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高考指数函数与对数函数专题复习


指数函数与对数函数专项练习 e a 例 1.设 a>0, f (x)= ? x 是 R 上的奇函数. a e (1) 求 a 的值; (2) 试判断 f (x )的反函数 f-1 (x)的奇偶性与单调性. 1 解:(1) 因为 f ( x ) 在 R 上是奇函数, 所以 f (0) ? 0 ? ? a ? 0 ? a ? 1(a ? 0) , a
x

x ? x2 ? 4 (x ? R ) ? f ?1 (?x) ? 2 ? x ? x2 ? 4 x ? x2 ? 4 ln ? ? ln ? ? f ?1 (x) , ? f ?1 (x) 为奇函数. 2 2 ?1 用定义法可证 f (x) 为单调增函数. 例 2. 是否存在实数 a, 使函数 f (x )= loga (ax 2 ? x) 在区间 [2, 4] 上是增函数? 如 果存在, 说明 a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 1 解:设 u(x) ? ax 2 ? x , 对称轴 x ? . 2a ?1 ? ?2 a ? 1 (1) 当 时, ? 2a ? a ? 1; ? ? u ( 2) ? 0
(2) f ?1 ( x) ? ln
?1 1 ? ?4 0 ? a ? 1 (2) 当 时, ? 2a ?0?a? . 8 ? ?u (4) ? 0

综上所述: a ? 1

2 3 2 3 5 2 5 2 5 a? ( ),b ? ( ) ,c ? ( ) 5 5 5 ,则 a,b,c 的大小关系是 1.(安徽卷文 7)设

(A)a>c>b

(B)a>b>c
2 5

(C)c>a>b

(D)b>c>a

2 y ? ( )x 5 在 x ? 0 时是 【答案】A【解析】 y ? x 在 x ? 0 时是增函数,所以 a ? c ,

减函数,所以 c ? b 。 2.(湖南卷文 8)函数 y=ax2+ bx 与 y= 直角坐标系中的图像可能是【答案】D
log b x
| | a

(ab ≠0,| a |≠| b |)在同一

b b b 【解析】 对于 A、 B 两图, | a |>1 而 ax2+ bx=0 的两根之和为 - a ,由图知 0<- a <1 b b b b 得-1< a <0,矛盾,对于 C、D 两图,0<| a |<1,在 C 图中两根之和- a <-1,即 a >1

矛盾,选 D。
1 1 ? ?2 3.(辽宁卷文 10)设 2 ? 5 ? m ,且 a b ,则 m ? 【答案】D
5 b

(A) 10

(B)10

(C)20

(D)100

1 1 ? ? logm 2 ? logm 5 ? logm 10 ? 2,?m2 ? 10, 解析:选 A. a b 又? m ? 0,? m ? 10.
2 4.(全国Ⅰ卷理 8 文 10)设 a= log3 2,b=In2,c= 5 ,则【答案】C ? 1

A. a<b<c

B.

b<c<a

C.

c<a<b

D .

c<b<a

1 1 【解析】 a= log3 2= log 2 3 , b=In2= log 2 e ,而 log2 3 ? log2 e ? 1 ,所以 a<b,

1 c= 5 = 5 ,而 5 ? 2 ? log2 4 ? log2 3 ,所以 c<a,综上 c<a<b.
? 1 2

5. (全国Ⅰ卷理 10) 已知函数 F(x)=|lgx|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取 值范围是【答案】A (A) (2 2, ??) (B) [2 2, ??) (C) (3, ??) (D) [3, ??)

【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域,考 生在做本小题时极易忽视 a 的取值范围,而利用均值不等式求得 a+2b
?a? 2 ?2 2 a ,从而错选 A,这也是命题者的用苦良心之处. b? 1 a ,所以

【解析】因为 f(a)=f(b), 所以|lga|=|lgb|,所以 a=b( 舍去),或
a? 2 a

a+2b=

又 0<a<b,所以 0<a<1<b,令

f (a ) ? a ?

2 a ,由“对勾”函数的性质知函数 f (a ) 在

2 a ?(0,1)上为减函数,所以 f(a)>f(1)=1+ 1 =3,即 a+2b 的取值范围是(3,+∞).

