )2 ] ? ?[9k ? ] ? ? 25 ? 470 故选 A 2 2 2 k ?1

22.解: (1)由

a p ? aq a1 ? an a2 ? an?1 am ? an 得 ? . ? (1 ? am )(1 ? an ) (1 ? a p)(1 ? aq) (1 ? a1 )(1 ? an ) (1 ? a2 )(1 ? an?1 )
1 4 2a ? 1 1 ? an 1 1 ? an?1 , a2 ? 代入化简得 an ? n ?1 . 所以 ? ? , 2 5 1 ? an 3 1 ? an?1 an ?1 ? 2

将 a1 ?

1 ? an 1 ? an 1 3n ? 1 故数列 { } 为等比数列,从而 ? , 即 an ? n . 3 ?1 1 ? an 1 ? an 3n
可验证, an ?

3n ? 1 满足题设条件. 3n ? 1

(2)由题设

am ? an 的值仅与 m ? n 有关,记为 bm?n , (1 ? am )(1 ? an )

则 bn ?1 ?

a1 ? an a ? an ? . (1 ? a1 )(1 ? an ) (1 ? a)(1 ? an )
a?x ( x ? 0) ,则在定义域上有 (1 ? a)(1 ? x)

考察函数 f ( x) ?

? 1 a ?1 ?1 ? a , ? ? 1 f ( x) ? g (a) ? ? , a ?1 ? 2 ? a ?1 ? a , 0 ? a ? 1 ?
故对 n ? N , bn?1 ? g (a) 恒成立.
*

又 b2 n ?

2an ? g (a ) , (1 ? an ) 2
1 ,解上式得 2

注意到 0 ? g ( a ) ?

1 ? g (a) ? 1 ? 2 g ( a) 1 ? g ( a ) ? 1 ? 2 g ( a) g (a) ? ? an ? , g (a) g (a) 1 ? g (a) ? 1 ? 2 g ( a)
取? ?

1 ? g ( a ) ? 1 ? 2 g ( a) ,即有 g ( a)

1

?

? an ? ?. .

2009 年 文科
2 8. 【 解 析 】 由 a4 ? a3a7 得 (a1 ? 3d )2 ? (a1 ? 2d )(a1 ? 6d ) 得 2a1 ? 3d ? 0 , 再 由

56 90 d ? 32 得 2a1 ? 7d ? 8 则 d ? 2, a1 ? ?3 ,所以 S10 ? 10a1 ? d ? 60 ,.故选 C 2 2 n ? n ? 2 n ? ? sin 2 ? cos 21. 解: (1) 由于 cos 2 ,故 3 3 3 S8 ? 8a1 ?

S3k ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ? a6 ) ? ? ? (a3k ?2 ? a3k ?1 ? a3k ) ? (?
?

12 ? 22 4 2 ? 52 (3k ? 2) 2 ? (3k ? 1) 2 ? 32 ) ? (? ? 62 ) ? ? ? (? ? (3k ) 2 )) 2 2 2

13 31 18k ? 5 k (9k ? 4) ? ?? ? ? , 2 2 2 2 k (4 ? 9k ) S3k ?1 ? S3k ? a3k ? , 2

S3k ?2 ? S3k ?1 ? a3k ?1 ?

k (4 ? 9k ) (3k ? 1) 2 1 3k ? 2 1 ? ? ?k ? ? ? , 2 2 2 3 6



n 1 ? ? ? , n? 3 k? 2 ? 3 6 ? ? (n ? 1)(1 ? 3n) Sn ? ? , n ? 3k ? 1 6 ? ? n(3n ? 4) , n ? 3k ? 6 ?

(k ?N )
*

(2) bn ?

