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【含解析】启东中学2015届高三上学期第一次月考数学(理)试题


启东中学 2014-2015 学年度第一学期第一次月考 高三数学(理)试卷
一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应 ..... 位置上 . ... 1.已知全集 U ? {1,2,3,4,5,6,7}, A ? {2,4,5}, B ? {1,3,5,7} ,则 A ? (CU B ) ? 2.若命题“ ?x ? R

,有 x 2 ? mx ? m ? 0 ”是假命题,则实数 m 的取值范围是 3.已知 ? , ? 的终边在第一象限,则“ ? ? ? ”是“ sin ? ? sin ? ”的 4.已知 f ( x) 的定义域是 [0,4] ,则 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) 的定义域为 ▲ ▲ . ▲ ▲ 条件. . .

5.已知角 ? 终边上一点 P 的坐标是 (2 sin 3,?2 cos 3) ,则 sin ? ?





6. 已知曲线 S : y ? 3 x ? x 及点 P (2,2) , 则过点 P 可向曲线 S 引切线,其切线共有
3



条.

tan(? ? ? ) cos(2? ? ? ) sin(? ?
7.化简:

cos(?? ? 3? ) sin( ?3? ? ? )
3

3? ) 2 ?





8.设函数 f ( x) ? x cos x ? 1 .若 f (a ) ? 11 ,则 f (?a ) ?





9.函数 f ( x) ?| sin x | ? cos x ? sin x? | cos x | 的值域为



. ▲ .

10.已知函数 y ? tan ?x 在 (?? , ? ) 内是减函数,则实数 ? 的范围是

11.已知偶函数 f ( x) 在 (0,??) 单调递减,则满足 f ( 1 ) ? f (1) 的实数 x 的取值范围是 ▲ . x 12.已知锐角 A, B 满足 tan( A ? B ) ? 2 tan A ,则 tan B 的最大值是 ▲ .
3

13.已知 f ( x) 是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0 ? x ? 2 时, f ( x) ? x ? x ,则函 数 y ? f ( x) 的图象在区间 [0,6] 上与 x 轴的交点的个数为 14. 定义在 R 上的可导函数 f ( x) , 已知 y ? e
f ?( x )





的图 象如图所示,则

y ? f ( x) 的增区间是

.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字
1

说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知集合 A ? {x | y ? 1 ? 分别根据下列条件,求实数 a 的取值范围. (1) A ? B ? A ; (2) A ? B ? ?

2x ?1 }, B ? {x | [ x ? (a ? 1)][ x ? (a ? 4)] ? 0} . x ?1

16. (本小题满分 14 分) 设 a 为实数, 给出命题 p : 关于 x 的不等式 ( ) | x ?1| ? a 的解集为 ? , 命题 q : 函数 f ( x) ? lg[ax 2 ? (a ? 2) x ? ] 的定义域为 R , 若命题 “ p?q” 为真, “ p?q” 为假,求实数 a 的取值范围. 17.(本小题满分 15 分)已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (1)求实数 m, n 的值; (2)若存在 t ? [1,2] ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 成立,求实数 k 的取值范围.
2 2

1 2

9 8

? 2x ? n 是奇函数. 2 x ?1 ? m

18.(本小题满分 15 分)设函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 1 . (1)求函数 f ( x) 在 [0,

?
2

] 的最大值与最小值; b cos c 的值. a

(2)若实数 a, b, c 使得 af ( x) ? bf ( x ? c) ? 1 对任意 x ? R 恒成立,求

19.(本小题满分 16 分)已知某种型号的电脑每台降价 x 成(1 成为 10%) ,售出的数量就 增加 mx 成( m 为常数,且 m ? 0 ). (1)若某商场现定价为每台 a 元,售出 b 台,试建立降价后的营业额 y 与每台降价 x 成所 成的函数关系式.并问当 m ?

5 ,营业额增加 1.25%时,每台降价多少? 4

(2)为使营业额增加,当 x ? x0 (0 ? x0 ? 10) 时,求 m 应满足的条件.
x 20. ( 本 小 题 满 分 16 分 ) 设 函 数 f ( x) ? e ? ax ? a (a ? R ) , 其 图 像 与 x 轴 交 于

