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解析几何综合运用练习题-含答案


学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

一、选择题(题型注释) 1.已知直线 l1 : ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 l2 : (3 ? a) x ? y ? a ? 0 ,若 l1 // l2 ,则 a 的值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 6 D. 1 或2 2.

已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点, 且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切, 则圆 C 的方程为( ) 2 2 2 2 A.(x+1) +y =2 B.(x-1) +y =1 2 2 2 2 C.(x+1) +y =4 D.(x-2) +y =4 2 3.设抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5.若以 MF 为直径的圆 过点(0,2),则 C 的方程为( ) 2 2 2 2 A.y =4x 或 y =8x B.y =2x 或 y =8x 2 2 2 2 C.y =4x 或 y =16x D.y =2x 或 y =16x 4.双曲线 x -
2

y2 =1 的离心率大于 2 的充分必要条件是( m

)

A.m>

1 2

B. m≥1 D. m>2

C.m>1

二、填空题(题型注释) 2 2 5.经过圆 x +2x+y =0 的圆心 C,且与直线 x+y=0 垂直的直线方程是________. 6.已知抛物线 y =4x 的焦点 F 恰好是双曲线
2

x2 y2 - =1(a>0,b>0)的右顶点,且双 a2 b2

曲线的渐近线方程为 y=± 3 x,则双曲线方程为________. 三、解答题(题型注释) 7.已知点 A(3,3),B(5,2)到直线 l 的距离相等,且直线 l 经过两直线 l1:3x-y-1= 0 和 l2:x+y-3=0 的交点,求直线 l 的方程. 8.如图,在直角坐标系中,已知△PAB 的周长为 8,且点 A,B 的坐标分别为(-1,0), (1,0).

(1)试求顶点 P 的轨迹 C1 的方程;

试卷第 1 页,总 2 页

(2)若动点 C(x1,y1)在轨迹 C1 上,试求动点 Q ?

? x1 y1 ? , ? 的轨迹 C2 的方程. ? 3 2 2?

9.设椭圆 C:

x2 y2 3 + =1(a>b>0)过点(0,4),离心率为 . 2 2 5 b a
4 的直线被 C 所截线段的中点坐标. 5

(1)求 C 的方程; (2)求过点(3,0)且斜率为

10.如图,F 是椭圆的右焦点,以点 F 为圆心的圆过原点 O 和椭圆的右顶点,设 P 是椭 圆上的动点,P 到椭圆两焦点的距离之和等于 4.

(1)求椭圆和圆的标准方程; (2)设直线 l 的方程为 x=4,PM⊥l,垂足为 M,是否存在点 P,使得△FPM 为等腰三角 形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

试卷第 2 页,总 2 页

答案 1.C 【解析】 试题分析: l1 的斜率为 k1 ? ?

a a , l2 的斜率为 k2 ? 3 ? a ,由 l1 / / l2 ,有 ? ? 3 ? a ,所以 2 2

a ? 6.
考点:直线的斜率. 2.A 【解析】令 y=0 得 x=-1,所以直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点为(-1,0).因为直线 x+y +3=0 与圆 C 相切, 所以圆心到直线 x+y+3=0 的距离等于半径, 即 r= 所以圆 C 的方程为(x+1) +y =2. 3.C 【解析】由已知得抛物线的焦点 F ?
2 2

?1 ? 0 ? 3 2

= 2,

?p ? , 0 ? ,设点 A(0,2),抛物线上点 M(x0,y0),则 AF = ?2 ?

2 ? y0 ? ?p ? AM , = , y2 ? 2 ? .由已知得, AF · AM =0, , ? 2 ? ? ? ?2 ? ? 2p ?

即 y0 -8y0+16=0,因而 y0=4,M ?
2

2

?8 ? ,4? . ?p ?

? 8 p? 由|MF|=5 得, ? ? ? ? 16 =5, ? p 2?
又 p>0,解得 p=2 或 p=8. 4.C

c2 c 2 【解析】依题意,e= ,e = 2 >2,得 1+m>2,所以 m>1. a a
5.x-y+1=0 2 2 【解析】所求直线过圆:x +2x+y =0 的圆心 C(-1,0),斜率为 1,故方程为 x-y+1=0. 6.x -
2

y2 =1 3
b x a

【解析】 抛物线的焦点坐标为(1,0), 故在双曲线中 a=1, 由双曲线的渐近线方程为 y=±

y2 =± 3 x,可得 b= 3 ,故所求的双曲线方程为 x - =1. 3
2

7.x+2y-5=0 或 x-6y+11=0 【解析】解:解方程组 ?

