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高中数学必修2知识点总结归纳


高中数学必修 2 知识点
一、直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线 与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。 因此, 倾斜角的取值范围是 0° ≤α<180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直 线的斜率常用 k 表示。即 k ? t

an ? 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当 ? ? 0? ,90? 时,k ? 0 ; 存在。

?

?

当 ? ? 90? ,180? 时,k ? 0 ; 当 ? ? 90? 时,k 不

?

?

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1 注意下面四点:(1)当 x1 ? x 2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角 为 90°; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的 坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 ?x1, y1 ? 注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表 示.但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b
②过两点的直线的斜率公式: k ? ③两点式:
y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 ?x1, y1 ? , ?x2 , y2 ? y2 ? y1 x2 ? x1

④截矩式: ?

y ?1 b 其中直线 l 与 x 轴交于点 (a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别

x a

为 a, b 。 ⑤一般式: Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不全为 0) 1 各式的适用范围 2 特殊的方程如: 注意:○ ○ 平行于 x 轴的直线: y ? b (b 为常数) ; 平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为 常数) ; (5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系 平行于已知直线 A0 x ? B0 y ? C0 ? 0 ( A0 , B0 是不全为 0 的常数)的直线系: A0 x ? B0 y ? C ? 0 (C 为常数) (二)过定点的直线系 (ⅰ)斜率为 k 的直线系: y ? y0 ? k ?x ? x0 ? ,直线过定点 ?x0 , y0 ? ;

(ⅱ)过两条直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的直线 系方程为 ,其中直线 l 2 不在直线系中。 ?A1x ? B1 y ? C1 ? ? ??A2 x ? B2 y ? C2 ? ? 0 ( ? 为参数) (6)两直线平行与垂直 当 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时, l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; l1 ? l2 ? k1k 2 ? ?1 注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (7)两条直线的交点 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交
A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 交点坐标即方程组 ? 的一组解。 ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

方程组无解 ? l1 // l 2 ; 方程组有无数解 ? l1 与 l 2 重合 B x2 , y2) (8)两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),( 是平面直角坐标系中的两个点, ( 9 ) 点 到 直 线 距 离 公 式 : 一 点 P?x0 , y0 ? 到 直 线 l1 : Ax ? By ? C ? 0 的 距 离
d? Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

则 | AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2

(10)两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。 二、圆的方程 1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心, 定长为圆的半径。 2、圆的方程 2 2 (1)标准方程 ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2 ,圆心 ?a, b ? ,半径为 r; (2)一般方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时 , 方 程 表 示 圆 , 此 时 圆 心 为
r? 1 D 2 ? E 2 ? 4F 2
? D E? ? ? ,? ? 2? ? 2

,半径为

当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,表示一个点; 当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程不表示 任何图形。 (3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆 的标准方程, 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心 的位置。 3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离, 相切, 相交三种情况, 基本上由下列两种方法判断: 2 (1)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a? ? ? y ? b?2 ? r 2 ,圆心 C ?a, b ? 到 l 的距 离 为
d? Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

, 则 有 d ? r ? l与C相离 ; d ? r ? l与C相切 ;

d ? r ? l与C相交

(2)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 ,先将方程联立消元, 得到一个一元二次方程之后,令其中的判别式为 ? ,则有 ? ? 0 ? l与C相离 ; ? ? 0 ? l与C相切 ; ? ? 0 ? l与C相交 注:如果圆心的位置在原点,可使用公式 xx0 ? yy0 ? r 2 去解直线与圆相切的问 题,其中 ?x0 , y0 ? 表示切点坐标,r 表示半径。 (3)过圆上一点的切线方程: ①圆 x2+y2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为 xx0 ? yy0 ? r 2 (课 本命题). ② 圆 (x-a)2+(y-b)2=r2 , 圆 上 一 点 为 (x0 , y0) , 则 过 此 点 的 切 线 方 程 为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广). 4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比 较来确定。 设圆 C1 : ?x ? a1 ?2 ? ? y ? b1 ?2 ? r 2 , C2 : ?x ? a2 ?2 ? ? y ? b2 ?2 ? R 2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确 定。 当 d ? R ? r 时两圆外离,此时有公切线四条; 当 d ? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当 R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内含; 当 d ? 0 时,为同心圆。 三、立体几何初步 1、柱、锥、台、球的结构特征

