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高中数学经典解题技巧和方法:平面向量


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高中数学经典解题技巧:平面向量
【编者按】平面向量是高中数学考试的必考内容,而且是这几年考试解答题的必选,无 论是期中、期末还是会考、高考,都是高中数学的必考内容之一。因此,马博士教育网 数学频道编辑部特意针对这部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方

法,希望 能够帮助到高中的同学们,让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了, 下面就请同学们跟我们一起来探讨下平面向量的经典解题技巧。 首先,解答平面向量这方面的问题时,先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题, 同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题: 1. 平面向量的实际背景及基本概念 (1) 了解向量的实际背景。 (2) 理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义。 (3) 理解向量的几何意义。 2. 向量的线性运算 (1) 掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义。 (2) 掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义。 (3) 了解向量线性运算的性质及其几何意义。 3. 平面向量的基本定理及坐标表示 (1) 了解平面向量的基本定理及其意义。 (2) 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 (3) 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。 (4) 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 4. 平面向量的数量积 (1) 理解平面向量数量积的含义及 其物理意义 。 (2) 了解平面向量的数量积与向量投影的关系。 (3) 掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算。 (4) 能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直 关系。 5. 向量的应用

(1) 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。 (2) 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题 。 第 1 页(共 5 页) 数学投稿咨询 QQ:1114962912 山东世纪金榜书业有限公司

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好了,搞清楚平面向量的上述内容之后,下面我们就看下针对这方面内容的具体的 解题技巧。 一、向量的有关概念及运算 考情聚焦:1.向量的有关概念及运算,在近几年的高考中年年都会出现。 2.该类问题多数是单独命题,考查有关概念及其基本运算;有时作为一种数学工具,在解答题中与 其他知识点交汇在一起考查。 3.多以选择、填空题的形式出现,有关会渗透在解答题中。 解题技巧:向量的有关概念及运算要注意以下几点: (1)正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念,如有遗漏,则会出 现错误。 (2)正确理解平面向量的运算律,一定要牢固掌握、理解深刻

(3)用已知向量表示另外一些向量,是用向量解题的基础,除了用向量的加减法、实数与向量乘积 外,还要充分利用平面几何的一些定理,充分联系其他知识。 例 1: (2010·山东高考理科·T12)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下,对任意的 a=(m,n) ,

?

? ? ? b? (p,q) ,令 a ⊙ b ? mq ? np ,下面说法错误的是(
A.若 a 与 b 共线,则 a ⊙ b ? 0 C.对任意的 ? ? R ,有 (? a) ⊙ b ?



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B. a ⊙ b ? b ⊙ a

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?(a ⊙ b)

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D. ( a ⊙ b ) ?(a ? b) ? a b
2

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2

?2 ?2

【命题立意】本题在平面向量的基础上,加以创新,属创新题型,考查平面向量的基础知识以及分析问题、 解决问题的能力. 【思路点拨】根据所给定义逐个验证. 【规范解答】选 B,若 a 与 b 共线,则有 a ⊙ b ? mq ? np ? 0 ,故 A 正确;因为 b ⊙ a ? pn ? qm ,,而

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? ? ? ? ? ? a ⊙ b ? mq ? np ,所以有 a ⊙ b ? b ⊙ a
【方法技巧】自定义型信息题

,故选项 B 错误,故选 B.

1、基本特点:该类问题的特点是背景新颖,信息量大,是近几年高考的热点题型. 2、基本对策:解答这类问题时,要通过联想类比,仔细分析题目中所提供的命题,找出其 中的相似性和一致性 二、与平面向量数量积有关的问题 第 2 页(共 5 页) 数学投稿咨询 QQ:1114962912 山东世纪金榜书业有限公司

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考情聚焦:1.与平面向量数量积有关的问题(如向量共线、垂直及夹角等问题)是高考考查的重点。 2.该类问题多数是单独命题,有时与其他知识交汇命题,考查学生分析问题、解决问题的能力。 3.多以选择题、填空题的形式出现,有时会渗透在解答题中。 解题技巧:与平面向量数量积有关的问题 1.解决垂直问题: a ? b ? a? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0, 其中a、 b 均为非零向量。这一条件不能忽视。 2.求长度问题: | a |2 ? a? a ,特 别地 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 | AB |? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) 。
2 2

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3.求夹角问题:求两非零向量夹角的依据

? ? ? ? a? b cos(a, b) ? ? ? ? | a || b |

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2

.

例 2:1.(2010·湖南高考理科·T4)在 Rt ?ABC 中, ?C =90°AC=4,则 AB ? AC 等于( ) A、-16 B、-8 C、8 D、16

uu u r uuu r

【命题立意】以直角三角形为依托,考查平面向量的数量积,基底的选择和平面向量基本定理. 【思路点拨】由于 ?C =90,因此选向量 CA,CB 为基底. 【规范解答】选 D . AB ? AC =(CB-CA)·(-CA)=-CB·CA+CA2=16. 【方法技巧】平面向量的考查常常有两条路:一是考查加减法,平行四边形法则和三角形法则,平面向量 共线定理.二是考查数量积,平面向量基本定理,考查 垂直,夹角和距离(长度). 2. (2010·广东高考文科·T5)若向量 a =(1,1),b =(2,5), c =(3,x)满足条件(8 a — b )· c =30, 则 x=( A.6 ) B.5 C.4 D.3

uu u r uuu r

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【命题立意】本题考察向量的坐标运算及向量的数量积运算. 【思路点拨】 先算出 8a ? b ,再由向量的数量积列出方程,从而求出 x. 【规范解答】选 C . 8a ? b ? 8(1,1) ? (2 , 5) ? (6 , 3) ,所以 (8a ? b) ? c ? (6 , 3) ? (3 , x)

? ?