A( x1 ,0), B( x2 ,0) 两点,且 x1 ? x2 .
(1)求 a 的取值范围; (2)证明: f ?( x1 x2 ) ? 0 ( f ?( x) 为函数 f ( x) 的导函数) ; (3)设点 C 在函数 y ? f ( x) 的图象上,且 ?ABC 为等腰直角三角形,记

x2 ? 1 ? t ,求 x1 ? 1

(a ? 1)(t ? 1) 的值.
2

启东中学 2014-2015 学年度第一学期第一次月考 高三数学(理)试卷答案
【试卷综析】本试卷是高三文科理试卷,考查学生解决实际问题的综合能力,是份较好的试 卷.以基础知识和基本能力为载体突出考查考纲要求的基本能力,重视学生科学素养的考查. 试题重点考查:集合、命题,函数模型不等式、复数、向量、导数函数的应用、三角函数的 性质、三角恒等变换与解三角形等,是一份非常好的试卷。 一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应 ..... 位置上 . ... 【 题 文 】 1 . 已 知 全 集 U ? {1,2,3,4,5,6,7}, A ? {2,4,5}, B ? {1,3,5,7} , 则 A ? (CU B ) ? ▲ . 【知识点】集合及其运算 A1 【答案解析】{2 , 4 , 5} ∵ 全 集 U={1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6.7} , B={1 , 3 , 5 , 7} ,
∴ ? U B={2 , 4 , 6} , 又 A={2 , 4 , 5} , 则 A ∩ ( ? U B ) ={2 , 4 , 5} . 故 答 案 为 : {2 , 4 , 5}

【思路点拨】找 出 全 集 U 中 不 属 于 B 的 元 素 , 确 定 出 B 的 补 集 , 找 出 A 与 B 补 集 的 公
共元素,即可确定出所求的集合.

【题文】 2.若命题“ ?x ? R ,有 x 2 ? mx ? m ? 0 ”是假命题,则实数 m 的取值范围是 ▲ . 【知识点】命题及其关系 A2 【答案解析】[-4 , 0] ∵ 命 题 “ ? x ∈ R , 有 x 2 -mx-m < 0 ” 是 假 命 题 , ? “ ? x ∈ R , 有
x 2 -mx-m ≥ 0 ” 是 真 命 题 . 令 f ( x ) =x 2 -mx-m , 则 必 有 △ =m 2 -4m ≤ 0 , 解 得 -4 ≤ m ≤ 0 . 故 答 案 为 : [-4 , 0] .

【思路点拨】令 f( x )=x 2 -mx-m ,利 用“ ? x ∈ R ,有 x 2 -mx-m < 0 ”是 假 命 题 ? △ =m 2 -4m
≤ 0, 解 出 即 可 .

【题文】3.已知 ? , ? 的终边在第一象限,则“ ? ? ? ”是“ sin ? ? sin ? ”的 件. 【知识点】充分条件、必要条件 A2 【答案解析】既 不 必 要 也 不 充 分 条 件
∵角α ,β 的终边在第一象限,





? ∴当α = ,β = ,满足α 3 ? 即充分性不成立,若当α = ,β 3

? +2 π 3

> β , 但 sin α =sin β , 则 sin α > sin β 不 成 立 , =

5? +2 π , 满 足 sin α > sin β , 但 α > β 不 成 立 , 6

即 必 要 性 不 成 立 , 故 “ α > β ” 是 “ sin α > sin β ” 的 既 不 必 要 也 不 充 分 条 件 , 故答案为:既不必要也不充分条件.

【思路点拨】 根 据 三 件 函 数 的 定 义 和 关 系 式 ,结 合 充 分 条 件 和 必 要 条 件 的 定 义 进 行 判 断 .
3

【题文】4.已知 f ( x) 的定义域是 [0,4] ,则 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) 的定义域为 【知识点】函数及其表示 B1 【答案解析】[1 , 3] ∵ f ( x ) 的 定 义 域 是 [0 , 4] ,
∴ f ( x+1 ) +f ( x-1 ) 的 定 义 域 为 不 等 式 组 故 答 案 为 : [1 , 3] .





?0 ? x ? 1 ? 4 的 解 集 , 解 得 : 1≤ x≤ 3. ? ?0 ? x ? 1 ? 4

【思路点拨】由 题 意 可 列 不 等 式 组 ?

?0 ? x ? 1 ? 4 ,解之即可. ?0 ? x ? 1 ? 4
▲ .

