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2000年上海市高中数学竞赛试题


2000 年上海市高中数学竞赛试题
(2000 年 3 月 19 日星期日上午 8:30--10:30) (说明)解答本试卷不得使用计算器 一、填空题(本题 10 小题,每小题 7 分,共 70 分)

1、若函数 值是________。 2、

又能写成

,则 的

的值是_______

_。

3、设

是一个等差数列, ,则

,记 的最小值为________。

4、由方程 ________。 5、已知两个圆 切且与

所对应的曲线围成的图形的面积是



,则与



内切的圆的圆心轨迹方程是________。

6、 若

表示不超过实数

的最大整数, 则方程



解集是________。 7、数列 中, = 的前 4321 项的和 ,若对一切 ,且 的值是________。 有 ,则该数列

8、已知

,且

能被

整除,则 的值是

________。 9、在四面体 ABCD 中,AD=DB=AC=CB=1,则它的体 积的最大值是________。 10、在 1,3,5,7,…,99 这 50 个连续奇数中任取 k 个数,使得 在这 k 个数中必存在三个数,以这三个数为边长可以组成三角形, 则 k 的最小值是________。 二、(本题 16 分) 1,2,3,4,5 的排列 不构成 三、(本题 16 分) 有多少个正整数有序数对 ,具有如下性质: ,且 具有性质:对于 ,

的某个排列,求这种排列的个数。



都是整数?

四、(本题 18 分) 设 是 个不同质数,用这些质数作为项(允许重复),

任意组成一个数列,使这个数列不存在某些相邻项的积是完全平 方。证明:这种数列的项数有最大值(记为 表达式。 ),并求 的

=============== 试题解答 =============== 一、填空题:(每小题 7 分,共 70 分)

1、

; 2、

; 3、

; 4、

; 5、



6、



7、

; 8、 ; 9、

; 10、 。

二、解:显然

,当

时,

个排列都符合要求。



时, 个。



个排列不符合要求,即符合要求的排列有



时,形如

与 个。

的排列均不符合要求,即符合

要求的排列有



时,形如









的 个。

排列均不符合要求,即符合要求的排列有 综上所述,所求的排列个数为: + + + =71。

三、解:设

,则

(1),

,设 式得

,则

,代入(1)

(2),

,于是



个正整数满足上述不等式。

反之,每一个正整数 ,(2)式显示 与有序数对 对应,且使

间的一一

, ,

,注意到

时,

,就知有序数对的数目是:



四、解:设 数列

是一个以

为项的数列,这里

。考虑

,则每个 都可写成 这里 序数组 按 都是非负整数。 的奇偶性考虑,至多有 与 ,使 个 元有 个不同有

序数组,因此必有两个有序数组

,于是 平方。 这就证明了满足条件的数列的项数不超过 数列有限,项数最大值 存在,且 。

为完全 , 从而这种



是以

为项的数列,且满足条件,那么

是以 也满足条件,故有 纳法即知 。 ,显然

为项的数列, ,故由数学归

综上所述,




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