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? ? ?

? 30 .

即: 18 ? 3 x ? 30 ,解得: x ? 4 ,故选 C .

三、向量与三角函数的综合 考情聚集:1.向量与三角函数相结合是高考的重要考查内容,在近几年的高考中,年年都会出现。 2.这类问题一般比较综合,考查综合应用知识分析问题、解决问题的能力。一般向量为具,考查三 角恒等变换及三角函数的性质等。 3.多以解答题的形式出现。 第 3 页(共 5 页)

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例 3.在直角坐标系

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xOy 中,已知向量 a ? (?1,2), 又点 A(8,0), B(k sin ? , t )( 0 ? ? ?
(I)若 AB ? a, 且 | OA |?| AB |, 求向量 OB ;

?
2

.t ? R ).

(II)若向量 AB与向量a 共线,当 k ? 4, 且t sin?取最大值为 4时, 求OA? OB. 【解析】 (1) AB ? (k sin? ? 8, t ),? AB ? a,? ?k sin? ? 8 ? 2t ? 0 ????2 分 又? | OA |?| AB |,?64 ? (k sin? ? 8) 2 ? t 2

? ? 40 ? 16 5 40 ? 16 5 ?k sin ? ? ?k sin ? ? ? ? 5 5 解得 ? ,或? ?t ? 8 5 ?t ? ? 8 5 ? ? 5 5 ? ?

??????4 分

??? ? 40 ? 16 5 8 5 ??? ? 40 ? 16 5 8 5 ? OB ? ( , ) 或 OB ? ( ,? ) 5 5 5 5
(II)? AB 与向量a共线,?t ? ?2k sin? ? 16

????6 分

??????8 分

4 32 ? t sin ? ? (?2k sin ? ? 16) sin ? ? ?2k (sin ? ? ) 2 ? k k 4 4 32 又k ? 4,? 0 ? ? 1,? sin ? ? 时, t sin ?取最大值为 ????10 分 k k k 32 ? 由 ? 4, 得k ? 8, 此时 ? ? , OB ? (4,8) k 6 ??? ? ??? ? ?OA ? OB ? (8,0) ? (4,8) ? 32 ??????12 分
注:向量与三角函数的综合,实质上是借助向量的工具性。 (1)解决这类问题的基本思路方法是将向 量转化为代数运算; (2)常用到向量的数乘、向量的代数运算,以及数形结合的思路。 例 4. (2010·重庆高考理科·T2)已知向量 a , b 满足 a ? b ? 0, a ? 1, b ? 2 ,则 2a ? b ? ( A.0 B. 2 2 C.4 D.8

?

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【命题立意】本小题考查向量的基础知识、数量积的运算及性质,考查向量运算的几何意义,考查数形结 合的思想方法. 【思路点拨】根据公式 a ?

?

?2 a 进行计算,或数形结合法,根据向量的

三角形法则、平行四边形法则求解.
2 【规范解答】选 B (方法一) 2a ? b ? (2a ? b) ? 4a ? 2a ? b ? b

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?2

? ? ?2

第 4 页(共 5 页)

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圆您梦想 ? ? (方法二)数形结合法:由条件 a ? b ? 0 知,以向量 ? 4?0?4 ? 2 2 ;
? ? ? ? ? a , b 为邻边的平行四边形为矩形,又因为 a ? 1, b ? 2 ,所以 2a =2 ,
则 2a ? b 是边长为 2 的正方形的一条对角线确定的向量,其长度为 2 2 ,如图所示. 【方法技巧】方法一:灵活应用公式 a ?

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?2 a ,

方法二:熟记向量 a ? b ? a ? b ? 0 及向量和的三角形法则 例 5. (2010·全国高考卷Ⅱ理科·T8)△ABC 中,点 D 在 边 AB 上,CD 平分∠ACB,若 CB = a ,

?

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??? ?

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??? ? ? CA = b
(A)

, a ? 1, b ? 2 , 则 CD =( (B)

?

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??? ?

) (C)

1 ? 2 ? a+ b 3 3

2 ? 1 ? a + b 3 3

3 ? 4 ? a+ b 5 5

(D)

4 ? 3 ? a + b 5 5

【命题立意】本题考查了平面向量基本定理及三角形法则的知识。 【思路点拨】运用平面向量三角形法则解决。由角平分线性质知 DB:AD= CB:CA =1:2 这样可以用向量 a , b 表示 CD 。 【规范解答】 选 B,由题意得 AD:DB=AC;CB=2:1,AD=

?

?

??? ?

? 1 ? ?a + b 3

??? ? ??? ? ? 2 2 AB,所以 CD ? CA + AD ? b + AB 3 3

【方法技巧】角平分线性质、平面向量基本定理及三角形法则 例 6. ( 2010 ·浙江高考文科·T 13 )已知平面向量 ? , ? , ? ? 1, ? ? 2, ? ? (? ? 2? ), 则 2? ? ? 的值 是 。

? ? ?? ? ?

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【命题立意】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义,属中档题。 【思路点拨】本题先把垂直关系转化为数量积为 0,再利用向量求模公式求解。 【规范解答】由题意可知 ? ? ? -2 ? ? 0 ,结合 ?

? ? ? ? ??

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? ?2

所以 2? ? ? = 4? ? 4? ? ? ? ? ? 4 ? 2 ? 4 ? 10 ,开方可知答案为 10 .
2

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? ? ?? ?? 2

?? ?? 1 ?? 2 ? 1, ? ? 4 ,解得 ? ? ? ? , 2

【答案】 10 【方法技巧】 (1) a ? b ? a ? b ? 0 ; (2) | a |?

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?

? ? a?a 。

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