【题文】5.已知角 ? 终边上一点 P 的坐标是 (2 sin 3,?2 cos 3) ,则 sin ? ? 【知识点】角的概念及任意角的三角函数 C1 【答案解析】-cos3 ∵ 角 α 终 边 上 一 点 P 的 坐 标 是 ( 2sin3 , -2cos3 ) ,
∴ |OP|=

4sin2 3 ? 4cos2 3 ? 2 , ∴ sin α

=

?2 cos 3 =-cos3 . 故 答 案 为 : -cos3 . 2

【思路点拨】由 题 意 , 先 求 出 点 P 到 原 点 的 距 离 , 再 由 定 义 求 出 即 可 . 【题文】6.已知曲线 S : y ? 3 x ? x 及点 P (2,2) ,则过点 P 可向曲线 S 引切线,其切线共有
3

▲ 条. 【知识点】导数的应用 B12 【答案解析】3 ∵ y=3x-x 3 , ∴ y'=f' ( x ) =3-3x 2 , ∵ P ( 2 , 2 ) 不 在 曲 线 S 上 ,
∴ 设 切 点 为 M ( a , b ) , 则 b=3a-a 3 , f' ( a ) =3-3a 2 则 切 线 方 程 为 y- ( 3a-a 3 ) = ( 3-3a 2 ) ( x-a ) , ∵ P ( 2 , 2 ) 在 切 线 上 , ∴ 2- ( 3a-a 3 ) = ( 3-3a 2 ) ( 2-a ) , 即 2a 3 -6a 2 +4=0 , ∴ a 3 -3a 2 +2=0 , 即 a 3 -a 2 -2a 2 +2=0 , ∴ ( a-1 ) ( a 2 -2a-2 ) =0 , 解 得 a=1 或 a=1 ± ∴ 切 线 的 条 数 为 3 条 , 故 答 案 为 3.

3,

【思路点拨】求 函 数 的 导 数 , 设 切 点 为 M ( a , b ) ,利用导数的几何意义,求切线方
程 , 利 用 点 P( 2, 2) 在 切 线 上 , 求 出 切 线 条 数 即 可 .

tan(? ? ? ) cos(2? ? ? ) sin(? ?
【题文】7.化简:

cos(?? ? 3? ) sin( ?3? ? ? )

3? ) 2 ?





【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式 C2

tan(? ? ? ) cos(2? ? ? ) sin(? ?
【答案解析】

3? ) 2 ? tan ? cos ? cos ? =-1 (? cos ? ) sin ? cos(?? ? 3? ) sin( ?3? ? ? )

【思路点拨】利用三角函数诱导公式同角三角函数基本关系。 【题文】8.设函数 f ( x) ? x cos x ? 1 .若 f (a ) ? 11 ,则 f (?a ) ?
3





【知识点】函数的奇偶性 B4

4

【答案解析】-9

令 g ( x ) =f ( x ) -1=x 3 cosx 则 g ( x ) 为 奇 函 数 , 又 ∵ f ( a ) =11 ,

∴ g ( a ) =f ( a ) -1=11-1=10 ∴ g ( -a ) =-10=f ( -a ) -1 ∴ f ( -a ) =-9 故 答 案 为 : -9

【思路点拨】由 于 函 数 f ( x ) =x 3 cosx+1 , 是 一 个 非 奇 非 偶 函 数 , 故 无 法 直 接 应 用 函
数 奇 偶 性 的 性 质 进 行 解 答 ,故 可 构 造 函 数 g( x ) =f( x ) -1=x 3 cosx ,然 后 利 用 g( x ) 为奇函数,进行解答.

【题文】9.函数 f ( x) ?| sin x | ? cos x ? sin x? | cos x | 的值域为 【知识点】角的概念及任意角的三角函数 C1





【答案解析】x 坐标轴上时结果为 0,角在第一象限时为 ??1,1? ,第二象限时为 0, 第三象限时 ??1,1? ,第四象限时为 0.故答案为 ??1,1? 【思路点拨】分别在各个范围内求出值域,确定最后结果。 【题文】10.已知函数 y ? tan ?x 在 (?? , ? ) 内是减函数,则实数 ? 的范围是 【知识点】三角函数的图象与性质 C3 【答案解析】?
∴ ω < 0, |





? ?

1 ≤ω < 0 2

∵ 函 数 y=tan ω x 在 ( - π , π ) 内 是 减 函 数 ,

|≥ 2π 解 得 : ?

1 1 ≤ω < 0 . 故 答 案 为 : ? ≤ω < 0 . 2 2

【思路点拨】根 据 正 切 型 函 数 的 图 象 ,要 使 函 数 y=tan ω x 在( - π ,π )内 是 减 函 数 ,
则 ω < 0 且 函 数 y=tan ω x 的 周 期 T ≥ 2 π .