S3 n 9n ? 4 1 13 22 9n ? 4 1 22 9n ? 4 ? , Tn ? [ ? 2 ? ? ? ], 4Tn ? [13 ? ? ? ? n ?1 ], n n n n?4 2?4 2 4 4 4 2 4 4

两式相减得

9 9 ? n 1 9 9 9n ? 4 1 4 4 ? 9n ? 4 ] ? 8 ? 1 ? 9n , 3Tn ? [13 ? ? ? ? n ?1 ? n ] ? [13 ? 1 2 4 4 4 2 4n 22 n ?3 22 n ?1 1? 4 8 1 3n Tn ? ? ? . 故 3 3 ? 22 n ?3 22 n ?1

2010 年 理科

5. C
22. (本小题满分 14 分) 证明: (1)易知 12 ,52 , 72 成等差数列,则 a2 ,(5a)2 ,(7a)2 也成等差数列,所以对任一正整 数 a ,都存在正整数 b ? 5a, c ? 7a,(b ? c) ,使得 a 2 , b2 , c 2 成等差数列.
2 2 2 2 2 2 2 (2)若 an 成等差数列,则有 bn , , bn , cn ? an ? cn ? bn

即 (bn ? an )(bn ? an ) ? (cn ? bn )(cn ? bn )

……①

选取关于 n 的一个多项式,例如 4n(n2 ?1) ,使得它可按两种方式分解因式,由于

4n(n2 ?1) ? (2n ? 2)(2n2 ? 2n) ? (2n ? 2)(2n2 ? 2n)

?an ? n2 ? 2n ? 1 ? ? ?an ? bn ? 2n ? 2n ? ?c ? b ? 2 n ? 2 n 2 ,? n n 因此令 ? ,可得 ?bn ? n ? 1 (n ? 4) ? ?bn ? an ? 2n ? 2 ? ?cn ? bn ? 2n ? 2 ? 2 ?cn ? n ? 2n ? 1
2 2

易 验证 an , bn , cn 满足①,因此 a , b , c 成等差数列, 当 n ? 4 时,有 an ? bn ? cn 且 an ? bn ? cn ? n2 ? 4n ? 1 ? 0 因此以 an , bn , cn 为边长可以构成三角形,将此三角形记为 ?n (n ? 4) . 其次,任取正整数 m, n(m, n ? 4, 且m ? n) ,假若三角形 ? m 与 ? n 相似,则有:

2

2

2

m 2 ? 2m ? 1 m 2 ? 1 m 2 ? 2 m ? 1 ? ? n 2 ? 2 n ? 1 n 2 ? 1 n 2 ? 2n ? 1
据此例性质有:

m2 ? 1 m2 ? 2m ? 1 m2 ? 2m ? 1 ? (m2 ? 1) m ? 1 ? ? 2 ? n 2 ? 1 n 2 ? 2n ? 1 n ? 2n ? 1 ? (n 2 ? 1) n ?1 m2 ? 1 m2 ? 2m ? 1 m2 ? 2m ? 1 ? (m2 ? 1) m ? 1 ? ? 2 ? n 2 ? 1 n 2 ? 2n ? 1 n ? 2n ? 1 ? (n 2 ? 1) n ?1
所以

m ?1 m ?1 ? ,由此可得 m ? n ,与假设 m ? n 矛盾,即任两个三角形 ? m 与 n ?1 n ?1

? n (m, n ? 4, m ? n) 互不相似,所以存在无穷多个互不相似的三角形 ? n ,其边长
2 2 2 成等差数列. an , bn , cn 为正整数且以 an , bn , cn

2010 年 文科

7. A
2 22.证明: (1)由已知有: an ? 1 ? 24(n ?1) ,从而 an ? 1 ? 24(n ?1) ,

方法一:取 n ? 1 ? 24

2 k ?1

2k * ,则 an ? 1 ? 24 ( k ? N )用反证法证明这些 an 都是无理数.