?3x ? y ? 1 ? 0 得交点 P(1,2). ?x ? y ? 3 ? 0
答案第 1 页,总 4 页

(1)若点 A,B 在直线 l 的同侧,则 l∥AB. 而 kAB=

3? 2 1 =- , 3?5 2 1 (x-1), 2

由点斜式得直线 l 的方程为 y-2=-

即 x+2y-5=0; (2)若点 A,B 分别在直线 l 的异侧,则直线 l 经过线段 AB 的中点 ? 4, ? ,

? ?

5? 2?

5 y ? 2 2 ?2 由两点式得直线 l 的方程为 = , x ?1 4 ?1
即 x-6y+11=0. 综上所述,直线 l 的方程为 x+2y-5=0 或 x-6y+11=0. 8.(1)

x2 y2 + =1 8 9

(2) x +y =1

2

2

【解析】解:(1)由题意,可得顶点 P 满足|PA|+|PB|=6, 结合椭圆的定义,可知顶点 P 的轨迹 C1 是以 A,B 为焦点的椭圆,且椭圆的半焦距长 c=1, 2 2 2 长半轴长 a=3,则 b =a -c =8. 故轨迹 C1 的方程为

x2 y2 + =1. 8 9

(2)已知点 C(x1,y1)在曲线 C1 上, 故

x12 y2 + 1 =1. 9 8
x1 y =x, 1 =y,得 x1=3x,y1=2 2 y. 3 2 2



代入

x12 y2 2 2 + 1 =1,得 x +y =1, 9 8

所以动点 Q ?

? x1 y1 ? 2 2 的轨迹 C2 的方程为 x +y =1. , ? ? 3 2 2?
(2) ?

x2 y2 9.(1) + =1 25 16

?3 6? ,? ? ?2 5?
16 =1,解得 b=4. b2

【解析】解:(1)将(0,4)代入 C 的方程得

又 e=

a2 ? b2 c 3 9 = ,得 = , 2 a 5 25 a
答案第 2 页,总 4 页

即 1-

16 9 = , 2 a 25

则 a=5.所以 C 的方程为

x2 y2 + =1. 25 16

(2)过点(3,0)且斜率为

4 4 的直线方程为 y= (x-3). 5 5

设直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 将直线方程 y=

4 (x-3)代入 C 的方程, 5
2

x 2 ? x ? 3? 2 得 + =1,即 x -3x-8=0,所以 x1+x2=3. 25 25
设 AB 的中点坐标为( x , y ), 则x=

x1 ? x2 3 = , 2 2 y ? y2 2 6 = (x1+x2-6)=- , y= 1 2 5 5

即中点坐标为 ?

?3 6? ,? ?. ?2 5?
(x-1) +y =1
2 2

10.(1)

x2 y2 + =1 3 4

(2) 存在点 P ? ,

? 4 3 15 ? ? 4 3 15 ? ?7 7 ? ? 或? ? ,? 7 ? ? ,使得△FPM 为等腰三角形 ? ? ?7 ?

x2 y2 【解析】解:(1)由题意,设椭圆的标准方程为 2 + 2 =1,由已知可得 2a=4,a=2c, b a
解得 a=2,c=1,b =a -c =3. ∴椭圆的标准方程为
2 2 2

x2 y2 2 2 + =1,圆的标准方程为(x-1) +y =1. 3 4

(2)设 P(x,y),则 M(4,y),F(1,0),-2≤x≤2, ∵P(x,y)在椭圆上,∴
2

x2 y2 + =1, 3 4

∴y =3-
2

3 2 x. 4
2 2 2

∴|PF| =(x-1) +y =(x-1) +3-

3 2 1 2 x= (x-4) , 4 4

答案第 3 页,总 4 页

3 2 x. 4 1 3 2 2 ①若|PF|=|FM|,则 (x-4) =12- x ,解得 x=-2 或 x=4(舍去),x=-2 时,P(- 4 4
|PM| =|x-4| ,|FM| =3 +y =12-
2 2 2 2 2

2,0),此时 P,F,M 三点共线,不合题意.∴|PF|≠|FM|; ②若|PM|=|PF|,则(x-4) =
2

1 2 (x-4) ,解得 x=4,不合题意; 4
3 2 4 4 3 15 x, 解得 x=4(舍去)或 x= , x= 时 y=± , 4 7 7 7

③若|PM|=|FM|, 则(x-4) =12-

2

∴P ? , ?

?4 ?7 ?

3 15 ? ?. 7 ? ? ? 4 3 15 ? ? 4 3 15 ? ?7 7 ? ? 或? ? ,? 7 ? ? ,使得△FPM 为等腰三角形. ? ? ?7 ?

综上可得,存在点 P ? ,

答案第 4 页,总 4 页


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