【题文】11.已知偶函数 f ( x) 在 (0,??) 单调递减,则满足 f ( 1 ) ? f (1) 的实数 x 的取值范围是 x ▲ . 【知识点】函数的单调性与最值 B3 【答案解析】( -1 , 0 ) ∪ ( 0 , 1 )

1 1 ) < f( 1) , ∴ f( | |) < f( 1) , x x 1 ∵ 偶 函 数 f ( x ) 在 区 间 [0 , + ∞ ) 上 单 调 递 减 , ∴ | | > 1 , x 1 1 即 > 1 或 < -1 , 解 得 -1 < x < 0 或 0 < x < 1 , 故 答 案 为 : ( -1 , 0 ) ∪ ( 0 , 1 ) . x x 1 1 【思路点拨】由 偶 函 数 的 性 质 和 单 调 性 以 及 足 f ( ) < f ( 1 ) 可 得 | |> 1, 根 据 x x
∵ 偶 函 数 f( x) 满 足 f( 绝对值不等式的解法,解不等式可求范围.

【题文】12.已知锐角 A, B 满足 tan( A ? B ) ? 2 tan A ,则 tan B 的最大值是 【知识点】三角函数的求值、化简与证明 C7 【答案解析】





2 4

∵ 2tanA=tan ( A+B ) ,

5

∴ tanB=tan ( A+B-A ) =

1 ? 2 tan A tan A 1 1 ? 2 tan A ≥ 2 2 当 且 仅 当 ∵ A 为 锐 角 , ∴ tanA > 0, = 2tan A 时 取 “ = ” t a nA tan A
号 , 即 tanA=

tan A tan( A ? B) ? tan A = = 1 ? tan( A ? B) tan A 1 ? 2 tan 2 A

1

2 2 2 2 , ∴ 0 < tanB ≤ ∴ tanB 最 大 值 是 故答案为: . 2 4 4 4

【思路点拨】通 过 tanB=tan[ ( A+B ) -A] 利 用 公 式 展 开 , 把 tan ( A+B ) =2tanA 代 入 ,
整 理 后 利 用 基 本 不 等 式 求 得 tanB 的 最 大 值 , 进 而 根 据 等 号 成 立 的 条 件 求 得 tanB 的 值,即可得出结果.

【 题 文 】 13. 已 知 f ( x) 是 R 上 最 小 正 周 期 为 2 的 周 期 函 数 , 且 当 0 ? x ? 2 时 , 则函数 y ? f ( x) 的图象在区间 [0,6] 上与 x 轴的交点的个数为 f ( x) ? x 3 ? x , 【知识点】函数与方程 B9 【答案解析】7
当 0 ≤ x < 2 时 , 令 f ( x ) =x 3 -x=0 , 则 x ( x-1 ) ( x+1 ) =0 , 解 得 x=0 , 或 1 ; 已 知 f( x) 是 R 上 最 小 正 周 期 为 2 的 周 期 函 数 , ∴ f ( 0 ) =f ( 2 ) =f ( 4 ) =f ( 6 ) =0 , f ( 1 ) =f ( 3 ) =f ( 5 ) =0 , 故 在 区 间 [0 , 6] 上 , 方 程 f ( x ) =0 共 有 7 个 根 , ∴ 函 数 y=f ( x ) 的 图 象 在 区 间 [0 , 6] 上 与 x 轴 的 交 点 的 个 数 为 7 . 故 答 案 为 7.





【思路点拨】先 求 出 方 程 f ( x ) =0 在 区 间 [0 , 2 ) 上 的 根 的 个 数 , 再 利 用 其 周 期 为 2
的 条 件 即 f ( x+2 ) =f ( x ) ,即可判断出所有根的个数.

【题文】14.定义在 R 上的可导函数 f ( x) ,已知 y ? e 则 y ? f ( x) 的增区间是 【知识点】导数的应用 B12 【答案解析】 ( -∞ , 2)
.

f ?( x )

的图象如图所示,

由 题 意 如 图 f' ( x ) ≥ 0 的 区 间 是 ( - ∞ , 2 ) ,

故 函 数 y=f ( x ) 的 增 区 间 ( - ∞ , 2 ) ,故答案为: ( -∞ , 2)

【思路点拨】由 题 意 知 ,欲 求 函 数 的 增 区 间 ,由 图 象 确 定 出 函 数 导 数 为 非 负 的 区 间 就
可 以 了 ,由 于 y=e f ' ( x ) 是 一 个 指 数 型 的 函 数 ,当 指 数 大 于 0 时 函 数 值 大 于 1 ,故 由 图 象 找 出 函 数 图 象 在 直 线 y=1 上 面 的 那 一 部 分 的 自 变 量 的 集 合 即 为 所 求

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 【 题 文 】 15. ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 集 合

A ? {x | y ? 1 ?

