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高等数学A-2试卷A解答(2013.06)


南京工业大学

高等数学 A-2 试卷(A)解答
江浦 12 级
5、 (B )

2012--2013 学年 第 二 学期 使用班级
一、选择题(本大题共 5 小题, 每小题 3 分, 总计 15 分) 1、 (C ) 2、 ( A) 3、 (B ) 4、 ( D) 二、填空题(本大题共 5 小题, 每小题

3 分,总计 15 分) 1、 x2 ? x ? y 2 ? 1 ⒉、 1 3、 2? 4、 ?

4 3

5、

? 2

三、解答下列各题(本大题共 4 小题,每小题 7 分,总计 28 分,每题要有必要的解题步骤) 1、 设函数 f ( x, y, z ) ? xy ? zx ? yz ? x ? y ? z ? 6 , 问在点 P(3, 4, 0) 处沿怎样的方向 l , f 的 变化率最大?并求其最大的变化率。 解: gradf(3,4,0) ? ( y ? z ? 1, x ? z ? 1, x? y ? 1) P ? (3,2,6)

f 沿方向 l ? (3, 2, 6) 的变化率最大;
其最大的变化率为

……4 分

?f ?l
2

? gradf (3, 4,0) ? 7 。
P

……3 分

2、设 z ? f ( x ? y , ) ,其中 f (u , v) 具有二阶连续偏导数,求
2

y x

?z ?2z 、 。 ? x ?x ?y
……3 分

解:

?z y ? 2 x ? f1?? 2 ? f 2? , ?x x

?2 z 1 1 y 1 ?? ?? ?? ?? ? 2 x(2 yf11 ? f12 ) ? 2 f 2? ? 2 (2 yf 21 ? f 22 ) ?x?y x x x x
?? 1 y2 y ?? ?? ?? f 2? ? 4 xyf11 ? 2(1 ? 2 ) f12 ? 3 f 22 2 x x x
……4 分

3、计算二次积分

?

1 0

dx ? y sin
x

1

x dy 。 y
……2 分

解:

?

1 0

dx ? y sin
x

1

1 y x x dy ? ? dy ? y sin dx (交换积分顺序) 0 0 y y

? ? y 2 (1 ? cos1)dy
0

1

……3 分 ……2 分
2

1 ? (1 ? cos1) 3
4、计算 解:

?xds ,其中 L 为由直线 y ? x 及抛物线 y ? x ?
L

所围成的区域的整个边界。

L



L1 和 L2 两段组成,其中 L1 : y ? x(0 ? x ? 1); L2 : y ? x2 (0 ? x ? 1) ,于 是

1

? xds ? ? xds ? ? xds ? ? ?
L L1 L2

1

0

x 1 ? 12 dx ? ? x 1 ? (2 x)2 dx
0

1

……4 分

??

1

0

2 xdx ? ? x 1 ? 4 x2 dx ?
0

1

1 (5 5 ? 6 2 ? 1) 12

……3 分

四、解答下列各题(本大题共 4 小题,每小题 7 分,总计 28 分,每题要有必要的解题步骤) 1、求曲面 z ? e z ? 2 xy ? 3 在点 (1,2,0) 处的切平面方程和法线方程。 解:令 F ( x, y, z) ? z ? e z ? 2xy ? 3, 点 (1,2,0) 处的切平面的法向量为

? n ? ( Fx , Fy , Fz )

(1,2,0)

? (2 y, 2 x,1 ? e z )

(1,2,0)

? 2 ? (2,1, 0) ;

……3 分 ……2 分

切平面方程为: 2 x ? y ? 4 ? 0 ;

法线方程为: ? 2

? x ?1 ? ? y ? 2. ? ? z?0
2

……2 分

y 2 ? 1} 上的最大值和最小值。 2、求函数 f ( x, y) ? x 2 ? y2 ? 2 在区域 D ? {( x , y ) x ? 4

解:令

?f ? 2 x ? 0, ?x

?f , ? ?2 y ? 0, 得驻点(0,0) ?y

……2 分

L( x , y; ? ) ? x 2 ? y 2 ? 2 ? ? ( x 2 ?

y2 ? 1) , 4
1 y2 ? y ? 0 , L? ? x 2 ? ?1 ? 0 , 2 4
……3 分

Lx ? 2 x ? 2? x ? 0 , L y ? ?2 y ?

