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浙江省杭州十四中2013-2014学年高二上学期期末数学(文)试卷(凤起) Word版含答案


杭十四中二〇一三学年第一学期末考试 高二年级数学(文)学科试卷
注意事项: 1.考试时间:2014 年 1 月 20 日 10 时 10 分至 11 时 40 分; 2.答题前,务必先在答题卡上正确填涂班级、姓名、准考证号; 3.将答案答在答题卡上,在试卷上答题无效.请按题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题 区域书写的答案无效; 4.其中本卷满分 120 分

.共 4 页; 5.本试卷不得使用计算器。

一、选择题:共 10 小题,每小题 3 分,计 30 分。 1.直线 x=-1 的倾斜角和斜率分别是( ) A.45° ,1 C.90° ,不存在 B.135° ,-1 D.180° ,不存在 )

2.平面 α 与平面 β,γ 都相交,则这三个平面的交线可能有( A.1 条或 2 条 C.只有 2 条 B.2 条或 3 条 D.1 条或 2 条或 3 条

3.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如下图所示, 则该几何体的俯视图为( )

? π ? cos2x+cosx-m=0 为真命题, 4. 已知命题 p: ?x∈?0, ?, 则实数 m 的取值范围是( 2? ? ? 9 ? A.?- ,-1? ? 8 ? ? 9 ? B.?- ,2? ? 8 ?
C.[-1,2] )

)

? 9 ? D.?- ,+∞? ? 8 ?

→ → → → → → 5.在△ABC 中,“AB·AC=BA·BC”是“|AC|=|BC|”的(
1

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.正四棱锥(底面是正方形,顶点在底面的射影为正方形的中心)的底面积为 Q,侧面积为 S, 则它的体积为( 1 A. Q S 3 1 C. S?S2-Q2? 2 ) 1 B. Q?S2-Q2? 2 1 D. Q?S2-Q2? 6 )

7.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,若 E 是 A1C1 的中点,则直线 CE 垂直于( A.AC C.A1D B.BD D.A1D1

8.若集合 A={(x,y)|x2+y2≤16},B={(x,y)|x2+(y-2)2≤a-1},且 A∩B=B,则 a 的取 值范围是( A.a≤1 C.1≤a≤5 ) B.a≥5 D.a≤5

9.正六棱锥 P—ABCDEF 中,G 为 PB 的中点,则三棱锥 D—GAC 与三棱锥 P—GAC 体积 之比为( ) B.1∶2 D.3∶2

A.1∶1 C.2∶1

10.如图,已知 A(4,0)、B(0,4),从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后 再射到直线 OB 上,最后经直线 OB 反射后又回到 P 点,则光线所经过的 路程是( ) B.6 D.2 5

A.2 10 C.3 3

二、填空题:共 7 小题,每小题 4 分,计 28 分。 11.直线 y=-x+b 与 5x+3y-31=0 的交点在第一象限,则 b 的取值范围是________. 12.令 p(x):ax2+2x+1>0,如果对?x∈R,p(x)是真命题,则 a 的取值范围是________. 13.椭圆 x2+4y2=1 的离心率为________. 14.点 P 在圆 x2+y2-8x-4y+11=0 上,点 Q 在圆 x2+y2+4x+2y-1=0 上,则|PQ|的最小 值是________. 15.已知曲线 C:x= 4-y2(-2≤y≤2)和直线 y=k(x-1)+3 只有一个交点,则实数 k 的取 值范围是________.
2