2x ?1 }, B ? {x | [ x ? (a ? 1)][ x ? (a ? 4)] ? 0} .分别根据下列条件,求实数 x ?1

a 的取值范围.
6

(1) A ? B ? A ;

(2) A ? B ? ?

【知识点】集合及其运算 A1 【答案解析】( 1 ) -4 < a ≤ -2 ( 2 ) a ≥ -1 或
( 1 ) 由 1-

a ≤ -5 .

x 2x ?1 ,可得 ≤ 0, x ?1 x ?1

即 x ( x+1 ) ≤ 0 , 且 x ≠ -1 , 解 得 -1<x ? 0 , 故 A= ( -1 , 0] . ∵ B={x|[x- ( a+4 ) ][x- ( a+1 ) ] < 0}= ( a+1 , a+4 ) . ∵ A ∩ B=A , ∴ A ? B , ∴ a+1 ≤ -1 , a+4 > 0 , 解 得 -4 < a ≤ -2 , 故 a 的 取 值 范 围 是 ( -4 , -2] . ( 2 ) 由 上 可 得 , A= ( -1 , 0] , B= ( a+1 , a+4 ) , 当 A ∩ B= φ , a+1 ≥ 0 或 a+4 ≤ -1 , 解得 a ≥ -1 或 a ≤ -5 . 故 当 A ∩ B ≠ φ 时 , -5 < a < -1 , 故 a 的 取 值 范 围 ( -5 , -1 )

【思路点拨】 ( 1 )解 分 式 不 等 式 求 出 A ,再 求 出 B ,由 条 件 A ∩ B=A 可 得 A ? B ,考
查集合的端点间的大小关系,求得实数 a 的取值范围. ( 2 ) 求 出 当 A ∩ B= φ 时 实 数 a 的 取 值 范 围 , 再 取 补 集 , 即 得 所 求 .

【题文】16.(本小题满分 14 分)设 a 为实数,给出命题 p :关于 x 的不等式 ( ) | x ?1| ? a 的 解集为 ? ,命题 q :函数 f ( x) ? lg[ax 2 ? (a ? 2) x ? ] 的定义域为 R ,若命题“ p ? q ” 为真, “ p ? q ”为假,求实数 a 的取值范围. 【知识点】指数与指数函数对数与对数函数 B6 B7 【答案解析】[8 , + ∞ ) ∪ (

1 2

9 8

1 , 1] 2

由题意得 p 和 q 中 有 且 仅 有 一 个 正 确

1 |x ? 1 | ) ≤1 , 求 得 a > 1 . 2 9 9 2 ② 若 q 正 确 ,则 ax +( a ? 2) x + > 0 解 集 为 R 当 a=0 时 ,? 2 x + > 0 不 合 ,舍 去 ; 8 8
① 若 p 正 确 , 则 由 0< ( 当 a≠ 0 时 , 则

?a ? 0 1 解得 < a< 8. ? 2 ?? ? 0

a ?1 ? ? a ?1 ? ? 或 ?1 ③∵p 和 q 中有且仅有一个正确,∴ ? , 1 a ? 或a ? 8 ? ? a ? 8 ? ? 2 ?2
1 1 < a ≤1 . 故 a 的 取 值 范 围 为 [8 , + ∞ ) ∪ ( , 1] . 2 2 1 【思路点拨】若 p 正 确 , 求 得 a > 1 ; ② 若 q 正 确 , 求 得 < a < 8 . 根 据 p 和 q 中 有 2
∴ a≥ 8 或

a ?1 ? ? a ?1 ? ? 或 ?1 且仅有一个正确,故有 ? , 1 a ? 或a ? 8 ? ? a ? 8 ? ? 2 ?2

7

解不等式组,求得 a 的取值范围.