6.(全国Ⅰ卷文 7)已知函数 f ( x) ?| lg x | .若 a ? b 且, f (a) ? f (b) ,则 a ? b 的 取值范围是 (A) (1, ??) (B) [1, ??) (C) (2, ??) (D) [2, ??)

【答案】C 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域,考 生在做本小题时极易忽视 a 的取值范围,而利用均值不等式求得 a+b= 从而错选 D,这也是命题者的用苦良心之处. 7.(山东卷文 3)函数 A.
f ? x ? ? log 2 ? 3x ? 1? ? ?0, ?? ?

a?

1 ?2 a ,

的值域为【答案】A C.

? 0, ?? ?

B.

?1, ???

?1, ?? ? D. ?

x f ? x ? ? log 2 ? 3x ? 1? ? log 2 1 ? 0 【解析】因为 3 ? 1 ? 1,所以 ,故选 A。

【命题意图】本题考查对数函数的单调性、函数值域的求法等基础知识。 8.(陕西卷文 7)下列四类函数中,个有性质“对任意的 x>0,y>0,函数 f(x) 满足 f(x+y)=f(x)f(y) ”的是 [ C ] (A)幂函数 (B)对数函数 (C)指数函数 (D)余弦函数 【解析】因为 a
x? y

? a x a y 所以 f(x+y)=f(x)f(y) 。

9. (上海卷文 17) 若 x0 是方程式 lg x ? x ? 2 的解, 则 x0 属于区间 ( ) (A) (0,1). (B) (1,1.25).

[答]

(C) (1.25,1.75) (D) (1.75,2)

7 7 1 构造函数 f ( x) ? lg x ? x ? 2,由f (1.75) ? f ( ) ? lg ? ? 0 4 4 4 解析:

10.(四川卷文 2)函数 y=log2x 的图象大致是高^考#资*源^网(C)

(A)

(B)

(C)

(D)

2 (log5 3) ,c ? log45 ,则【答案】D 11.(天津卷文 6)设 a ? log5 4,b ?

(A)a<c<b

(B) b<c<a

(C) a<b<c
2 2

(D) b<a<c

5 【解析】因为 a ? log5 4 ? log5 5=1, b ? (log5 3) ? (log5 5) =1, c ? log4 ? log4 4 ? 1 ,

所以 c 最大,排除 A、B;又因为 a、b ? (0,1) ,所以 a ? b ,故选 D。 12.(浙江卷文 2)已知函数 f ( x) ? log1 ( x ? 1), 若 f (? ) ? 1, ? = (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 ? ? 解析: +1=2,故 =1,选 B,本题主要考察了对数函数概念及其运算性质,属 容易题
x 13.(重庆卷文 4)函数 y ? 16 ? 4 的值域是【答案】C

(A) [0, ??)

(B) [0, 4]

(C) [0, 4)

(D) (0, 4)

? 4 x ? 0,? 0 ? 16 ? 4 x ? 16 ? 16 ? 4 x ? ?0, 4 ? 【解析】 .

14.(北京卷文 2)若 a ? log3 π,b ? log7 6,c ? log2 0.8 ,则( A A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? a ? b

) D. b ? c ? a

【解析】 利用中间值 0 和 1 来比较: a ? log3 π>1,0 ? b ? log7 6 ? 1 ,c ? log2 0.8 ? 0 15.(湖南卷文 6)下面不等式成立的是( A A. log3 2 ? log2 3 ? log2 5 C. log2 3 ? log3 2 ? log2 5 ) B. log3 2 ? log2 5 ? log2 3 D. log2 3 ? log2 5 ? log3 2

【解析】由 log3 2 ? 1 ? log2 3 ? log2 5 , 故选 A. 16(江西卷文 4)若 0 ? x ? y ? 1 ,则( C A.3 y ? 3x B.log x 3 ? log y 3 ) C.log4 x ? log4 y
1 1 D.( ) x ? ( ) y 4 4

【解析】 C 函数 f ( x) ? log4 x 为增函数 17. ( 辽 宁 卷 文 4 ) 已 知 0 ? a ? 1 , x ? loga 2 ? loga 3 , y ?
1 log a 5 , 2

z ? loga 21 ? loga 3 ,则(
A. x ? y ? z B. z ? y ? x

) C. y ? x ? z D. z ? x ? y

【解析】本小题主要考查对数的运算。? x ? loga 6, y ? loga 5, z ? loga 7, 由 0 ? a ? 1 知其为减函数, ? y ? x ? z 答案:C

