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第7讲 正弦定理、余弦定理应用举例


第7讲
一、基础梳理

正弦定理、余弦定理应用举例

1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等. 2.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角 叫俯角(如图(1)).

(2)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为 α(如图(2)). (3)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东 30° ,北偏西 45° ,西偏东 60° 等. (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数.

双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)如图,设 A,B 两点在河的两岸,一测量者在 A 所在 的同侧河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45° ,∠CAB=105° 后,就可以计算出 A,B 两点的距离为( ).

A.50 2 m

B.50 3 m

C.25 2 m

25 2 D. 2 m ).

2.从 A 处望 B 处的仰角为 α,从 B 处望 A 处的俯角为 β,则 α,β 的关系为( A.α>β B.α=β

C.α+β=90° D.α+β=180° 3.若点 A 在点 C 的北偏东 30° ,点 B 在点 C 的南偏东 60° ,且 AC=BC,则点 A

-1-

在点 B 的(

). B.北偏西 15° D.北偏西 10°

A.北偏东 15° C.北偏东 10°

4.一船向正北航行,看见正西方向相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线 上, 继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏西 60° , 另一灯塔在船的南偏西 75° , 则这艘船的速度是每小时( A.5 海里 C.10 海里 ). B.5 3海里 D.10 3海里

5.海上有 A,B,C 三个小岛,测得 A,B 两岛相距 10 海里,∠BAC=60° ,∠ABC =75° ,则 B,C 间的距离是________海里.

二、考点分析 考向一 【例 1】?如图所示, 测量距离问题

为了测量河对岸 A,B 两点间的距离,在这岸定一基线 CD,现已测出 CD=a 和∠ ACD=60° ,∠BCD=30° ,∠BDC=105° ,∠ADC=60° ,试求 AB 的长.

【训练 1】 如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D 为两岛 上的两座灯塔的塔顶, 测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75° , 30° , 于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60° ,AC=0.1 km.试探究图中 B、D 间距 离与另外哪两点间距离相等,然后求 B,D 的距离.

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考向二

测量高度问题

【例 2】?如图,山脚下有一小塔 AB,在塔底 B 测得山顶 C 的仰角为 60° ,在山顶 C 测得塔顶 A 的俯角为 45° ,已知塔高 AB=20 m,求山高 CD.

(2)分清已知和待求,分析(画出)示意图,明确在哪个三角形内应用正、余弦定理. 【训练 2】 如图所示,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面 内的两个测点 C 与 D,现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点 C 测得塔 顶 A 的仰角为 θ,求塔高 AB.

考向三

正、余弦定理在平面几何中的综合应用

【例 3】?如图所示,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=5,AC=9,∠BCA=30° , ∠ADB=45° ,求 BD 的长.

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【训练 3】 如图,在△ABC 中,已知∠B=45° ,D 是 BC 边上的一点,AD=10, AC=14,DC=6,求 AB 的长.

【训练 4】如图,甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向 匀速直线航行.当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105° 方向的 B1 处,此 时两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120° 方向的 B2 处,此时两船相距 10 2海里.问:乙船每小时航行多少海里?

【训练 5】 如图所示,位于 A 处的信息中心获悉:在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西 30° 、 相距 20 海里的 C 处的乙船, 现乙船朝北偏东 θ 的方向即沿直线 CB 前往 B 处救援, 求 cos θ.

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