【题文】17.(本小题满分 15 分)已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (1)求实数 m, n 的值;

? 2x ? n 是奇函数. 2 x ?1 ? m

(2)若存在 t ? [1,2] ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 成立,求实数 k 的取值范围.
2 2

【知识点】函数的单调性与最值函数的奇偶性与周期性 B3 B4 【答案解析】( 1 ) 因 为 f ( x ) 是 奇 函 数 , 函 数 的 定 义 域 为 R , 所 以 f ( 0 ) =

?20 ? n ?2 x ? 1 ?2?1 ? 1 ?2?1 ? 1 =0 ,可 得 n=1 ,∴ f ( x ) = x ?1 ,取 f( -1 )=-f( 1 )得 0 =? , 2?m 2 ?m 2 ?m 22 ? m
解 之 得 m=2 因 此 , f ( x ) = 符 合 题 意 所 以 m=2 , n=1 ( 2) 由 ( 1) 得 , f(x)=

?2 x ? 1 ?2 ? x ? 1 ?2 x ? 1 , 满 足 f (? x ) = ==-f ( x ) , 2 x ?1 ? 2 2 x ?1 ? 2 2 ? x ?1 ? 2

1 1 ?2 x ? 1 =? + x , x ?1 2 2 ?1 2 ?2

设 x 1 < x 2 , 则 f ( x 1 ) -f ( x 2 ) = ?

1 1 1 1 2(2 x2 ? 2 x1 ) + x1 -( ? + x )= x 2 2 ?1 2 2 2 ?1 (2 1 ? 1)(2 x2 ? 1)

∵ y=2 x 在 实 数 集 上 是 增 函 数 且 函 数 值 恒 大 于 0 , ∴ 2 2 - 2 1 > 0 , 2 1 +1 > 0 且 2 2 +1 > 0 ,可 得 f( x 1 ) -f( x 2 )> 0 ,即 f( x 1 )> f( x 2 ) ∴ f( x) 在 ( -∞ , +∞ ) 上 是 单 调 减 函 数 ∵ f( x) 是 奇 函 数 , ∴ f ( t 2 -2t ) +f ( 2t 2 -k ) < 0 , 等 价 于 f ( t 2 -2t ) < -f ( 2t 2 -k ) =f ( k-2t 2 ) , ∴ 由 上 式 可 得 : t 2 -2t > k-2t 2 . 即 对 任 意 t ∈ R 有 : 3t 2 -2t-k > 0 , ∴ △ =4+12k < 0 ? k < x x x x

1 1 , 即 实 数 k 的 取 值 范 围 是 ( -∞ , - ) . 3 3

【思路点拨】 ( 1 ) 利 用 特 殊 值 : f ( 0 ) =0 且 f ( -1 ) =-f ( 1 ) , 建 立 关 于 a、 b 的 等 式
并 解 得 m=2 , n=1 , 再 将 其 代 入 函 数 表 达 式 加 以 检 验 即 可 ; ( 2 ) 根 据 单 调 性 的 定 义 , 设 x1 < x2 , 将 f( x1 ) 与 f( x2 ) 作 差 , 再 通 分 整 理 , 可 得 这 个 差 是 一 个 正 数 , 从 而 得 到 f( x1) > f( x2) , 所 以 f( x) 在 ( -∞ , +∞ ) 上 是 单 调减函数; ( 3 )根 据 函 数 的 单 调 性 和 奇 偶 性 ,将 原 不 等 式 恒 成 立 转 化 为 关 于 t 的 一 元 二 次 不 等 式 3t 2 -2t-k > 0 恒 成 立 , 再 利 用 一 元 二 次 不 等 式 解 法 结 合 根 的 判 别 式 , 可 求 出 k 的 取 值范围.

【题文】18.(本小题满分 15 分)设函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 1 . (1)求函数 f ( x) 在 [0,

?
2

] 的最大值与最小值; b cos c 的值. a

(2)若实数 a, b, c 使得 af ( x) ? bf ( x ? c) ? 1 对任意 x ? R 恒成立,求

8

【知识点】三角函数的图象与性质 C3 【答案解析】( 1 ) 最 大 值 为 3 ; 最 小 值 为 2 (2)-1
( 1 ) f ( x ) =sinx+

3 cosx+1=2 (

1 sinx+ 2

? 3 cosx ) +1=2sin ( x+ +1 3 2

5? 1 ? ? ? ? ] , ∴ x+ ∈[ , ] ∴ ≤ sin ( x+ ) ≤ 1 , 6 2 2 3 3 3 ? ? ∴ 2 ≤ 2sin ( x+ ) +1 ≤ 3 ∴ 函 数 f ( x ) 在 [0 , ] 的 最 大 值 为 3 ; 最 小 值 为 2 . 3 2 ? ? ? ( 2 )af( x )+bf( x-c )=a[2sin( x+ )+1]+b[2sin( x+ -c )+1]=12asin( x+ ) 3 3 3 ? ? ? ? +2bsin( x+ -c )+1=1-a-b2asin( x+ )+2bsin( x+ )cosc-2bcos( x+ )sinc 3 3 3 3 ? ? =1-a-b ( 2a+2bcosc ) sin ( x+ ) - ( cos ( x+ ) 3 3 ? ? 2 2 =1-a-b (2a ? 2b cos c) ? (2b sin c) sin(x+ + ? )sin ( x+ + φ ) =1-a-b 3 3
∵ x ∈ [0 , 因为上式对一切的 x 恒成立,所以