可能极值点 (0,2)(0,-2)(1,0)(-1,0) , , , ,

f (0,0) ? 2 , f (0,2) ? f (0,?2) ? ?2 , f (1,0) ? f ( ?1,0) ? 3

y 2 ? 1} 上的最大值和最小值分别为 函数 f ( x, y) ? x 2 ? y2 ? 2 在区域 D ? {( x , y ) x ? 4
3 和-2。 3、设 ? 是由曲线 ? ……2 分

2

?z ? y ,
2

? x ? 0,

(0 ? z ? 2) 绕 z 轴旋转而成的曲面,写出 ? 的方程并计算

?? 4(1? y
?

2

,其中 ? 取下侧。 )dzdx? z(8 y? 1)dxdy ……2 分
2?

2 2 解: ? 的方程是 z ? x ? y (0 ? z ? 2) ;

? 不封闭, 设 ? 1 为 z ? 2,( x ? y ? 2) 的上侧,则
2 2
???1

?? 4(1 ? y )dzdx ? z(8 y ? 1)dxdy ? ??? dv ? ?
2 ?

0

d? ? dr ? 2 rdz ? 2? ,
0

2

2

?

2

(或

??? dv ? ? [?? dxdy]dz ? ? ? zdz ? 2? )
? 0 0 Dz
2

2

2

……2 分 ……2 分 ……1 分

?? 4(1 ? y
?1

)dzdx ? z (8 y ? 1)dxdy ? ?? 2(8 y ? 1)dxdy ? ?? 2dxdy ?4?
Dxy Dxy



?? 4(1? y )dzdx ? z(8 y ?1)dxdy ? 2? ? 4? ? ?2? 。
2 ?
?

? x 2n?1 1 在收敛域 (?1,1) 内的和函数,并求级数 ? 的和。 ? 2n ? 1 n n ? 0 (2n ? 1)4 n ?0 ? ? x 2 n ?1 1 解:设 s ( x) ? ? , S ?( x) ? ? x 2 n ? ……2 分 , x ?1, 1 ? x2 n ?0 n ? 0 2n ? 1 x 1 1 1? x S ( x) ? ? dx ? ln , x ?1 , ……3 分 0 1 ? x2 2 1? x ? ? 1 1 1 1 ……2 分 ? (2n ? 1)4n ? 2? (2n ? 1) ( 2 )2n?1 ? 2s( 2 ) ? ln 3 。 n ?0 n ?0

4、求幂级数

五、应用题(本题 8 分)
?

质点 P 沿着以 AB 为直径的半圆周,从点 A(1, 2) 运动到点 B(3, 4) 的过程中受变力 F 作用
?

(见图)。 F 的大小等于点 P 与原点 O 之间的距离,其方向垂直于线段 OP 且与 y 轴正向的 夹角小于
? ? ,求变力 F 对质点 P 所作的功。 2

解:由图可知 F ? ( ? y , x ), 故所求的功为

?

W ? ?? F ? ds ? ?? ? y d x ? x d y
AB AB

? ?

……3 分 ……3 分 ……2 分

? ( ??

AB ? BA

? ? )( ? y d x ? x d y )
AB

? 2?? dxdy ? ? [?( x ? 1) ? x]dx = 2? ? 2
D ?1

3

六、证明题(本题 6 分) 设正项级数

?
n ?1

?

an 发散,令 sn ? a1 ? a2 ??an (n ? 1, 2,?) ,证明:级数

(?1) n ? s 收敛。 n ?1 n
?

证明:显然数列 Sn 单调增加,因为
?

?a
n ?1

?

n

发散,所以 lim sn ? ?? ;
n ??

1 1 (?1) n ? 0 ,由莱布尼兹定理知级数 对于交错级数 ? ,因为数列 单调减少且 lim n ?? s sn sn n ?1 n

(? 1)n ? s 收敛。 n ?1 n
?

……6 分

3


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