2k 假设 an ? 1 ? 24 为有理数,则 an 必为正整数,且 an ? 24k ,

故 an ? 24k ? 1 . an ? 24k ? 1 ,与 (an ? 24k )(an ? 24k ) ? 1 矛盾,
2k * 所以 an ? 1 ? 24 ( k ? N )都是无理数,即数列 {an } 中有无穷多项为无理数;

2 1 ? 24 n 的末位数字 方法二:因为 an ?1 ? 1 ? 24n, (n ? N ) ,当 n 的末位数字是 3, 4,8,9 时,

是3 和7 , 它不是整数的平方, 也不是既约分数的平方, 故此时 an?1 ? 1 ? 24n 不是有理数, 因这种 n 有无穷多,故这种无理项 an ?1 也有无穷多. (2) 要使 an 为整数,由 (an ?1)(an ?1) ? 24(n ?1) 可知:

an ?1, an ? 1 同为偶数,且其中一个必为 3 的倍数,所以有 an ?1 ? 6m 或 an ? 1 ? 6m
2 当 an ? 6m ? 1 时,有 an ? 36m2 ? 12m ? 1 ? 1 ? 12m(3m ?1) ( m ? N ) 2 又 m(3m ? 1) 必为偶数,所以 an ? 6m ? 1 ( m ? N )满足 an ? 1 ? 24(n ?1)

即n ?

m(3m ? 1) ? 1 ( m ? N )时, an 为整数; 2
*

2 同理 an ? 6m ?1(m ? N * ) 有 an ? 36m2 ?12m ? 1 ? 1 ? 12m(3m ?1) ( m ? N ) 2 也满足 an ? 1 ? 24(n ?1) ,即 n ?

m(3m ? 1) ? 1 ( m ? N * )时, an 为整数; 2

显然 an ? 6m ?1(m ? N * ) 和 an ? 6m ? 1 ( m ? N )是数列中的不同项; 所以当 n ?

m(3m ? 1) m(3m ? 1) ? 1 ( m ? N )和 n ? ? 1 ( m ? N * )时, an 为整数; 2 2

* 由 an ? 6m ? 1 ? 200 ( m ? N ) 有 0 ? m ? 3 3, 由 an ? 6m ? 1? 2 0 0 ( m? N ) 有

1? m ? 33 .
设 an 中满足 an ? 200 的所有整数项的和为 S ,则

S ? (5 ? 11 ? ? ? 197) ? (1 ? 7 ? ? ? 199) ?

5 ? 197 1 ? 199 ? 33 ? ? 34 ? 6733 2 2

2011 年 理科

5. A
18. (本小题满分 12 分) (1)设 {an } 的公比为 q,则 b1 ? 1 ? a ? 2, b2 ? 2 ? aq ? 2 ? q, b3 ? 3 ? aq2 ? 3 ? q2 由 b1 , b2 , b3 成等比数列得 (2 ? q)2 ? 2(3 ? q2 ) 即 q2 ? 4q ? 2 ? 0, 解得q1 ? 2 ? 2, q2 ? 2 ? 2 所以 {an } 的通项公式为 an ? (2 ? 2)n?1 或an ? (2 ? 2)n?1. (2) 设 {an } 的公比为 q, 则由 (2 ? aq)2 ? (1 ? a)(3 ? aq2 ), 得 aq2 ? 4aq ? 3a ? 1 ? 0(*) 由 a ? 0得? ? 4a ? 4a ? 0 ,故方程(*)有两个不同的实根
2

由 {an } 唯一,知方程(*)必有一根为 0,代入(*)得 a ?

1 . 3

2011 年 文科
5. B
解: (1) ? an ? 要唯一, ? 当公比 q1 ? 0 时,由 b1 ? 1 ? a ? 2, b2 ? 2 ? a2 , b3 ? 3 ? a3 且

b2 ? b1b3 ? ?2 ? aq1 ?2 ? ?1 ? a ? 3 ? aq12 ? aq12 ? 4aq1 ? 3a ? 1 ? 0 ,
2

?

?

