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2016届高考数学大一轮复习 第11章 第3节 直接证明与间接证明课时提升练 文 新人教版


课时提升练(五十六) 直接证明与间接证明
一、选择题 1.用反证法证明某命题时,对结论:“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”正确的反设 为( ) A.a,b,c 中至少有两个偶数 B.a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数 C.a,b,c 都是奇数 D.a,b,c 都是偶数 【解析】 “自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”的否定为“a,b,c 中至少有两个偶数 或都是

奇数”. 【答案】 B 2.若 P= a+ a+7,Q= a+3+ a+4(a≥0),则 P、Q 的大小关系是( A.P>Q C.P<Q
2

)

B.P=Q D.由 a 的取值确定
2

【解析】 ∵P =2a+7+2 a a+7=2a+7+2 a +7a,

Q2=2a+7+2 a+3 a+4=2a+7+2 a2+7a+12,
∴P <Q ,∴P<Q. 【答案】 C 3.(2014·张家口模拟)分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设 a>b>c,且 a +b+c=0,求证 b -ac< 3a”索的因应是( A.a-b>0 C.(a-b)(a-c)>0
2 2 2 2 2

)

B.a-c>0 D.(a-b)(a-c)<0
2

【解析】 由 b -ac< 3a?b -ac<3a ?b +a(a+b)<3a ?b +a +ab<3a ?b +ab<2a
2 2 2 2 2 2 2 2

?b +ab-2a <0 ?(a-b)(a-c)>0. 【答案】 C 1 a 4.(2014·上海模拟)“a= ”是“对任意正数 x,均有 x+ ≥1”的( 4 x A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
1

2

)

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

1 a 1 【解析】 当 a= 时,x+ =x+ ≥2 4 x 4x 立.反之,不成立. 【答案】 A

x· =2× =1,当且仅当 x= 时等号成 4x 2 2

1

1

1

?1?x ?a+b?,B=f( ab), 5.(2014·成都模拟)已知函数 f(x)=? ? ,a,b 是正实数,A=f? ? ?2? ? 2 ?
C=f?

? 2ab ?,则 A、B、C 的大小关系为( ? ?a+b?
A.A≤B≤C C.B≤C≤A 【解析】 ∵

) B.A≤C≤B D.C≤B≤A

a+b
2

≥ ab ≥

2ab ?1? x ?a+b? , 又 f(x) = ? ? 在 R 上 是 减 函 数 , ∴ f ? ? a+b ?2? ? 2 ?

≤f( ab)≤f?

? 2ab ?,即 A≤B≤C. ? ?a+b?

【答案】 A 6. (2014·北京高考)学生的语文、 数学成绩均被评定为三个等级, 依次为“优秀”“合 格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于 乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好, 并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( A.2 人 C.4 人 B.3 人 D.5 人 )

【解析】 利用反证法解决实际问题. 假设满足条件的学生有 4 位及 4 位以上,设其中 4 位同学分别为甲、乙、丙、丁,则 4 位同学中必有两个人语文成绩一样, 且这两个人数学成绩不一样, 那么这两个人中一个人的 成绩比另一个人好, 故满足条件的学生不能超过 3 人. 当有 3 位学生时, 用 A, B, C 表示“优 秀”“合格”“不合格”,则满足题意的有 AC,CA,BB,所以最多有 3 人. 【答案】 B 二、填空题 1 1 1 7.设 a>0,b>0,c>0,若 a+b+c=1,则 + + ≥________.

a b c

1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c 【解析】 ∵a+b+c=1,∴ + + = + +

a b c

a

b

c

=3+ + + + + +

b c a c a b a a b b c c

2

≥3+2

b a · +2 a b

c a · +2 a c

c b · =3+2+2+2=9. b c

1 等号成立的条件是 a=b=c= . 3 【答案】 9 8.凸函数的性质定理为:如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数,则对于区间 D 内的任意

f?x1?+f?x2?+?+f?xn? ?x1+x2+?+xn? x1,x2,?,xn,有 ≤f? ?,已知函数 y=sin x n n ? ?
在区间(0,π )上是凸函数,则在△ABC 中,sin A+sin B+sin C 的最大值为________. 【解析】 ∵f(x)=sin x 在区间(0,π )上是凸函数, 且 A、B、C∈(0,π ), ∴

f?A?+f?B?+f?C?
3

≤f?