x2 y2 16.已知 F1、F2 是椭圆 2+ 2=1 的左、右焦点,点 P 是椭圆上任意一点,从 F1 引∠F1PF2 a b 的外角平分线的垂线,交 F2P 的延长线于 M,则点 M 的轨迹方程是________. 17.四面体 ABCD 中,有如下命题: ①若 AC⊥BD,AB⊥CD,则 AD⊥BC; ②若 E、F、G 分别是 BC、AB、CD 的中点,则∠FEG 的大小等于异面直线 AC 与 BD 所成角 的大小; ③若点 O 是四面体 ABCD 外接球的球心,则 O 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的外心; ④若四个面是全等的三角形,则四面体 ABCD 是正四面体. 其中正确命题的序号是 (填上所有正确命题的序号). 2 三、解答题:共 4 小题,计 42 分。 0 18. (本小题满分 8 分)给定两个命题 P:对任意实数 x 都有 ax2+ax+1>0 恒成立;Q:关于 0 x 的方程 x2-x+a=0 有实数根.如果 P∧Q 为假命题,P∨Q 为真命题,求实数 a 的取值范 9 围. 0 5 1)与两个定点 M (26,1),M (2,1)的距离之 19. (本小题满分 10 分)已知坐标平面上点 M(x,y 1 2 8 比等于 5. (Ⅰ)求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形; (Ⅱ)记(Ⅰ)中的轨迹为 C,过点 M(-2,3)的直线 l 被 C 所截得的线段的长为 8,求直线 l 的方程. 20. (本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , PB 与底面所成
0 0 的角为 45 ,底面 ABCD 为直角梯形, ?ABC ? ?BAD ? 90 , AD ? 2 PA ? 2 BC ? 2 .

(Ⅰ)求证:平面 PAC ? 平面 PCD ; (Ⅱ)在线段 PD 上是否存在点 E ,使 CE 与平面 PAD 所成的角为 45 ?若存在,求出有
0

PE 的值;若不存在,说明理由. PD

P
E

A

D

B
3

C

21. (本小题满分 12 分)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的右焦点为 F2 (3,0) ,离心率 a2 b2

为e ?

3 . 2

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设直线 y ? kx 与椭圆相交于 A,B 两点,M,N 分别为线段 AF2 , BF2 的中点, 若坐标原点 O 在以 MN 为直径的圆上,求 k 的值.

四、附加题:本大题共 2 小题,共 20 分. 22. (1) (本小题满分 5 分)已知圆 M: (x+cos?)2+(y-sin?)2=1,直线 l:y=kx,下 面四个命题,其中真命题是( ) A.对任意实数 k 与?,直线 l 和圆 M 相切 B.对任意实数 k 与?,直线 l 和圆 M 没有公共点 C.对任意实数?,必存在实数 k,使得直线 l 与和圆 M 相切 D.对任意实数 k,必存在实数?,使得直线 l 与和圆 M 相切 (2) (本小题满分 5 分)如图,在棱长为 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E、F、G 分别为 AB、BC、BB1 的中点.则以 B 为顶点的三棱锥 B-GEF 的高 h=________. 23. (本小题满分 10 分)设 x, y ? R , i, j 为直角坐标平面内 x, y 轴正方向上的单位向量,若向 量 a ? xi ? ( y ? 2) j , b ? xi ? ( y ? 2) j ,且 | a | ? | b |? 8 . (Ⅰ)求点 M ( x, y ) 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点(0,3)作直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,设 OP ? OA ? OB ,是否存在这样的直线

l ,使得四边形 OAPB 是矩形?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,试说明理由.


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杭十四中二〇一三学年第一学期末考试 高二年级数学(文)学科试卷答案

一、选择题:共 10 小题,每小题 3 分,计 30 分。 1.直线 x=-1 的倾斜角和斜率分别是( ) A.45° ,1 C.90° ,不存在 答案:C 2.平面 α 与平面 β,γ 都相交,则这三个平面的交线可能有( A.1 条或 2 条 C.只有 2 条 B.2 条或 3 条 D.1 条或 2 条或 3 条 ) B.135° ,-1 D.180° ,不存在

解析:当 α 过平面 β 与 γ 的交线时,这三个平面有 1 条交线,当 β∥γ 时,α 与 β 和 γ 各 有一条交线,共有 2 条交线.当 β∩γ=b,α∩β=a,α∩γ=c 时,有 3 条交线. 答案:D 3.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如下图所 示,则该几何体的俯视图为( )

5

图1 解析:由几何体的正视图、侧视图,结合题意,可知选 C 答案:C

? π ? cos2x+cosx-m=0 为真命题, 4. 已知命题 p: ?x∈?0, ?, 则实数 m 的取值范围是( 2? ? ? 9 ? A.?- ,-1? ? 8 ? ? 9 ? B.?- ,2? ? 8 ?
C.[-1,2]

)

? 9 ? D.?- ,+∞? ? 8 ?