(1)棱柱:定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四 边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱 ABCDE ? A' B ' C ' D ' E ' 或用对角线的端点字母, 如五棱柱 AD ' 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形; 侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所 围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥 P ? A' B ' C ' D ' E ' 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比 等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的

部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台 P ? A' B ' C ' D ' E ' 几何特征: ①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱 锥的顶点 (4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面 所围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④ 侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所 围成的几何体 几何特征: ①底面是一个圆; ②母线交于圆锥的顶点; ③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的 部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图 是一个弓形。 (7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几 何体 几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图 定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影) ;侧视图(从左向 右) 、 俯视图(从上向下) 注:正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度; 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度; 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点:①原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 平行且长度不变; ②原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 平行,长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 ' (2)特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高, h 为斜高,l 为母线) 1 S直棱柱侧面积 ? ch S圆柱侧 ? 2?rh S正棱锥侧面积 ? ch ' 2

S圆锥侧面积 ? ?rl

S正棱台侧面积 ?

S圆柱表 ? 2?r ?r ? l ?

1 (c1 ? c2 )h' 2

S圆台侧面积 ? (r ? R)?l

S圆 锥 表? ?r ?r ? l ?

S圆台表 ? ? r 2 ? rl ? Rl ? R2

?

?

(3)柱体、锥体、台体的体积公式

V柱 ? Sh

V圆柱 ? S h ? ? 2r h

V锥 ?

1 Sh 3

1 V圆锥 ? ?r 2 h 3

1 V台 ? (S ' ? S ' S ? S )h 3

1 1 ' 2 V圆台 ? (S ' ? S S ? S )h ? ? (r 2 ? rR ? R )h 3 3

(4)球体的表面积和体积公式:V 球 = 4 ? R3 ; S 球面 = 4? R 2
3

4、空间点、直线、平面的位置关系 (1)平面 ① 平面的概念: A.描述性说明; B.平面是无限伸展的; ② 平面的表示:通常用希腊字母α、β、γ表示,如平面α(通常写在一个锐 角内) ; 也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面 BC。 ③ 点与平面的关系: 点 A 在平面 ? 内, 记作 A ? ? ; 点 A 不在平面 ? 内, 记作 A ? ? 点与直线的关系:点 A 的直线 l 上,记作:A∈l; 点 A 在直线 l 外,记作 ? A l; 直线与平面的关系:直线 l 在平面α内,记作 l ? α;直线 l 不在平面α内, 记作 l ? α。 (2)公理 1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都 在这个平面内。 (即直线在平面内,或者平面经过直线) 应用:检验桌面是否平; 判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理 1: A ? l , B ? l , A ? ? , B ? ? ? l ? ? (3)公理 2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行 直线确定一平面。 公理 2 及其推论作用: ①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的 依据 (4)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该 点的公共直线 符号:平面α和β相交,交线是 a,记作α∩β=a。 符号语言: P ? A ? B ? A ? B ? l , P ? l 公理 3 的作用: ①它是判定两个平面相交的方法。 ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系: 交线必过公共点。 ③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。 (5)公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行 (6)空间直线与直线之间的位置关系

① 异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质:既不平行,又不相交。 ③ 异面直线判定:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线 是异面直线 ④ 异面直线所成角:直线 a、b 是异面直线,经过空间任意一点 O,分别引直线 a’∥a,b’∥b,则把直线 a’和 b’所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 和 b 所成 的角。两条异面直线所成角的范围是(0°,90°],若两条异面直线所成的角是 直角,我们就说这两条异面直线互相垂直。 说明: (1)判定空间直线是异面直线方法:①根据异面直线的定义;②异面直线 的判定定理 (2)在异面直线所成角定义中,空间一点 O 是任取的,而和点 O 的位置无关。 ②求异面直线所成角步骤: A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的 位置,顶点选在特殊的位置上。 B、证明作出的角即为所求角 C、利用 三角形来求角 (7)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相 等或互补。 (8)空间直线与平面之间的位置关系 直线在平面内——有无数个公共点.