? a ? 0 ,?aq12 ? 4aq1 ? 3a ? 1 ? 0 最少有一个根(有两个根时,保证仅有一个正根)

??4a ? ? 4a?3a ? 1? ? 0 ? 4a?a ? 1? ? 0 ,此时满足条件的 a 有无数多个,不符合。
2

? 当 公 比 q1 ? 0 时 , 等 比 数 列 ?an ? 首 项 为 a , 其 余各 项 均 为常 数 0 ,唯 一 , 此时 由

?2 ? aq1 ?2 ? ?1 ? a??3 ? aq12 ? ? aq12 ? 4aq1 ? 3a ? 1 ? 0 ,可推得 3a ? 1 ? 0, a ? 1 符合
3
1 综上: a ? 。 3
(2)假设存在这样的等比数列 ? an ?? , bn ? , 公比分别为 q1,q 2 ,则由等差数列的性质可得:

?b2 ? a2 ? ? ?b3 ? a3 ? ? ?b1 ? a1 ? ? ?b4 ? a4 ?,整理得: ?b1 ? b3 ??q2 ? 1? ? ?a1 ? a3 ??q1 ? 1?
要 使 该 式 成 立 , 则 q2 ? 1 = q1 ? 1 ? 0 ? q1 ? q2 ? 1 或 b1 ? b3 ? a1 ? a3 ? 0 此 时 数 列

b2 ? a2 , b3 ? a3 公差为 0 与题意不符,所以不存在这样的等比数列 ?an ?? , bn ?。

2012 年 理科

6. C 由 a3 ? b3 ? 4, a ? b ? 1可得: a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? b2 ? ab) , ab ? ?1 ,则
2 2 5 5 5 5 2 a1 0? b 1 0?( a )5 ? ( b )5 ? (a )5 ? 2 ( b )5? 2 2 a b? 2 a b? (a ? 5 b? ) ? 5 ab ?2 5

把 a5 ? b5 ? 11, ab ? ?1 代入得 a ? b ? 123
10 10

12. 由 ?an ?, ?bn ?都是等差数列可知, (a3 ? a1 ) ? (b3 ? b1 ) ? 14, 则d1 ? d2 ? 7 ,又

a5 ? b5 ? a1 ? 4d1 ? b1 ? 4d2 ? (a1 ? b1 ) ? 4(d1 ? d2 ) ? 35
16. (1)显然 Sn ? ?

1 2 1 k2 n ? kn ? ? (n ? k )2 ? 当 n=k 时 Sn 取最大值 8,即 2 2 2

1 1 2 1 2 9 a ? S ? S ? k ? n ? 2 n n n ? 1 8 ? ? k ? k ? k ,故 k ? 4 ; 2 ,即 an ? ? n(n ? 2) 2 2 2

7 9 ,所以 an ? ? n 。 2 2 9 ? 2an n 2 3 n ?1 n ? n ?1 , Tn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 (2)因为 bn ? n 2 2 2 2 2 2 1 1 n 1 n n?2 Tn ? 2Tn ? Tn ? 2 ? 1 ? ? ? ? n ? 2 ? n ?1 ? 4 ? n ? 2 ? n ?1 ? 4 ? n ?1 2 2 2 2 2 2
又 a1 ? S1 ?

2012 年 文科
13. 由 an?2 ? an?1 ? 2an ? 0 可得:当 n=1 时, a3 ? a2 ? 2a1 ? 0 ,又 ?an ? 为等比数列且

a1 (1 ? q n ) S ? a1=1, 有 q2 ? q ? 2 ? 0 ? q1 ?(舍去)或 故 an ? (? 1 q2 ? ?2 。 2 ) n?1 , n 1? q , 把
n=5,q=-2, a1=1,带入的 S5 ? 11 17. (1 )由 Sn ? kcn ? k 可得: an ? Sn ? Sn?1 ? (kC n ? k ) ? (kC n?1 ? k ) ? kC n ? kC n?1 , 又 a2 ? 4, a6 ? 8a3 , 则 k ( c ?
2 6 5 3 2 , k (c ? c ) ? 8k (c ? c ) , 可 得 k=2,c=2; c )? 4

an ? 2n (n ? 2) ,当 a1 ? S1 ? 2 ,于是 an ? 2n
(2) Tn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ?? (n ?1) ? 2
1 2 3 2 Tn ? 2 Tn ? Tn ? ? 2 ? 2 3 ? 2 ? ? n?1

? n2n
n? 1

n ?n? 2 ?1

? 2?

? 1 2?n n? 2 ?