? π? ? π? 解析: 依题意, cos2x+cosx-m=0 在 x∈?0, ?上有解, 即 cos2x+cosx=m 在 x∈?0, ? 2? 2? ? ?
1 2 9 ? π? 2 上有解.令 f(x)=cos2x+cosx=2cos x+cosx-1=2(cosx+ ) - ,由于 x∈?0, ?,所 2? 4 8 ? 以 cosx∈[0,1],于是 f(x)∈[-1,2],因此实数 m 的取值范围是[-1,2]. 答案:C → → → → → → 5.在△ABC 中,“AB·AC=BA·BC”是“|AC|=|BC|”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

→ → → → 解析:如图,在△ABC 中,过 C 作 CD⊥AB,则|AD|=|AC|·cos∠CAB,|BD|=|BC|·cos → → → → → → → → → ∠CBA, AB·AC=BA·BC?|AB|·|AC|·cos∠CAB=|BA|·|BC|·cos∠CBA?|AC|·cos∠
6

→ → → → → CAB=|BC|·cos∠CBA?|AD|=|BD|?|AC|=|BC|,故选 C.

答案:C 6.正四棱锥(底面是正方形,顶点在底面的射影为正方形的中心)的底面积为 Q,侧面积 为 S,则它的体积为( 1 A. Q S 3 1 C. S?S2-Q2? 2 ) 1 B. Q?S2-Q2? 2 1 D. Q?S2-Q2? 6

解析:设底面边长为 a, 斜高为 h′,其高为 h, 则 a2=Q, 1 S=4× a· h′ 2

S ∴a= Q,h′= , 2 Q 1 1 ∴V= · Q· h= Q 3 3 答案:D 7.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,若 E 是 A1C1 的中点,则直线 CE 垂直于( A.AC C.A1D B.BD D.A1D1 ) a2 Q h′2- = 4 3 S2 Q 1 - = . Q?S2-Q2?. 4Q 4 6

解析:直线 CE 在平面 ACC1A1 内,寻找与平面 ACC1A1 垂直的直线,在正方体中,BD、 B1D1 都与此平面垂直,故选 B. 答案:B 8.若集合 A={(x,y)|x2+y2≤16},B={(x,y)|x2+(y-2)2≤a-1}, 且 A∩B=B,则 a 的取值范围是( A.a≤1 C.1≤a≤5 B.a≥5 D.a≤5 )

解析:A∩B=B 等价于 B?A.当 a≥1 时,集合 A 和 B 中的点

7

的集合分别代表圆 x2+y2=16 和圆 x2+(y-2)2=a-1 的内部,如图 2,容易看出当 B 对应的 圆的半径小于 2 时符合题意.由 0≤a-1≤4,得 1≤a≤5;当 a<1 时,集合 B 为空集,也满 足 B?A,所以当 a≤5 时符合题意. 答案:D

9.正六棱锥 P——ABCDEF 中,G 为 PB 的中点,则三棱锥 D—GAC 与三棱锥 P—GAC 体 积之比为( A.1∶1 C.2∶1 ) B.1∶2 D.3∶2

解析:∵G 为 PB 中点,∴VP—GAC=VP—ABC—VG—ABC= 2VG—ABC—VG—ABC=VG-ABC 1 又多边形 ABCDEF 是正六边形,∴S△ABC= S△ACD. 2 VD—GAC=VG—ACD=2VG—ABC 答案:C 10.如图,已知 A(4,0)、B(0,4),从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上, 最后经直线 OB 反射后又回到 P 点,则光线所经过的路程是( A.2 10 C.3 3 B.6 D.2 5 ) ∴VD—GAC∶VP—GAC=2∶1.

解析:直线 AB 的方程为 x+y-4=0,点 P 关于直线 AB 的对称点 P1 坐标为(4,2), 点 P 关于 y 轴的对称点 P2(-2,0), 则|P1P2|= ?4+2?2+22 =2 10,即为光线所经过的路程. 答案:A 二、填空题:共 7 小题,每小题 4 分,计 28 分。 11.直线 y=-x+b 与 5x+3y-31=0 的交点在第一象限,则 b 的取值范围是________. 解析:解直线的方程组成的方程组,求出交点坐标,然后根据交点在第一象限列出不等 式即可.
? ?y=-x+b 由? ? ?5x+3y-31=0 ?