(2a ? 2b cos c) 2 ? (2b sin c) 2 =0



?2a ? 2b cos c ? 0 b c o sc ∴ 由 2a+2bcosc=0 得 : =-1 . ? a ? 2b sin c ? 0
3 cosx+1 化 成 标 准 形 式 ,然 后 再 求 最 值 ;

【思路点拨】 ( 1 )先 把 函 数 f( x )=sinx+

( 2) 代 入 f( x) 整 理 , 化 成 标 准 形 式 , 根 据 对 任 意 x∈ R 恒 成 立 , 让 系 数 等 于 0, 求得

b c o sc 的值. a

19.(本小题满分 16 分)已知某种型号的电脑每台降价 x 成(1 成为 10%) ,售出的数量就 增加 mx 成( m 为常数,且 m ? 0 ). (1)若某商场现定价为每台 a 元,售出 b 台,试建立降价后的营业额 y 与每台降价 x 成所 成的函数关系式.并问当 m ?

5 ,营业额增加 1.25%时,每台降价多少? 4

(2)为使营业额增加,当 x ? x0 (0 ? x0 ? 10) 时,求 m 应满足的条件. 【知识点】函数模型及其应用 B10 【答案解析】( 1 ) 10% (2)m >

10 ( 0 < x 0 < 10 ) 10 ? x0
x )元 , 10

( 1 ) 每 台 降 价 x 成 后 的 价 格 为 a (1? 降 价 后 售 出 量 变 为 b (1+

mx x mx ) 台 , 故 ) y = a (1? )? b (1+ ). 10 10 10
9

当 m=

5 1 1 2 时 , y = ab (1+ x? x ). 4 40 80 x 1 2 x ),解 得 x=1 ,即 每 台 降 价 10% . 40 80

营 业 额 增 加 1.25% ,即 有 1.0125ab=ab( 1+ ( 2 ) 当 x=x 0 时 , y=ab ( 1+

m ?1 m 2 x0x ) . 由 题 意 知 , 必 须 使 y-ab > 0 , 10 10 0 m ?1 m m ?1 m 即 x0> 0. 因 为 x0> 0, 所 以 x0> 0, 10 100 10 100
所 以 m>

10 ( 0 < x 0 < 10 ) . 10 ? x0

【思路点拨】 ( 1 )根 据 营 业 额 等 于 价 格 乘 以 售 出 量 ,即 可 建 立 降 价 后 的 营 业 额 y 与 x
之 间 的 函 数 关 系 式 ; 利 用 营 业 额 增 加 1.25% , 建 立 方 程 , 即 可 求 得 结 论 ; ( 2 ) 由 题 意 必 须 使 y-ab > 0 , 由 此 , 即 可 确 定 m 应 满 足 的 条 件 .
x 20. ( 本 小 题 满 分 16 分 ) 设 函 数 f ( x) ? e ? ax ? a (a ? R ) , 其 图 像 与 x 轴 交 于

A( x1 ,0), B( x2 ,0) 两点,且 x1 ? x2 .
(1)求 a 的取值范围; (2)证明: f ?( x1 x2 ) ? 0 ( f ?( x) 为函数 f ( x) 的导函数) ; (3)设点 C 在函数 y ? f ( x) 的图象上,且 ?ABC 为等腰直角三角形,记

