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浙江省嘉兴市2013届高三4月二模考试数学(文)试题(word版,含答案)


2013 年嘉兴市高三教学测试(二) 高三数学试题卷(文科)
注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答.答题前,请在答题卷的规定处填写 学校、姓名、考号、科目等指定内容,并正确涂黑相关标记; 2.本试题卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 6 页,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.

(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.设集合 A ? ? 1, 2, 3? , B ? ? 1, 3, 9? , x ? A 且 x ? B ,则 x ? A.1 2.在复平面内,复数 A.第一象限 B.2 C.3 D.9

i 对应的点位于 1? i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.若 log1 (1 ? x ) ? log1 x ,则
2 2

A. 0 ? x ? 1

B. x ?

1 2

C. 0 ? x ?

1 2

D.

1 ? x?1 2

4.对于指数函数 f ( x ) ? a x , a ? 1 ”是“ f ( x ) 在 R 上单调”的 “ A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.在正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点,则构成的四边形是梯形的概率为 A.
1 5

B.

2 5

C.

1 6

D.

1 8

6.已知直线 l , m 与平面 ? , ? , ? ,满足 ? ? ? ? l , l // ? , m ? ? , m ? ? ,则必有 A. ? ? ? 且 m // ? C. m // ? 且 l ? m B. ? // ? 且 ? ? ? D. ? ? ? 且 l ? m

7.某几何体的三视图如图所示,其中

正视图

侧视图

三角形的三边长与圆的直径均为 2, 则该几何体的体积为 A. C.
32 ? 3 π 3

B. D.

32 ? 8 3 π 3

4? 3 π 3

4? 3 3 π 3

8.函数 y ? sin? x (? ? 0) 的部分图象如图所示,点 A 、 B 是最高点,点 C 是最低点.若△ ABC 是直角三角形,则 ? 的值为

y

? 2 ? C. 3
A.

B.

? 4

A
O

B
x

D. ?

C
(第 8 题)

9.设 F 是双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a, b ? 0) 的左焦点, C 是其右顶点,过 F 作 x 轴的垂线与双曲线交

于 A 、 B 两点,若△ ABC 是钝角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是 A. (1,2) C. (1, 1 ? 2 ) B. (1 ? 2 , ? ? ) D. (2, ? ?)
1 的最小值为 ab

10.已知正实数 a,b 满足 a ? 2b ? 1 ,则 a 2 ? 4b 2 ? A.
7 2

B.4

C.

161 36

D.

17 2

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.设数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 3 ,则 a5 ? ▲ .

12. 一个样本数据按从小到大的顺序依次排列为 2001, 2004, 2009,x , 2015, 2016, 2019, 2020, 中位数为 2014,则 x = ▲ .

13.已知两非零向量 a , b 满足 | a |? 2 , | a ? b |? 1 ,则向量 a 与 b 夹角的最大值是 ▲ .

14.某程序框图如图所示,则运行结果为




开始

2 15.在△ ABC 中, sin A ? cos A ? , AC ? 4 , AB ? 5 , 2

i ?1
s?0
s? s? 1 i


则△ ABC 的面积是





?x ? 2 16.在平面直角坐标系中,不等式组 ? 表示的 ?| y ? 2 |? x

i ? i ?1

平面区域的面积是




s?

17.已知点 A(?3,0) 和圆 O : x 2 ? y 2 ? 9 , AB 是圆 O 的 直径, M 和 N 是 AB 的三等分点, P (异于 A, B ) 是圆 O 上的动点, PD ? AB 于 D , PE ? ? ED (? ? 0) , 直线 PA 与 BE 交于 C ,则当 ? ?
| CM | ? | CN | 为定值.

9 ? 4 否

输出 i
结束
(第 14 题)



时,

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分) 在△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a , b, c , 角 满足 (Ⅰ)求角 C ; (Ⅱ)求
a?b 的取值范围. c

a ? c sin A ? sinB . ? b sin A ? sinC

19. (本题满分 14 分)已知数列 ? a n ?中, a1 ? 2 , a n?1 ? 3a n ? 2 . (Ⅰ)记 bn ? an ? 1 ,求证:数列 ? bn ?为等比数列; (Ⅱ)求数列 ? na n ? 的前 n 项和 S n .

20. (本题满分 15 分) 如图, 在△ ABC 中,?C ? 90? , AC ? BC ? 3a , P 在 AB 上,PE // BC 点

交 AC 于 E ,PF // AC 交 BC 于 F . PE 将△ APE 翻折成△ A' PE , 沿 使平面 A' PE ? 平面 ABC ; 沿 PF 将△ BPF 翻折成△ B' PF ,使平面 B' PF ? 平面 ABC . (Ⅰ)求证: B'C // 平面 A' PE ; (Ⅱ)若 AP ? 2PB ,求二面角 A'? PC ? E 的平面角的正切值.

C

E

A

A'

B' F B P F B
(第 20 题)

C

E

A

P

21. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x ) ?

a 2 x ? 2 x ? (a ? 4) ln x , a ? 0 . 2

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在 (1,2) 上有极值,求 a 的取值范围.