3b ?x=31- 2 ? 5b-31 ?y= 2

.

8

2 ?x>0 ∵交点在第一象限,∴? ,即 ?y>0 5b-31 31 31 答案: <b< 5 3

?31-3b>0 ? ? 2 >0

31 31 ? <b< . 5 3

12.令 p(x):ax2+2x+1>0,如果对?x∈R,p(x)是真命题,则 a 的取值范围是________.
?a>0 ? 解析: 由已知?x∈R, ax2+2x+1>0 恒成立. 显然 a=0 不合题意, 所以? ? ?Δ=4-4a<0 ?

a>1. 答案:a>1 13.椭圆 x2+4y2=1 的离心率为________. 1 3 c 3 解析:∵a=1,b= ,∴c= a2-b2= ,∴e= = 2 2 a 2 答案: 3 2

14.点 P 在圆 x2+y2-8x-4y+11=0 上,点 Q 在圆 x2+y2+4x+2y-1=0 上,则|PQ|的最小 值是________. 答案:3 5-3- 6 15.已知曲线 C:x= 4-y2(-2≤y≤2)和直线 y=k(x-1)+3 只有一个交点,求实数 k 的取 值范围. 解:如图,曲线 C 表示以(0,0)为圆心,2 为半径的右半圆,直 线过(1,3)点. 1 5 由图 2 可得 kAM= =1,kBM= =5, 1 1 |-k+3| 2 ∴1≤k<5.又 2 =2,3k +6k-5=0, 1+k 2 6 解得 k=-1± (舍正). ∴k 取值的集合为{k|1≤k<5 或 k=-1 3 2 6 - }. 3 x2 y2 16.已知 F1、F2 是椭圆 2+ 2=1 的左、右焦点,点 P 是椭圆上任意一点,从 F1 引∠F1PF2 a b 的外角平分线的垂线,交 F2P 的延长线于 M,则点 M 的轨迹方程是________.
9

解析:由题意知|MP|=|F1P|, ∴|PF1|+|PF2|=|MF2|=2a. ∴点 M 到点 F2 的距离为定值 2a. ∴点 M 的轨迹是以点 F2 为圆心,以 2a 为半径的圆,其方程为(x- a2-b2)2+y2=4a2. 答案:(x- a2-b2)2+y2=4a2 17.四面体 ABCD 中,有如下命题: ①若 AC⊥BD,AB⊥CD 则 AD⊥BC; ②若 E、F、G 分别是 BC、AB、CD 的中点,则∠FEG 的大小等于异面直线 AC 与 BD 所成角 的大小; ③若点 O 是四面体 ABCD 外接球的球心,则 O 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的外心; ④若四个面是全等的三角形,则四面体 ABCD 是正四面体。 其中正确命题的序号是 (填上所有正确命题的序号) 。 2 答案: ①③④ 0 0 三、解答题:共 4 小题,计 42 分。 9 x 都有 ax2+ax+1>0 恒成立;Q:关于 18. (本小题满分 8 分)给定两个命题 P:对任意实数 0 x 的方程 x2-x+a=0 有实数根.如果 P∧Q 为假命题,P∨Q 为真命题,求实数 a 的取值范 5 围. 1 2 解:命题 P:对任意实数 x 都有 ax +ax+1>08 恒成立,则“a=0”,或“a>0 且 a2- 4a<0”.解得 0≤a<4. 1 命题 Q:关于 x 的方程 x2-x+a=0 有实数根,则 Δ=1-4a≥0,得 a≤ . 4 因为 P∧Q 为假命题,P∨Q 为真命题,则 P,Q 有且仅有一个为真命题, a<0或a≥4 ? ? 故綈 P∧Q 为真命题,或 P∧綈 Q 为真命题,则? 1 ? ?a≤4 <a<4. 1 所以实数 a 的取值范围是(-∞,0)∪( ,4). 4 19. (本小题满分 10 分)已知坐标平面上点 M(x,y)与两个定点 M1(26,1),M2(2,1)的距离之 比等于 5. (Ⅰ)求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形; (Ⅱ)记(Ⅰ)中的轨迹为 C,过点 M(-2,3)的直线 l 被 C 所截得的线段的长为 8,求直线 l 的方程.
10

0≤a<4 ? ? 或? 1 ? ?a>4.