x2 ? 1 ? t ,求 x1 ? 1

(a ? 1)(t ? 1) 的值.
【知识点】导数的应用 B12 【答案解析】( 1 ) a > e 2 ( 2 ) 略 (3)2
( 1 ) ∵ f ( x ) =e x -ax+a , ∴ f' ( x ) =e x -a , 若 a ≤ 0 , 则 f' ( x ) > 0 , 则 函 数 f ( x ) 是 单 调 增 函 数 , 这 与 题 设 矛 盾 . ∴ a > 0 , 令 f' ( x ) =0 , 则 x=lna , 当 f' ( x ) < 0 时 , x < lna , f ( x ) 是 单 调 减 函 数 , 当 f' ( x ) > 0 时 , x > lna , f ( x ) 是 单 调 增 函 数 , 于 是 当 x=lna 时 , f ( x ) 取 得 极 小 值 , ∵ 函 数 f ( x ) =e x -ax+a ( a ∈ R )的 图 象 与 x 轴 交 于 两 点 A ( x 1 , 0 ), B ( x 2 , 0 )( x 1 < x 2 ), ∴ f ( lna ) =a ( 2-lna )< 0 , 即 a > e 2 , 此 时 , 存 在 1 < lna , f ( 1 ) =e > 0 , 存 在 3lna > lna , f ( 3lna ) =a 3 -3alna+a > a 3 -3a 2 +a > 0 , 又 由 f ( x ) 在 ( - ∞ , lna ) 及 ( lna , + ∞ ) 上 的 单 调 性 及 曲 线 在 R 上 不 间 断 , 可 知 a> e2 为 所 求 取 值 范 围 . ( 2) ∵

? e x1 ? a x e x2 ? e x1 1 ? a ?0 , ∴ 两 式 相 减 得 a = . ? x2 x ? x e ? a x ? a ? 0 1 2 ? 2



x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1 x ? x1 e x2 ? e x1 e x2 ? e x1 = s ( s > 0) , 则 f ′( 2 )= e 2 ? =e 2 2 2 x1 ? x2 x1 ? x2

10

=

e

x2 ? x1 2

2s

[2 s ? ( e s ? e ? s )] , 设 g ( s ) =2s- ( e s -e - s ) , 则 g' ( s ) =2- ( e s +e - s ) < 0 ,

> 0, 2s x ? x1 x ? x1 ∴ f ′( 2 ) < 0 . 又 f' ( x ) =e x -a 是 单 调 增 函 数 , 且 2 > x1 x2 2 2
∴ g ( s ) 是 单 调 减 函 数 , 则 有 g ( s ) < g ( 0 ) =0 , 而 ∴ f ′(

e

x2 ? x1 2

x1 x2 ) < 0 .
x x
x2 ? x1 2

( 3 ) 依 题 意 有 e i ? ax i + a = 0 , 则 a ( x i ? 1) = e i > 0 ? x i > 1 ( i=1 , 2 ) . 于是 e

= a ( x1 ? 1)( x2 ? 1) , 在 等 腰 三 角 形 ABC 中 , 显 然 C=90 °,

∴ x0=

x2 ? x1 ∈ ( x 1 , x 2 ) , 即 y 0 =f ( x 0 ) < 0 , 由 直 角 三 角 形 斜 边 的 中 线 性 质 , 2

可知

x2 ? x1 x2 ? x1 x ?x x ?x a = ? y 0 , ∴ y 0 + 2 1 = 0 , 即 e 2 ? ( x 1 + x 2 )+ a + 2 1 = 0 , 2 2 2 2

x ?x a ( x 1 + x 2 )+ a + 2 1 = 0 , 2 2 ( x2 ? 1) ? ( x1 ? 1) a 即 a ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? [( x 1 ? 1)+( x 2 ? 1)]+ = 0. 2 2
∴a

( x1 ? 1)( x2 ? 1) ?

∵ x 1 -1 ≠ 0 , 则 a

x2 ? 1 ?1 x1 ? 1 x2 ? 1 x2 ? 1 a ? (1+ )+ =0, 2 x1 ? 1 x1 ? 1 2



a 1 2 2 x2 ? 1 = t , ∴ at ? (1+ t 2 )+ ( t ? 1) = 0 , 即 a = 1+ , 2 2 t ?1 x1 ? 1

∴ ( a-1 ) ( t-1 ) =2 .

【思路点拨】1 )由 f( x )=e x -ax+a ,知 f ′( x )=e x -a ,再 由 a 的 符 号 进 行 分 类 讨 论 ,
能 求 出 f( x) 的 单 调 区 间 , 然 后 根 据 交 点 求 出 a 的 取 值 范 围 ; ( 2 )由 x 1 、 x 2 的 关 系 , 求 出 f ′(

x1 ? x2 ) < 0 , 然 后 再 根 据 f ′( x ) =e x -a 的 单 调 性 , 2 x2 ? x1 = 0 ,然 后 得 到 关 于 参 2

利用不等式的性质,问题得以证明; ( 3 )利 用 △ ABC 为 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 ,求 出 y 0 + 数 a 的 方 程 at ?

a 1 2 (1+ t 2 )+ ( t ? 1) = 0 , 求 得 问 题 的 答 案 . 2 2

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