18.(全国Ⅱ卷理 4 文 5)若 x ? (e?1,, 1) a ? ln x,b ? 2ln x,c ? ln3 x ,则( A. a < b < c B. c < a < b C. b < a < c D. b < c < a



1 【解析】由 e ?1 ? x ? 1 ? ?1 ? ln x ? 0 ,令 t ? ln x 且取 t ? ? 知 b < a < c 【答案】 2 C

19.(山东卷文 12)已知函数 f ( x) ? loga (2x ? b ?1)(a ? 0,a ? 1) 的图象如图所示, 则 a, b 满足的关系是( A. 0 ? a ? b ? 1 C. 0 ? b?1 ? a ? ?1
?1

) B. 0 ? b ? a ? 1 D. 0 ? a ?1 ? b?1 ? 1
?1

y O x

?1

【解析】本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。 由图易得 a ? 1, ?0 ? a?1 ? 1; 取特殊点 x ? 0 ? ?1 ? y ? loga b ? 0,
1 ? ? 1 ?l o ag a ? lo bg ? la o g ?? 10? 0a , ?1 ? b ? 1 .选 A. a

2 20.(天津卷文 10)设 a ? 1 ,若对于任意的 x ??a, 2a? ,都有 y ? ? ? a,a ? ? 满足方程

loga x ? loga y ? 3 ,这时 a 的取值的集合为(
A. ?a 1 ? a ≤ 2? B. ?a a ≥ 2?

) C. ?a 2 ≤ a ≤ 3? D. ?2, 3?

? a2 a3 a2 2 ? ?a 【解析】 易得 y ? , 在 [a 所以 y ? [ , a ] , 故? 2 2 , ] a 上单调递减, ?a?2, x 2 ?a ? 1 ?

选 B. 21. (山东卷文 15) 已知 f (3x ) ? 4x log2 3 ? 233 , 则 f( 2 ) ?( 4 f) 值等于 . 【解析】本小题主要考查对数函数问题。
? f (3x ) ? 4x log2 3 ? 233 ? 4log2 3x ? 233,

( 8 ? )f

? ( 2 ? ? )f

8



? f ( x) ? 4 l o x? 2 g 8? 2 3 3 ? 4 ( 2l o g ? 2

2? 33 f (, 2 )? f ( 4? )f
2

(? ? 8 ) ?f
2

8

(2 ?) 1 ?8 6 4 1 4 4
.

2 l? og 2 ? 3 ?l o g ? 2 2
1 4 3 2 1 4 1 2

8 ?log ? 2)
1 2

2008.

22.(重庆卷文 14)若 x ? 0, 则 (2x + 3 )( 2x - 3 ) - 4x 【解析】本小题主要考查指数的运算。
1 3 1 3 ? 1 1
1 1



(2 x 4 ? 32 )(2 x 4 ? 32 ) ? 4 x 2 ( x ? x 2 ) ? 4 x 2 ? 33 ? 4 x 2 ? 4 ? ?23 【答案】-23

23.(上海卷理 19 文 19)已知函数 f ( x) ? 2 x ? (1)若 f ( x) ? 2 ,求 x 的值;

1 . 2| x|

(2)若 2t f (2t ) ? mf (t ) ≥ 0 对于 t ?[1, 2] 恒成立,求实数 m 的取值范围. 【解析】 (1)当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? 由条件可知 2 x ? 解
1 ? 2 ,即 22 x ? 2? 2x ?1 ? 0 x 2 1 2x

??2 分

得 ??6 分 ??8

2x ? 1 ? 2

∵ x ? 0∴ x ? log 2 (1 ? 2)
分 (2)当 t ?[1, 2] 时, 2t (22t ?
1 1 ) ? m(2t ? t ) ? 0 2t 2 2

??10 分 ??13 分

即 m(22t ?1) ? ?(24t ?1) ,∵ 22t ? 1 ? 0 ,∴m ? ?(22t ? 1)
∵t ?[1, 2] ,∴?(22t ? 1) ?[?17, ?5]

故 m 的取值范围是 [?5, ??) 16 分

??


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