1 解得 a<0 或 4

|M1M| 解:(Ⅰ)由题意,得 =5. |M2M| ?x-26?2+?y-1?2 =5,化简,得 x2+y2-2x-2y-23=0. ?x-2?2+?y-1?2 即(x-1)2+(y-1)2=25. ∴点 M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-1)2=25, 轨迹是以(1,1)为圆心,以 5 为半径的圆. (Ⅱ)当直线 l 的斜率不存在时,l:x=-2,此时所截得的线段的长为 2 52-32=8, ∴l:x=-2 符合题意. 当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y-3=k(x+2),即 kx-y+2k+3=0, 圆心到 l 的距离 d= |3k+2|
2

|3k+2| 5 ,由题意,得( 2 )2+42=52,解得 k= . 12 k +1 k +1

5 23 ∴ 直线 l 的方程为 x-y+ =0,即 5x-12y+46=0. 12 6 综上,直线 l 的方程为 x=-2,或 5x-12y+46=0. 20. (本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , PB 与底面所成
0 0 的角为 45 ,底面 ABCD 为直角梯形, ?ABC ? ?BAD ? 90 , AD ? 2 PA ? 2 BC ? 2 .

(Ⅰ)求证:平面 PAC ? 平面 PCD ; (Ⅱ)在线段 PD 上是否存在点 E ,使 CE 与平面 PAD 所成的角为 45 ?若存在,求出有
0

PE 的值;若不存在,说明理由. PD

P

E
A D

B
证明: (Ⅰ)连接 AC ,则 AC ? CD , 又 PA ? 平面 ABCD ,? PA ? CD 。 ? CD ? 平面 PAC , CD ? 平面 PCD , ? 平面 PAC ? 平面 PCD 。 (Ⅱ)取 AD 中点 M ,连接 CM 则 CM ? AD ? CM ? 平面 PAD ,连接 ME , ?CME 就是
11

C

CE 与平面 PAD 所成的角。
? CM ? 1 ,? ME ? 1 ,在 ?PAD 中, MD ? 1 ,
不难求到另一个点 E 的位置为

PE ? 1。 PD

PE 1 ? , PD 5

所以,线段 PD 上存在点 E ,使 CE 与平面 PAD 所成的角为 450 ,此时 21. (本小题满分 12 分)已知椭圆 为e ?

PE 1 ? 1或 。 PD 5

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的右焦点为 F2 (3,0) ,离心率 a2 b2

3 。 2

(Ⅰ)求椭圆的方程。 (Ⅱ)设直线 y ? kx 与椭圆相交于 A,B 两点,M,N 分别为线段 AF2 , BF2 的中点, 若坐标原点 O 在以 MN 为直径的圆上,求 k 的值。

?c ? 3 ? 解: (Ⅰ)由题意得 ? c 3 ,得 a ? 2 3 。 ? ? 2 ?a
结合 a ? b ? c ,解得 a ? 12 , b ? 3 。
2 2 2 2
2

所以,椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1。 12 3

? x2 y2 ?1 ? ? 2 2 (Ⅱ)由 ? 12 ,得 3 ? 12k x ? 12? 3 ? 0 。 3 ? y ? kx ?

?

?

设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ?,则 x1 ? x 2 ? 0, x1 x 2 ? 依题意,OM⊥ON,

? 12 ? 3 , 3 ? 12 k 2

易知,四边形 OMF2 N 为平行四边形,所以 AF2 ? BF2 , 因为 F2 A ? ?x1 ? 3, y1 ?, F2 B ? ?x2 ? 3, y2 ? , 所以 F2 A ? F2 B ? ?x1 ? 3??x2 ? 3? ? y1 y2 ? 1 ? k 2 x1 x2 ? 9 ? 0 。 即

?

?

? 12 ? 3?1 ? k 2 ? ?9 ? 0, 3 ? 12k 2

12

解得 k ? ?