?A+B+C?=f?π ?, ? ? ? ? 3 ? ?3?
π 3 3 = , 3 2

即 sin A+sin B+sin C≤3sin

3 3 所以 sin A+sin B+sin C 的最大值为 . 2 【答案】 3 3 2

9.设 x,y,z 是空间的不同直线或不同平面,且直线不在平面内,下列条件中能保证 “若 x⊥z,且 y⊥z,则 x∥y”为真命题的是________(填写所有正确条件的代号). ①x 为直线,y,z 为平面; ②x,y,z 为平面; ③x,y 为直线,z 为平面; ④x,y 为平面,z 为直线; ⑤x,y,z 为直线. 【解析】 ①中 x 为直线,y,z 为平面,则 x⊥z,y⊥z,而 x?y, ∴必有 x∥y 成立,故①正确. ②中若 x,y,z 均为平面,由墙角三面互相垂直可知 x∥y 是错的. ③x、y 为直线,z 为平面,则 x⊥z,y⊥z 可知 x∥y 正确. ④x、y 为平面,z 为直线,z⊥x,z⊥y,则 x∥y 成立. ⑤x、y、z 均为直线,x⊥z 且 y⊥z,则 x 与 y 还可能异面、垂直,故不成立. 【答案】 ①③④ 三、解答题 10.若 a,b,c 是不全相等的正数,求证:

3

lg

a+b
2

+lg

b+c
2

+lg

c+a
2

>lg a+lg b+lg c.

【证明】 ∵a,b,c∈(0,+∞) ∴

a+b
2

≥ ab>0,

b+c
2 2

≥ bc>0, ≥ ac>0

c+a

又 a,b,c 是不全相等的正数, 故上述三个不等式中等号不能同时成立. ∴lg

a+b
2

+lg

b+ c
2

+lg

c+a
2

=lg?

?a+b·b+c·c+a?>lg( ab· bc· ac)=lg(abc) 2 2 ? ? 2 ?
2

=lg a+lg b+lg c. 11.(2014·临沂模拟)已知二次函数 f(x)=ax +bx+c(a>0)的图象与 x 轴有两个不同 的交点,若 f(c)=0,且 0<x<c 时,f(x)>0. 1 (1)证明: 是函数 f(x)的一个零点;

a

1 (2)试用反证法证明 >c.

a

【解】 (1)证明:∵f(x)图象与 x 轴有两个不同的交点,∴f(x)=0 有两个不等实根

x1,x2,
∵f(c)=0,∴x1=c 是 f(x)=0 的根,

c 1?1 ? 又 x1x2= ,∴x2= ? ≠c?, a a?a

?

1 ∴ 是 f(x)=0 的一个根.

a a

1 即 是函数 f(x)的一个零点. 1 1 (2)假设 <c,又 >0,由 0<x<c 时,f(x)>0,

a

a

1 ?1? ?1? 知 f? ?>0 与 f? ?=0 矛盾,∴ ≥c, a a

? ?
a

? ?

a

1 1 又∵ ≠c,∴ >c.

a

12.对于定义域为[0,1]的函数 f(x),如果同时满足: ①对任意的 x∈[0,1],总有 f(x)≥0; ②f(1)=1;
4

③若 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,都有 f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,则称函数 f(x)为理 想函数. (1)若函数 f(x)为理想函数,证明:f(0)=0; (2)试判断函数 f(x)=2x(x∈[0,1]),f(x)=x (x∈[0,1]),f(x)= x(x∈[0,1])是否 是理想函数. 【解】 (1)证明:取 x1=x2=0,则 x1+x2=0≤1, ∴f(0+0)≥f(0)+f(0),∴f(0)≤0. 又对任意的 x∈[0,1],总有 f(x)≥0, ∴f(0)≥0.于是 f(0)=0. (2)对于 f(x)=2x,x∈[0,1],f(1)=2 不满足新定义中的条件②, ∴f(x)=2x,(x∈[0,1])不是理想函数. 对于 f(x)=x ,x∈[0,1],显然 f(x)≥0,且 f(1)=1. 任意的 x1,x2∈[0,1],x1+x2≤1,
2 f(x1+x2)-f(x1)-f(x2)=(x1+x2)2-x2 1-x2=2x1x2≥0, 2 2

即 f(x1)+f(x2)≤f(x1+x2). ∴f(x)=x (x∈[0,1])是理想函数. 对于 f(x)= x,x∈[0,1],显然满足条件①②. 对任意的 x1,x2∈[0,1],x1+x2≤1, 有 f (x1+x2)-[f(x1)+f(x2)] =(x1+x2)-(x1+2 x1x2+x2) =-2 x1x2≤0, 即 f (x1+x2)≤[f(x1)+f(x2)] . ∴f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2),不满足条件③. ∴f(x)= x(x∈[0,1])不是理想函数. 综上,f(x)=x (x∈[0,1])是理想函数,
2 2 2 2 2 2

f(x)=2x(x∈[0,1])与 f(x)= x(x∈[0,1])不是理想函数.

5


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