2013 年 理科

a3 6 x ? 6 3x ? 3 ? ?2?q ?2 3. A 由 a2 3x ? 3 ,则 x ,

得 x=-3, an ? a1qn?1 ? ?3 ? 2n?1 , a4 ? ?3 ? 23 ? ?24
17. (1)由 Sn2 ? (n2 ? n ?1) Sn ? (n2 ? n) ? 0 得 [Sn ? (n2 ? n)](Sn ? 1) ? 0 ,由于 ?an ? 是 正项数列,所以 Sn >0, Sn ? n2 ? n ,于是 an ? S1 ? 2, n ? 2时,an ? Sn ? Sn?1 ? 2n

综上,数列 ?an ?的通项 an ? 2n
bn ? n ?1 (n ? 2) 2 an 2 。

(2)证明:由于 an ? 2n ,



bn ?

n ?1 1 1 1 ? [ 2? ] 2 2 (n ? 2) 4n 16 n (n ? 2)2

Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2? ] 2 2 16 3 2 4 3 5 (n ? 1) (n ? 1) n (n ? 2) 2 1 1 1 1 1 1 5 [1 ? 2 ? ? ] ? (1 ? 2 ) ? 2 2 16 2 (n ? 1) (n ? 2) 16 2 64

?

2013 年 文科
12.6
2 3 n n ?1 解: 直接计算 2+4+8+16+32+64=128 得 n=6,或解 2 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ? 2 ? 2 ? 100

得 n 为 6. 16.

解:(1)由an2 ? (2n ?1)an ? 2n ? 0得(an -2n)(an +1)=0
由于{an}是正项数列,则 an ? 2n 。 (2)由(1)知 an ? 2n ,故
?Tn ?

bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) (n ? 1)an (n ? 1)(2n) 2 n (n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 n (1 ? ? ? ? ... ? ? ) ? (1 ? )? 2 2 2 3 n n ?1 2 n ? 1 2n ? 2

2014 年 理科

思路: (1)由 anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0,en=

,可得数列{cn}是以 1 为首项,2 为公差的

等差数列,即可求数列{cn}的通项公式; (2)用错位相解 (1)∵anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0,cn= ,∴cn﹣cn+1+2=0,∴cn+1﹣cn=2,

∵首项是 1 的两个数列{an},{bn}, ∴数列{cn}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,∴cn=2n﹣1; (2)∵bn=3
n﹣1

,cn=
1

,∴an=(2n﹣1)?3
n﹣1

n﹣1



∴Sn=1×3 +3×3 +…+(2n﹣1)×3 1 2 n ∴3Sn=1×3 +3×3 +…+(2n﹣1)×3 1 2 n﹣1 n n ∴相减得﹣2Sn=1+2?(3 +3 +…+3 )﹣(2n﹣1)?3 =﹣2﹣(2n﹣2)3 , n ∴Sn=(n﹣1)3 +1.

0

2014 年 文科
13. 【答案】 ?1 ? d ? ?
7 8

【解析】 因为 a1 ? 7 ? 0 ,当且仅当 n ? 8 时 S n 取最大值,可知 d ? 0 且同时满足

a8 ? 0, a9 ? 0 ,
所以, ?

?a8 ? 7 ? 7 d ? 0 7 ,易得 ?1 ? d ? ? 8 ?a9 ? 7 ? 8d ? 0

17.解析: (1)当 n ? 1 时 a1 ? S1 ? 1 当n ? 2时
an ? S n ? S n ?1 3n 2 ? n 3 ? n ? 1? ? n ? 1 ? ? ? 3n ? 2 2 2
2

检验 当 n ? 1 时 a1 ? 1 ? an ? 3n ? 2

am 成等比数列. 则 an 2 = a1am ? ? 3n ? 2 ? =3m ? 2 (2)使 a1,an ,
2

即满足 3m ? ? 3n ? 2 ? ? 2 ? 9n 2 ? 12n ? 6
2

所以 m ? 3n 2 ? 4n ? 2

则对任意 n ? 1 ,都有 3n 2 ? 4n ? 2 ? N ?

am 成等比数列. 所以对任意 n ? 1 ,都有 m ? N ? ,使得 a1,an ,


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