2 。 4

四、附加题:本大题共 2 小题,共 20 分. 22. (1) (本小题满分 5 分)已知圆 M: (x+cos?)2+(y-sin?)2=1, 直线 l:y=kx,下面四个命题: A.对任意实数 k 与?,直线 l 和圆 M 相切; B.对任意实数 k 与?,直线 l 和圆 M 没有公共点; C.对任意实数?,必存在实数 k,使得直线 l 与和圆 M 相切; D.对任意实数 k,必存在实数?,使得直线 l 与和圆 M 相切. 其中真命题的代号是______________(写出所有真命题的代号). 解析:.圆心坐标为(-cos?,sin?) ,d=

|-k cos ?-sin ? | 1+k 2 =|sin (?+?) | ?1
答案:D



1+k 2 |sin (?+?) | 1+k 2

(2) (本小题满分 5 分)如图,在棱长为 4 的正方体 ABCD- A1B1C1D1 中,点 E、F、G 分别为 AB、BC、BB1 的中点.则以 B 为顶 点的三棱锥 B-GEF 的高 h=________. 1 1 解:因为 S△BEF= BE· BF= ×2×2=2,BG=2,所以三棱锥 G 2 2 1 4 -BEF 的体积=V= ×2×2= ;若以 B 为顶点,则底面为正三角形 3 3 GEF,其边长为 EF= BE2+BF2=2 2,所以 S△GEF= 3 ×(2 2)2=2 3.又因为三棱锥 B- 4 4 3

2 3 GEF 和三棱锥 G-BEF 的体积相等,所以当以 B 为顶点时,三棱锥的高 h= = . 1 3 ×2 3 3

23. (本小题满分 10 分)设 x, y ? R , i, j 为直角坐标平面内 x, y 轴正方向上的单位向量,若向 量 a ? xi ? ( y ? 2) j , b ? xi ? ( y ? 2) j ,且 | a | ? | b |? 8 . (Ⅰ)求点 M ( x, y ) 的轨迹 C 的方程;
13

(Ⅱ)过点(0,3)作直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,设 OP ? OA ? OB ,是否存在这样的直线

l ,使得四边形 OAPB 是矩形?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,试说明理由.
解: () 由 | a| ? | b | 8 ? ,得 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 点 M 满 足 |M F | 1 ?

x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 8 ? 4 ,设 F1 (0, ?2), F2 (0, 2) 则动

| M 2F ?| ? 8

,F 所 以 ? 4 1F |2 | 点 M 在 椭 圆 上 , 且 椭 圆 的

a ? 4, c ? 2, b ? 2 3 .所以轨迹 C 的方程为

y 2 x2 ? ? 1. 16 12

? y ? kx ? 3 ? ( Ⅱ ) 设 直 线 的 斜 率 为 k , 则 直 线 方 程 为 y ? kx ? 3 , 联 立 方 程 组 ? y 2 x 2 消去 y ?1 ? ? ? 16 12
得: (4 ? 3k 2 ) x2 ? 18kx ? 21 ? 0 , ? ? (18k )2 ? 84(4 ? 3k 2 ) ? 0 恒成立,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

18k 21 , x1 x2 ? . 由 AP ? OB , 所以四边形 OAPB 为平行四边形 . 若存 2 4 ? 3k 4 ? 3k 2 在 直 线 l , 使 四 边 形 OAPB 为 矩 形 , 则 OA ? OB , 即
则 x1 ? x2 ? ?

OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? (1? k 2 ) x1x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 9 ? 0 ,解得 k ? ?
为y??

5 ,所以直线 l 的方程 4

5 x ? 3 ,此时四边形 OAPB 为矩形. 4

总分 20 分(第一题有两个选择题,每题 5 分,共 10 分;第二题满分 10 分。 ) 24 25. C D

14

2.解:F(

p ,0) 2

4 p 设直线方程为:y= ( x ? )................................2 3 2 3 p 则:x ? y ? 4 2 2 上试代入y ? 2 px 3 得到:y2 ? py ? p 2 ? 0..........................................4 2 显然? ? 0 3 ? ? y1 ? y2 ? P   ........................................................6 2 ? 2 ? ? y1 y2 ? ? p 1 因为: 5= ? 4 y1 ? y2 2 5 所以: y1 ? y2 = ......................................................8 2 25 即: =(y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 4 即:p 2 ? 1 又因为p ? 0. 故p=1.........................................................................10

注:其它解法相应给分。

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