22. (本题满分 14 分) 如图,已知抛物线 C1 : x 2 ? 2 py 的焦点在抛物线 C2 : y ? (Ⅰ)求抛物线 C1 的方程及其准线方程; (Ⅱ) 过抛物线 C1 上的动点 P 作抛物线 C 2 的两条切线 PM 、PN , 切点为 M 、N . PM 、 若
1 2 x ? 1 上. 2

PN 的斜率乘积为 m ,且 m ? [2, 4] ,求 | OP | 的取值范围.
C2 C1

y

M

N
O

P

x

(第 22 题)

2013 年高三教学测试(二)
文科数学 参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分) 1.B; 6.D; 2.A; 7.C; 3.C; 8.A; 4.A; 9.D; 5.B; 10.D.

第 10 题提示:因为 1 ? a ? 2b ? 2 2ab ? ab ?
a 2 ? 4b 2 ?

1 1 ,当且仅当 a ? 2b ? 时取等号.又因为 8 2

1 1 1 1 1 .令 t ? ab ,所以 f ( t ) ? 4t ? 在 (0, ] 单调递减,所以 ? 2a ? (2b) ? ? 4ab ? ab ab ab t 8

1 17 1 .此时 a ? 2b ? . f (t ) min ? f ( ) ? 8 2 2

二、填空题(本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分) 11.13; 15. 12.2013; 13. 30? ; 16.4; 14.5; 17.

1 . 8 y0 1 第 17 题提示:设 P ( x0 , y0 ) ,则 E ( x 0 , ( x ? 3) ?① y 0 ) , PA : y ? x0 ? 3 1? ?
1 y0 1? ? BE : y ? ( x ? 3) ?② x0 ? 3

5 2?5 6 ; 2

由①②得 y 2 ?

2 y0

(?

2 ? 1)( x 0

? 9)

( x 2 ? 9) ,

将 y 0 ? 9 ? x 0 代入,得
2 2

x2 ? 9

y2 9 1 ? 1 .由 9 ? ? 1 ,得到 ? ? . 9 1? ? 8 1? ?

三、解答题(本大题共 5 小题,第 18、19、22 题各 14 分,20、21 题各 15 分,共 72 分) 18. (本题满分 14 分) 在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,满足 (Ⅰ)求角 C ; (Ⅱ)求 解: (Ⅰ)
a?b 的取值范围. c a ? c sin A ? sinB . ? b sin A ? sinC

a ? c sin A ? sinB a ? b 2 2 2 ,化简得 a ? b ? ab ? c , ? ? b sin A ? sinC a ? c

?4 分 ?7 分 ?11 分

? a 2 ? b2 ? c 2 1 ? ,C ? . 2ab 2 3 a ? b sin A ? sinB ? 2 2? (Ⅱ) ? [sin A ? sin( ? A)] ? 2 sin(A ? ) . ? 3 6 c sinC 3
所以 cos C ?

因为 A ? (0,

? 1 ? ? 5? 2? ) , A ? ? ( , ) ,所以 sin(A ? ) ? ( ,1] . 6 6 6 3 6 2
?14 分

故,

a?b 的取值范围是 (1,2] . c

19. (本题满分 14 分) 已知数列 ? a n ?中, a1 ? 2 , a n?1 ? 3a n ? 2 . (Ⅰ)记 bn ? an ? 1 ,求证:数列 ? bn ?为等比数列; (Ⅱ)求数列 ? na n ? 的前 n 项和 S n . 解: (Ⅰ)由 an?1 ? 3an ? 2 ,可知 an ?1 ? 1 ? 3(an ? 1) . 因为 bn ? an ? 1 ,所以 bn?1 ? 3bn , 又 b1 ? a1 ? 1 ? 3 , 所以数列 ? bn ?是以 3 为首项,以 3 为公比的等比数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 1 ? 3n , an ? 3n ? 1 ,所以 nan ? n3n ? n . 所以 S n ? ( 3 ? 2 ? 32 ? ? ? n ? 3n ) ? (1 ? 2 ? ? ? n) 其中 1 ? 2 ? ? n ?
n2 ? n 2

…4 分

…6 分

…9 分

记 Tn ? 3 ? 2 ? 32 ? ? ? n ? 3n
3Tn ? 32 ? 2 ? 33 ? ? ? (n ? 1) ? 3n ? n ? 3n ?1

① ②
3 ? 3n ? 1 ? n ? 3n ? 1 ?2

两式相减得 ? 2Tn ? 3 ? 32 ? ? ? 3n ? n ? 3n?1 ?
Tn ? 2n ? 1 n?1 3 ?3 ? 4 4
2n ? 1 n ? 1 2n 2 ? 2n ? 3 ?3 ? 4 4

…13 分

所以 Sn ?

…14 分

20. (本题满分 15 分) 如图,在△ ABC 中, ?C ? 90? , AC ? BC ? 3a ,点 P 在 AB 上, PE // BC 交 AC 于 E ,

PF // AC 交 BC 于 F .沿 PE 将△ APE 翻折成△ A' PE ,使平面 A' PE ? 平面 ABC ;沿 PF 将△

BPF 翻折成△ B' PF ,使平面 B' PF ? 平面 ABC .
(Ⅰ)求证: B'C // 平面 A' PE ;

(Ⅱ)若 AP ? 2PB ,求二面角 A'? PC ? E 的平面角的正切值.