三种位置关系的符号表示:a ? α a∩α=A a∥α (9)平面与平面之间的位置关系:平行——没有公共点;α∥β 相交——有一条公共直线。α∩β=b 5、空间中的平行问题 (1)直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此 平面平行。 线线平行 ? 线面平行 线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这 个平面相交, 那么这条直线和交线平行。线面平行 ? 线线平行 (2)平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理 (1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平 行 (线面平行→面面平行) , (2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行。 (线线平行→面面平行) , (3)垂直于同一条直线的两个平面平行, 两个平面平行的性质定理 (1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。 (面面平 行→线面平行) (2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 (面面平行

→线线平行) 7、空间中的垂直问题 (1)线线、面面、线面垂直的定义 ①两条异面直线的垂直: 如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直 线互相垂直。 ②线面垂直: 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和 这个平面垂直。 ③平面和平面垂直:如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形)是直二面角(平面角是直角) ,就说这两个平面垂直。 (2)垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理 判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂 直这个平面。 性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 ②面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面互相垂直。 性质定理: 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线 垂直于另一个平面。 9、空间角问题 (1)直线与直线所成的角 ①两平行直线所成的角:规定为 0? 。 ②两条相交直线所成的角: 两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所 成的角。 ③两条异面直线所成的角:过空间任意一点 O,分别作与两条异面直线 a,b 平 行的直线 a ?, b ? ,形成两条相交直线,这两条相交直线所成的不大于直角的角 叫做两条异面直线所成的角。 (2)直线和平面所成的角 ①平面的平行线与平面所成的角:规定为 0? 。 ②平面的垂线与平面所成的角: 规定为 90? 。 ③平面的斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐 角,叫做这条直线和这个平面所成的角。 求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角: “一作,二证,三计算” 。 在 “作角” 时依定义关键作射影, 由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线, 在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息: (1)斜线上一点到面的垂线; (2)过 斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线。 (3)二面角和二面角的平面角 ①二面角的定义: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条 直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。 ②二面角的平面角: 以二面角的棱上任意一点为顶点, 在两个面内 分别作垂直于 .. ... 棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 ③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。 两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;反过来, 如果两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角 ④求二面角的方法 定义法: 在棱上选择有关点, 过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平 面角 垂面法: 已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线 所成的角为二面角的平面角 7、空间直角坐标系

(1)定义:如图, OBCD ? D, A, B,C , 是单位正方体.以 A 为原点, 分别以 OD,O A, ,OB 的方向为正方向,建立三条数轴 x轴.y轴.z轴 。 这时建立了一个空间直角坐标系 Oxyz. 1)O 叫做坐标原点 2)x 轴,y 轴,z 轴叫做坐标轴. 3)过每两个坐标轴的 平面叫做坐标面。 (2)右手表示法: 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时,可能形成的位置。 大拇指指向为 x 轴正方向,食指指向为 y 轴正向,中指指向则为 z 轴正向,这 样也可以决定三轴间的相位置。 (3)任意点坐标表示:空间一点 M 的坐标可以用有序实数组 ( x, y, z ) 来表示,有 序实数组 ( x, y, z ) 叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标,记作 M ( x, y, z) (x 叫做点 M 的横坐标,y 叫做点 M 的纵坐标,z 叫做点 M 的竖坐标) (4)空间两点距离坐标公式: d ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2


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