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江西省吉安县凤凰中学2014高中数学《2.2.3向量数积》学案 新人教A版必修4


江西省吉安县凤凰中学 2014 高中数学《2.2.3 向量数积》学案 新人 教 A 版必修 4
【学习目标】 1. 掌握实数与向量积的 定义,理解实数与向量数积的几何意义; 2. 让学生能由实数 运算律类比向量数乘运算律,并且验证强化对知识的形成过程的认 识,正 确表示结果,掌握实数与向量的积的运算律; 3 . 能熟练运用实数与向 量积的定义,运算律进行有关计算. 【重

点、难点】实数向量积的几何意义,用运算律进行计算。 自主学习案 【知识梳理】 1. 向量的数乘 我们规定实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫作向量 的数乘,记作 的长度和方向规定如下: ( 1) |λ a |=

?

.它

?

; ( 2) λ >0 时 λ a 与 a 方向

?

?

; λ <0 时 λ a 与 a 方向 ;

?

?

;由

( 3)知 λ =0 或 a = 0 时, λ a = 2. 实数与向量积的几何意义

?

?

,方向

当 |λ |>1 时,表示向量 a 的有向线段在原方向( ? >0)或反方向 ( ? <0)上伸长到原来的 倍 ,当 0<|λ |<1 时 ,表示向量 a 的有向线段在原方向( ? >0)或反方向 ( ? <0)上到缩短到 原来的 ____ 倍. 3.实数与向 量积的运算律 (1) 结合律: λ (μ a )= (2)分配律: (λ +μ ) a =

?

?

?

; , λ ( a + b )=______

?

? ?

;

4.如果 a ( a ? 0 )与 b 共线,那么有且只有一个实数 ? ,使 5.若存在 ? ? R 使得 ,则三点 A,B,C 共线 . 【预习自测】 1、 设 ? , ? ? R, 则下列叙述不正确的是( )

?

? (a ? b ) ? ?a ? ?b ? ? C. ? ( ? )a ? ? (?a )
A.

?

?

?

?

B. (? ? ? )a ? ?a ? ?a

?

?

?

2. 已知 a ? 5, b ? 10, 若 a ? ?b , 且向量 b 的方向与向量 a 的方向相反, 则 λ 的值为 ( A. 2 B.-2 C.

?

?

?

?

D. ?a (? ? 0) 的方向与向量 a 的方向相同

?

?

?

?



?

1 2

D.

1 2

-1-

合作 探究案 【课内探究】 例1. 化简(1) 5( 3a - 2b ) ? 4(2 b - 3a)

?

?

?

?

(2) ( x ? y)(a ? b ) ? ( x ? y)(a ? b )

?

?

?

?

例 2. 如图, 已知任意两个非零向量 a, b , 试作 OA ? a ? b , OB ? a ? 2b , OC ? a ? 3b , 你能判 断 A,B,C 三点之间的关系吗?为什么?

? ?

?

?

?

?

?

?

? a

? b

变 式 : 设 两 个 非 零 向 量 e1 和 e2 不 共 线 , 如 果 AB =2 e1 +3 e2 , BC =6 e1 +23 e2 ,

CD =4 e1 -8 e2 ,求证:A、B、D 三点共线.

例 3.设 M,N,P 是 ?ABC 三边上的点,且满足 BM ?

? ? ? ? ? AB ? a, AC ? b , 试用 a, b , c表示MN, NP, PM.

1 1 1 BC , CN ? CA, AP ? AB , 若 3 3 3

A P
-2-

B M

N

变 式:平行 四边形 ABCD 的对角线 相交于点 M , 且 AB ? a, AD ? b ,你能 用 a , b 表 示

MA, MB, MC 吗?

【当堂检测】 1 化简: (1) 5( 3a - 2b ) ? 4(2b - 5a)

?

?

?

?

(2)

1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ( a - 2b ) ? (3 a - 2b) - (a - b) 3 4 2

2. a 、 b 为非零向量,且| a + b |=| a |+| b |则( A. a ∥ b 且 a 、 b 方向相同 B. a = b

)

C. a =- b D.以上都不对 ,

3. 在△ABC 中, 设 AB ? c , AC ? b ,D、 E 是 BC 边上的三等分点, 则 AD =

?

?

AE =

(用 b、c 表示).

课后练习案

-3-

4. 已 知任意两个非零向量 a , b ,设 AB ? 2a ? 10b, BC ? ?2a ? 8b, CD ? 3a ? 3b ,求证: A,B,D 三点共线。

5. △ABC 中, AE =

1 设 AB = a , AC = b ,试用 a , AB ,EF∥BC 交 AC 于 F 点, b 表示向量 BF 。 5

-4-


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