C

E

A

A'

B' F B P F B
(第 20 题)

C

E

A

P

解: (Ⅰ)因为 FC // PE , FC ? 平面 A' PE ,所以 FC // 平面 A' PE . 因为平面 A' PE ? 平面 PEC ,且 A' E ? PE ,所以 A' E ? 平面 ABC . 同理, B' F ? 平面 ABC ,所以 B' F // A' E ,从而 B'F // 平面 A' PE . 所以平面 B'CF // 平面 A' PE ,从而 B'C // 平面 A' PE . (Ⅱ)因为 AC ? BC ? 3a , AP ? 2BP , 所以 CE ? a , EA? ? 2a , PE ? 2a , PC ? 5a . 过 E 作 EM ? PC ,垂足为 M,连结 A?M . ?8 分 ?2 分 ?4 分 ?6 分

A'

B'

C

E

M

A

F B

P
(第 20 题)

由(Ⅰ)知 A' E ? 平面ABC ,可得 A?E ? PC , 所以 PC ? 面A?EM ,所以 A?M ? PC . 所以 ?A' ME 即为所求二面角 A'? PC ? E 的平面角,可记为 ? . 在 Rt△ PCE 中,求得 EM ?
2 5 a, 5

…12 分

所以 tan? ?

A?E 2a ? ? 5. 2 EM 5a 5

…15 分

21. (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x ) ?

a 2 x ? 2 x ? (a ? 4) ln x , a ? 0 . 2

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在 (1,2) 上有极值,求 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)若 a ? 1 ,则 f ( x ) ?
f ' ( x) ? x ? 2 ?

1 2 x ? 2 x ? 3 ln x . 2

( x ? 3)( x ? 1) 3 x 2 ? 2x ? 3 . ? ? x x x

…2 分 …4 分 …6 分

当 x ? (0,3) 时, f ' ( x ) ? 0 ;当 x ? (3,??) 时, f ' ( x ) ? 0 .

3 所以函数有极小值 f (3) ? ? ? 3 ln 3 ,无极大值. 2
(II) f ' ( x ) ? ax ? 2 ?
a ? 4 ax 2 ? 2 x ? a ? 4 ? ( x ? 0) . x x

记 h( x ) ? ax 2 ? 2 x ? a ? 4 . 若 f ( x ) 在 (1,2) 上有极值,则 h( x ) ? 0 有两个不等根且在 (1,2) 上有根. 由 ax 2 ? 2 x ? a ? 4 ? 0 得 a( x 2 ? 1) ? 2( x ? 2) , 所以 a ?
2( x ? 2) x ?1
2

…8 分

?

2 5 ( x ? 2) ? ?4 x?2



…10 分

8 因为 x ? 2? (3,4) ,所以 a ? ( ,3) . 5 8 经检验当 a ? ( ,3) 时,方程 h( x ) ? 0 无重根. 5
8 故函数 f ( x ) 在 (1,2) 上有极值时 a 的取值范围为 ( , 3) . 5

…14 分

…15 分

22. (本题满分 14 分) 如图,已知抛物线 C1 : x 2 ? 2 py 的焦点在抛物线 C2 : y ? (Ⅰ)求抛物线 C1 的方程及其准线方程; (Ⅱ) 过抛物线 C1 上的动点 P 作抛物线 C 2 的两条切线 PM 、PN , 切点为 M 、N . PM 、 若
1 2 x ? 1 上. 2

PN 的斜率乘积为 m ,且 m ? [2, 4] ,求 | OP | 的取值范围.

C2 C1

y

M

N
O

P

x

(第 22 题)

p 解: (Ⅰ) C 1 的焦点为 F (0, ) , 2
所以

?2 分 ?4 分 ?6 分

p ? 0?1, p ? 2 . 2
2

故 C 1 的方程为 x ? 4 y ,其准线方程为 y ? ?1 .

(Ⅱ)任取点 P ( 2t , t 2 ) ,设过点 P 的 C 2 的切线方程为 y ? t 2 ? k ( x ? 2t ) .
? y ? t 2 ? k ( x ? 2t ) ? 由? ,得 x 2 ? 2kx ? 4tk ? 2t 2 ? 2 ? 0 . 1 2 ?y ? x ?1 2 ?

由 ? ? ?2k ? ? 4(4tk ? 2t 2 ? 2) ? 0 ,化简得 k 2 ? 4tk ? 2t 2 ? 2 ? 0 ,
2

…9 分

记 PM, PN 斜率分别为 k 1 , k 2 ,则 m ? k1 k 2 ? 2t 2 ? 2 , 因为 m ? [2, 4] ,所以 t 2 ? [2, 3] 所以 OP ? 4t 2 ? t 4 ? ( t 2 ? 2) 2 ? 4 ? [12, 21] , 所以 OP ? [2 3 , 21] . …14 分
2

…12 分

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